【導與練】高考數學 試題匯編 第三節(jié)直接證明與間接證明 文（含解析）.docVIP

第三節(jié)直接證明與間接證明 直接證明考向聚焦證明方法是高考?？純热?一般不單獨命題、主要以函數、三角函數、數列、向量、不等式、立體幾何、解析幾何等為載體,考查綜合法、分析法、反證法等且以直接證明的綜合法為重點.多以解答題的形式出現,具有一定的難度,屬中高檔題,所占分值1214分備考指津綜合法和分析法是兩種不同的證明方法,分析法便于尋找解題思路,而綜合法便于證題過程的敘述,兩種方法各有所長,在解決具體的問題中,應注意兩種方法的綜合運用1.(2010年陜西卷,文7)下列四類函數中,具有性質“對任意的x0,y0,函數f(x)滿足f(x+y)=f(x)f(y)”的是()(a)冪函數(b)對數函數(c)指數函數(d)余弦函數解析:(x+y)xy,冪函數f(x)=x不具有此性質.loga(x+y)loga xloga y(a0,且a1),對數函數f(x)=loga x(a0,且a1)不具有此性質.ax+y=axay,指數函數f(x)=ax(a0,且a1)具有此性質.cos (x+y)cos xcos y,余弦函數f(x)=cos x不具有此性質.故選c.答案:c.2.(2012年福建卷,文20,12分)某同學在一次研究性學習中發(fā)現,以下五個式子的值都等于同一個常數:(1)sin213+cos217-sin 13cos 17;(2)sin215+cos215-sin 15cos 15;(3)sin218+cos212-sin 18cos 12;(4)sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos 48;(5)sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos 55.(1)試從上述五個式子中選擇一個,求出這個常數.(2)根據(1)的計算結果,將該同學的發(fā)現推廣為三角恒等式,并證明你的結論.解:(1)選擇(2)式,計算如下:sin215+cos215-sin 15cos 15=1-12sin 30=1-14=34.(2)三角恒等式為:sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=34,證明:法一:sin2 +cos2(30-)-sin cos(30-)=sin2 +(cos 30cos +sin 30 sin )2-sin (cos 30 cos +sin 30 sin )=sin2+34cos2+32sincos+14sin2-32sin cos -12sin2=34sin2 +34cos2 =34(sin2+cos2)=34.法二:sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=1-cos22+1+cos(60-2)2-sin (cos 30cos +sin 30sin )=12-12cos 2+12+12(cos 60cos 2+sin 60sin 2)-32sin cos -12sin2 =12-12cos 2+12+14cos 2+34sin 2-34sin 2-14(1-cos 2)=1-14cos 2-14+14cos 2=1-14=34. 本題主要考查同角三角函數的關系、兩角和與差的三角函數公式、二倍角公式等基礎知識.考查學生的運算求解能力、抽象概括能力、推理論證能力,考查特殊與一般思想.3.(2010年浙江卷,文21)已知函數f(x)=(x-a)2(x-b)(a,br,ab).(1)當a=1,b=2時,求曲線y=f(x)在點(2,f(2)處的切線方程;(2)設x1,x2是f(x)的兩個極值點,x3是f(x)的一個零點,且x3x1,x3x2.證明:存在實數x4,使得x1,x2,x3,x4按某種順序排列后構成等差數列,并求x4.(1)解:當a=1,b=2時,f(x)=(x-1)(3x-5),故f(2)=1.又f(2)=0,所以f(x)在點(2,0)處的切線方程為y=x-2.(2)證明:由題意得f(x)=3(x-a)(x-a+2b3),由于ab且a,br,故aa+2b3,所以f(x)的兩個極值點為x=a,x=a+2b3.不妨設x1=a,x2=a+2b3,因為x3x1,x3x2,且x3是f(x)的零點,故x3=b.又因為a+2b3-a=2(b-a+2b3),x4=12(a+a+2b3)=2a+b3,此時a,2a+b3,a+2b3,b依次成等差數列,所以存在實數x4滿足題意,且x4=2a+b3.(2011年大綱全國卷,理21,12分)已知o為坐標原點,f為橢圓c:x2+y22=1在y軸正半軸上的焦點,過f且斜率為-2的直線l與c交于a、b兩點,點p滿足oa+ob+op=0.(1)證明:點p在c上;(2)設點p關于點o的對稱點為q,證明:a、p、b、q四點在同一圓上.證明:(1)焦點f(0,1),直線l的方程為y=-2x+1.1分將代入到x2+y22=1中整理得4x2-22x-1=0.2分設a(x1,y1),b(x2,y2),p(x3,y3),則x1+x2=22,y1+y2=-2(x1+x2)+2=1.3分oa+ob+op=0,x3=-(x1+x2)=-22,y3=-(y1+y2)=-1,p點的坐標為(-22,-1).4分經驗證,點p的坐標(-22,-1)滿足方程x2+y22=1,故點p在橢圓c上.5分第(1)問賦分細則:(1)寫出焦點f的坐標及直線l的方程得1分;(2)將直線l的方程代入到橢圓c的方程中化簡正確得1分;(3)將向量等式oa+ob+op=0坐標化,結合一元二次方程根與系數的關系求出p點的坐標得2分;(4)將p點坐標代入到橢圓c的方程中驗證得1分.(2)由p(-22,-1)得其關于原點的對稱點q(22,1),線段pq的垂直平分線l1的方程為y=-22x.6分設線段ab的中點為m,由(1)得m(24,12),線段ab的垂直平分線l2的方程為y=22x+14.7分由得l1,l2的交點n(-28,18),|np|=(-22+28)2+(-1-18)2=3118.8分|ab|=1+(-2)2(x1+x2)2-4x1x2=3(22)2-4(-14)=322,|am|=324.9分又|mn|=(24+28)2+(12-18)2=338,|na|=|am|2+|mn|2=3118,|np|=|na|.10分又|np|=|nq|,|na|=|nb|,|na|=|np|=|nb|=|nq|.11分由此知a、p、b、q四點在以n為圓心,|na|為半徑的圓上.12分第(2)問賦分細則:(1)分別求出線段pq、ab的垂直平分線l1、l2方程各得1分;(2)求出直線l1與l2交點n的坐標及|np|得1分;(3)分別求出|am|和|na|各得1分;(4)通過計算得到|na|=|np|=|nb|=|nq|,由此證出a、p、b、q四點共圓,得2分. 通過高考閱卷統(tǒng)計分析,造成失分的原因如下:(1)不知道將oa+ob+op=0坐標化,得到a、b、p三點坐標間的關系式,無從下手;(2)不知道利用整體代換求出p點坐標,不能得分;(3)缺少將