第28屆俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克.pdf

中 等 數(shù) 學(xué) 第 2 8屆俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克 第 2 8屆俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克于2 0 0 2 年 4月2 1日至2 9日在俄羅斯阿迪格共和國(guó)首府邁科普市舉行 來(lái) 自 俄 羅斯全國(guó)各地的 1 9 9名選手參加 了比賽 考試分為兩天 各個(gè)年級(jí)都是 8道試題 每天 4道題 5個(gè)小時(shí) 每道 題滿分都是 7分 我國(guó)派出了東北育才學(xué)校的6名選手參加了此次競(jìng)賽 競(jìng)賽設(shè)一二三等獎(jiǎng) 其中一等獎(jiǎng)僅有 6 名選手獲得 約占參賽人數(shù)的 3 我國(guó)選手李曉 東以總分第二名的優(yōu)秀成績(jī)榮列其 中 此外 還頒發(fā) 了4 5個(gè) 二等獎(jiǎng)和 5 7個(gè)三等獎(jiǎng) 我國(guó)選手獲得 l 卜二等獎(jiǎng)和 4個(gè)三等獎(jiǎng) 以下各個(gè)年級(jí)的前 4題為第一 是的試題 后 4題為第二天的試題 九 年 級(jí) 9 1 能否將 自然數(shù) 1 至 2 0 o 2 填寫 到一個(gè) 2 0 0 2 X 2 0 0 2的方格表 中 使得對(duì)任何 一個(gè) 方格 都或 者可 以從它所在 的行 中 或 者可以從它所在 的列中找 出三 個(gè)數(shù) 其中兩個(gè)數(shù)的乘積等于第三個(gè)數(shù) 9 2 在以 0為頂點(diǎn)的角的一條邊上取 一點(diǎn) 4 在另一條邊 上取兩 點(diǎn) B C 其 中點(diǎn) 曰位于點(diǎn) 0 與點(diǎn) C之 間 作 出 O A B 的 內(nèi)切 圓 圓心 為 0 再 作 出 O A C 的一個(gè)旁切圓 圓心為 0 使之與邊 A C相 切 且 與邊 O A和 O C的延長(zhǎng) 線相 切 證 明 如果 0 A 0 4 則 A B C為等腰三角形 9 3在平 面上 給定 了 6個(gè)紅 點(diǎn) 6個(gè)藍(lán) 點(diǎn) 6個(gè) 綠點(diǎn) 其中任何三點(diǎn)不共線 證明 以同色點(diǎn)為頂點(diǎn)的 所有三角形的面積之和不超過(guò)這些給定點(diǎn)所形成的 昕有三角形的面積之和的四分之一 9 4 希臘神話中的 多頭蛇 神由 一 些頭和頸子 組成 每一條頸子連接兩個(gè)頭 每砍下一劍 可以斬?cái)?由某一個(gè)頭 A所連 出 的昕 有的頸 子 但 是 由頭 A立 即長(zhǎng) 出一些 新的頸 子聯(lián) 向所 有 原來(lái) 不與 它相 連 的頭 每個(gè)頭只連一條頸子 只有把 多頭蛇 斬為兩個(gè)互 不連通的部分 才算戰(zhàn)勝 了它 試找出最小的自然數(shù) 使得對(duì)任何長(zhǎng)有 1 0 0個(gè)頸子的 多頭蛇 神 至多 只要砍不多于 劍 就可以戰(zhàn)勝它 9 5 在國(guó)際象棋棋盤上放有 8枚棋子 車 它 們不能相互搏殺 證明 其中必有某兩對(duì)棋子之間的 距離相等 兩枚棋子之間的距離是指它們所在的方格 的中心之 間的距 離 9 6 有一個(gè)紅色卡片盒和 k個(gè) k 1 藍(lán)色卡片 盒 還有一 副卡片 共有 2 n張 它 們被 分別編 為 1至 2 n號(hào) 開(kāi)始時(shí) 這副卡 片被按任 意順 序疊 置在紅 色卡 片盒 中 從 任何 一個(gè)卡 片盒 中都 可 以取 出最上 面 的一 張 卡片 或 者把它放到 空 盒 中 或 者把 它放 到 比它 號(hào) 碼 大 1的卡片 的上方 對(duì) 于 怎樣 的最 大的 n 可 以通 過(guò)這種操作 把所有卡 片移到其 中一個(gè)藍(lán) 色卡片盒 中 9 7 設(shè) A B C的外心為 0 在其邊 A B 和 B C上 分別 取點(diǎn) 和 使 得 2 MO N 4 0 C 證 明 MB N的周長(zhǎng)不小于邊 A C之長(zhǎng) 9 8 在區(qū)間 2 2 2 3 中任取 1 個(gè)奇數(shù) 證明 在所取出的數(shù)中必有兩個(gè)數(shù) 其中每一個(gè)數(shù)的 平方都 不能被另 一個(gè)數(shù) 整除 十 年 級(jí) 1 0 1 設(shè) P Q R都是實(shí) 系數(shù) 多項(xiàng)式 它們 之 中 既 有二次多項(xiàng)式 也有 三次 多項(xiàng) 式 并 且滿 足關(guān) 系式 P Q R 證明 其 中必有 一個(gè)三次 多項(xiàng)式 的根全 是實(shí) 根 1 0 2 設(shè)四邊形 A B C D內(nèi)接于圓 過(guò) A所作的 圓 的切線交邊 B C的延長(zhǎng)線于點(diǎn) K 且點(diǎn) 曰位于點(diǎn) 和點(diǎn) C之 間 而過(guò) B所作 的圓 的切線 交邊 A D 的 延長(zhǎng)線于點(diǎn) 且點(diǎn) A位于點(diǎn) 和點(diǎn) D之間 已知 A M A D B K B C 證 明 四邊形 A B C D為梯形 1 0 3 證明 對(duì)于任何自然數(shù) n 1 0 0 0 0 都可以 找 到 自然數(shù) m 其 中 m可 以表示 為兩 個(gè)完 全平 方數(shù) 的和 并且滿 足條 件 0 m nm 證明 對(duì) 一 切 0 都 有 2I s i n C O S I 3I s i n 一 C O S I 1 1 4 某城市有若干個(gè)廣場(chǎng) 有些廣場(chǎng)之間有單 向行車線路相連 并且 自每個(gè)廣場(chǎng)都剛好有兩條往外 駛出的線路 證 明 可 以把 該城市 分成 l 0 1 4個(gè)小 區(qū) 使得每條線路所連接的兩個(gè)廣場(chǎng)鄱分屬兩 個(gè)不同的 小區(qū) 并且對(duì)于任何兩個(gè)小區(qū) 所有連接它們的線路 都是同一個(gè)方向的 即都是由小區(qū)甲駛往小區(qū)乙的單 向行車線 或者都是反過(guò)來(lái)的 1 1 5 試求出具有如下性質(zhì)的最小的正整數(shù) 它 可以表示為 2 0 0 2個(gè) 各位 數(shù)字 之 和相 等 的正 整 數(shù) 之 和 又可 以表 示為 2 0 0 3個(gè)各 位數(shù) 字之 和相等 的正 整 數(shù)之和 1 1 6 設(shè) A B C D為圓內(nèi)接四邊形 它的兩條對(duì)角 線 A C 和 B D 相交 于點(diǎn) 0 而A A B O的外 接 圓與 A C O D的外接圓相交于點(diǎn) K 已知點(diǎn) 使得AB L C與 A A K D對(duì)應(yīng) 相 似 證 明 如果 B I L K為 凸 四邊 形 那 么 它必為圓外切 四邊形 1 1 7 同 1 0 8 1 1 8 證明 存在無(wú) 限多個(gè)正整數(shù) n 使得和數(shù) 1 1 l 的既約分?jǐn)?shù)表達(dá)式中的分子不是質(zhì) 厶 I t 數(shù)的正整數(shù)次方冪 參考解答 9 1 不可能 數(shù) l 至 2 0 0 1 至多分 布在 2 0 0 1行干 2 0 0 1 列 中 則必 可找 到一行 和一 列 其 中 所填 的數(shù)全 都 不 小 于 3l 2 0 0 2 于是該行 該 列 的任何 二數(shù)的乘積都 大于 2 0 02 1 從而對(duì)于位于該行與該列相交處的方格 題中 的條件不能滿 足 9 2 Z A O 0 2 是A 0 4 0 的外角 所以 AOl 02 AO0l O AOl A 0徹 9 0 一 A B D c 如圖 1 沒(méi) 是 線 段 延 長(zhǎng) 線 上 的 一 點(diǎn) 則 Z M A O 是塵 O A O 的外角 于是 4 020l MAO2一 4 002 1 Z MAC一1 Z A OC I A C O 這樣一來(lái) 由 0 4 0 f4即得 A O 0 A O 0 亦 即 A B C I C B 于 是A B A C 從而塵 4 B C為等腰 三角形 圖 1 9 3考 察 3個(gè) 藍(lán) 點(diǎn) B C和 1 個(gè)非 藍(lán)色點(diǎn) D 易知 S 刪 s I J D 5 S 對(duì)所有關(guān) f這類四點(diǎn)組的不等式求和 可知在和 值中 每個(gè) 藍(lán)色 三 角形都被計(jì)算 了 l 2次 而每個(gè) 藍(lán)一 藍(lán) 非藍(lán) 三角形都被計(jì)算了 4次 從而 所有 藍(lán) 色 三角形 的面積之 和不超 過(guò)所有 藍(lán) 藍(lán) 非 藍(lán) 三角 形的面積之 和的三分之一 亦 即 藍(lán)色 三角形 的面積 之和不超過(guò)所有至少有兩個(gè)頂點(diǎn)為藍(lán)點(diǎn)的三角形面 積之和的四分之一 同理可得關(guān)于其他兩種顏色三角 形的不等式 上述計(jì)算中沒(méi)有重復(fù) 所以 同色三角形 的面積之 和不超過(guò)所有三 角形 面積之 和的四分之一 9 4 1 0 我們改用圖論語(yǔ)言 以頭作為頂點(diǎn) 頸子作為邊 而把對(duì)由頭 A所連出的頸子所砍的一劍稱為對(duì)頂點(diǎn) A昕作的一次 反轉(zhuǎn) 易知 如果有某個(gè)頂點(diǎn) 的度 數(shù)不大于 l 0 那么 就只需對(duì) 的所有相鄰頂點(diǎn)都作 一 次 反轉(zhuǎn) 即可使得頂點(diǎn) 游離 而如果有某個(gè) 頂點(diǎn) 至多與n n 9 個(gè)頂點(diǎn)不相鄰 那么 就只需 首先對(duì) 作 一次 反轉(zhuǎn) 再對(duì)這 n個(gè)頂點(diǎn)各作一次 反轉(zhuǎn) 即可使得頂點(diǎn) 游離 如果每個(gè)頂點(diǎn)都至少有 l 1 個(gè)相鄰頂點(diǎn) 且都至 少有 l 0個(gè)不相鄰頂點(diǎn) 則至少一共有 2 2個(gè)頂點(diǎn) 于 是 邊的條數(shù) 頸子的數(shù)目 不少于 2 2 X l l 1 0 0 不在 考慮范 圍之 內(nèi) 維普資訊 3 2 中 等 數(shù) 學(xué) 我們舉例說(shuō)明 9次不一定行 假設(shè)有兩組各 l O個(gè)頭 每個(gè)組 內(nèi)的每個(gè)頭都與 另一組內(nèi)的每個(gè)頭相連 恰好共有 1 0 0條頸子 若砍 9劍 那么 每個(gè)組內(nèi)都有一個(gè)頭沒(méi)有受到 打擊 設(shè)為 A B 對(duì)其余 l 8個(gè)頭 由題設(shè)知 其中任一 頭 c任何時(shí)候 9劍中 都與且只與 A B中一頭相 連 另一頭不相連 又 A與 日相連 故 多頭蛇 神仍 然是連通 的 9 5 考 察分布 在相鄰列中的 7對(duì) 車 各對(duì) 車 的縱坐標(biāo)的差都在 l與 7之間 因此 或者有兩 對(duì) 車 的縱 坐標(biāo)的差相 同 此時(shí)這兩 對(duì) 車 的距 離 已 經(jīng)相同 因?yàn)樗鼈兊臋M坐標(biāo)的差都是 1 或者這 7對(duì) 車 的縱 坐標(biāo) 的差為 l 到 7 一 樣一 個(gè) 特別 地 其 中 有一對(duì) 車 稱 為 A 的縱 坐標(biāo) 的差 為 2 而它們 的橫 坐標(biāo) 的差 為 1 同理 分布在相鄰行中的 7對(duì) 車 中 或者可以 找 到兩對(duì) 車 的橫坐標(biāo) 的差 相同 此 時(shí)這兩對(duì) 車 的 距離已經(jīng)相同 或者必有一對(duì) 車 稱為 日 的橫坐標(biāo) 的差 2 而它們的縱坐標(biāo)的差為 1 于是 對(duì) A 與 對(duì) 有相 同的距離 9 6 n 一 1 首先證明對(duì)于更大的 n 不一定能夠做到 假設(shè) 開(kāi)始時(shí) 紅盒中的卡片自上而下先放奇數(shù)號(hào)碼的 按 任意順序 然后放號(hào)碼為 2 n的 再放其余偶數(shù)號(hào)碼 的 按任意順序 那么 前 步惟一確定 奇數(shù)號(hào)碼的 卡片相繼放到空的藍(lán)盒之中 接下來(lái) 如果 n 則 已經(jīng)不能再進(jìn)行 如果 n 則只能把 2 n 一 號(hào)卡片 放 回紅盒 于是等于沒(méi)動(dòng) 所 以 此時(shí)無(wú)法按 照要求移 動(dòng) 卡片 假設(shè) n2 和 n 詛 x a b l n a x P q 2 r 2 3 由題 意知 這 是不可能 的 1 0 1由題 意 可 知 R和 P p之一 為 三次 多項(xiàng) 式 假設(shè) R和 p為三次多項(xiàng)式 P為二次多項(xiàng)式 如 有必要 可以通過(guò)改變符號(hào) 使得 R和Q的 項(xiàng)的系 數(shù)為正 于是 R Q為三次多項(xiàng)式 由 一Q JR Q R Q 知 R Q為一 次多項(xiàng)式 即 R Q t t 0 因?yàn)?P 2中的 項(xiàng) 的系數(shù) 為正 于是 P 2 可被 整除 因而 R Q可 被 整除 又 由于 R Q可被 l整除 所 以 R和 Q都被 整除 即有 R 1 R l Q 1 Ql 其中 R 和 Q 都是首項(xiàng)系數(shù)為正的二次多項(xiàng)式 設(shè) P a 貝 0 由等式 a 一 R l Q 1 Rl Q1 推知 Rl Ql t 0 其 中 t 為常數(shù) 于是 Rl p l t 故 n 2 2 Q l t t 即 Q l 寺 X 2 一 號(hào) 是 具 有 二 實(shí) 根 的 二 次 多 項(xiàng) 式 所 以 p為具 有三 個(gè)實(shí)根 的三次 多項(xiàng)式 1 0 2 我 們有 MR MA MD 1 MD K A K B c 2 維普資訊 2 0 0 2年第 5 期 3 3 利用正弦定理 由此得 知 1 AK s i n ACK 1 BM s i n BDM 一K C s i n C A K 5一MD s i n D B M A B C D為 圓內(nèi)接 四邊 形 s i n AC K s i n B D M 從而 s i n O A K s i n D B M 這表 明存在 如下兩種情況 1 如 圖 3 0 D B M 此時(shí)易知 C A K B D M 并 且 A B是它們對(duì)應(yīng)邊 上 的公 共 中線 所 以 G 與 B D M 的相似 比為 1 即 它 們 全 等 因 此 A D l l M D K C B C 圖 3 于是 A B C D為圓 內(nèi)接梯形 A B C D 2 0 D B M 7 此 時(shí) 根據(jù) 弦 切 角定 理 可 知 O AK CDA DBM DCB 于是 C D A D C B 7 得 A D B C 1 0 3 設(shè) 是其平方 不超過(guò) n的最大整數(shù) 即 n 1 由于 n為整數(shù) 則 n X 2 2 2 再設(shè) Y是其平方大于n一 的最小正整數(shù) 有 Y一1 n n 即 m可以表示為兩個(gè)完全平方數(shù)的和 并且 n n 0 另一 方面 我們有 n 九 Y 一九 Y 一 n一 Y 一 Y一1 2 y一1 2 1 最后 只需指 出 當(dāng) n 1 0 0 0 0時(shí) 有 2 1 3 1 0 4 構(gòu) 作一 個(gè)圖 其 頂點(diǎn)和邊 分別對(duì)應(yīng)該 國(guó)最 初的各 個(gè)城市和各條道路 按照題意 對(duì)該圖作一 系列 如下形式 的改造 每一 次改造均是去掉 某一個(gè) 簡(jiǎn)單 圈 上的所有邊 并將該 圈上的頂點(diǎn)都與 一個(gè)新的頂點(diǎn) 相 連 我們來(lái)證明 在最后一次改造之后 原來(lái)圖中的昕 有頂點(diǎn)全都變?yōu)?1 度的 由于原來(lái)圖中恰有 2 0 0 2個(gè) 頂點(diǎn) 所以便證得 了題 中的結(jié)論 觀察原來(lái)圖中的任意一個(gè)頂點(diǎn) 由題意知 將 該頂 點(diǎn) 自原來(lái) 圖中分離 去掉 原來(lái) 圖 中連結(jié)該 頂點(diǎn) 的 所有邊和該頂點(diǎn) 之后 該圖仍然是連通的 我們來(lái)證 明 這個(gè)性質(zhì)在改造之后仍然保持 觀察任意一 個(gè)圖 G和該圖中的任意一個(gè)分離之 后圖仍保持連通的頂點(diǎn) u 假設(shè)經(jīng)過(guò)一次如題意所述 的改造之后的圖為 G 我們考察圖 G中任意一條不 經(jīng)過(guò)頂點(diǎn) u的路 在圖 G 中 該路 上 的一 些邊 可能被 去掉 了 但 是它們的端 點(diǎn) 則都與 某 個(gè)新 的頂點(diǎn) 記 為 相連 此時(shí) 將該 路上被去掉 的最 小 的段 換 為將其 兩個(gè)端點(diǎn)與 相連 的兩 條新 的邊 在圖 G 中得到一 條具有 同彈 的端 點(diǎn) 的不經(jīng) 過(guò)頂 點(diǎn) 的路 這 就表 明 如果找們 自圖 G 中分離出頂點(diǎn) 則對(duì)所得的圖中的 訌何兩 個(gè)頂點(diǎn) 都仍然 可 以找 到連結(jié) 它 們 的路 事 實(shí) 上 對(duì)于除了 之外的老頂點(diǎn) 這條路如上所述 就 是在 把頂點(diǎn) u從 圖 G 中分離 之 后連 結(jié) 著它 們 的路 而頂點(diǎn) 則至少 有一 條邊 與這 樣 的老頂 點(diǎn) 相連 這 個(gè)老頂點(diǎn)有路 與所給 圖的 其余 頂點(diǎn) 相通 所 以 在把 頂點(diǎn) 從圖G 中分離之后所得的圖仍然是連通的 由上所證可知 在經(jīng) 過(guò)全 部改造 之 后 如 果從 圖 中把頂點(diǎn) 分離出去 所得的圖仍然是連通的 此時(shí) 如果頂點(diǎn) 的度數(shù)大于 1 則在 兩 個(gè)與 r相連 的頂 點(diǎn) 之間有不經(jīng)過(guò) z 的路 這條路 連同頂點(diǎn) 以及連 接 和路的兩個(gè)端點(diǎn)的邊便形成了一個(gè)簡(jiǎn)單圈 這是不可 能的 因?yàn)榇?時(shí)圖 中已經(jīng) 沒(méi)有 這樣的圈 了 所 以 頂 點(diǎn) 的度 數(shù)一定是 1 1 0 5 觀察等式 n b c 9 有 n 6 6 c c 于是只需證 明 2 2 2 n b c 9 為此先證 2 v n 3 事 實(shí)上 有 2 n 3 a 3 3 n 類似可得其余兩個(gè)不等式 從而 2 n 2 b 2 c n b C 2 3 b c 9 1 0 6 見(jiàn) 9 5 1 0 7 如 圖 4 設(shè) A B C 的 內(nèi) 切 圓 分 別與它的各條邊相切 于點(diǎn) 4 B C 經(jīng) 過(guò) 4 作 平 分 線 的 平 行 直 線 n 由 于 C AI B 圖 4 維普資訊 中 等 數(shù) 學(xué) 仙 c 為等腰三角形 所以 A的平分線垂直于 曰 C l 因 此 l 上 曰 j C l 即 l經(jīng) 過(guò) A l 曰 l C l 的 邊 曰 C 上 的高 如圖 5 設(shè) A B C的各邊中點(diǎn)分 別為 A B C o 由于 A 0 B o C o 與 A B C 同位相似 相似 比為 1 所 以 A的平分 C A0 曰 圖 5 線與 A 的平分線平行 記 A B o C o的內(nèi)心為 s 眾所周知 點(diǎn) A 與點(diǎn)A 與邊 B C的中點(diǎn)等距 對(duì) 于點(diǎn) 與點(diǎn)曰 點(diǎn) 與點(diǎn) c 也有相應(yīng)的性質(zhì) 作關(guān)于點(diǎn) S的對(duì)稱 變換 此 時(shí) 直線 n 變?yōu)橹本€ n 于是 在 這個(gè) 變換之 下 A B C 的各 條高線 分 別變到直線 n b C 之 上 因此 這三 條直線 相交 于 同 一 點(diǎn) 且該點(diǎn)就是 A B C 的垂心關(guān) 于 s的對(duì)稱 點(diǎn) 1 0 8用反證法 假設(shè) 不是所 有直 線 相交 于 同一 個(gè) 點(diǎn) 如 圖 6 任 取 一條藍(lán)色直線 Z 觀察 Z 與紅色直線 的各個(gè) 交點(diǎn) 設(shè) 點(diǎn) A和點(diǎn) 曰是其中相距最遠(yuǎn)的兩個(gè)交點(diǎn) 而直線 m 和 n是經(jīng) 過(guò)點(diǎn) A和點(diǎn) 曰的 紅色直 線 設(shè) 直線 m 與 n 相交于點(diǎn) c 于是 經(jīng)過(guò)點(diǎn) C還有一條藍(lán)色直線 P 顯 然 P與z 的交點(diǎn) D一定位于線段 A B上 因若不然 由于經(jīng)過(guò)點(diǎn) D還有一條紅色直線 從而點(diǎn) A和點(diǎn) 曰 就不是 Z 上相距最遠(yuǎn) 的兩個(gè)與紅色直線 的交點(diǎn) 圖 6 圖 7 如圖 7 我們考察所有與直線組 z m n P相類 似的四直線組 z m n P 其中 z P 同為一種顏 色 m n 同 為另一 種顏 色 m n P 相交 于 同一 個(gè) 點(diǎn) Z 與 P 的交點(diǎn)位 于 l 與m 的交點(diǎn)和 Z 與 n 的交 點(diǎn) 之間 觀察其中由 z m n 所形成的三角形具有最 小 面積 的情形 此 時(shí) 經(jīng)過(guò)點(diǎn) D 還 有一條與 m 同色的 直線 q 它或 者與線段 曰 C 相 交 或者 與線段 A C 相 交 為確定 起 見(jiàn) 設(shè) 它與 曰 C 相交 這 時(shí) 與四直 線組 n 7 P q 相 對(duì)應(yīng)的j角形具有 更小的面積 1 1 1見(jiàn) 1 0 1 1 1 2 解法 1 考察不在同一直線上的任意三點(diǎn) A B C 如果所有點(diǎn)都在同一直線上 則命題顯然成 立 設(shè) 是使得它們的坐標(biāo)都是整數(shù)的直角坐標(biāo) 系 單位長(zhǎng)為 t 觀察其余任意一點(diǎn) 稱之為 D 設(shè) 是使得點(diǎn) B C D的坐標(biāo)都是整數(shù)的直角坐標(biāo)系 單 位長(zhǎng)為 t 記線段 B C的實(shí)際長(zhǎng)為I B CI 其余線段的 實(shí)際長(zhǎng)類似 由于線段 B C長(zhǎng)度的平方在坐標(biāo)系 和 之下都是整數(shù) 即 與 都是整數(shù) 所 l t 2 以 孚 是 有 理 數(shù) 由 于 向 量 的 內(nèi) 積 在 之下是整數(shù) 所以 在 之下是有理 數(shù) 這是 因?yàn)?c C BDO S I MJ 一 C l l C B DC OS IM J 魯 一 一 I j l 是有 理數(shù) 同理 向量 菌 的內(nèi)積在 T 之下也是有理 數(shù) 設(shè)在 之 F 有 一B C 萄 z 一 B D P q 則 p x q Y m p z q t n都是有理數(shù) 從 而 p 詈 詈 q 都 是 有 理 數(shù) 又因 A B C不 在同一直線上 故 X t y z O 因此 點(diǎn) D在坐標(biāo)系 之下具有有理坐標(biāo) 最后 只需合理選擇坐標(biāo)單位 即可使得所有點(diǎn) 的坐標(biāo)都是整數(shù) 解 法 2 如同解法 1 可 以假定 A B C三點(diǎn) 不在 同一直線 上 我 們證 明 t a n B A C或 者 為有 理 數(shù) 或 者不存在 觀察使得這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都是整數(shù)的直角 坐標(biāo) 系 如 果 X 4 X B 則 t a n C 塹 為有 C 一 r 理數(shù) 或者不存在 對(duì) X 4 X 的情形同理可得 如果 則 p 與 q 都 是 有 理 數(shù) 但是P ta n a q ta n 其中a 與 分別是射線A B與A C同 軸的正方向的夾角 從而 由公式 t a n B A C t a n C A B t a n 一口 l p叮 即知其為有理數(shù) 或者不存在 當(dāng) P q 一1 時(shí) 同理可證 由任何三個(gè)給定點(diǎn)形成的夾角的正切 值都是有理數(shù) 或者不存在 觀察以點(diǎn) A為原點(diǎn) 以 為單位向量的直角坐 維普資訊 2 O O 2年第 5期 3 5 標(biāo)系 此處將直線 選為 軸 對(duì)于任何一個(gè)給定 點(diǎn) D 既然 t a n D A B和 t a n D B A都是有理數(shù) 或者 不存在 所以 直線 A D和 B D的方程都是有理系數(shù) 方程 因此 D具有有理坐標(biāo) 適 當(dāng)改變坐標(biāo)單位 即 可使得所有點(diǎn)都具有整數(shù)坐標(biāo) 1 1 3 解法1 只需對(duì)0 l 時(shí) 還有 c o s s i n c o s 一s i n 一 X 1 事實(shí)上 將上式去分母 即化為顯然的不等式 s i n c 0 s 一 s i n c 0 s 一 s in 0 所以為證不等式 只需對(duì) n 3 m l 和 n 2 m l 的情形加 以證 明 由于 C O S s i s i 2 百 1 則 c os 3 X s i d X C O S s i n 1 c o s X s i n 3 c O S X s i n 而 c OS s in s in 號(hào) 導(dǎo) oDs 2 s i d X c o s X s i n c 0 s s i n C O S s i n 解法2 僅對(duì)0 罟證明 不 等 式 考 察 函 數(shù) c O S s in 其中0 0時(shí) Y 0 當(dāng) 一 時(shí) Y 0 并且 廠 Y c o s l n c o s s i n l n s i n C O S 1 n e o s t a n X l n s i n X 由于 g Y t a n 單調(diào) 所以 廠 Y 0在區(qū)間 Y 0中有惟 一實(shí)根 由 2 2 c 2 s i d 4 知 f 2 0 廠 4 m 3 時(shí) 有不等式 I c 0 s z s i n I I c o s s in m I 成立 如果 m 2 則利用如下不等式可得所證 廠 1 C O S X s i n X C O S s i n 廠 2 2 廠 1 廠 2 C O S X s i n X 1 C O S X s i n X 1 3 1 二 1 1 4 首先證明 若自每個(gè)廣場(chǎng)有不多于兩條駛 出的道路 則 可把所有廣 場(chǎng)分別染 為 l 3種不 同顏 色 使得從任何廣場(chǎng)至少需要經(jīng)過(guò)三條道路才可能到達(dá) 任何一個(gè)同色的廣場(chǎng) 為此 觀察如下的輔助有向圖 圖中的頂點(diǎn)為城市中的各個(gè)廣場(chǎng) 如果某兩個(gè)廣場(chǎng)之 間至多需要經(jīng)過(guò)兩條道路即可以由其 中一個(gè)到達(dá)另 外一個(gè) 則在它們之間連一條有向邊 方向?yàn)樾旭偡?向 不難看出 在該圖中 自每個(gè)頂點(diǎn)至多連出 6條 邊 只需證 明 可以把 該 圖 中的所 有頂 點(diǎn)按 正確 方式 分 別染為 l 3種不 同顏色 對(duì)圖中的頂點(diǎn)數(shù) 目 n進(jìn)行歸納 當(dāng) n 1 3時(shí) 結(jié) 論 顯然成立 其次 易看出 由于 自該有 向圖的每個(gè)頂 點(diǎn)至多連出 6條邊 所以必有一個(gè)頂點(diǎn) 進(jìn)入它的 邊不多于 6條 去掉頂點(diǎn) 所得的 仍然滿足我f f 的條件 因此 由歸納假設(shè) 可以把剩下的頂點(diǎn)分別染 為 l 3 種不 同顏色 以滿 足要 求 由于連 出連 人頂 點(diǎn) u 的邊一共不多于 l 2條 所以可以把 染色 使得要求 被滿 足 現(xiàn)在把每種顏色 記為 A 的廣場(chǎng) 分為 7 8種類 型 觀察它們所連 出的路 所通 向的廣 場(chǎng) 的顏 色 由于 一 共有 l 2種 其 他顏 色 對(duì)于 種 顏 色的廣 場(chǎng) 有 l 2 種類型使得兩條路通向同一種顏色的廣場(chǎng) 有 c 6 6種類型使得兩條路通向不同顏 色的廣場(chǎng) 所以一 共有 7 8種類型 于是 把所有的廣場(chǎng)分成了 l 0 1 4 1 3 7 8個(gè)小區(qū) 下面證明所作的劃分滿足要求 設(shè)小區(qū) l4中有 廣場(chǎng)n 和 n 小區(qū) B中有廣場(chǎng) b 和 b 并且在它們 之間有單 向道路 n 一 6 和 b 一 n 由 于 6 和 b 同 屬一個(gè)小區(qū) 故由它們有道路通向顏色類型相同的廣 場(chǎng) 這表 明 自 b 有道路通 向與 n 顏 色相 同的廣 場(chǎng) 該廣場(chǎng)的顏色當(dāng)然也與 相同 這樣一來(lái) 自 n 出 發(fā) 只需經(jīng)過(guò) 兩條道路就 可以到達(dá)一個(gè)與之 同色 的廣 場(chǎng) 此 為矛盾 題 中結(jié)論 得證 1 1 5 1 0 01 0 假設(shè)對(duì)正整數(shù) n有所述的表達(dá)式 n nl n 2 2 0 0 2 bl b 2 b 2 蚴 注意到 n n n 的各位數(shù)字之和相同 所 維普資訊 3 6 中 等 數(shù) 學(xué) 以它們被9除的余數(shù)相同 記該余數(shù)為 r 0 r 8 同理 b b b 被 9 除的余數(shù)相同 記為 0 8 于是 n一2 O 0 2 r 和 n 一2 O 0 3 s 都是 9的倍數(shù) 故 n一2 O 0 2r 一 n一2 0 0 3 s 2 0 0 3 2 0 0 2 r 2 0 0 3 r s 一4 0 0 5 r 是 9的倍數(shù) 由于 4 0 0 5是9的倍數(shù) 而 2 0 0 3 與 9互質(zhì) 昕以 r S 是 9的倍數(shù) 如果 r S 0 貝 4 n i 9 2 0 0 3 因 為此 時(shí) b b b 都可被 9整除 如果 r 0 則 r 9 于 是 r 與 s中至少有一個(gè)不 小于 5 此 時(shí)分別得到 n 5 x 2 0 0 2或 n 5 2 O 0 3 由于 1 0 0 1 0 5 2 0 0 2 4 2 0 0 2 2