高中數(shù)學(xué)幾何變換與矩陣2.5特征值與特征向量章末分層突破學(xué)案蘇教版.docx

2.5 特征值與特征向量一、矩陣的特征值與特征向量的求解與應(yīng)用設(shè)A是一個二階矩陣，是矩陣A的一個特征值，是屬于的一個特征向量.欲求及，可令A(yù)的特征多項式等于0，即可求出的值，將的值代入方程組得到一組非零解，即為矩陣A的屬于特征值的一個特征向量.求矩陣M的特征值及其對應(yīng)的特征向量.【解】矩陣M的特征多項式為f()(1)(1)4223.令f()0，得矩陣M的特征值為1和3.當(dāng)1時，聯(lián)立，解得xy0所以矩陣M的屬于特征值1的一個特征向量為.當(dāng)3時，聯(lián)立，解得xy所以矩陣M的屬于特征值3的一個特征向量為.二、An的表示(計算)設(shè)1，2是二階矩陣M的兩個不同特征值，矩陣M的屬于特征值1，2的特征向量分別為1，2，則平面上任一非零向量可表示為s 1t 2(其中s，t為實數(shù))，則MnMn(s 1t 2)s1t2(nN*).若矩陣A有特征值12，21，它們所對應(yīng)的特征向量分別為1，2.(1)求矩陣A和其逆矩陣A1；(2)已知，試求A100.【解】(1)設(shè)矩陣A，其特征多項式為f().當(dāng)12時，其特征向量為1，同理當(dāng)21時，其特征向量為2，A，det(A)2，A1.(2)設(shè)s 1t 2，則st，s1，t16.A1001210016(1)100.三、函數(shù)方程思想的應(yīng)用本章不論是由矩陣求特征值，還是已知矩陣的特征值與特征向量求該矩陣，都需要解方程(組)或構(gòu)建方程(組)求解.已知二階矩陣A的屬于特征值3的一個特征向量為，屬于特征值8的一個特征向量為，求矩陣A. 【導(dǎo)學(xué)號：30650054】【解】設(shè)A，由題意知3，8，即解得A.章末綜合檢測(五)1.求矩陣M的特征值和特征向量.【解】矩陣M的特征多項式f()(1)(6).令f()0，解得矩陣M的特征值11，26.將11代入方程組易求得為屬于11的一個特征向量.將26代入方程組易求得為屬于26的一個特征向量.綜上所述，M的特征值為11，26，屬于11的一個特征向量為，屬于26的一個特征向量為.2.已知矩陣M的一個特征值為3，求另一個特征值及其對應(yīng)的一個特征向量. 【導(dǎo)學(xué)號：30650055】【解】矩陣M的特征多項式為f()(1)(x)4因為13為方程f()0的一根，所以x1由(1)(1)40得21，設(shè)21對應(yīng)的一個特征向量為，則由得xy令x1，則y1.所以矩陣M的另一個特征值為1，對應(yīng)的一個特征向量為.3.已知矩陣M，向量，.(1)求向量23在矩陣M表示的變換作用下的象；(2)向量是矩陣M的特征向量嗎？為什么？【解】(1)因為2323，所以M(23)，所以向量23在矩陣M表示的變換作用下的象為.(2)向量不是矩陣M的特征向量.理由如下：M，向量與向量不共線，所以向量不是矩陣M的特征向量.4.已知矩陣A，設(shè)向量，試計算A5的值.【解】矩陣A的特征多項式為f()2560，解得12，23.當(dāng)12時，得1；當(dāng)23時，得2，由m1n2，得，得m3，n1，A5A5(312)3(A51)A523(1)232535.5.已知矩陣A，其中aR，若點P(1，1)在矩陣A的變換下得到點P(0，3)(1)求實數(shù)a的值；(2)求矩陣A的特征值及特征向量.【解】(1)，a4.(2)A，f()223.令f()0，得11，23，對于特征值11，解相應(yīng)的線性方程組得一個非零解，因此1是矩陣A的屬于特征值11的一個特征向量.對于特征值23，解相應(yīng)的線性方程組得一個非零解，因此2是矩陣A的屬于特征值23的一個特征向量.矩陣A的特征值為11，23，屬于特征值11，23的特征向量分別為，.6.已知矩陣A，若矩陣A屬于特征值6的一個特征向量1，屬于特征值1的一個特征向量2，求矩陣A，并寫出A的逆矩陣.【解】由矩陣A屬于特征值6的一個特征向量1，可知6，所以cd6，由矩陣A屬于特征值1的一個特征向量2，可知，所以3c2d2.聯(lián)立可得解得即A，A的逆矩陣A1.7.已知矩陣A對應(yīng)的變換是先將某平面圖形上的點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，再將所得圖形繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90.(1)求矩陣A及A的逆矩陣B；(2)已知矩陣M，求M的特征值和特征向量；(3)若在矩陣B的作用下變換為，求M50.(結(jié)果用指數(shù)式表示)【解】(1)A；BA1.(2)設(shè)M的特征值為，則由條件得0，即(3)(4)62760.解得11，26.當(dāng)11時，由，得M屬于1的特征向量為1；當(dāng)26時，由6，得M屬于6的特征向量為2.(3)由B，得，設(shè)m1n2mn，則由解得所以122.所以M50M50(122)M5012M5022650.8.已知二階矩陣M的一個特征值8及與其對應(yīng)的一個特征向量1，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點(1，2)變換成(2，4).(1)求矩陣M；(2)求矩陣M的另一個特征值及與其對應(yīng)的另一個特征向量2的坐標之間的關(guān)系；(3)求直線l：xy10在矩陣M的作用下的直線l的方程.【解】(1)設(shè)矩陣M，則8，故由題意得，故聯(lián)立以上兩方程組可解得故M.(2)由(1)知矩陣M的特征多項式f()(6)(4)821016.令f()0，解得矩陣M的另一個特征值2.設(shè)矩陣M的屬于特征值2的一個特征向量2，則M22，解得2xy0.(3)設(shè)點(x，y)是直線l上的任一點，其在矩陣M的作用下對應(yīng)的點的坐標為(x，y)，則，即代入直線l的方程并化簡得xy20，即直線l的方程為xy20.9.給定矩陣M，N及向量1，2.(1)求證M和N互為逆矩陣；(2)求證1和2都是矩陣M的特征向量. 【導(dǎo)學(xué)號：30650056】【證明】(1)因為MN，NM，所以M和N互為逆矩陣.(2)向量1在矩陣M的作用下，其象與其共線，即，向量2在矩陣M的作用下，其象與其共線，即，所以1和2都是M的特征向量.10.給定矩陣M及向量.(1)求矩陣M的特征值及與其對應(yīng)的特征向量1，2；(2)確定實數(shù)a，b，使向量可以表示為a1b2；(3)利用(2)中的表達式計算M3，Mn；(4)從(3)中的運算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么？【解】(1)矩陣M的特征多項式f()(2)(1)30(7)(4).令f()0，解得矩陣M的特征值14，27.易求得屬于特征值14的一個特