高考數(shù)學(xué) 第八章 第三節(jié) 圓的方程課件 理 蘇教版.ppt

第三節(jié)圓的方程 1 圓的定義及確定圓的基本要求 1 定義 圓是在平面內(nèi)到 的距離等于 的點(diǎn)的集合 2 確定一個(gè)圓的基本要素是 和 2 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 x a 2 y b 2 r2 點(diǎn)m x0 y0 1 點(diǎn)在圓上 2 點(diǎn)在圓外 3 點(diǎn)在圓內(nèi) 定點(diǎn) 定長(zhǎng) 圓心 半徑 x0 a 2 y0 b 2 r2 x0 a 2 y0 b 2 r2 x0 a 2 y0 b 2 r2 3 圓的方程 x a 2 y b 2 r2 判斷下面結(jié)論是否正確 請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打 或 1 確定圓的幾何要素是圓心與半徑 2 方程 x a 2 y b 2 t2 t r 表示圓心為 a b 半徑為t的一個(gè)圓 3 方程x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0表示圓心為半徑為的圓 4 方程ax2 bxy cy2 dx ey f 0表示圓的充要條件是a c 0 b 0 d2 e2 4af 0 5 若點(diǎn)m x0 y0 在圓x2 y2 dx ey f 0外 則x02 y02 dx0 ey0 f 0 解析 1 正確 圓由其圓心和半徑兩個(gè)要素就確定了 2 錯(cuò)誤 當(dāng)t 0時(shí) 方程表示圓心為 a b 半徑為 t 的圓 3 錯(cuò)誤 當(dāng)a2 2a 2 4 2a2 a 1 0即時(shí)才表示圓 4 正確 因?yàn)閍 c 0 b 0 d2 e2 4af 0得方程ax2 bxy cy2 dx ey f 0表示圓 反之也成立 5 正確 因?yàn)辄c(diǎn)m x0 y0 在圓外 所以即x02 y02 dx0 ey0 f 0 答案 1 2 3 4 5 1 圓心為 0 1 半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 解析 由已知得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x 0 2 y 1 2 22 即x2 y 1 2 4 答案 x2 y 1 2 42 若點(diǎn) 0 1 在圓x2 y 2 2 r2的外部 則r的取值范圍為 解析 由已知得且r 0 1 r 0或0 r 1答案 1 0 0 1 3 方程x2 y2 4mx 2y 5m 0表示圓的充要條件是 解析 由已知得充要條件為 4m 2 2 2 4 5m 0 即4m2 5m 1 0 解得 或m 1 答案 4 已知點(diǎn)a 1 2 在圓 x2 y2 ax 2y b 0上 且點(diǎn)a關(guān)于直線x y 0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)b也在圓上 則a b 解析 方法一 點(diǎn)a 1 2 關(guān)于直線x y 0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為b 2 1 又因?yàn)閍 b兩點(diǎn)都在圓上 所以解得 方法二 易知圓心在y x上 即a 2 又 點(diǎn)a 1 2 在圓x2 y2 2x 2y b 0上 12 22 2 1 2 2 b 0 b 1 答案 21 5 已知圓c經(jīng)過(guò)a 5 1 b 1 3 兩點(diǎn) 圓心在x軸上 則c的方程為 解析 方法一 設(shè)圓的方程為 x a 2 y2 r2 由圓過(guò)a 5 1 b 1 3 兩點(diǎn) 得 圓c的方程為 x 2 2 y2 10 方法二 易知ab的中垂線方程為y 2 2 x 3 即y 2x 4 故圓心坐標(biāo)為y 2x 4和y 0的交點(diǎn) 2 0 又半徑 圓c的方程為 x 2 2 y2 10 答案 x 2 2 y2 10 考向1確定圓的方程 典例1 1 過(guò)點(diǎn)a 6 0 b 1 5 且圓心c在直線l 2x 7y 8 0上的圓的方程為 2 2013 鹽城模擬 已知點(diǎn)p a b 關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為p b 1 a 1 則圓c x2 y2 6x 2y 0關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)的圓c 的方程為 思路點(diǎn)撥 1 可根據(jù)圓的圓心在弦ab的垂直平分線上 先由直線l的方程與弦ab的垂直平分線的方程求其圓心c的坐標(biāo) 再求圓的半徑r ac 從而求得圓的方程 也可用待定系數(shù)法 設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程 依據(jù)已知條件構(gòu)建關(guān)于a b r或d e f的方程組求解 2 求出圓c的圓心關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)即可求出圓c 的方程 規(guī)范解答 1 方法一 a 6 0 b 1 5 其中點(diǎn)坐標(biāo)為 ab垂直平分線方程為即x y 1 0 由方程組得圓心c的坐標(biāo)為 3 2 又半徑 所求圓的方程為 x 3 2 y 2 2 13 方法二 設(shè)所求圓的方程為 x a 2 y b 2 r2 由已知 得解得 所求圓的方程為 x 3 2 y 2 2 13 方法三 設(shè)所求圓的方程為x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 則解得 d 6 e 4 f 0 所求圓的方程為x2 y2 6x 4y 0 即 x 3 2 y 2 2 13 答案 x 3 2 y 2 2 13 2 圓c的方程變形為 x 3 2 y 1 2 10 圓c的圓心為c 3 1 半徑由題意 令a 3 b 1 則b 1 2 a 1 2 c 3 1 關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)c 坐標(biāo)為 2 2 圓c 的方程為 x 2 2 y 2 2 10 答案 x 2 2 y 2 2 10 互動(dòng)探究 本例題 1 中條件變?yōu)?經(jīng)過(guò)點(diǎn)a 6 0 且與直線l 2x 3y 13 0相切于點(diǎn)b 1 5 的圓 結(jié)果如何 解析 依題設(shè)可知 圓心在過(guò)切點(diǎn)b 1 5 且與l垂直的直線上 其斜率為所以方程為即3x 2y 13 0 又圓心在ab的垂直平分線x y 1 0上 由得圓心 3 2 半徑因此所求圓的方程為 x 3 2 y 2 2 13 拓展提升 1 求圓的方程的兩種方法 1 直接法 根據(jù)圓的幾何性質(zhì) 直接求出圓心坐標(biāo)和半徑 進(jìn)而寫(xiě)出方程 2 待定系數(shù)法 若已知條件與圓心 a b 和半徑r有關(guān) 則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 依據(jù)已知條件列出關(guān)于a b r的方程組 從而求出a b r的值 若已知條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑 則選擇圓的一般方程 依據(jù)已知條件列出關(guān)于d e f的方程組 進(jìn)而求出d e f的值 2 確定圓心位置的三種方法 1 圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線垂直的直線上 2 圓心在圓的任意弦的垂直平分線上 3 兩圓相切時(shí) 切點(diǎn)與兩圓圓心共線 變式備選 求圓心在直線y 4x上 并且與直線l x y 1 0相切于點(diǎn)p 3 2 的圓的方程 解析 方法一 設(shè)圓心c a 4a 由題意得 即a2 2a 1 0 解得a 1 圓心c 1 4 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x 1 2 y 4 2 8 方法二 過(guò)切點(diǎn)p且與l垂直的直線是y 2 x 3 即x y 5 0 由得圓心 1 4 于是 圓的方程為 x 1 2 y 4 2 8 考向2與圓有關(guān)的最值問(wèn)題 典例2 1 2013 蘇州模擬 已知圓的方程為x2 y2 6x 8y 0 設(shè)該圓過(guò)點(diǎn) 3 5 的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為ac和bd 則四邊形abcd的面積為 2 已知實(shí)數(shù)x y滿(mǎn)足方程x2 y2 4x 1 0 求的最大值和最小值 求y x的最大值和最小值 求x2 y2的最大值和最小值 思路點(diǎn)撥 1 由圖形的幾何性質(zhì)判斷并求得最長(zhǎng)弦ac和最短弦bd是關(guān)鍵 2 充分利用所求代數(shù)式的幾何意義 運(yùn)用幾何法求解 為點(diǎn) x y 與原點(diǎn)連線的斜率 y x表示動(dòng)直線y x b在y軸上的截距 x2 y2表示點(diǎn) x y 與原點(diǎn)的距離的平方 也可以消去一個(gè)元 轉(zhuǎn)化為在函數(shù)定義域內(nèi)求最值 規(guī)范解答 1 圓的方程可化為 x 3 2 y 4 2 25 圓心坐標(biāo)為 3 4 半徑為5 且點(diǎn) 3 5 在圓內(nèi) 由圖形的幾何性質(zhì)得過(guò)點(diǎn) 3 5 的最長(zhǎng)弦等于該圓的直徑 即ac 10 最短弦是以 3 5 為中點(diǎn)的弦 最短弦又易知ac bd 答案 2 原方程可化為 x 2 2 y2 3 表示以 2 0 為圓心 為半徑的圓 的幾何意義為點(diǎn) x y 與原點(diǎn)連線的斜率 所以設(shè)即y kx 當(dāng)直線與圓相切時(shí) 斜率k取最大值或最小值 此時(shí)解得所以的最大值為最小值為 y x可看作直線y x b在y軸上的截距 當(dāng)直線與圓相切時(shí) 直線y x b在y軸上的截距取最大值或最小值 此時(shí)解得所以y x的最大值為最小值為 方法一 x2 y2表示點(diǎn) x y 與原點(diǎn)的距離的平方 由平面幾何知識(shí)可知 原點(diǎn)與圓心的連線所在直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值或最小值 又圓心到原點(diǎn)的距離為2 故 x2 y2 max x2 y2 min 方法二 由x2 y2 4x 1 0得 y2 x2 4x 1 且 x2 4x 1 0 即 x2 y2 x2 x2 4x 1 4x 1 x2 y2 max x2 y2 min 拓展提升 1 與圓有關(guān)的長(zhǎng)度或距離的最值問(wèn)題的解法一般根據(jù)長(zhǎng)度或距離的幾何意義 利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解 2 與圓上點(diǎn)有關(guān)代數(shù)式的最值問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解法 1 形如型的最值問(wèn)題 可轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn) a b 和點(diǎn) x y 的直線的斜率的最值問(wèn)題 2 形如t ax by型的最值問(wèn)題 可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線的截距的最值問(wèn)題 3 形如 x a 2 y b 2型的最值問(wèn)題 可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離平方的最值問(wèn)題 變式訓(xùn)練 在 oab中 已知o 0 0 a 8 0 b 0 6 oab的內(nèi)切圓的方程為 x 2 2 y 2 2 4 p是圓上一點(diǎn) 1 求點(diǎn)p到直線l 4x 3y 11 0的距離的最大值和最小值 2 若s po2 pa2 pb2 求s的最大值和最小值 解析 1 由方程 x 2 2 y 2 2 4得該圓圓心坐標(biāo)為 2 2 半徑為2 故圓心 2 2 到直線l的距離為由圖形的幾何性質(zhì)得 點(diǎn)p到直線l的最大值為5 2 7 最小值為5 2 3 2 設(shè)p x y 則 y 2 2 4 x 2 2 x2 4x且 x2 4x 0 即0 x 4 s po2 pa2 pb2 x2 y2 x 8 2 y2 x2 y 6 2 3x2 16x 88 3 y 2 2 3x2 16x 88 3 x2 4x 4x 88 又x 0 4 smin 4 4 88 72 smax 4 0 88 88 考向3與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題 典例3 2013 南京模擬 已知p 4 0 是圓x2 y2 36內(nèi)的一點(diǎn) a b是圓上兩動(dòng)點(diǎn) 且滿(mǎn)足 apb 90 1 求ab中點(diǎn)r的軌跡 2 求矩形apbq的頂點(diǎn)q的軌跡方程 思路點(diǎn)撥 1 尋找到點(diǎn)r滿(mǎn)足的等量關(guān)系 利用直接法求出r的方程 再根據(jù)方程判定其軌跡 2 利用點(diǎn)q與r的關(guān)系 結(jié)合相關(guān)點(diǎn)法 代入法 求其軌跡方程 規(guī)范解答 1 如圖所示 在rt abp中 apb 90 r是弦ab的中點(diǎn) ar pr ar 即 設(shè)r x y 有整理得x2 y2 4x 10 0 即 x 2 2 y2 14 所以軌跡為以 2 0 為圓心 為半徑的圓 2 設(shè)q x y r x1 y1 四邊形apbq為矩形 r是pq的中點(diǎn) 又點(diǎn)r x1 y1 在圓x2 y2 4x 10 0上 有整理得x2 y2 56 即矩形apbq的頂點(diǎn)q的軌跡方程為x2 y2 56 拓展提升 求與圓有關(guān)的軌跡方程的方法 提醒 注意軌跡與軌跡方程的區(qū)別 變式訓(xùn)練 已知圓c x 1 2 y 1 2 9 過(guò)點(diǎn)a 2 3 作圓c的任意弦 求這些弦的中點(diǎn)p的軌跡方程 解析 方法一 直接法設(shè)p x y 由題意知圓心c p點(diǎn)是過(guò)點(diǎn)a的弦的中點(diǎn) 又 2 x 1 x 3 y 1 y 0 p點(diǎn)的軌跡方程為 方法二 定義法由已知知 pa pc 由圓的性質(zhì)知點(diǎn)p在以ac為直徑的圓上 又圓心c 1 1 而ac中點(diǎn)為所以半徑為所求動(dòng)點(diǎn)p的軌跡方程為 滿(mǎn)分指導(dǎo) 與圓的方程有關(guān)的解答題的規(guī)范解答 典例 14分 2013 徐州模擬 已知以點(diǎn) t r t 0 為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)o a 與y軸交于點(diǎn)o b 其中o為原點(diǎn) 1 求證 oab的面積為定值 2 設(shè)直線y 2x 4與圓c交于點(diǎn)m n 若om on 求圓c的方程 思路點(diǎn)撥 規(guī)范解答 1 圓c過(guò)原點(diǎn)o 設(shè)圓c的方程是 2分令x 0 得y1 0 y2 4分令y 0 得x1 0 x2 2t oa 2t 5分 即 oab的面積為定值 7分 2 om on cm cn oc垂直平分線段mn 9分 kmn 2 直線oc的方程是y x 解得t 2或t 2 11分當(dāng)t 2時(shí) 圓心c的坐標(biāo)為 2 1 此時(shí)c到直線y 2x 4的距離圓c與直線y 2x 4相交于兩點(diǎn) 12分 當(dāng)t 2時(shí) 圓心c的坐標(biāo)為 2 1 此時(shí)c到直線y 2x 4的距離圓c與直線y 2x 4不相交 t 2不符合題意 舍去 圓c的方程為 x 2 2 y 1 2 5 14分 失分警示 下文 見(jiàn)規(guī)范解答過(guò)程 1 2013 鎮(zhèn)江模擬 若點(diǎn)p 2a a 在圓 x a 2 y a 2 25的內(nèi)部 則實(shí)數(shù)a的范圍為 解析 由題意可知 2a a 2 a a 2 25 即5a2 25 答案 2 2013 蘇州模擬 圓心在y軸上且通過(guò)點(diǎn) 3 1 的圓與x軸相切 則該圓的方程為 解析 設(shè)圓心為 0 b 半徑為r 則r b 圓的方程為x2 y b 2 b2 點(diǎn) 3 1 在圓上 9 1 b 2 b2 解得b 5 圓的方程為x2 y 5 2 25 答案 x2 y 5 2 25 3 2013 泰州模擬 以直線2x y 8 0夾在兩坐標(biāo)軸間的線段為直徑的圓的方程是 解析 直線2x y 8 0與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為 0 8 4 0 圓心坐標(biāo)為 2 4 半徑為 圓的方程為 x 2 2 y 4 2 20 答案 x 2 2 y 4 2 20 4 2013 宿遷模擬 已知圓心在x軸上 半徑為的圓o位于y軸左側(cè) 且與直線x y 0相切 則圓o的方程是 解析 設(shè)圓心坐標(biāo)為 a 0 a 0 則由圓心到直線的距離為知故a 2 故圓o的方程為 x 2 2 y2 2 答案 x 2 2 y2 2 5 2013 南通模擬 直線x 2y 2k 0與2x 3y k 0的交點(diǎn)在圓x2 y2 9的外部 則k的范圍是 解