3.1.1方程的根與函數(shù)的零點教案.doc

3.1.1方程的根與函數(shù)的零點課型：新授課 授課人：郭紅霞【教學(xué)目標(biāo)】1了解函數(shù)零點的概念：能夠結(jié)合具體方程（如二次方程），說明方程的根、函數(shù)的零點、函數(shù)圖象與x軸的交點三者的關(guān)系；2理解函數(shù)零點存在性定理：了解圖象連續(xù)不斷的意義及作用；知道定理只是函數(shù)存在零點的一個充分條件；了解函數(shù)零點可能不止一個；3能利用函數(shù)圖象和性質(zhì)判斷某些函數(shù)的零點個數(shù)，及所在區(qū)間；4經(jīng)歷“類比歸納應(yīng)用”的過程，感悟由具體到抽象的研究方法，培養(yǎng)歸納概括能力；5初步體會函數(shù)與方程思想，能將方程求解問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點問題；體會函數(shù)與方程的“形”與“數(shù)”、“動”與“靜”、“整體”與“局部”的內(nèi)在聯(lián)系 【教學(xué)重難點】教學(xué)重點：方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系、函數(shù)零點存在性定理教學(xué)難點：對零點存在性定理的準(zhǔn)確理解【教學(xué)方法】觀察探索與問題式相結(jié)合【教學(xué)過程】（一）創(chuàng)設(shè)情境，感知概念1實例引入解方程：（1）2-x=4；（2）2-x=x設(shè)計意圖：通過純粹靠代數(shù)運算無法解決的方程，引起學(xué)生認(rèn)知沖突，激起探求的熱情2一元二次方程的根與二次函數(shù)圖象之間的關(guān)系填空：方程x2-2x-3=0x2-2x+1=0x2-2x+3=0根x1=-1，x2=3x1=x2=1無實數(shù)根函數(shù)y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3圖象42-2-43-112Oxy42-2-43-112Oxy42-23-112Oxy圖象與x軸的交點兩個交點：(-1,0)，(3,0)一個交點：(1,0)沒有交點問題1：從該表你可以得出什么結(jié)論？歸納：判別式000方程ax2+bx+c=0 (a0)的根兩個不相等的實數(shù)根x1、x2有兩個相等的實數(shù)根x1 = x2沒有實數(shù)根函數(shù)y=ax2+bx+c (a0)的圖象Oxyx1x2Oyxx1Oxy函數(shù)的圖象與x軸的交點兩個交點：(x1,0)，(x2,0)一個交點：(x1,0)無交點問題2：一元二次方程的根與相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象之間有怎樣的關(guān)系？學(xué)生討論，得出結(jié)論：一元二次方程的根就是函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)設(shè)計意圖：通過回顧二次函數(shù)圖象與x軸的交點和相應(yīng)方程的根的關(guān)系，為一般函數(shù)及相應(yīng)方程關(guān)系作準(zhǔn)備3一般函數(shù)的圖象與方程根的關(guān)系問題3：其他的函數(shù)與方程之間也有類似的關(guān)系嗎？師生互動，由一元二次方程抽象出一般方程，由二次函數(shù)抽象出一般函數(shù)，得出一般的結(jié)論：方程f(x)0有幾個根，yf(x)的圖象與x軸就有幾個交點，且方程的根就是交點的橫坐標(biāo)設(shè)計意圖：由具體到抽象，將結(jié)論推廣到一般函數(shù)，為零點概念做好鋪墊（二）辨析討論，深化概念4函數(shù)零點概念：對于函數(shù)yf(x)，把使f(x)0的實數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)的零點即興練習(xí)：函數(shù)f(x)=x(x216)的零點為（ D ）A(0，0)，(4，0) B0，4C(4，0)，(0，0)，(4，0) D4，0，4設(shè)計意圖：及時矯正“零點是交點”這一誤解說明：函數(shù)零點不是一個點，而是具體的自變量的取值求函數(shù)零點就是求方程f(x)0的根5歸納函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系問題4：函數(shù)的零點與方程的根有什么共同點和區(qū)別？（1）聯(lián)系：數(shù)值上相等：求函數(shù)的零點可以轉(zhuǎn)化成求對應(yīng)方程的根；存在性一致：方程f(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)yf(x)有零點（2）區(qū)別：零點對于函數(shù)而言，根對于方程而言以上關(guān)系說明：函數(shù)與方程有著密切的聯(lián)系，函數(shù)問題有時可轉(zhuǎn)化為方程問題，同樣，有些方程問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解，這正是函數(shù)與方程思想的基礎(chǔ)練習(xí)：求下列函數(shù)的零點：設(shè)計意圖：使學(xué)生熟悉零點的求法（即求相應(yīng)方程的實數(shù)根）（三）實例探究，歸納定理6零點存在性定理的探索問題5：觀察兩組畫面,請你推斷一下哪一組一定能說明小馬已經(jīng)成功過河？問題6：將河流抽象成x軸，將小馬前后的兩個位置抽象為A、B兩點。請問當(dāng)A、B與x軸滿足怎樣的位置關(guān)系時AB間的一段函數(shù)圖象與x軸會有交點？并畫出函數(shù)圖像通過類比，發(fā)現(xiàn)只要滿足A、B兩點在x軸的兩側(cè)這種位置關(guān)系就可以達(dá)到要求。同時這種位置關(guān)系可以用f（a）f（b）0來表示。 設(shè)計意圖：將現(xiàn)實生活中的問題抽象成數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行合情推理，同時由原來的圖形語言抽象成數(shù)學(xué)語言，再轉(zhuǎn)換成函數(shù)圖像。培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和提取有效信息的能力。體驗語言轉(zhuǎn)化的過程。abcxyOd問題7：結(jié)合圖像，試用恰當(dāng)?shù)恼Z言表述如何判斷函數(shù)在某個區(qū)間上是否存在零點？觀察函數(shù)的圖象：在區(qū)間(a，b)上_(有/無)零點；f(a)f(b) _ 0（“”或“”）在區(qū)間(b，c)上_(有/無)零點；f(b)f(c) _ 0（“”或“”）在區(qū)間(c，d)上_(有/無)零點；f(c)f(d) _ 0（“”或“”）設(shè)計意圖：通過歸納得出零點存在性定理7零點存在性定理：如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷一條曲線，并且有f(a)f(b)0，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點即存在c(a，b)，使得f(c)0，這個c也就是方程f(x)0的根即興練習(xí)：下列函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)是否存在零點？（1）f(x)=log2x，x，2；（2）f(x)=ex-1+4x-4，x0，1設(shè)計意圖：通過簡單的練習(xí)適應(yīng)定理的使用（四）正反例證，熟悉定理8定理辨析與靈活運用例1 判斷下列結(jié)論是否正確，若不正確，請使用函數(shù)圖象舉出反例：（1）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，且f(a)f(b)0，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有且僅有一個零點（ ）（2）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，且f(a)f(b)0，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)沒有零點（ ）（3）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a，b滿足f(a)f(b)0，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點（ ）請一位學(xué)生板書反例，其他學(xué)生補充評析，例如：abOxyabOxyabOxy歸納：定理不能確零點的個數(shù)；定理中的“連續(xù)不斷”是必不可少的條件；不滿足定理條件時依然可能有零點設(shè)計意圖：通過對定理中條件的改變，將幾種容易產(chǎn)生的誤解正面給出，在第一時間加以糾正，從而促進(jìn)對定理本身的準(zhǔn)確理解9練習(xí)：（1）已知函數(shù)f (x)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的x，f(x)對應(yīng)值表：x1234567f(x)23971151226那么函數(shù)在區(qū)間1，6上的零點至少有（ ）A5個B4個C3個D2個（2）方程 x 3 3x + 5=0的根所在的大致區(qū)間為（ ）A( 2，1)B( 1，0)C(0，1)D(1，2)設(shè)計意圖：一方面促進(jìn)對定理的活用，另一方面為突破后面的例題鋪設(shè)臺階（五）綜合應(yīng)用，拓展思維10例題講解例2：求函數(shù)f(x)lnx2x6的零點的個數(shù)，并確定零點所在的區(qū)間n，n+1(nZ)解法1（借助計算工具）：用計算器或計算機作出x、f(x)的對應(yīng)值表和圖象x123456789f(x)-4.0-1.31.13.45.67.89.912.114.2由表或圖象可知，f (2)0,則f (2) f (3)0，這說明函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，3)內(nèi)有零點問題8：如何說明零點的唯一性？又由于函數(shù)f(x)在(0，+)內(nèi)單調(diào)遞增，所以它僅有一個零點解法2（估算）：估計f(x)在各整數(shù)處的函數(shù)值的正負(fù)，可得如下表格：x1234f(x)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，f(x)在區(qū)間(2，3)內(nèi)有唯一的零點解法3（函數(shù)交點法）：將方程lnx2x6=0化為lnx=6-2x，分別畫出g(x)=lnx與h(x)=6-2x的草圖，從而確定零點個數(shù)為1繼而比較g(2)、h(2)、g(3)、h(3)等的大小，確定交點所在的區(qū)間，即零點的區(qū)間 6Oxy2134g(x)h(x)由圖可知f(x)在區(qū)間(2，3)內(nèi)有唯一的零點設(shè)計意圖：通過例題分析，能根據(jù)零點存在性定理，使用多種方法確定零點所在的區(qū)間，并且結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，判斷零點個數(shù) 練習(xí) 求方程2-x =x的解的個數(shù)，并確定解所在的區(qū)間n，n+1(nZ)設(shè)計意圖：一方面與引例相呼應(yīng)，又作為例題方法的鞏固，也為下一節(jié)課作鋪墊（六）總結(jié)整理，提高認(rèn)識（1）一個關(guān)系：函數(shù)零點與方程根的關(guān)系：函數(shù)方程零點根數(shù) 值存在性個 數(shù)（2）兩種思想：函數(shù)方程思想；數(shù)形結(jié)合思想（3）三種題型：求函數(shù)零點、判斷零點個數(shù)、求零點所在區(qū)間（七）布置作業(yè)，獨立探究1函數(shù)f(x)(x4)(x4)(x2)在區(qū)間-5，6上是否存在零點？若存在，有幾個？2利用函數(shù)圖象判斷下列方程有幾個根：（1）2x(x2)3；（2）ex144x3結(jié)合上課給出的圖象，寫出并證明下列函數(shù)零點所在的大致