高考數(shù)學(xué)一輪匯總訓(xùn)練（歸納明確考點(diǎn)+課前自測(cè)+教師備選題+誤區(qū)警示+課后實(shí)戰(zhàn)題含詳解及模擬題）《解三角形應(yīng)用舉例 》理 新人教A版.doc

備考方向要明了考 什 么怎 么 考能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.1.考查正、余弦定理在解決與角度、方向、距離及測(cè)量等問(wèn)題有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用2.考查方式既有選擇題、填空題，也有解答題，屬中、低檔題.歸納知識(shí)整合1用正弦定理和余弦定理解三角形的常見(jiàn)題型測(cè)量距離問(wèn)題、高度問(wèn)題、角度問(wèn)題、計(jì)算面積問(wèn)題、航海問(wèn)題、物理問(wèn)題等2實(shí)際應(yīng)用中的常用術(shù)語(yǔ)術(shù)語(yǔ)名稱術(shù)語(yǔ)意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位角方位角的范圍是(0，360)方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)度例：(1)北偏東m：(2)南偏西n：坡角坡面與水平面的夾角設(shè)坡角為，坡度為i，則itan 坡度坡面的垂直高度h和水平寬度l的比探究1.仰角、俯角、方位角有什么區(qū)別？提示：三者的參照不同仰角與俯角是相對(duì)水平線而言的，而方位角是相對(duì)于正北方向而言的2如何用方位角、方向角確定一點(diǎn)的位置？提示：利用方位角或方向角和目標(biāo)與觀測(cè)點(diǎn)的距離即可唯一確定一點(diǎn)的位置自測(cè)牛刀小試1從a處望b處的仰角為，從b處望a處的俯角為，則與的關(guān)系為()abc90 d180解析：選b根據(jù)仰角和俯角的定義可知.2.兩座燈塔a和b與海岸觀察站c的距離相等，燈塔a在觀察站南偏西40，燈塔b在觀察站南偏東60，則燈塔a在燈塔b的()a北偏東10 b北偏西10c南偏東80 d南偏西80解析：選d由條件及圖可知，ab40，又bcd60，所以cbd30，所以dba10，因此燈塔a在燈塔b南偏西80.3.如圖所示，為了測(cè)量某障礙物兩側(cè)a、b間的距離，給定下列四組數(shù)據(jù)，不能確定a、b間距離的是()a，a，b b，aca，b， d，b解析：選a選項(xiàng)b中由正弦定理可求b，再由余弦定理可確定ab.選項(xiàng)c中可由余弦定理確定ab.選項(xiàng)d同b類似4(教材習(xí)題改編)海上有a，b，c三個(gè)小島，測(cè)得a，b兩島相距10海里，bac60，abc75，則b，c間的距離是_海里解析：由正弦定理，知.解得bc5海里答案：55(教材習(xí)題改編)如圖，某城市的電視發(fā)射塔cd建在市郊的小山上，小山的高bc為35 m，在地面上有一點(diǎn)a，測(cè)得a，c間的距離為91 m，從a觀測(cè)電視發(fā)射塔cd的視角(cad)為45，則這座電視發(fā)射塔的高度cd為_(kāi)m.解析：ab84，tancab.由tan(45cab)得cd169.答案：169測(cè)量距離問(wèn)題例1隔河看兩目標(biāo)a與b，但不能到達(dá)，在岸邊選取相距 km的c、d兩點(diǎn)，同時(shí)，測(cè)得acb75，bcd45，adc30，adb45(a、b、c、d在同一平面內(nèi))，求兩目標(biāo)a、b之間的距離自主解答如圖，在acd中，acd120，cadadc30，所以accd.在bcd中，bcd45，bdc75，cbd60，由正弦定理知bc.在abc中，由余弦定理，得ab2ac2bc22acbccosacb()222cos 75325，所以ab km，所以a，b兩目標(biāo)之間的距離為 km.若將本例中a、b兩點(diǎn)放到河的兩岸，一測(cè)量者與a在河的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)c，測(cè)出ac的距離為50 m，acb45，cab105后，求a、b兩點(diǎn)間的距離解：由正弦定理，得，故ab50 m.即a、b兩點(diǎn)間的距離為50 m 求距離問(wèn)題的注意事項(xiàng)(1)選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，要首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理.1如圖所示，某河段的兩岸可視為平行，為了測(cè)量該河段的寬度，在河段的一岸邊選取兩點(diǎn)a，b，觀察對(duì)岸的點(diǎn)c，測(cè)得cab75，cba45，且ab100 m求該河段的寬度解：cab75，cba45，acb180cabcba60.由正弦定理得，bc.如圖，過(guò)點(diǎn)b作bd垂直于對(duì)岸，垂足為d，則bd的長(zhǎng)就是該河段的寬度在rtbdc中，bcdcba45，sinbcd，bdbcsin 45sin 45 m，該河段的寬度為 m.測(cè)量高度問(wèn)題例2某人在塔的正東沿著南偏西60的方向前進(jìn)40 m后，望見(jiàn)塔在東北方向，若沿途測(cè)得塔頂?shù)淖畲笱鼋菫?0，求塔高自主解答如圖所示，某人在c處，ab為塔高，他沿cd前進(jìn)，cd40，此時(shí)dbf45.過(guò)點(diǎn)b作becd于e，則aeb30.在bcd中，cd40，bcd30，dbc135，由正弦定理，得，則bd20.bde1801353015.在rtbed中，bedb sin 152010(1)在rtabe中，aeb30，則abbetan 30(3)故塔高為(3) m.處理高度問(wèn)題的注意事項(xiàng)(1)在處理有關(guān)高度問(wèn)題時(shí)，要理解仰角、俯角(視線在水平線上方、下方的角分別稱為仰角、俯角)是一個(gè)關(guān)鍵(2)在實(shí)際問(wèn)題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問(wèn)題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來(lái)既清楚又不容易搞錯(cuò)(3)高度問(wèn)題一般是把它轉(zhuǎn)化成三角形的問(wèn)題，要注意三角形中的邊角關(guān)系的應(yīng)用，若是空間的問(wèn)題要注意空間圖形和平面圖形的結(jié)合2如圖，山腳下有一小塔ab，在塔底b測(cè)得山頂c的仰角為60，在山頂c測(cè)得塔頂a的俯角為45，已知塔高ab20 m，求山高cd.解：如圖，設(shè)cdx m，則ae(x20) m，tan 60，則bdx m.在aec中，x20x，解得x10(3) m，故山高cd為10(3) m.測(cè)量角度問(wèn)題例3如圖，在海岸a處發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距a處(1)海里的b處有一艘走私船在a處北偏西75方向，距a處2海里的c處的我方緝私船奉命以10海里/小時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)走私船正以10海里/小時(shí)的速度，從b處向北偏東30方向逃竄問(wèn)：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時(shí)間自主解答設(shè)緝私船應(yīng)沿cd方向行駛t小時(shí)，才能最快截獲(在d點(diǎn))走私船，則cd10 t海里，bd10 t海里，在abc中，由余弦定理，有bc2ab2ac22abaccos a(1)2222(1)2cos 1206.解得bc.又，sinabc，abc45，b點(diǎn)在c點(diǎn)的正東方向上，cbd9030120，在bcd中，由正弦定理，得，sinbcd.bcd30，緝私船沿北偏東60的方向行駛又在bcd中，cbd120，bcd30，d30，bdbc，即10t.t小時(shí)15分鐘緝私船應(yīng)沿北偏東60的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要15分鐘解決測(cè)量角度問(wèn)題的注意事項(xiàng)(1)首先應(yīng)明確方位角的含義(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫出示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步(3)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問(wèn)題后，注意正、余弦定理的“聯(lián)袂”使用3如圖，位于a處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的b處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的c處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線cb前往b處救援，求cos 的值解：如題中圖所示，在abc中，ab40，ac20，bac120，由余弦定理知，bc2ab2ac22abaccos 1202 800bc20.由正弦定理得，sinacbsinbac.由bac120，知acb為銳角，則cosacb.由acb30，得cos cos(acb30)cosacbcos 30sinacbsin 30.1個(gè)步驟解三角形應(yīng)用題的一般步驟2種情形解三角形應(yīng)用題的兩種情形(1)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解2個(gè)注意點(diǎn)解三角形應(yīng)用題應(yīng)注意的問(wèn)題(1)畫出示意圖后要注意尋找一些特殊三角形，如等邊三角形、直角三角形、等腰三角形等，這樣可以優(yōu)化解題過(guò)程(2)解三角形時(shí)，為避免誤差的積累，應(yīng)盡可能用已知的數(shù)據(jù)(原始數(shù)據(jù))，少用間接求出的量. 創(chuàng)新交匯數(shù)形結(jié)合思想在解三角形中的應(yīng)用三角函數(shù)在實(shí)際生活中有著相當(dāng)廣泛的應(yīng)用，三角函數(shù)的應(yīng)用題是以解三角形、正(余)弦定理、正(余)弦函數(shù)等知識(shí)為核心，以測(cè)量、航海、筑路、天文等為代表的實(shí)際應(yīng)用題是高考應(yīng)用題的熱點(diǎn)題型求解此類問(wèn)題時(shí)，應(yīng)仔細(xì)審題，提煉題目信息，畫出示意圖，利用數(shù)形結(jié)合的思想并借助正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角函數(shù)、不等式等知識(shí)求解典例(2013廣州模擬)在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)e為中心的7海里以內(nèi)的海域被設(shè)為警戒水域點(diǎn)e正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站a.某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)a的北偏東45且與點(diǎn)a相距40海里的位置b，經(jīng)過(guò)40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)a的北偏東(45)(其中sin ，090)且與點(diǎn)a相距10海里的位置c.(1)求該船的行駛速度(單位：海里/時(shí))；(2)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說(shuō)明理由解如圖所示，ab40，ac10，bac，sin .因?yàn)?90，所以cos .bc10.所以船的行駛速度為15海里/時(shí)(2)法一：如圖所示，以a為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)b，c的坐標(biāo)分別是b(x1，y1)，c(x2，y2)，bc與x軸的交點(diǎn)為d.由題設(shè)，得x1y1ab40，x2accoscad10cos(45)30，y2acsincad10 sin(45)20.所以過(guò)點(diǎn)b，c的直線l的斜率k2，直線l的方程為y2x40.又點(diǎn)e(0，55)到直線l的距離d37，所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域法二：如圖所示，設(shè)直線ae與bc的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)q.在abc中，由余弦定理，得cosabc.所以sinabc .在abq中，由正弦定理，得aq40.由于ae5540aq，所以點(diǎn)q位于點(diǎn)a和點(diǎn)e之間，且qeaeaq15.過(guò)點(diǎn)e作epbc于點(diǎn)p，則ep為點(diǎn)e到直線bc的距離在rtqpe中，peqesinpqeqesinaqcqesin(45abc)1537.所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域1對(duì)于問(wèn)題(1)，知道兩邊夾一角，由余弦定理求得bc的長(zhǎng)，除以行駛時(shí)間即可求得速度；對(duì)于問(wèn)題(2)，延長(zhǎng)bc交直線ae于點(diǎn)q，然后在abq中，由正弦定理求得aq的長(zhǎng)、判斷點(diǎn)q的位置，最后在qpe中結(jié)合已知條件即可作出判斷2解此類問(wèn)題，首先根據(jù)題意合理畫出示意圖是解題關(guān)鍵；將條件歸納到某一三角形中是基本的策略；合理運(yùn)用正、余弦定理并注意與平面幾何相關(guān)知識(shí)結(jié)合有助于問(wèn)題的解決某港口o要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口o北偏西30且與該港口相距20海里的a處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說(shuō)明理由解：(1)設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為s海里，則s.故當(dāng)t時(shí)，smin10，此時(shí)v30，即小艇以30海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最小(2)設(shè)小艇與輪船在b處相遇，則v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900.0v30，900900，即0，解得t.又t時(shí)，v30.故v30時(shí)，t取得最小值，且最小值等于.此時(shí)，在oab中，有oaobab20，故可設(shè)計(jì)航行方案如下：航行方向?yàn)楸逼珫|30，航行速度為30海里/小時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1某人向正東方向走x km后，向右轉(zhuǎn)150，然后朝新方向走3 km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好是 km，那么x的值為()a.b2c.或2 d3解析：選c如圖所示，設(shè)此人從a出發(fā)，則abx，bc3，ac，abc30，由余弦定理得()2x2322x3cos 30，整理得x23x60，解得x或2.2.如圖所示，已知兩座燈塔a和b與海洋觀察站c的距離都等于a km，燈塔a在觀察站c的北偏東20，燈塔b在觀察站c的南偏東40，則燈塔a與燈塔b的距離為()aa km b.a kmc.a km d2a km解析：選b利用余弦定理解abc.易知acb120，在abc中，由余弦定理得ab2ac2bc22acbccos 1202a22a23a2，故aba.3一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)大噴水柱，為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)a測(cè)得水柱頂端的仰角為45，沿點(diǎn)a向北偏東30前進(jìn)100 m到達(dá)點(diǎn)b，在b點(diǎn)測(cè)得水柱頂端的仰角為30，則水柱的高度是()a50 m b100 mc120 m d150 m解析：選a設(shè)水柱高度是h m，水柱底端為c，則在abc中，a60，ach，ab100，bch，根據(jù)余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.4(2013永州模擬)張曉華同學(xué)騎電動(dòng)自行車以24 km/h的速度沿著正北方向的公路行駛，在點(diǎn)a處望見(jiàn)電視塔s在電動(dòng)車的北偏東30方向上，15 min后到點(diǎn)b處望見(jiàn)電視塔在電動(dòng)車的北偏東75方向上，則電動(dòng)車在點(diǎn)b時(shí)與電視塔s的距離是()a2 km b3 kmc3 km d2 km解析：選b如圖，由條件知ab246.在abs中，bas30，ab6，abs18075105，所以asb45.由正弦定理知，所以bssin 303.5如圖，飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛垂面內(nèi)，若飛機(jī)的高度為海拔18 km，速度為1 000 km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0，經(jīng)過(guò)1 min后又看到山頂?shù)母┙菫?5，則山頂?shù)暮芨叨葹?精確到0.1 km)()a11.4b6.6c6.5d5.6解析：選bab1 0001 000 m，bcsin 30 m.航線離山頂hsin 7511.4 km.山高為1811.46.6 km.6.如圖，在湖面上高為10 m處測(cè)得天空中一朵云的仰角為30，測(cè)得湖中之影的俯角為45，則云距湖面的高度為(精確到0.1 m)()a2.7 m b17.3 mc37.3 m d373 m解析：選c在ace中，tan 30.ae m.在aed中，tan 45，ae m，cm10(2)37.3 m.二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7.2012年10月29日，超級(jí)風(fēng)暴“桑迪”襲擊美國(guó)東部，如圖，在災(zāi)區(qū)的搜救現(xiàn)場(chǎng)，一條搜救狗從a處沿正北方向行進(jìn)x m到達(dá)b處發(fā)現(xiàn)一個(gè)生命跡象，然后向右轉(zhuǎn)105，行進(jìn)10 m到達(dá)c處發(fā)現(xiàn)另一生命跡象，這時(shí)它向右轉(zhuǎn)135后繼續(xù)前行回到出發(fā)點(diǎn)，那么x_.解析：由題知，cba75，bca45，bac180754560，.x m.答案： m8某路邊一樹干被臺(tái)風(fēng)吹斷后，折成與地面成45角，樹干也傾斜為與地面成75角，樹干底部與樹尖著地處相距20 m，則折斷點(diǎn)與樹干底部的距離是_ m.解析：如圖，設(shè)樹干底部為o，樹尖著地處為b，折斷點(diǎn)為a，則abo45，aob75，所以oab60.由正弦定理知，解得ao m.答案：9(2013銅川模擬)一船向正北航行，看見(jiàn)正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見(jiàn)一燈塔在船的南偏西60方向，另一燈塔在船的南偏西75方向，則這只船的速度是_海里/小時(shí)解析：如圖，依題意有bac60，bad75，所以cadcda15，從而cdca10.在直角三角形abc中，可得ab5，于是這只船的速度是10海里/小時(shí)答案：10三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10.如圖，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的a、b、c三點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量已知ab50 m，bc120 m，于a處測(cè)得水深ad80 m，于b處測(cè)得水深be200 m，于c處測(cè)得水深cf110 m，求def的余弦值解：作dmac交be于n，交cf于m，df10，de130，ef150.在def中，由余弦定理得，cosdef.11為撲滅某著火點(diǎn)，現(xiàn)場(chǎng)安排了兩支水槍，如圖，d是著火點(diǎn)，a、b分別是水槍位置，已知ab15 m，在a處看到著火點(diǎn)的仰角為60，abc30，bac105，求兩支水槍的噴射距離至少是多少？解：在abc中，可知acb45，由正弦定理得，解得ac15 m.又cad60，ad30，cd15，sin 105sin(4560).由正弦定理得，解得bc m.由勾股定理可得bd15 m，綜上可知，兩支水槍的噴射距離至少分別為30 m，15 m.12.如圖，漁船甲位于島嶼a的南偏西60方向的b處，且與島嶼a相距12海里，漁船乙以10海里/小時(shí)的速度從島嶼a出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時(shí)從b處出發(fā)沿北偏東的方向追趕漁船乙，剛好用2小時(shí)追上(1)求漁船甲的速度；(2)求sin 的值解：(1)依題意，bac120，ab12，ac10220，bca.在abc中，由余弦定理，得bc2ab2ac22abaccos bac12220221220cos 120784.解得bc28.所以漁船甲的速度為14海里/小時(shí)(2)法一：在abc中，因?yàn)閍b12，bac120，bc28，bca，由正弦定理，得.即sin .法二：在abc中，因?yàn)閍b12，ac20，bc28，bca，由余弦定理，得cos ，即cos .因?yàn)闉殇J角，所以sin .1為了測(cè)量?jī)缮巾攎，n間的距離，飛機(jī)沿水平方向a，b兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，a，b，m，n在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)(如圖所示)，飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和a，b間的距離，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標(biāo)出)；用文字和公式寫出計(jì)算m，n間的距離的步驟解：需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：a點(diǎn)到m，n的俯角1，1；b點(diǎn)到m，n的俯角2，2；a，b間的距離d(如圖所示)方案一第一步：計(jì)算am.在abm中，由正弦定理，得am.第二步：計(jì)算an.在abn中，由正弦定理，得an.第三步：計(jì)算mn.在amn中，由余弦定理，得mn .方案二第一步：計(jì)算bm.在abm中，由正弦定理，得bm.第二步：計(jì)算bn.在abn中，由正弦定理，得bn.第三步：計(jì)算mn.在bmn中，由余弦定理，得mn .2如圖，某市擬在長(zhǎng)為8 km的道路op的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)賽道，賽道的前一部分為曲線段osm，該曲線段為函數(shù)yasin x(a0，0)，x0,4的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為s(3,2)；賽道的后一部分為折線段mnp.為保證參賽運(yùn)動(dòng)員的安全，限定mnp120.(1)求a，的值和m，p兩點(diǎn)間的距離；(2)應(yīng)如何設(shè)計(jì)，才能使折線段賽道m(xù)np最長(zhǎng)？解：(1)如圖所示，連接mp.依題意，有a2，3.t，.y2sinx.當(dāng)x4時(shí)，y2sin3，m(4,3)又p(8,0)，mp5km.(2)在mnp中，mnp120，mp5，設(shè)pmn，則060.由正弦定理得，npsin ，mnsin(60)，故npmnsin sin(60)sin(60)060，當(dāng)30時(shí)，npmn最大，即將pmn設(shè)計(jì)為30時(shí)，才能使折線賽道m(xù)np最長(zhǎng)3.如圖，甲船以每小時(shí)30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行當(dāng)甲船位于a1處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105方向的b1處，此時(shí)兩船相距20海里，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)a2處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120方向的b2處，此時(shí)兩船相距10海里問(wèn)：乙船每小時(shí)航行多少海里？解：如圖，連接a1b2由已知a2b210，a1a23010，a1a2a2b2.又a1a2b218012060，a1a2b2是等邊三角形，a1b2a1a210.由已知，a1b120，b1a1b21056045，在a1b2b1中，由余弦定理得b1ba1ba1b2a1b1a1a2cos 45202(10)222010200，b1b210.因此，乙船的速度為6030海里/時(shí)數(shù)學(xué)思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用及三角函數(shù)的求參問(wèn)題一、三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)思想1數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)在三角函數(shù)中是利用單位圓中三角函數(shù)線、三角函數(shù)圖象求三角函數(shù)定義域、解三角不等式、求單調(diào)區(qū)間、討論方程解的個(gè)數(shù)、比較大小等例1sin ，cos ，tan 從小到大的順序是_解析設(shè)asin，bcos ，ctan ，如圖所示可知b0ac，cos sin tan .答案cos sin 0，0，|在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)0x，且方程f(x)m有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍以及這兩個(gè)根的和解(1)所求的函數(shù)的解析式為f(x)2sin2x.(2)在同一坐標(biāo)系中畫出y2sin (0x)和ym(mr)的圖象，如圖所示，由圖可知，當(dāng)2m1或1m2時(shí)，直線ym與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即原方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以m的取值范圍為2m1或1m2.當(dāng)2m1時(shí)，兩根之和為；當(dāng)1m2時(shí)，兩根之和為.點(diǎn)評(píng)本題將方程的根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成幾何問(wèn)題求解從函數(shù)圖象上可以清楚地看出當(dāng)2m1或1m2時(shí)，直線ym與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即原方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，這也體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想的具體應(yīng)用4分類討論思想體現(xiàn)在三角函數(shù)中是根據(jù)求值或求角的需要對(duì)角的范圍或參數(shù)的范圍展開(kāi)有序的討論例5已知a(sin x，cos x)，b(sin x，k)，c(2cos x，sin xk)(1)若f(x)a(bc)，求f(x)的最小正周期及方程f(x)的解集；(2)若g(x)(ab) c，求當(dāng)k為何值時(shí)，g(x)的最小值為.解(1)bc(sin x2cos x，sin x)，f(x)a (bc)sin x(sin x2cos x)cos xsin xsin2 xsin xcos xsin 2x(sin 2xcos 2x)sin ，所以f(x)的最小正周期為t.由f(x)，得sin ，所以sin0.所以2xk(kz)所以x(kz)所以方程f(x)的解集為.(2)ab(2sin x，cos xk)，g(x)(ab)c4sin xcos x(cos xk)(sin xk)3sin xcos xk(sin xcos x)k2.令tsin xcos xsin，則t， ，且t2sin2xcos2 x2sin xcos x12sin xcos x，所以sin xcos x.所以g(x)可化為h(t)(3)ktk2t2ktk2，t，對(duì)稱軸t.當(dāng)3時(shí)，g(x)minh()()2k()k2k2k，由k2k，得k2k30.所以k.因?yàn)閗3，所以此時(shí)無(wú)解當(dāng) ，即3k3時(shí)，g(x)minh2kk2k2.由k2，得k03，3 當(dāng) ，即k3時(shí)，g(x)minh()()2kk2k2k.由k2k，得k2k30，所以k.因?yàn)閗3，所以此時(shí)無(wú)解綜上所述，當(dāng)k0時(shí)，g(x)的最小值為.點(diǎn)評(píng)本題是一種典型的三角函數(shù)求最值的題型，通過(guò)換元將三角問(wèn)題轉(zhuǎn)化成我們熟知的二次函數(shù)求最值問(wèn)題，然后根據(jù)對(duì)稱軸與自變量的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論5整體思想整體思想在三角函數(shù)中主要體現(xiàn)在利用整體代入、整體變形、整體換元、整體配對(duì)、整體構(gòu)造等進(jìn)行化簡(jiǎn)求值、研究函數(shù)的性質(zhì)等例6已知，且sin cos .(1)求cos 的值；(2)若sin()，求cos 的值解(1)因?yàn)閟in cos ，兩邊同時(shí)平方，得sin .又，所以cos .(2)因?yàn)椋?，?由sin()，得cos ().所以cos cos()cos cos()sin sin ().點(diǎn)評(píng)本題第(2)問(wèn)求解的關(guān)鍵是整體運(yùn)用已知角()和角來(lái)表示角，即()，這樣可以直接利用已知條件求解數(shù)學(xué)思想較多，除了以上幾種外，還有類比等數(shù)學(xué)思想，只要大家認(rèn)真思考，靈活運(yùn)用，數(shù)學(xué)思想一定能給你的學(xué)習(xí)帶來(lái)事半功倍的效果二、巧用三角函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)1根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性求解參數(shù)例1已