高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)題型課下層級(jí)訓(xùn)練51圓錐曲線的綜合應(yīng)用問(wèn)題——定點(diǎn)、定值與探索性問(wèn)題.docx

課下層級(jí)訓(xùn)練(五十一)定點(diǎn)、定值與探索性問(wèn)題A級(jí)基礎(chǔ)強(qiáng)化訓(xùn)練1(2019山東日照月考)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，點(diǎn)(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值【答案】(1)解由題意有，1，解得a28，b24所以C的方程為1(2)證明設(shè)直線l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)將ykxb代入1，得 (2k21)x24kbx2b280故xM，yMkxMb于是直線OM的斜率kOM，即kOMk所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值2(2019河南開(kāi)封預(yù)測(cè))已知?jiǎng)訄AM恒過(guò)點(diǎn)(0,1)，且與直線y1相切(1)求圓心M的軌跡方程；(2)動(dòng)直線l過(guò)點(diǎn)P(0，2)，且與點(diǎn)M的軌跡交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，求證：直線AC恒過(guò)定點(diǎn)【答案】(1)解由題意，得點(diǎn)M與點(diǎn)(0,1)的距離始終等于點(diǎn)M到直線y1的距離，由拋物線定義知圓心M的軌跡為以點(diǎn)(0,1)為焦點(diǎn)，直線y1為準(zhǔn)線的拋物線，則1，p2圓心M的軌跡方程為x24y(2)證明由題知，直線l的斜率存在，設(shè)直線l：ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則C(x2，y2)，聯(lián)立得x24kx80，kAC，則直線AC的方程為yy1(xx1)，即yy1(xx1)xxx1x28，yxx2，故直線AC恒過(guò)定點(diǎn)(0,2)3(2018山東棗莊期末)已知橢圓C：1(ab0)的短軸長(zhǎng)為2，離心率為，圓E的圓心在橢圓C上，半徑為2，直線yk1x與直線yk2x為圓E的兩條切線(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)試問(wèn)：k1k2是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】解(1)由2b2得b，e，a2b2c2，解得a220，b25，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(2)設(shè)E(x0，y0)，直線yk1x與圓E：(xx0)2(yy0)24相切，2，整理得(x4)k2x0y0k1y40，同理可得(x4)k2x0y0k2y40，k1，k2為方程(x4)x22x0y0xy40的兩個(gè)根，k1k2又E(x0，y0)在橢圓C：1上，y5，k1k2，故k1k2的定值為B級(jí)能力提升訓(xùn)練4(2019安徽馬鞍山模擬)已知橢圓1(ab0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，)，離心率為，過(guò)原點(diǎn)O作兩條直線l1，l2，直線l1交橢圓于A，C，直線l2交橢圓于B，D，且|AB|2|BC|2|CD|2|DA|224(1)求橢圓的方程；(2)若直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，求證：|k1k2|為定值【答案】(1)解由題意知，1且，a2b2c2，解得a24，b22，故橢圓的方程為1(2)證明由對(duì)稱性可知，四邊形ABCD是平行四邊形，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則C(x1，y1)，D(x2，y2)，由1，得y242x2，|AB|2|BC|2|CD|2|DA|22(|AB|2|DA|2)2(x1x2)2(y1y2)2(x1x2)2(y1y2)24(xxyy)4(xx42x42x)4(8xx)24，所以xx2，|k1k2|2，故|k1k2|為定值25(2018湖南張家界三模)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，且橢圓過(guò)點(diǎn).過(guò)點(diǎn)(1,0)做兩條相互垂直的直線l1、l2分別與橢圓C交于P、Q、M、N四點(diǎn). (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，探究：直線ST是否過(guò)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】解(1)由題意知，解得故橢圓的方程為1(2)，S、T分別為MN、PQ的中點(diǎn)當(dāng)兩直線的斜率都存在且不為0時(shí)，設(shè)直線l1的方程為yk(x1)，則直線l2的方程為y(x1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)，聯(lián)立得(2k21)x24k2x2k240，24k2160，x1x2，x1x2，PQ中點(diǎn)T的坐標(biāo)