4.3用乘法公式分解因式課堂實錄.docx

4.3用乘法公式分解因式的課堂實錄 師：說比賽，比賽馬上就來了，我們先來看一下第一個題目：（1）9998+992看誰做得最快？這個男生你先說。生：9900師：9900你是怎么算的？生：采用分配律可以求出99乘以100.師：99乘以100怎么來？生：99（98+2）.師：98+2利用了分配律對不對，把分配律反過來用是嗎？那你還記得分配律用字母表示，怎么表示嗎？生：a(b+c)=ab+ac.師：a(b+c)=ab+ac.那我們剛才說的，把它反過來，那應(yīng)該是？生：ab+ac=a(b+c).師：ab+ac=a(b+c)非常好！師：那我們再來試一道題，這就是我們ab+ac=a(b+c)這是我們剛剛學(xué)過的因式分解的什么方法？生（齊答）：提取公因式法。師：再繼續(xù)一題：（2）1012992師：這位女生你最快，你來說。生：400師：對，400你是怎么做的？生：（101+99）（101-99）師：為什么可以這么做??？生：因為根據(jù)公式 師：噢，這就是我們的什么公式？生（齊答）：平方差公式。師：她已經(jīng)把它說出來了，那這個時候我是不是要把它反過來用，反過來用，又變成什么？生：師： 這就是平方差公式的逆用對不對？那你來說一下看，公式里的a就是這里的誰？生：101師：公式里的b呢？生：99師：非常好，請坐。再試一下第3題，復(fù)雜一點了哦，（3）10122101 99992這位男生生：首先把這里面的101跟101提取出來。師：101跟101提取出來，你是怎么做的？101提取出來之后呢？生：(101+299) 101師： (101+299) 101還有一個誰？噢，992 然后呢？生：括號里面求出來。師：括號里面求出來這個我們口算也是可以求出來的是嗎？然后呢？992 我們怎么辦？生：992師：等會再提取出來是不是？請坐，有沒有同學(xué)覺得你可以做得比他更簡單？好，這位女生你來說。生：我覺得應(yīng)該用完全平方公式。師：應(yīng)該用完全平方公式，我聽到有學(xué)生說“哇一下子恍然大悟了是不是？那你來說一下，用完全平方公式結(jié)果應(yīng)該是怎么樣的？生：4萬。師：4萬，這個應(yīng)該怎么寫？10122101 99992應(yīng)該等于？生：(101 99)2師：(101 99)2 你們認同嗎？生：認同。師：真棒！請坐，那我們觀察到大家可能說為什么它可以用完全平方公式呢？發(fā)現(xiàn)這里首平方，尾平方，首尾兩倍中間放啊。符合這個特征對不對？于是我們把完全平方公式反過來用是嗎？完全平方公式反過來應(yīng)該是怎么樣的？生（齊答）：(a b)2= a22abb2師：另一種情況是？生（齊答）：(a -b)2師：還有一種情況是師：像這樣老師把兩條放在一塊寫是不是？那我們今天把這個平方差、完全平方公式反過來用應(yīng)該怎么寫？生（齊答）：師：好，其實我們發(fā)現(xiàn)，剛才同學(xué)們巧妙地應(yīng)用了分配律和乘法公式就把我們非常復(fù)雜的算式變得很簡單，對不對？同樣地像提取公因式一樣利用乘法公式也是因式分解非常重要的方法，這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)：4.3用乘法公式分解因式。師：好，我們先來看例1:把下列各式進行因式分解：a 2 9 b 2 + 4l2 師：這兩個多項式我們可以利用什么方法去跟它進行因式分解？師：用哪個公式對它進行因式分解？你來說一下！生：用平方差公式。師：用平方差公式，為什么可以用平方差公式？生：因為9是3的平方。師：9是3的平方，第一個式子可以寫成兩個平方的差，對不對？請坐，我們一起來做一下。師：原式等于誰的平方減誰的平方？生：a的平方減去3的平方師：就會等于？生：（a+3）(a-3)師：非常好，那第二個可以用平方差公式嗎？生：可以。師：可以是不是？那我覺得同學(xué)們試一下看。（指名學(xué)生上臺板演）師：好了的同學(xué)，我們互相對一下看分解的結(jié)果是否正確？師：這位同學(xué)做的對嗎？生：嗯師：不好判斷對不對？那我們一步一步進行分析好不好？她先怎么做？ 4l2 是誰的平方？生: 2l的平方。師：這里符合平方差公式吧，很難判斷為什么?你有什么比她更好的方法嗎？只要一個小小的改變，好，這位男生。生：改變符號。師:改變符號，怎么改變符號？生：-b 改成+b ,-b2改成b2，然后把運算符號改一下。師：怎么樣才能改變？提取一個負號是這個意思嗎？生：嗯師：提取一個負號，那里面變成-( b2 -4l2)生：-( b2 -4l2)= ( b -2l) -( b +2l)師：這里面后面 b2 -4l2可以用平方差公式進行因式分解，還有沒有同學(xué)我是不需要提取負號的，我也可以做。好，這位男生，又來了。生：用加法交換律。師：用加法交換律，怎么交換？生：把- b2 +4l2 變成4l2 -b2師：也就是把誰提到前面去啊？生（齊答）：4l2師：把正的移到前面去??？4l2 -b2 這個就是誰的平方？生：(2 l)2 -b2師：這個會做了嗎？非常好，請坐。思路非常的清晰，所以遇到這種情況的時候，我們盡量把誰移到前面去？生：正的師：正的那一項移到前面去，對不對？結(jié)果就應(yīng)該等于(2 l +b)(2 l b)師：好，接下來我們就是來探究一下如何用平方差公式來分解因式。通過剛才的例子，同學(xué)們思考一下，怎樣的多項式適用平方差公式來因式分解？小組討論，記錄員準備好，開始！師：哪一小組商量好了，馬上舉手！師：有小組商量好了，馬上舉手！師：都靜下來了，好，你來說一下。生：首先是兩個數(shù)，兩個數(shù)是一個正一個負。師：一個正，一個負，而且老師還聽到你這提到兩個數(shù)字，對不對？說明它要幾項？生：兩項。師：兩項，一個正，一個負，說明這兩項要怎樣？生：相減。師：一定是相減嗎？師：符號相反，要求兩項并不一定是數(shù)字，整式是不是也行?。繋煟簝身?，還要求這兩項符號是相反的，非常棒，還有要求嗎？生：數(shù)字的指數(shù)都為2次。師：數(shù)字的指數(shù)都為2次，那以后字母的指數(shù)都為2次、4次行不行啊？生：可以。師：也行對不對？那你能不能對這句話進行修改或者？生：師：要不要給其他小組機會，請坐下，你已經(jīng)很棒了得到兩個半它的特征了，好誰來補充這半個？生：一個項是相同的，另一個項是互為相反數(shù)。師：一個項是相同的？你是指這里嗎？哪一項是相反數(shù)呢？這個是逆過來的，是它的結(jié)果，而不是它本身具有的特征，對不對？師：好，請坐，有沒有同學(xué)需要補充?這位女生。生：第一個要求是它要具有兩個項，第二個要求是兩個項的符號都是相反。師：對。生：最后一個我想要求是它們的指數(shù)必須要相同。師：指數(shù)要相同，那如果a2-b2 可不可以用這個？生（齊答）：可以。師：可以對不對？那你們有沒有發(fā)現(xiàn)我們都可以實用它。師：你來補充。生：最后可以平方。師：可以平方對不對？這就答到點上了，兩項都必須能寫成某個數(shù)或式子的平方，我們就可以用平方差公式，對不對？師：好，這就是我們的第三個特征：兩項都可以寫成數(shù)或式子的平方，對不對？師：好，我們再來看一下，剛才我們對這公式有了進一步的了解了，那請你編一道可以用平方差公式進行因式分解的多項式。師：要緊扣公式的特征。（指名幾位學(xué)生上臺板演）。a2-1 a2-16b2 a2-4b6 師：下面同學(xué)都寫好了嗎？我們可以來判斷一下黑板上三位同學(xué)有沒有寫對？好，我們先來看一下第一位同學(xué)寫的，能用平方差公式進行因式分解嗎？生（齊答）：能。師：a2-1這是誰的平方？生：1的平方。師：第二個它能嗎？生：不能。師：那第二個我們?nèi)绾螌λM行修改呢？生：a2師：a2-4b6，對不對？師：好，第三個可以嗎？生：不可以。師：不行，為什么不行?。可簬煟浩椒讲?，符號是相同嘍，不行對不對？那我們把誰擦掉？生：負號。師：那請同學(xué)們這樣，它們既然可以用平方差公式進行因式分解，那老師再加兩道題：9/25x2-1/16y2 (x+z)2-(y+z)2 師：請對這5個式子進行因式分解。師：好，誰想做第1題，自己上去，想做第2題的也自己上去。師：看看哪幾道題還沒人做的?師：做好了同學(xué)可以看一下黑板上的同學(xué)，有沒有跟他們有相同的。師：下面同學(xué)都做好了嗎？好，一起來看第一個a2-1=(a-1)(a+1) 對不對？對嗎？師：第二個a2-4b6= (a-2b2)2是嗎？生：錯。師：錯，那先看他什么錯？第1個先看原式應(yīng)該等于誰的平方？生：a2師：a2減誰的平方？生：a2-2b3師：對，b的幾次會等于b的6次?生：a的3次。師：對，a2-4b6=a2-(2b3)2這時候兩個數(shù)的平方差就等于兩數(shù)的和與兩數(shù)的差師：我們再來看第3題(a+4b)(a-4b)對了嗎？生：對。師：這個16b2是誰括號的平方?生：4b的平方師：等于（a+4b）(a-4b),好，我們再來看第4題，對了嗎？生：對。師：對了嗎？生：對。師：我只聽到幾位同學(xué)回答其他同學(xué)對了嗎？生：對了。師：好，那最后一個看一下，它這個，我這么復(fù)雜的式子怎么會變成這樣子??？哪個同學(xué)做的？師：你給大家說說看，你是怎么想的？生：師：嗯，她把誰看作一個整體？生：x+z y+z師：等于這兩項相加與這兩項相減。為什么這里y+z到這里就變成-y-z？生：去括號直接要變號。師：直接去括號了，對不對？師：好，先請坐，非常好。她這里，如果我們寫得慢一點的話，可以等于這兩項(x+z)+(y+z)(x+z)-(y+z) 去完括號就這樣子(x+z-y-z)(x+z+y+z)對嗎?那有沒有同學(xué)覺得更完善的，還可以怎么做？你們最后都寫得是這個結(jié)果嗎？師：你不是寫得這個結(jié)果，你還可以怎么寫？你來說說看。生：這個我看不清楚。師：噢，你看不清楚啊，那要配眼鏡了，有沒有同學(xué)你們覺得我還可不可以把它寫得更加簡潔點？生：直接可以把z去掉。師：(x-y)(x+y+2z).所以同學(xué)們我們要注意了，當(dāng)我們因式分解的話，最后的結(jié)果能化簡的話，我們應(yīng)該對它進行化簡。好，現(xiàn)在老師又編了一道題：x2+4x+4它能用平方差公式進行因式分解嗎？生：不可以。師：不可以，為什么呀？生：它有三項。師：三項，剛才我們前面說它的特征是兩項，它最起碼三項就已經(jīng)不符合了，是吧？師：那你們能對它進行因式分解嗎?生：能。師：很多同學(xué)都說能，那你們先把它寫出來。生：不用平方差公式。師：不用平方差公式？怎么用？你來說一下。生：用完全平方公式。師：用完全平方公式，為什么可以用完全平方公式??？生：有三項，而且4是2的平方。師：4是2的平方。X2 ,22然后呢？生：然后第二項的4也正好是2的兩倍。師：正好是2的兩倍，也就是2乘以首是x還要乘以誰？生：2師：2就是尾，首尾的兩倍。所以這就說明它是完全平方公式的結(jié)果是吧？師：那我們逆過來用，就可以寫成(x+2)2師：非常好，請坐其實像這樣子，我們觀察到如果一個式子、一個多項式它可以有兩個數(shù)的平方和，再加上這兩數(shù)的2倍，這樣的式子這樣的多項式我們就把它叫做完全平方式。所有的完全平方式都可以用完全平方式對它進行因式分解。師：看一下，這個-x2+2xy-y2是完全平方式嗎？生（齊答）：是。師：怎么它就是了？生：前面師：這個男生你來說。生：只要把它添個括號就是了。師：添一個括號？還是說我提取一個出來？生：提取一個負號。師：提取一個負號，是不是？我們一起來看一下，提取一個負號-(x2-2xy+y2) 這個括號里可以用完全平方公式進行因式分解了嗎？生：可以。師：接下來我們就一起來探究用完全平方公式進行因式分解。同學(xué)們先總結(jié)一下完全平方公式它有什么特征？記錄員準備。生：完全平方公式必須是三項。師：三項，抓得非常準確。生：而且首平方，尾平方師：首平方，尾平方。這說明要有幾個平方項呢？生：有兩個。師：有兩個平方項。生：中間是首尾平方乘以2.師：噢，首先有三項，然后再有平方項，平方項是數(shù)或者整式平方對不對？而且她沒講我一不小心講出來了，這兩項是什么號?。可和?。師：同號，還有一個是什么項？生：中間項。師：看看中間項，首平方，尾平方還要是同號對不對？中間項生：首尾的數(shù)乘以2.師：首尾這兩個數(shù)會不會是式子？幾倍？生：兩倍。師：兩倍，那它符號有沒有要求嗎？生：是首尾相乘然后乘以2，那首尾如果是負號的話，那就是正號。師：好，我們聽聽其他同學(xué)怎么講？你已經(jīng)很棒了，找了非常多的特征，你來說。生：我覺得中間的話，如果你的這一項是完全平方公式，那個符號是(a-b)2的話，那么中間那個首尾積的兩倍是負的。如果(a+b)2那么首尾積的兩倍就是正的。師：你們聽進去了嗎？噢，有的同學(xué)說沒有，老師把它更完善一下好不好？師：我們來看一下她剛才說的，她說，包括第一個女生也講了，中間一項是首尾的兩倍對不對？中間項首尾的兩倍，我們剛才講的是數(shù)或是式子的兩倍，后面如果是加，它就是加。如果是減它就是減，對嗎？但是今天我們是把它反過來用，這中間可正可負對不對？請問它是加號時，我后面就變成(首+尾)2，它如果是減號時，就變成(首-尾)2，首22首尾+尾2=（首尾）2 所有符合這樣的式子我們都稱為完全平方式。先來嘗試一下看:x2+12x+36 9x2+6x+1師：這樣第一個我們一起來寫一下，第一個原式=x2+2x6+62=(x+6)2師：好，下面兩道的機會都給同學(xué)們，會寫的勇于表現(xiàn)自己，直接上去。生板書：原式=(3x+1)2師：好，這位同學(xué)(3x+1)2 對了嗎？ 因為9x2就是誰的平方？生：(3x)2師：最后一項是誰的平方？生：1的平方。師：剛好，你想一下中間符不符合首尾的兩倍??？首尾乘一下是？結(jié)果是等于(3x+1)2師：看一下第3小題，結(jié)果等于(a+b+6)2對了嗎？這道題哪個同學(xué)做的？你來說說看，你是怎么想的？生：第1小題把（a+b）看作一個整體。師：對，把（a+b）看作一個整體。生：然后就開始完全平方。師：我覺得這位同學(xué)用整體思想用的非常好，其實這一題跟哪一題非常相似？很多同學(xué)整體思想用的非常好，(a+b)+62其實我們最后可以把括號去掉，能化簡則化簡，到目前為止，我們都學(xué)了什么方法去分解因式分解呢？生：平方差公式，完全平方公式。師：再這之前，我們還學(xué)過？生（齊答）：提取公因式。師：好，接下來請大家用我們學(xué)過的方法對這兩個式子進行因式分解。X3-4x 3ax2+6axy+3ay2生上臺板演：x3-4x=x(x2-4)師：看一下第一道題，做的怎么樣？先怎么樣？生：提取x師：對了嗎？有沒有同學(xué)覺得我跟她有不同的，這位女生你說說看?生：-x(-x2+4)師：你提取的公因式師“-X”對嗎？一般來說，我們提取的公因式為了保證括號里面的第一項是正的對吧，當(dāng)它第一項是負的，我們就提取一個負的公因式，這里第一項已經(jīng)是正的，我們只需要提取一個正的公因式就可以了，是不是？師：好，先請坐，還有沒有同學(xué)覺得生：我覺得括號里面還可以用平方差公式進行因式分解x(x+2)(x-2)。師：同學(xué)們覺得第一個正確還是第二個正確？生（齊答）：第二個。師：我們在做題目時，對它進行因式分解一定要求因式分解要徹底，要分解到不能分解為止。好，第2個同學(xué)，做對了沒有？生：對了。師：好，現(xiàn)在大家小組合作的機會又來了，請小組討論，討論的問題是什么呢？第1個因式分解的一般步驟是什么？第2個問題因式分解需要注意什么？開始！師：好，這個女生你來講。生：我要講的是它要注意的那個點，第1點是不要漏乘。師：不要漏乘是什么意思？提取公因式時是嗎？也就是說提取公因式時候，這個多項式本身是幾項，提取公因式里面還是幾項，這是提取公因式注意點，還有嗎？生：最后都是整式的乘積。師：因式分解結(jié)果都是整式的積的形式。生