2018版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)平面解析幾何9.2兩條直線的位置關(guān)系試題理北師大版.docx

第九章 平面解析幾何 9.2 兩條直線的位置關(guān)系試題 理 北師大版1兩條直線的位置關(guān)系(1)兩條直線平行與垂直兩條直線平行：()對于兩條不重合的直線l1、l2，若其斜率分別為k1、k2，則有l(wèi)1l2k1k2.()當(dāng)直線l1、l2不重合且斜率都不存在時，l1l2.兩條直線垂直：()如果兩條直線l1、l2的斜率存在，設(shè)為k1、k2，則有l(wèi)1l2k1k21.()當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條的斜率為0時，l1l2.(2)兩條直線的交點直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，則l1與l2的交點坐標就是方程組的解2幾種距離(1)兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|.(2)點P0(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離d.(3)兩條平行線AxByC10與AxByC20(其中C1C2)間的距離d.【知識拓展】1直線系方程(1)與直線AxByC0平行的直線系方程是AxBym0(mR且mC)(2)與直線AxByC0垂直的直線系方程是BxAyn0(nR)2兩直線平行或重合的充要條件直線l1：A1xB1yC10與直線l2：A2xB2yC20平行或重合的充要條件是A1B2A2B10.3兩直線垂直的充要條件直線l1：A1xB1yC10與直線l2：A2xB2yC20垂直的充要條件是A1A2B1B20.4過直線l1：A1xB1yC10與l2：A2xB2yC20的交點的直線系方程為A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.5點到直線與兩平行線間的距離的使用條件：(1)求點到直線的距離時，應(yīng)先化直線方程為一般式(2)求兩平行線之間的距離時，應(yīng)先將方程化為一般式且x，y的系數(shù)對應(yīng)相等【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時，一定有k1k2l1l2.()(2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于1.()(3)已知直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1、B1、C1、A2、B2、C2為常數(shù))，若直線l1l2，則A1A2B1B20.()(4)點P(x0，y0)到直線ykxb的距離為.()(5)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離()(6)若點A，B關(guān)于直線l：ykxb(k0)對稱，則直線AB的斜率等于，且線段AB的中點在直線l上()1(2016天津模擬)過點(1,0)且與直線x2y20平行的直線方程是()Ax2y10 Bx2y10C2xy20 Dx2y10答案A解析直線x2y20可化為yx1，所以過點(1,0)且與直線x2y20平行的直線方程可設(shè)為yxb，將點(1,0)代入得b.所以所求直線方程為x2y10.2(教材改編)已知點(a,2)(a0)到直線l：xy30的距離為1，則a等于()A. B2C.1 D.1答案C解析依題意得1.解得a1或a1.a0，a1.3已知直線l過圓x2(y3)24的圓心，且與直線xy10垂直，則l的方程是()Axy20 Bxy20Cxy30 Dxy30答案D解析圓x2(y3)24的圓心為點(0,3)，又因為直線l與直線xy10垂直，所以直線l的斜率k1.由點斜式得直線l：y3x0，化簡得xy30.4(2016 朝陽調(diào)研)已知過點A(2，m)和點B(m，4)的直線為l1，直線2xy10為l2，直線xny10為l3，若l1l2，l2l3，則實數(shù)mn的值為()A10 B2C0 D8答案A解析l1l2，kAB2，解得m8.又l2l3，()(2)1，解得n2，mn10.5(教材改編)若直線(3a2)x(14a)y80與(5a2)x(a4)y70垂直，則a_.答案0或1解析由兩直線垂直的充要條件，得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0，解得a0或a1.題型一兩條直線的平行與垂直例1(1)設(shè)不同直線l1：2xmy10，l2：(m1)xy10.則“m2”是“l(fā)1l2”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件答案C解析當(dāng)m2時，代入兩直線方程中，易知兩直線平行，即充分性成立當(dāng)l1l2時，顯然m0，從而有m1，解得m2或m1，但當(dāng)m1時，兩直線重合，不符合要求，故必要性成立，故選C.(2)已知直線l1：ax2y60和直線l2：x(a1)ya210.試判斷l(xiāng)1與l2是否平行；當(dāng)l1l2時，求a的值解方法一當(dāng)a1時，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于l2；當(dāng)a0時，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于l2；當(dāng)a1且a0時，兩直線可化為l1：yx3，l2：yx(a1)，l1l2解得a1，綜上可知，a1時，l1l2.方法二由A1B2A2B10，得a(a1)120，由A1C2A2C10，得a(a21)160，l1l2a1，故當(dāng)a1時，l1l2.方法一當(dāng)a1時，l1：x2y60，l2：x0，l1與l2不垂直，故a1不成立；當(dāng)a0時，l1：y3，l2：xy10，l1不垂直于l2；當(dāng)a1且a0時，l1：yx3，l2：yx(a1)，由()1a.方法二由A1A2B1B20，得a2(a1)0a.思維升華(1)當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件(2)在判斷兩直線平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論已知兩直線l1：xysin 10和l2：2xsin y10，求的值，使得：(1)l1l2；(2)l1l2.解(1)方法一當(dāng)sin 0時，直線l1的斜率不存在，l2的斜率為0，顯然l1不平行于l2.當(dāng)sin 0時，k1，k22sin .要使l1l2，需2sin ，即sin .所以k，kZ，此時兩直線的斜率相等故當(dāng)k，kZ時，l1l2.方法二由A1B2A2B10，得2sin210，所以sin ，所以k，kZ.又B1C2B2C10，所以1sin 0，即sin 1.故當(dāng)k，kZ時，l1l2.(2)因為A1A2B1B20是l1l2的充要條件，所以2sin sin 0，即sin 0，所以k，kZ.故當(dāng)k，kZ時，l1l2.題型二兩條直線的交點與距離問題例2(1)(2016長沙模擬)求經(jīng)過兩條直線l1：xy40和l2：xy20的交點，且與直線2xy10垂直的直線方程為_(2)直線l過點P(1,2)且到點A(2,3)和點B(4,5)的距離相等，則直線l的方程為_答案(1)x2y70(2)x3y50或x1解析(1)由得l1與l2的交點坐標為(1,3)設(shè)與直線2xy10垂直的直線方程為x2yc0，則123c0，c7.所求直線方程為x2y70.(2)方法一當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y2k(x1)，即kxyk20.由題意知，即|3k1|3k3|，k.直線l的方程為y2(x1)，即x3y50.當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x1，也符合題意故所求直線l的方程為x3y50或x1.方法二當(dāng)ABl時，有kkAB，直線l的方程為y2(x1)，即x3y50.當(dāng)l過AB的中點時，AB的中點為(1,4)直線l的方程為x1.故所求直線l的方程為x3y50或x1.思維升華(1)求過兩直線交點的直線方程的方法求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標，再結(jié)合其他條件寫出直線方程(2)利用距離公式應(yīng)注意：點P(x0，y0)到直線xa的距離d|x0a|，到直線yb的距離d|y0b|；兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為相等(1)如圖，設(shè)一直線過點(1,1)，它被兩平行直線l1：x2y10，l2：x2y30所截的線段的中點在直線l3：xy10上，求其方程解與l1、l2平行且距離相等的直線方程為x2y20.設(shè)所求直線方程為(x2y2)(xy1)0，即(1)x(2)y20.又直線過(1,1)，(1)(1)(2)120，解得.所求直線方程為2x7y50.(2)(2016濟南模擬)若動點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分別在直線l1：xy50，l2：xy150上移動，則P1P2的中點P到原點的距離的最小值是()A. B5 C. D15答案B解析設(shè)P1P2的中點為P(x，y)，則x，y.x1y150，x2y2150.(x1x2)(y1y2)20，即xy10.yx10，P(x，x10)，P到原點的距離d5.題型三對稱問題命題點1點關(guān)于點中心對稱例3過點P(0,1)作直線l，使它被直線l1：2xy80和l2：x3y100截得的線段被點P平分，則直線l的方程為_答案x4y40解析設(shè)l1與l的交點為A(a,82a)，則由題意知，點A關(guān)于點P的對稱點B(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即點A(4,0)在直線l上，所以直線l的方程為x4y40.命題點2點關(guān)于直線對稱例4如圖，已知A(4,0)，B(0,4)，從點P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點，則光線所經(jīng)過的路程是()A3 B6C2 D2答案C解析直線AB的方程為xy4，點P(2,0)關(guān)于直線AB的對稱點為D(4,2)，關(guān)于y軸的對稱點為C(2,0)則光線經(jīng)過的路程為|CD|2.命題點3直線關(guān)于直線的對稱問題例5(2016泰安模擬)已知直線l：2x3y10，求直線m：3x2y60關(guān)于直線l的對稱直線m的方程解在直線m上任取一點，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對稱點M必在直線m上設(shè)對稱點M(a，b)，則解得M.設(shè)直線m與直線l的交點為N，則由得N(4,3)又m經(jīng)過點N(4,3)由兩點式得直線m的方程為9x46y1020.思維升華解決對稱問題的方法(1)中心對稱點P(x，y)關(guān)于Q(a，b)的對稱點P(x，y)滿足直線關(guān)于點的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱問題來解決(2)軸對稱點A(a，b)關(guān)于直線AxByC0(B0)的對稱點A(m，n)，則有直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題來解決已知直線l：3xy30，求：(1)點P(4,5)關(guān)于l的對稱點；(2)直線xy20關(guān)于直線l對稱的直線方程；(3)直線l關(guān)于(1,2)的對稱直線解(1)設(shè)P(x，y)關(guān)于直線l：3xy30的對稱點為P(x，y)，kPPkl1，即31.又PP的中點在直線3xy30上，330.由得把x4，y5代入得x2，y7，P(4,5)關(guān)于直線l的對稱點P的坐標為(2,7)(2)用分別代換xy20中的x，y，得關(guān)于l的對稱直線方程為20，化簡得7xy220.(3)在直線l：3xy30上取點M(0,3)，關(guān)于(1,2)的對稱點M(x，y)，1，x2，2，y1，M(2,1)l關(guān)于(1,2)的對稱直線平行于l，k3，對稱直線方程為y13(x2)，即3xy50.20妙用直線系求直線方程一、平行直線系由于兩直線平行，它們的斜率相等或它們的斜率都不存在，因此兩直線平行時，它們的一次項系數(shù)與常數(shù)項有必然的聯(lián)系典例1求與直線3x4y10平行且過點(1,2)的直線l的方程思想方法指導(dǎo)因為所求直線與3x4y10平行，因此，可設(shè)該直線方程為3x4yc0(c1)規(guī)范解答解依題意，設(shè)所求直線方程為3x4yc0(c1)，又因為直線過點(1,2)，所以3142c0，解得c11.因此，所求直線方程為3x4y110.二、垂直直線系由于直線A1xB1yC10與A2xB2yC20垂直的充要條件為A1A2B1B20.因此，當(dāng)兩直線垂直時，它們的一次項系數(shù)有必要的關(guān)系可以考慮用直線系方程求解典例2求經(jīng)過A(2,1)，且與直線2xy100垂直的直線l的方程思想方法指導(dǎo)依據(jù)兩直線垂直的特征設(shè)出方程，再由待定系數(shù)法求解規(guī)范解答解因為所求直線與直線2xy100垂直，所以設(shè)該直線方程為x2yC10，又直線過點(2,1)，所以有221C10，解得C10，即所求直線方程為x2y0.三、過直線交點的直線系典例3求經(jīng)過兩直線l1：x2y40和l2：xy20的交點P，且與直線l3：3x4y50垂直的直線l的方程思想方法指導(dǎo)可分別求出直線l1與l2的交點及直線l的斜率k，直接寫出方程；也可以利用過交點的直線系方程設(shè)直線方程，再用待定系數(shù)法求解規(guī)范解答解方法一解方程組得P(0,2)因為l3的斜率為，且ll3，所以直線l的斜率為，由斜截式可知l的方程為yx2，即4x3y60.方法二設(shè)直線l的方程為x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.又ll3，3(1)(4)(2)0，解得11.直線l的方程為4x3y60.1設(shè)aR，則“a1”是“直線l1：ax2y10與直線l2：x(a1)y40平行”的 ()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件答案A解析(1)充分性：當(dāng)a1時，直線l1：x2y10與直線l2：x2y40平行；(2)必要性：當(dāng)直線l1：ax2y10與直線l2：x(a1)y40平行時有a2或1.所以“a1”是“直線l1：ax2y10與直線l2：x(a1)y40平行”的充分不必要條件，故選A.2(2016濟南模擬)“m3”是“直線l1：2(m1)x(m3)y75m0與直線l2：(m3)x2y50垂直”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案A解析由l1l2，得2(m1)(m3)2(m3)0，m3或m2.m3是l1l2的充分不必要條件3(2016山東省實驗中學(xué)質(zhì)檢)從點(2,3)射出的光線沿與向量a(8,4)平行的直線射到y(tǒng)軸上，則反射光線所在的直線方程為()Ax2y40 B2xy10Cx6y160 D6xy80答案A解析由直線與向量a(8,4)平行知：過點(2,3)的直線的斜率k，所以直線的方程為y3(x2)，其與y軸的交點坐標為(0,2)，又點(2,3)關(guān)于y軸的對稱點為(2,3)，所以反射光線過點(2,3)與(0,2)，由兩點式知A正確4(2016蘭州模擬)一只蟲子從點O(0,0)出發(fā)，先爬行到直線l：xy10上的P點，再從P點出發(fā)爬行到點A(1，1)，則蟲子爬行的最短路程是()A. B2 C3 D4答案B解析點O(0,0)關(guān)于直線xy10的對稱點為O(1,1)，則蟲子爬行的最短路程為|OA|2.故選B.5(2016綿陽模擬)若P，Q分別為直線3x4y120與6x8y50上任意一點，則|PQ|的最小值為()A. B. C. D.答案C解析因為，所以兩直線平行，由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，即，所以|PQ|的最小值為，故選C.6(2016廈門模擬)將一張坐標紙折疊一次，使得點(0,2)與點(4,0)重合，點(7,3)與點(m，n)重合，則mn等于()A. B. C. D.答案A解析由題意可知，紙的折痕應(yīng)是點(0,2)與點(4,0)連線的中垂線，即直線y2x3，它也是點(7,3)與點(m，n)連線的中垂線，于是解得故mn，故選A.7(2016忻州訓(xùn)練)已知兩直線l1：axby40和l2：(a1)xyb0，若l1l2，且坐標原點到這兩條直線的距離相等，則ab_.答案0或解析由題意得解得或經(jīng)檢驗，兩種情況均符合題意，所以ab的值為0或.8已知直線l1：axy10，直線l2：xy30，若直線l1的傾斜角為，則a_；若l1l2，則a_；若l1l2，則兩平行直線間的距離為_答案112解析若直線l1的傾斜角為，則aktan 1，故a1；若l1l2，則a11(1)0，故a1；若l1l2，則a1，l1：xy10，兩平行直線間的距離d2.9.如圖，已知直線l1l2，點A是l1，l2之間的定點，點A到l1，l2之間的距離分別為3和2，點B是l2上的一動點，作ACAB，且AC與l1交于點C，則ABC的面積的最小值為_答案6解析以A為坐標原點，平行于l1的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標系，設(shè)B(a，2)，C(b,3)ACAB，ab60，ab6，b.RtABC的面積S 6.10(2016重慶模擬)在平面直角坐標系內(nèi)，到點A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)的距離之和最小的點的坐標是_答案(2,4)解析如圖，設(shè)平面直角坐標系中任一點P，P到點A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)的距離之和為|PA|PB|PC|PD|PB|PD|PA|PC|BD|AC|QA|QB|QC|QD|，故四邊形ABCD對角線的交點Q即為所求距離之和最小的點A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)，直線AC的方程為y22(x1)，直線BD的方程為y5(x1)由得Q(2,4)11已知方程(2)x(1)y2(32)0與點P(2，2)(1)證明：對任意的實數(shù)，該方程都表示直線，且這些直線都經(jīng)過同一定點，并求出這一定點的坐標；(2)證明：該方程表示的直線與點P的距離d小于4.證明(1)顯然2與(1)不可能同時為零，故對任意的實數(shù)，該方