遼寧工業(yè)大學(xué)高數(shù)習(xí)題課10-1-2.ppt

第十章曲線積分與曲面積分習(xí)題課 二 對坐標(biāo)的曲線積分 第二型曲線積分 一 對坐標(biāo)的曲線積分的概念 1 定義 2 物理意義 變力沿所作的功 二 對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì) 1 線性性質(zhì) 若 方向不變 則 設(shè)是的反向曲線弧 則 3 與積分曲線的方向有關(guān)性 2 可加性 三 對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算方法 化為定積分計(jì)算 1 參數(shù)方程 1 直接計(jì)算法 設(shè)從變到 則 設(shè) 從變到 則 設(shè)從變到 則 2 直角坐標(biāo) 設(shè)從變到 則 注 下限起點(diǎn)上限終點(diǎn) 3 利用積分與路徑無關(guān)的條件計(jì)算法 與路徑無關(guān) 單連域 單連域 2 格林 Green 公式計(jì)算法 注意使用條件 這里為區(qū)域的正向邊界曲線 為區(qū)域內(nèi)任意閉曲線 四 兩類曲線積分之間的聯(lián)系 其中為有向曲線弧在點(diǎn)處的切向量的方向角 五 對坐標(biāo)的曲線積分的解題方法 4 斯托克斯 Stokes 公式計(jì)算法 這里是有向曲面的正向邊界曲面 No 積分與路徑無關(guān) 封閉 取特殊曲線 轉(zhuǎn)化為定積分 積分與路徑相關(guān) 封閉 確定D 應(yīng)用Green公式 對L補(bǔ)上特殊曲線 在封閉曲線上應(yīng)用Green公式 轉(zhuǎn)化為定積分 Yes No Yes No Yes 解題方法流程圖 由上圖可以看出 計(jì)算第二型曲線積分時(shí) 首先要找出函數(shù) 及積分曲線然后判斷等式是否 成立 若上述等式成立 則曲線積分在單連域內(nèi)與積分路徑 無關(guān) 此時(shí)的計(jì)算方法是 看積分曲線是否封閉 若為封閉 曲線 則利用積分與路徑無關(guān)的等價(jià)命題 便可知所求積分為零 若上式不成立 則曲線積分與積分路徑有關(guān) 此時(shí)的計(jì)算方 法是 看積分曲線是否封閉 若為封閉曲線 則直接利用 若不是封閉曲線 通常采用取特殊路徑的方法 如取平行于 坐標(biāo)軸的折線 來計(jì)算所給積分 即 Green公式計(jì)算所給積分 即 若不是封閉曲線 則計(jì)算方法一般有兩種 一種是將曲線 再計(jì)算最后將兩式相減便得原曲線積分的值 即 積分化為定積分來計(jì)算 另一方法是通過補(bǔ)特殊路徑 使 與構(gòu)成封閉曲線 然后在封閉曲線上應(yīng)用Green 公式 即 六 典型例題 分析由于故曲線積分與路徑有關(guān) 又因?yàn)榍€ 不是封閉的 按解題方法流程圖 計(jì)算本題有兩種方法 一是將第二型曲線積分直接轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算 二是采用補(bǔ)特殊路徑 然后應(yīng)用Green公式計(jì)算 本題采用第一種方法計(jì)算比較簡便 這里應(yīng)首先將積分曲線的方程改寫為 再代入被積函數(shù)中計(jì)算 解 由于所以 分析本題為沿空間曲線的積分 從所給曲線來看 可采用參數(shù)法轉(zhuǎn)化為定積分來計(jì)算 這里關(guān)鍵是要正確寫出積分曲線的參數(shù)方程 考慮到本題為沿空間平面閉曲線的積分 故又可利用斯托克斯 Stokes 公式將曲線積分轉(zhuǎn)化為曲面積分計(jì)算 解法1 化為定積分計(jì)算 由于 如圖 這里 所以 從變到 從變到 從變到 從而 解法2 利用斯托克斯公式計(jì)算 設(shè)為平面上所圍成部分的上側(cè) 由Stokes公式 得 為在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域 則 分析由于 故曲線積分與路徑有關(guān) 又因?yàn)榉忾]曲線 如圖 且 在所圍區(qū)域上滿足格林公式的條件 故本題可采用格林公式方法來計(jì)算 即采用框圖中線路2 21的方法 解 令 則 即由于 故利用格林公式 得 解法1 化為定積分計(jì)算 的參數(shù)方程為 從變到 則 解法2 利用格林公式計(jì)算 設(shè)由所圍區(qū)域?yàn)?則 于是 分析由例3的分析可知 曲線積分與路徑有關(guān) 又因積分曲 接計(jì)算法 即轉(zhuǎn)化為定積分的方法計(jì)算 不難看出沿著路徑 的積分 被積函數(shù)中含有和的項(xiàng) 積分的計(jì)算將是非常困難的 因此 本題采用補(bǔ)特殊路徑 然后應(yīng)用Green公式的方法計(jì)算本題 即采用框圖中線路2 22計(jì)算 線不是封閉的 按框圖 計(jì)算本題有兩種方法 但若利用直 解 補(bǔ)直線段 從變到 并設(shè)曲線 所圍區(qū)域?yàn)?如圖 則由Green公式 得 又 故 分析因 則 由于與在原點(diǎn)處不連續(xù) 因此 1 若給定的曲線所圍成的閉區(qū)域不包括原點(diǎn) 則在 此區(qū)域內(nèi)曲線積分與路徑無關(guān) 2 若給定的曲線所圍成 的閉區(qū)域包括原點(diǎn) 那么 在所圍成的閉區(qū)域上不 滿足格林公式 積分與路徑無關(guān)的條件 此時(shí) 我們可取 一條特殊的封閉光滑曲線 在上應(yīng)用Green公式 由此 將上的曲線積分轉(zhuǎn)化為上的曲線積分 解 因 則 故 1 若給定的曲線圍成的閉區(qū)域不包括原點(diǎn) 由 知曲線積分與路徑無關(guān) 故 2 若給定的曲線所圍成的閉區(qū)域包括原點(diǎn) 則取一條 特殊的有向曲線 充分小 規(guī)定的方向?yàn)?逆時(shí)針 如圖所示 設(shè)所圍成的區(qū)域?yàn)?則在上應(yīng)用Green公式 得 所以 而 故 或利用參數(shù)方程計(jì)算 令 從到 所以 解 記 則由于 則所給積分與路徑無關(guān) 現(xiàn)取 從變到 則有 七 對坐標(biāo)的曲線積分的物理應(yīng)用 求變力沿曲線所作的功 例8 設(shè)位于點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)對質(zhì)點(diǎn)的引力大小為 為常數(shù) 為質(zhì)點(diǎn)對質(zhì)點(diǎn)之間的距離 質(zhì)點(diǎn) 沿曲線自運(yùn)動(dòng)到 求在此運(yùn)動(dòng)過程 分析設(shè)質(zhì)點(diǎn)對質(zhì)點(diǎn)的引力 因此 問題的關(guān)鍵是寫出引力的表達(dá)式 中質(zhì)點(diǎn)對質(zhì)點(diǎn)的引力所作的功 則所求的功為 解 作圖如右圖所示 可知 引力的方向與一致 故 于是 分析由