線性代數(shù) 向量組的線性組合.doc

第二節(jié) 向量組的線性組合分布圖示 n維向量的概念 向量組與矩陣 向量的線性運(yùn)算 例1 例2 線性方程組的向量形式 向量組的線性組合 例3 例4 例5 定理1 例6-8 例9 向量組間的線性表示 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題3-2內(nèi)容要點(diǎn)一、維向量及其線性運(yùn)算定義1 個有次序的數(shù)所組成的數(shù)組稱為維向量, 這個數(shù)稱為該向量的個分量, 第個數(shù)稱為第個分量.注：在解析幾何中，我們把“既有大小又有方向的量”稱為向量，并把可隨意平行移動的有向線段作為向量的幾何形象. 引入坐標(biāo)系后，又定義了向量的坐標(biāo)表示式（三個有次序?qū)崝?shù)），此即上面定義的3維向量. 因此，當(dāng)時，維向量可以把有向線段作為其幾何形象. 當(dāng)時，維向量沒有直觀的幾何形象.若干個同維數(shù)的列向量（或行向量）所組成的集合稱為向量組. 例如，一個矩陣 每一列組成的向量組稱為矩陣的列向量組，而由矩陣的的每一行 組成的向量組稱為矩陣的行向量組. 根據(jù)上述討論，矩陣記為 或 .這樣，矩陣就與其列向量組或行向量組之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系.矩陣的列向量組和行向量組都是只含有限個向量的向量組. 而線性方程組 的全體解當(dāng)時是一個含有無限多個維列向量的向量組.定義2 兩個維向量與的各對應(yīng)分量之和組成的向量，稱為向量與的和, 記為，即 由加法和負(fù)向量的定義，可定義向量的減法：.定義3 維向量的各個分量都乘以實(shí)數(shù)所組成的向量，稱為數(shù)與向量的乘積（又簡稱為數(shù)乘），記為，即.向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算. 注：向量的線性運(yùn)算與行（列）矩陣的運(yùn)算規(guī)律相同，從而也滿足下列運(yùn)算規(guī)律:(1) ;(2) ;(3) (4) (5) (6) (7) (8) 二、向量組的線性組合考察線性方程組 (1)令 則線性方程組(1)可表為如下向量形式: (2)于是, 線性方程組(1)是否有解, 就相當(dāng)于是否存在一組數(shù)使得下列線性關(guān)系式成立：定義4 給定向量組，對于任何一組實(shí)數(shù), 表達(dá)式稱為向量組的一個線性組合, 稱為這個線性組合的系數(shù).定義5 給定向量組和向量, 若存在一組數(shù)使則稱向量是向量組的線性組合, 又稱向量能由向量組線性表示(或線性表出).注：(1)能由向量組唯一線性表示的充分必要條件是線性方程組有唯一解；(2) 能由向量組線性表示且表示不唯一的充分必要條件是線性方程組有無窮多個解；(3) 不能由向量組線性表示的充分必要條件是線性方程組無解；定理1 設(shè)向量，則向量能由向量組線性表示的充分必要條件是矩陣與矩陣的秩相等.三、向量組間的線性表示定義6 設(shè)有兩向量組若向量組B中的每一個向量都能由向量組A線性表示, 則稱向量組B能由向量組A線性表示.若向量組A與向量組B能相互線性表示, 則稱這兩個向量組等價.按定義, 若向量組B能由向量組A線性表示, 則存在使所以 其中矩陣稱為這一線性表示的系數(shù)矩陣.引理 若 則矩陣的列向量組能由矩陣的列向量組線性表示, 為這一表示的系數(shù)矩陣. 而矩陣的行向量組能由的行向量組線性表示, 為這一表示的系數(shù)矩陣.定理2 若向量組可由向量組線性表示, 向量組可由向量組線性表示, 則向量組可由向量組線性表示.例題選講維向量及其線性運(yùn)算例1 設(shè) 如果向量滿足 求.解 由題設(shè)條件,有例2 (E01) 設(shè)(1) 求 ; (2) 若有, 滿足 求 解（1）（2）由得例3 設(shè) 由于, 因此是的線性組合. 例4 證明:向量是向量的線性組合并具體將用表示出來. 證 先假定其中為待定常數(shù)，則由于兩個向量相等的充要條件是它們的分量分別對應(yīng)相等，因此可得方程組: 于是可以表示為的線性組合，它的表示式為例5 證明: 向量可以用多種方式表示成向量及的線性組合.證 假定是數(shù)，它們使這樣便可得到一個線性方程組: （2）這個方程組的解不是唯一的，例如以下二組數(shù)都是方程組(2)的解: 因此即向量可以用不止一種方式表示成另外3個向量的線性組合.注：本例表明，判斷一個向量是否可用多種形式由其它向量組線性表出的問題也可以歸結(jié)為某一個線性方程組解的個數(shù)問題. 解唯一，表示方式也唯一. 解越多，表示方式也越多. 這說明線性方程組的解同向量線性關(guān)系之間的緊密聯(lián)系.向量組的線性組合例6 (E02) 任何一個維向量都是維向量單位組的線性組合.因為 例7 (E03) 零向量是任何一組向量的線性組合.因為例8 (E04) 向量組中的任一向量都是此向量組的線性組合.因為 例9 (E05) 判斷向量是否各為向量組的線