學習等差數(shù)列求和公式的四個層次.doc

學習等差數(shù)列求和公式的四個層次黑龍江大慶實驗中學(163311)畢明黎 等差數(shù)列前n項和公式,是數(shù)列部分最重要公式之一,學習公式并靈活運用公式可分如下四個層次:1.直接套用公式從公式中,我們可以看到公式中出現(xiàn)了五個量,包括這些量中已知三個就可以求另外兩個了.從基本量的觀點認識公式、理解公式、掌握公式這是最低層次要求.例1 設等差數(shù)列的公差為d,如果它的前n項和,那么( ).(1992年三南高考試題)(A) (B)(C) (D)解法1 由于且知,選(C).解法2 對照系數(shù)易知此時由知故選(C).例2 設是等差數(shù)列的前n項和,已知與的等比中項為,與的等差中項為1,求等差數(shù)列的通項.(1997年全國高考文科)解 設的通項為前n項和為由題意知,即化簡可得解得或由此可知或經(jīng)檢驗均適合題意,故所求等差數(shù)列的通項為或2.逆向活用公式在公式的學習中,不僅要從正向認識公式,而且要善于從反向分析弄清公式的本來面目.重視逆向地認識公式,逆向運用公式,無疑將大大地提高公式的解題功效,體現(xiàn)了思維的靈活性.例3 設求證:(1985年全國高考文科)證明 又又且例4 數(shù)列對于任意自然數(shù)n均滿足,求證: 是等差數(shù)列. (1994年全國高考文科)證明 欲證為常數(shù),由及可得推出作差可得因此由遞推性可知: 為常數(shù)),所以命題得證.這是九四年文科全國高考試題,高考中得分率極低,我們不得不承認此為公式教學與學習中的一個失誤,倘若能重視逆向地認識公式,理解公式,應用公式,還“和”為“項”,結(jié)局還能如此慘重嗎?3.橫向聯(lián)系,巧用公式在公式的學習過程中,還要從運動、變化的觀點來認識公式,從函數(shù)及數(shù)列結(jié)合的角度分析透徹理解公式,公式表明是關(guān)于n的二次函數(shù),且常數(shù)項為0,同時也可以看出點列均在同一條拋物線上,且此拋物線過原點,體現(xiàn)了思維的廣闊性,請再看例2.解 設,則可得解得或,所以或從而或y例5 設等差數(shù)列的前項和為,已知指出中哪一個值最大,并說明理由. (1992年全國高考試題)x1213解 由于表明點列都在過原點的拋物線上,再由易知此等差數(shù)列公差d 3.引參策略恰當?shù)卦O立參數(shù),使問題得到簡化,計算量減少,這是解題中常用技巧.例4 設對所有實數(shù)x,不等式恒成立,求a的取值范圍. (1987年全國高考試題)解:令,則原不等式可轉(zhuǎn)化為.要使原不等式恒成立,必須有或即解之適當?shù)匾雲(yún)?shù),另辟蹊徑解題十分巧妙,請再看例1.解:原方程等價于設,則當時又當時又綜上所述可知k的范圍為或4.分類討論分類討論是解決含參變量問題的重要手段之一,值得注意的是在分類討論中要準確地確定分類標準逐級分類討論.例5 已知自然數(shù)n,實數(shù)a1,解關(guān)于x的不等式(1991年全國高考試題)解:原不等式等價于(1)n為奇數(shù)時即(2)n為偶數(shù)時即例6 設,比較與的大小,并證明你的結(jié)論. (1988年全國高考試題)解:當t0時,由均值不等式有,當且僅當t=1時取“=”號,所以t=1時=時 若則若則0),的圖象.由圖象知,由求得交點P橫坐標為,(舍)當n為奇數(shù)時,由知因a1由圖象知.當n為偶數(shù)時,由知因a1,由圖象知.仿上方法同理可求解例2,這里從略.步驟:把原不等式(方程)等價變形為作出與圖象,由求交點,由圖象及函數(shù)性質(zhì)確定范圍,從而求解.6.分離參數(shù)(主次轉(zhuǎn)化)更換問題中的參變量和變量位置,常常得到新穎簡潔的解法,請再看例4.解:將原不等式變形為,又對于任意,因此必須且只須即解之0a1.所求a的取值范圍為0a0時,則k0,故當x0時,則k0,故綜上可知.分離參數(shù)一般步驟為:將含參數(shù)t的關(guān)于x的方程或不等式變形為g(t)與 的等式或不等式,根據(jù)方程或不等式的解(x)的范圍確定函數(shù)的取值范圍D,由D以及g(t)與的相等與不等關(guān)系確定為g(t)的取值范圍,從而