景區(qū)滅火數(shù)學(xué)建模模型.docx

西南交通大學(xué)2012年大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目： B題 參賽隊(duì)員1參賽隊(duì)員2參賽隊(duì)員3姓名甘羅談盼明浩學(xué)號(hào)201038742010388720103878學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)電話134028869451878294300813688127427E173026319西南交通大學(xué)教務(wù)處西南交通大學(xué)實(shí)驗(yàn)室及設(shè)備管理處西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)建模創(chuàng)新實(shí)踐基地題目： 景區(qū)滅火的數(shù)學(xué)模型 摘要本文借助matlab的圖像處理功能，運(yùn)用插值擬合，有限元的思想，建立了消防員救火最佳路線和消防站合理選址的優(yōu)化模型，再利用lingo軟件求得最優(yōu)解，由最優(yōu)解確定救火最佳路線和消防站合理選址。附件所給等高線圖為像素為512512的二維灰度圖.利用matlab的imread函數(shù)讀出等高線圖的灰度矩陣.根據(jù)灰度矩陣求得灰度圖中黑色點(diǎn)的坐標(biāo)；補(bǔ)全等高線圖轉(zhuǎn)化為一元插值問(wèn)題;通過(guò)對(duì)線性插值、三體樣條插值、三次多項(xiàng)式插值結(jié)果進(jìn)行分析比較，三次多項(xiàng)式插值效果更為理想。由問(wèn)題一得出的完整等高線圖可求出等高線上對(duì)應(yīng)山體表面上點(diǎn)的三維坐標(biāo)，利用matlab中的Surface Fitting Tool擬合得到景區(qū)的三維地形圖和擬合后的曲面函數(shù)。用matlab算出山體表面的曲面積分，由像素與比例尺的值可得山體表面面積。從消防站A派遣消防員去B點(diǎn)滅火，最佳的滅火路線應(yīng)使得消防員到達(dá)火災(zāi)蔓延區(qū)域邊界的時(shí)間最短。將火勢(shì)蔓延路線與消防員滅火路線合并為一條曲線，在曲線上均等插入n-1個(gè)點(diǎn)，得到的折線可以近似代替該曲線。折線上n-1各點(diǎn)的位置可以由n-1參變量唯一確定，則最短時(shí)間可由n-1個(gè)參變量唯一確定。求最佳的滅火路線轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為以最短時(shí)間為目標(biāo)函數(shù)，n-1個(gè)參變量的取值范圍為約束條件的優(yōu)化問(wèn)題。利用lingo軟件可求得最優(yōu)解。根據(jù)實(shí)際情形，消防站選址的合理性由多方面因素決定。本文定義消防站的合理選址應(yīng)使得火災(zāi)發(fā)生對(duì)森林公園造成損失的期望最小。消防員到達(dá)著火蔓延區(qū)域邊界的時(shí)間由第三問(wèn)的模型可得。再由假設(shè)4、5，可建立以火災(zāi)造成損失的期望最小為目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化模型?？紤]到運(yùn)算量過(guò)大，我們將景區(qū)分成了16個(gè)片區(qū)，取各個(gè)片區(qū)的中心代表該片區(qū)，近似估計(jì)最優(yōu)選址點(diǎn)的位置。關(guān)鍵詞：灰度矩陣 一元插值 曲面擬合 有限元法優(yōu)化模型一問(wèn)題提出某國(guó)家級(jí)森林公園由于風(fēng)景區(qū)植被豐富，擁有大量的國(guó)家級(jí)重點(diǎn)保護(hù)動(dòng)植物，因此旅游管理部門(mén)在風(fēng)景區(qū)的A點(diǎn)設(shè)置了景區(qū)消防站，當(dāng)景區(qū)發(fā)生火災(zāi)時(shí)能及時(shí)控制和消滅火情。圖1說(shuō)明：該圖水平及豎直方向以10m為單位，山高以50m為單位。根據(jù)所給出的風(fēng)景區(qū)地形等高線圖形提出了以下問(wèn)題：1、由于人為原因，圖1所示的等高圖出現(xiàn)了局部破損的情況，根據(jù)所學(xué)知識(shí)利用適當(dāng)?shù)姆椒ń?shù)學(xué)模型修補(bǔ)好該等高圖；2、在完成第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，結(jié)合數(shù)學(xué)模型建立該景區(qū)的三維地形圖，并估計(jì)該景區(qū)的地表面積；3、某天圖1所示的B點(diǎn)發(fā)生了火災(zāi)，于是需要從景區(qū)消防站派遣消防員去B點(diǎn)滅火，建立模型確定最佳滅火路線；4、 如果需要對(duì)景區(qū)消防站進(jìn)行重新選址，請(qǐng)建立模型確定合理的消防站地址。二問(wèn)題分析2.1問(wèn)題1的分析：根據(jù)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)可以采用曲線插值的方法將等高圖中缺損的部分補(bǔ)充完全；2.2問(wèn)題2的分析：要計(jì)算景區(qū)的地表面積，可以采用曲面積分的方法。這就要知道地表曲面的曲面方程或函數(shù)，而曲面的函數(shù)z=fx,y可以根據(jù)所給出的等高線圖上已知的點(diǎn)用matlab擬合出來(lái)，那么地表面積就可以用1+zy2+zy2dxdy求出；2.3問(wèn)題3的分析：要確定最佳的滅火路線即確定火勢(shì)蔓延到某處與消防員到達(dá)這里的最短時(shí)間，而最短時(shí)間取決于火勢(shì)蔓延的速度和消防員行走的速度，那么就需要求出A、B兩點(diǎn)間的路線，設(shè)路線為L(zhǎng)，則可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問(wèn)題，再利用有限元的思想就可以求解出最佳路線；2.4問(wèn)題4的分析：要使景區(qū)消防站更合理，義消防站的合理選址應(yīng)使得火災(zāi)發(fā)生對(duì)森林公園造成損失的期望最小。，那么可以將景區(qū)合理劃分成各個(gè)小片區(qū)，再求每個(gè)小片區(qū)的中心點(diǎn)建消防站對(duì)應(yīng)的損失期望，取該值對(duì)應(yīng)的片區(qū)的中心即為最佳選址。三問(wèn)題假設(shè)1.假設(shè)消防員前往火災(zāi)發(fā)生點(diǎn)的速度和火蔓延的速度只與坡度有關(guān)2.消防員在山體表面任意一點(diǎn)都可通行3.消防站在著火時(shí)馬上收到警報(bào)，同時(shí)消防員趕往火災(zāi)地點(diǎn)4.景區(qū)山體表面上每一點(diǎn)發(fā)生火災(zāi)的概率相等5.景區(qū)山體表面每一點(diǎn)發(fā)生火災(zāi)造成的損失只消防員到達(dá)火災(zāi)區(qū)的時(shí)間正相關(guān)四符號(hào)說(shuō)明s:山的表面積A: 消防站B:火災(zāi)發(fā)生點(diǎn)A0: A在水平面上的投影B0: B在水平面上的投影t:消防員到達(dá)火勢(shì)蔓延區(qū)域邊界的時(shí)間Pi:以A、B為端點(diǎn)的折線的n-1個(gè)折點(diǎn)（i=1,2,3n-1，P0、Pn分別表示B、A）P0i：Pi在水平面上的投影Mi: 線段A0 B0的第i個(gè)等分點(diǎn)（i=1,2,3n-1，M0、Mn分別表示B0、A0）：過(guò)B0和P0i的線段與x軸的夾角 ：PiPi+1與z軸的夾角v1：消防員速度v2：火勢(shì)蔓延的速度E(Y)：以Y點(diǎn)為消防站時(shí)火災(zāi)發(fā)生造成損失的期望五模型建立與求解5.1 問(wèn)題一的模型建立與求解附件所給等高線圖為像素為512512的二維灰度圖.利用matlab的imread函數(shù)可以讀出灰度圖灰度矩陣.根據(jù)灰度矩陣可以求得灰度圖中黑色點(diǎn)的坐標(biāo).那么等高線圖的補(bǔ)全就轉(zhuǎn)化為一元插值問(wèn)題;對(duì)所給等高線圖進(jìn)行處理,得到只包含缺失部分附近黑色點(diǎn)的18張圖片;將灰度矩陣的行與列分別對(duì)應(yīng)坐標(biāo)系中的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo).當(dāng)同一橫坐標(biāo)上有多個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)時(shí),只保留其中一個(gè).觀察可知,第1-16張圖片等高線缺失部分可直接由灰度矩陣得到的坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)據(jù)直接插值得到.對(duì)線性插值，三次抽樣插值，三次多項(xiàng)式插值結(jié)果比較，發(fā)現(xiàn)三次多項(xiàng)式插值更為合理。通過(guò)程序1.1將第1-16張圖片插值得到后的圖形顯示在同一窗口中,如圖1.1所示圖1.2第17-18張圖片等高線缺失部分與水平方向垂直；可先對(duì)灰度矩陣轉(zhuǎn)置對(duì)應(yīng)的灰度圖插值擬合，程序1.2運(yùn)行結(jié)果結(jié)果如圖1.2:圖1.2將原等高線，圖1.1，圖1.2對(duì)應(yīng)灰度矩陣的轉(zhuǎn)置的灰度圖在同一圖像窗口中顯示，并將其存為bmp、單色格式。即得補(bǔ)全的等高線圖。如圖1.3圖1.35.2 問(wèn)題二的模型建立與求解利用5.1的模型得到的等高線圖結(jié)果，首先將圖片中完整的等高線分離，如圖2.1，圖2.1說(shuō)明：左邊為等高線1，右邊為等高線3再用matlab軟件中的imread函數(shù)將上述8張分離的等高線圖讀出灰度矩陣，然后將8個(gè)矩陣中的等高線上的點(diǎn)的位置取出并合成一個(gè)矩陣C，再取得等高線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y，同時(shí)計(jì)算出各個(gè)等高線上點(diǎn)的豎坐標(biāo)z，具體matlab程序如附件中程序2.1所示，得到x,y,z后，利用matlab中的Surface Fitting Tool將景區(qū)的三維空間曲面函數(shù)擬合出來(lái)，則可以得到景區(qū)的空間曲面圖，如圖2.2所示，圖2.2同時(shí)Surface Fitting Tool得到擬合的多項(xiàng)式函數(shù)為p00=-553 ;p10 =7.007;p01 = -0.2078 ;p20 = -0.03322 ;p11 = 0.02264;p02 = 0.03541;p30 = 8.848e-005 ;p21 = -0.0002331 ;p12 = -0.0001663 ;p03 = -0.0001483 ;p40 = -8.863e-008 ;p31 = 5.859e-007 ;p22 = 3.941e-007 ;p13 = 4.976e-007 ;p04 = 1.904e-007;p50 = -8.63e-011 ;p41 = -6.388e-011 ;p32 = -9.059e-010 ;p23 = -1.191e-010 ;p14 = -4.111e-010 ;p05 = -8.165e-011 ;z = p00 + p10*x + p01*y + p20*x2 + p11*x*y + p02*y2 + p30*x3 + p21*x2*y+ p12*x*y2 + p03*y3 + p40*x4 + p31*x3*y + p22*x2*y2 + p13*x*y3 + p04*y4 + p50*x5 + p41*x4*y + p32*x3*y2 + p23*x2*y3 + p14*x*y4 + p05*y5;利用曲面積分公式建立表面積模型s=100*1+zy2+zy2dxdy用matlab編程即可將上式面積求出，程序如附件中程序2.2，算得結(jié)果為s=26112100。5.3 問(wèn)題三的模型建立與求解從景區(qū)消防站A派遣消防員去B點(diǎn)滅火，最佳的滅火路線應(yīng)使得消防員到達(dá)火災(zāi)蔓延區(qū)域的時(shí)間最短。如果消防員滅火路線與火勢(shì)蔓延經(jīng)過(guò)的某條路線相交所需的時(shí)間最短，那么該路線即為消防員最佳的滅火路線。消防員滅火路線與火勢(shì)蔓延經(jīng)過(guò)的曲線合為一條曲線。在曲線上插入n-1個(gè)點(diǎn)，將相鄰點(diǎn)連接，得到一條折線，當(dāng)n-1很大時(shí)，可用該折線代替曲線；以消防站B在水平面上的投影B0為原點(diǎn)，B0 B為z軸建立右手空間直角坐標(biāo)系，連接A0與B0兩點(diǎn)，將線段A0B0均等插入n個(gè)點(diǎn)P0i，分別以線段Mi為半徑、B0 B為中軸線做n個(gè)圓柱面，與山體表面相交曲線，依次在曲線上選取折點(diǎn)Pi（i=1,2,3n-1，P0、Pn分別表示B、A）, Pi在水平面上的投影點(diǎn)為P0i；B0P0i與x軸正向夾角為；Pi在水平面上的投影P0i與B在水平面上的投影B0點(diǎn)的距離| B0P0i|=P0i坐標(biāo)為：(| B0P0i|,| B0P0i|,0)Pi坐標(biāo)(xi,yi.,zi)為：(,f(,)相鄰兩折點(diǎn)之間的距離|PiPi+1|=PiPi+1與z軸的夾角=消防員經(jīng)過(guò)線段PiPi+1所需時(shí)間 t1i=火勢(shì)沿線段PiPi+1蔓延所需時(shí)間 t2i= 在、確定的情況下t1i、 t2i可以表示為（i=0,1,2,3n-1的函數(shù)，當(dāng)n取定值時(shí)，t1i、 t2i是關(guān)于（i=0,1,2,3n-1）的函數(shù)設(shè)消防員在折線段PmPm+1到達(dá)火勢(shì)蔓延區(qū)域則有可得m=m（,.）消防員t時(shí)刻在折線段PmPm+1到達(dá)火勢(shì)蔓延區(qū)域，關(guān)于t有當(dāng)n取定值時(shí)，t可以表示為,.的函數(shù)，將min（t(,.)）作為目標(biāo)函數(shù)，02作為約束條件求最優(yōu)解的問(wèn)題；目標(biāo)函數(shù)：min（t）= min（t(,.)）約束條件：1.2.3.t1i=，t2i= 4.02在、確定的情況下t1i、t2i可以表示為,.的函數(shù)，t=t(,.在02上求最優(yōu)解，利用lingo軟件，可解出,.，,.唯一確定最佳路線，對(duì)應(yīng)t為消防員到達(dá)火勢(shì)蔓延區(qū)域的最短時(shí)間。5.4 問(wèn)題四的模型建立與求解森林公園中某點(diǎn)發(fā)生火災(zāi)將造成植被破壞，而植被破壞的面積與火持續(xù)燒的時(shí)間成正相關(guān)，火持續(xù)的時(shí)間主要與消防員到達(dá)的時(shí)間有關(guān)；火災(zāi)造成的損失主要與植被破壞的面積有關(guān)。無(wú)論是從經(jīng)濟(jì)還是生態(tài)考慮，合理的消防站選址應(yīng)該使得火災(zāi)發(fā)生造成的損失期望最小。根據(jù)假設(shè)4、5，火災(zāi)發(fā)生造成的損失期望最小等價(jià)于消防員到達(dá)火勢(shì)蔓延區(qū)域邊界的時(shí)間t的期望最小。假設(shè)點(diǎn)Y：(x，y)為消防站，Y：（x,y）為山上任意一點(diǎn)；消防站為Y,Y發(fā)生火災(zāi)時(shí)對(duì)應(yīng)的t可由問(wèn)題三的模型求得，記為t（x,y）消防站設(shè)為Y時(shí)對(duì)應(yīng)的t的期望：E(Y)=求出山上各點(diǎn)的E(Y)，min（E(Y)）即為火災(zāi)發(fā)生損失的期望的最小值；考慮到t（x,y）運(yùn)算量過(guò)大，我們考慮將景區(qū)分成片區(qū)，取各個(gè)片區(qū)的中心代表該片區(qū)。例如我們可以等高線圖上的比例尺以128128為一個(gè)單位，將山體表面劃分為16個(gè)片區(qū)，取各個(gè)片區(qū)的中心代表該片區(qū)。求出E(Y)=求出山上各點(diǎn)的E(Y)，min（E(Y)）即為火災(zāi)發(fā)生損失的期望的最小值；min（E(Y)）對(duì)應(yīng)的（x,y）即為最佳選址地點(diǎn)。六評(píng)價(jià)與推廣一模型的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)1.模型建立過(guò)程邏輯性強(qiáng)、通俗易懂2.運(yùn)用matlab的進(jìn)行圖像處理，簡(jiǎn)潔直觀3.問(wèn)題三的模型化難為簡(jiǎn)，利用有限元的思想以直代曲，將積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為離散型優(yōu)化問(wèn)題4.模型四從實(shí)際出發(fā)，對(duì)選址合理性的定義符合實(shí)際缺點(diǎn)1. matlab，lingo程序運(yùn)行效率不高二模型的推廣1.模型一、模型二可用于分析統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，對(duì)位置樣本給出估計(jì)2.模型三、四貼近現(xiàn)實(shí)，對(duì)工廠，醫(yī)院等公共機(jī)構(gòu)選址具有指導(dǎo)作用八參考文獻(xiàn)1 姜啟源 謝金星 葉俊 數(shù)學(xué)模型 北京 高等教育出版社 2011.12韓忠庚 數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用 北京 高等教育出版社 20093 薛長(zhǎng)虹于凱大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)MATLAB應(yīng)用篇成都西南交通大學(xué)出版社2003附錄問(wèn)題一附錄只包含缺失部分附近黑色點(diǎn)的18張圖片1-16：17-18：程序1.1,對(duì)第1-16張圖片插值擬合的程序clearclca=ones(512,512);imshow(a);hold onfor m=1:16url=strcat(C:MATLAB7work,num2str(m); imageurl=strcat(url,.bmp); A=imread(imageurl) ;k=1;for j=1:512for i=1:512if A(i,j)=0B(1,k)=j;B(2,k)=i; k=k+1;break;endendend B; x=B(1,:); y=B(2,:);xi=min(B(1,:):1:max(B(1,:);yi=interp1(x,y,xi,cubic);plot(xi,yi,k)axis(1,512,1,512)hold onclearendhold offF1=getframe;imwrite(F1.cdata,test1.bmp)c=imread(test1.bmp)程序1.2,用matlab讀取第17-18張圖片對(duì)應(yīng)的灰度矩陣轉(zhuǎn)置的灰度圖插值擬合clearclca=ones(512,512);imshow(a);hold onfor m=17:18 url=strcat(C:MATLAB7work,num2str(m); imageurl=strcat(url,.bmp); A=imread(imageurl) ;A=A;k=1;for j=1:512for i=1:512if A(i,j)=0B(1,k)=j;B(2,k)=i; k=k+1;break;endendend B; x=B(1,:); y=B(2,:);xi=min(B(1,:):1:max(B(1,:);yi=interp1(x,y,xi,cubic); plot(xi,yi,k)axis(1,512,1,512);hold onclearendhold offF1=getframe;imwrite(F1.cdata,test2.bmp)c=imread(test2.bmp)程序1.3 得到補(bǔ)全的等高線圖的程序clearclca=imread(原圖.bmp)b=imread(test1.bmp)c=imread(test2.bmp)c=c;for i=1:512for j=1:512 if a(i,j)&b(i,j)&c(i,j)=1d(i,j)=1;elsed(i,j)=0;endendenddimshow(d)F1=getframe;imwrite(F1.cdata,test3.bmp)c=imread(test3.bmp)問(wèn)題二附件:八張海拔高度相等的等高線圖:程序2.1：由等高線圖包含的數(shù)據(jù)二元插值擬合山體曲面Clc;Clear; C=;a=0;z=;for s=1:8url=strcat( C:MATLAB7worksecond,num2str(s);imageurl=strcat(url,.bmp);A=imread(imageurl) ;k=1;for i=1:512for j=1:512if A(i,j)=0B(1,k)=i;B(2,k)=j;k=k+1;endendendB;C=C B;B=