【步步高】高考數學總復習 平面向量的數量積及其應用學案 理 北師大版(1).doc

學案27平面向量的數量積及其應用導學目標： 1.理解平面向量數量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數量積與向量投影的關系.3.掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算.4.能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系.5.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.6.會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題自主梳理1向量數量積的定義(1)向量數量積的定義：_，其中|a|cosa，b叫做向量a在b方向上的投影(2)向量數量積的性質：如果e是單位向量，則aeea_；非零向量a，b，ab_；aa_或|a|_；cosa，b_；|ab|_|a|b|.2向量數量積的運算律(1)交換律：ab_；(2)分配律：(ab)c_；(3)數乘向量結合律：(a)b_.3向量數量積的坐標運算與度量公式(1)兩個向量的數量積等于它們對應坐標乘積的和，即若a(a1，a2)，b(b1，b2)，則ab_；(2)設a(a1，a2)，b(b1，b2)，則ab_；(3)設向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，則|a|_，cosa，b_.(4)若a（x1，y1），b（x2，y2），則|_，所以|_.自我檢測1.（2010湖南）在rtabc中，c=90,ac=4,則等于 ()a16b8c8d162(2010重慶)已知向量a，b滿足ab0，|a|1，|b|2，則|2ab| ()a0b2c4d83(2011福州月考)已知a(1,0)，b(1,1)，(ab)b，則等于 ()a2b2c.d4.平面上有三個點a（-2，y），b（0，），c（x，y），若，則動點c的軌跡方程為_5.（2009天津）若等邊abc的邊長為2，平面內一點m滿足，則_.探究點一向量的模及夾角問題例1(2011馬鞍山月考)已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a與b的夾角；(2)求|ab|；（3）若a，b，求abc的面積變式遷移1(1)已知a，b是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(ac)(bc)0，則|c|的最大值是 ()a1b2c.d.(2)已知i，j為互相垂直的單位向量，ai2j，bij，且a與b的夾角為銳角，實數的取值范圍為_探究點二兩向量的平行與垂直問題例2已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，且kab的長度是akb的長度的倍(k0)(1)求證：ab與ab垂直；(2)用k表示ab；(3)求ab的最小值以及此時a與b的夾角.變式遷移2(2009江蘇)設向量a(4cos ，sin )，b(sin ，4cos )，c(cos ，4sin )(1)若a與b2c垂直，求tan()的值；(2)求|bc|的最大值；(3)若tan tan 16，求證：ab.探究點三向量的數量積在三角函數中的應用例3已知向量a，b，且x.(1)求ab及|ab|；(2)若f(x)ab|ab|，求f(x)的最大值和最小值變式遷移3 （2010四川）已知abc的面積s=3，且cos b，求cos c.1一些常見的錯誤結論：(1)若|a|b|，則ab；(2)若a2b2，則ab；(3)若ab，bc，則ac；(4)若ab0，則a0或b0；(5)|ab|a|b|；(6)(ab)ca(bc)；(7)若abac，則bc.以上結論都是錯誤的，應用時要注意2平面向量的坐標表示與向量表示的比較：已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，是向量a與b的夾角.向量表示坐標表示向量a的模|a|a|a與b的數量積ab|a|b|cos abx1x2y1y2a與b共線的充要條件ab(b0)ababx1y2x2y10非零向量a，b垂直的充要條件abab0abx1x2y1y20向量a與b的夾角cos cos 3.證明直線平行、垂直、線段相等等問題的基本方法有：（1）要證ab=cd，可轉化證明22或|.（2）要證兩線段abcd，只要證存在唯一實數0，使等式成立即可（3）要證兩線段abcd，只需證0.(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1(2010重慶)若向量a(3，m)，b(2，1)，ab0，則實數m的值為 ()ab.c2d62已知非零向量a，b，若|a|b|1，且ab，又知(2a3b)(ka4b)，則實數k的值為 ()a6 b3c3d63.已知abc中，a，b，ab0，sabc，|a|3，|b|5，則bac等于 ()a30b150c150d30或1504(2010湖南)若非零向量a，b滿足|a|b|，(2ab)b0，則a與b的夾角為 ()a30b60c120d1505已知a(2,3)，b(4,7)，則a在b上的投影為 ()a.b.c.d.題號12345答案二、填空題(每小題4分，共12分)6(2010湖南長沙一中月考)設a(cos 2，sin )，b(1，2sin 1)，若ab，則sin _.7(2010廣東金山中學高三第二次月考)若|a|1，|b|2，cab，且ca，則向量a與b的夾角為_8已知向量m(1,1)，向量n與向量m夾角為，且mn1，則向量n_.三、解答題(共38分)9.(12分)已知(2,5)，(3,1)，(6,3)，在線段oc上是否存在點m，使，若存在，求出點m的坐標；若不存在，請說明理由10(12分)(2011杭州調研)已知向量a(cos()，sin()，b(cos，sin)(1)求證：ab；(2)若存在不等于0的實數k和t，使xa(t23)b，ykatb，滿足xy，試求此時的最小值11(14分)(2011濟南模擬)已知a(1,2sin x)，b，函數f(x)ab (xr)(1)求函數f(x)的單調遞減區(qū)間；(2)若f(x)，求cos的值答案 自主梳理1(1)ab|a|b|cosa，b(2)|a|cosa，eab0|a|22.(1)ba(2)acbc(3)(ab)3.(1)a1b1a2b2(2)a1b1a2b20(3)(4)(x2x1，y2y1)自我檢測2b|2ab|2.3d由(ab)b0得ab|b|20，120，.4y28x(x0)解析由題意得，又，0，即0，化簡得y28x(x0)52解析合理建立直角坐標系，因為三角形是正三角形，故設c(0,0)，a(2，0)，b(，3)，這樣利用向量關系式，求得，所以2.課堂活動區(qū)例1解(1)(2a3b)(2ab)61，4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，644ab2761，ab6.cos .又0，.(2)|ab|.(3)與的夾角，abc.又|a|4，|b|3，sabc|sinabc433.變式遷移1(1)c|a|b|1，ab0，展開(ac)(bc)0|c|2c(ab)|c|ab|cos ，|c|ab|cos cos ，|c|的最大值是.(2)0且ab不同向即|i|22|j|20，0)得2.0)(3)由(2)知ab(k)，當k時，等號成立，即k1.k0，k1.此時cos ，而0，.故ab的最小值為，此時.變式遷移2(1)解因為a與b2c垂直，所以a(b2c)4cos sin 8cos cos 4sin cos 8sin sin 4sin()8cos()0.因此tan()2.(2)解由bc(sin cos ，4cos 4sin )，得|bc|4.又當時，等號成立，所以|bc|的最大值為4.(3)證明由tan tan 16得，所以ab.例3解題導引與三角函數相結合考查向量的數量積的坐標運算及其應用是高考熱點題型解答此類問題，除了要熟練掌握向量數量積的坐標運算公式，向量模、夾角的坐標運算公式外，還應掌握三角恒等變換的相關知識解(1)abcos xcos sin xsin cos 2x，|ab|2|cos x|，x，cos x0，|ab|2cos x.(2)f(x)cos 2x2cos x2cos2x2cos x122.x，cos x1，當cos x時，f(x)取得最小值；當cos x1時，f(x)取得最大值1.變式遷移3解由題意，設abc的角b、c的對邊分別為b、c，則sbcsin a.bccos a30，a，cos a3sin a.又sin2acos2a1，sin a，cos a.由題意cos b，得sin b.cos(ab)cos acos bsin asin b.cos ccos(ab).課后練習區(qū)1d因為ab6m0，所以m6.2d由(2a3b)(ka4b)0得2k120，k6.3csabc|a|b|sinbac，sinbac.又ab0，bac為鈍角bac150.4c由(2ab)b0，得2ab|b|2.cosa，b.a，b0，180，a，b120.5b因為ab|a|b|cosa，b，所以，a在b上的投影為|a|cosa，b.6.解析abcos 22sin2sin ，12sin22sin2sin ，sin .7120解析設a與b的夾角為，cab，ca，ca0，即(ab)a0.a2ab0.又|a|1，|b|2，12cos 0.cos ，0，180即120.8(1,0)或(0，1)解析設n(x，y)，由mn1，有xy1.由m與n夾角為，有mn|m|n|cos ，|n|1，則x2y21.由解得或，n(1,0)或n(0，1)9解 設存在點m，且(6，3) (01)，(26，53)，(36，13)(4分)，(26)(36)(53)(13)0，(8分)即45248110，解得或.m點坐標為(2,1)或.故在線段oc上存在點m，使，且點m的坐標為(2,1)或(，)(12分)10(1)證明abcos()cossinsinsin cos sin cos 0.ab.(4分)(2)解由xy得，xy0，即a(t23)b(katb)0，ka2(t33t)b2tk(t23)ab0，k|a|2(t33t)|b|20.(6分)又|a|21，|b|21，kt33t