高考數(shù)學(xué) 黃金易錯點(diǎn)專題匯編 專題11 空間向量.doc

2014年高考數(shù)學(xué)黃金易錯點(diǎn)專題匯編：專題11 空間向量1如圖11-1，四棱錐pabcd的底面為直角梯形，abdc，dab=90，pa底面abcd，且pa=ad=dc=ab=1，m是pb的中點(diǎn)。（1）證明：面pad面pcd；（2）求ac與pb所成的角；（3）求面amc與面bmc所成二面角a-cm-b的大小。2如圖11-7，四棱錐pabcd中，底面abcd為矩形，pd底面abcd，ad=pd，e、f分別為cd、pb的中點(diǎn)。（1）求證ef平面pab；（2）設(shè)ab=bc，求ac與平面aef所成的角的大小。3.如圖11-14，已知三棱錐p-abc中，e、f分別是ac、ab的中點(diǎn)，abc、pef都是正三角形，pfab。（1）證明：pc平面pab；（2）求二面角p-ab-c的平面角的余弦值；（3）若點(diǎn)p、a、b、c在一個表面積為12的球面上，求abc的邊長。4如圖11-19，在三棱錐s-abc中，abc是邊長為4的正三角形，平面sac平面abc，sa=sc=，m、n分別為ab、sb的中點(diǎn)（1）證明：acsb；（2）求二面角n-cm-b的大小。（3）求點(diǎn)b到平面cmn的距離。5在如圖的多面體中，ef平面aeb，aeeb，adef，efbc，bc2ad4，ef3，aebe2，g是bc的中點(diǎn) (1)求證：ab平面deg；(2)求證：bdeg；(3)求二面角cdfe的余弦值6如圖，四棱錐pabcd中，底面abcd為平行四邊形，dab60，ab2ad，pd底面abcd. (1)證明：pabd；(2)若pdad，求二面角apbc的余弦值7如圖，abcd是邊長為3的正方形，de平面abcd，afde，de3af，be與平面abcd所成角為60. (1)求證：ac平面bde；(2)求二面角fbed的余弦值；(3)設(shè)點(diǎn)m是線段bd上一個動點(diǎn)，試確定m的位置，使得am平面bef，并證明你的結(jié)論【錯解分析】上述錯解中有兩個錯誤：（1）的坐標(biāo)應(yīng)用b的坐標(biāo)減p的坐標(biāo)，=（0，2，-1）；cd=ed，pe=be，又f為pb中點(diǎn)，efpb ，又在rtpbc中，cf=pb，在rtpdb中，df=pb，cf=df，efcd，又abcd，efab，ef平面pab；（2）由已知pdcd，pdad，又adcd，所以建立如圖11-8所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)bc=a，4【錯誤解答】 因?yàn)槠矫鎠ac平面abc，sc平面abc，c為坐標(biāo)原點(diǎn)，cb、cs為y軸、z軸建立空間坐標(biāo)系?！惧e解分析】坐標(biāo)系建立錯誤，實(shí)質(zhì)是對二面垂直的性質(zhì)不熟悉所致，sc與平面abc不垂直。【正確解答】 取ac中點(diǎn)o，連續(xù)os、ob，sa=sc，ab=bc，acso，acob，又平面sac平面abc，soac，so平面abc，sobo。以oa、ob、oc分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如下圖。（3）由（1）、（2）得為平面cmn的一個法向量。點(diǎn)b到平面cmn的距離d= (2)證明：ef平面aeb，ae平面aeb，be平面aeb，efae，efbe，又aeeb， 6 解：(1)證明：因?yàn)閐ab60，ab2ad，由余弦定理得bdad.從而bd2ad2ab2，故bdad.又pd底面abcd，可得bdpd.所以bd平面pad.故pabd.(2)如圖，以d為坐標(biāo)原點(diǎn)，ad的長為單位長，射線da為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系dxyz，則a(1,0,0)，b(0，0)，c(1，0)，p(0,0,1)(1，0)，(0，1)，(1,0,0)7 設(shè)平面bef的法向量為n(x，y，z)，則即易錯起源1、求異面直線所成的角 例1如圖11-2，在直四棱術(shù)abcd-a1b1c1d1中，ab=ad=2，dc=2，aa1=，addc，acbd，垂足為e。（1）求證bda1c；（2）求二面角a1-bd-c1的大??；（3）求異面直線ad與bc1所成角的大小?！惧e誤解答】第（3）問，由已知ad、dc、dd1兩兩互相垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，a（2，0，0）、d（0，0，0）、b（2，2，0）c1（0，2，）（-2，0，0）=（-2，0，）。cos=ad與bc1所成的角為arccos.（2）如圖，（3）在平面abcd中，過a作bfad，交da的延長線于f，由ad=2，cd=2，得ac=4，dae=60，ae=1，在rtaeb中，ab=2，ae=1，bae=60，在rtafb中ab=2，baf=60，bf=，af=1，df=2+1=3，b的坐標(biāo)為（3，0）由利用空間向量求異面直線所成的角，公式為cos關(guān)鍵是正確地建立坐標(biāo)系進(jìn)而寫出各有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，建立坐標(biāo)會出現(xiàn)用三條兩兩不垂直的直線作x軸、y軸、z軸的錯誤，還會出現(xiàn)用三條兩兩互相垂直但不過同一點(diǎn)的三條直線作x軸、y軸、z軸的錯誤。寫點(diǎn)的坐標(biāo)也容易出現(xiàn)錯誤，學(xué)習(xí)時要掌握一些特殊點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)，如x軸上的點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0，0），xoz面上的點(diǎn)坐標(biāo)為（a,0,b）等，其次還應(yīng)學(xué)會把某個平面單獨(dú)分化出來，利用平面幾何的知識求解。 易錯起源2、求直線與平面所成的角 例2如圖在三棱錐pabc中，abbc，ab=bc=kpa，點(diǎn)o、d分別是ac、pc的中點(diǎn)，op底面abc。（1）當(dāng)k=時，求直線pa與平面pbc所成角的大?。唬?）當(dāng)k取何值時，o在平面pbc內(nèi)的射影恰好為pbc的重心？【錯誤解答】（1）pooc，poob，又ab=bc，o為ac的中點(diǎn)，booc，以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，ob、oc、op所在直線x、y、z求直線與平面所成角的公式為：sin=,其中a為直線上某線段所確定的一個向量，n為平面的一個法向量，這個公式很容易記錯，關(guān)鍵是理解，有些學(xué)生從數(shù)形結(jié)合來看，認(rèn)為n應(yīng)過直線上某個點(diǎn)，如例4中n應(yīng)過c點(diǎn)，這是錯誤的，這里n是平面的任意一個法向量，再說一個向量過某一個具體的點(diǎn)這種說法也是錯誤的。易錯起源3、求二面角的大小 例3在四棱錐v-abcd中，底面abcd是正方形，側(cè)面vad是正三角形，平面vad底面abcd，如圖11-12。 （1）證明：ab平面vad；（2）求二面角a-vd-b的大小。利用空間向量求二面角，先求兩平面的法向量，利用向量的夾角公式求出兩法現(xiàn)量的夾角，二面角的平面角與法向量的夾角相等或互補(bǔ)，具體是哪一種，一般有兩種判斷方法：（1）根據(jù)圖形判斷二面角是銳角還是鈍角；（2）根據(jù)兩法向量的方向判斷。實(shí)際上很多求二面角的題目，還是傳統(tǒng)方法（如三垂線定理作出二面角的平面角）簡單，或傳統(tǒng)方法與空間向量相結(jié)合來解。易錯起源4、求距離例4如圖11-18，直二面角d-ab-e中，四邊形abcd是邊長為2的正方形，ae=eb，f為ce上的點(diǎn)且bf平面ace。 （1）求證：ae平面bce；（2）求二面角b-ac-e的大小；（3）求點(diǎn)d到平面ace的距離。 (3) （0，2，-2）, d到平面ace的距離d= 立體幾何中的距離以點(diǎn)到面的距離最為重要利用空間和量求點(diǎn)到面的距離關(guān)鍵是對公式d=的理解和記憶，其中a為過該點(diǎn)且與平面相交的線段確定的向量，n為平面的任意一個法向量，這個任意給解題帶來了很大的方便。當(dāng)然有些題目用空間向量來解可能沒有傳統(tǒng)方法簡單。 1.在正方體abcd-a1b1c1d1中，m、n分別是棱aa1和bb1的中點(diǎn)，則cm與d1n夾角的正弦值為 （ ） 2. 矩形abcd的兩邊ab=3，ad=4，pa平面abcd，且pa=，則二面角a-bd-p的度數(shù)為 （ ）a30 b45 c60 d753.在正方體abcd-a1b1c1d1中，o是底面abcd的中點(diǎn)，m、n分別是棱dd1、d1c1的中點(diǎn)，則直線oma是ac和mn的公垂線b垂直于ac，但不垂直于mnc垂直于mn，但不垂直于acd與ac、mn都不垂直4.在正三棱柱abc-a1b1c1中，d是ac的中點(diǎn)，ab1bc1，則平面dbc1積與平面cbc1所成的角為 （ ）a30 b45 c60 d905空間四點(diǎn)a(2,3,6)、b(4,3,2)、c(0,0,1)、d(2,0,2)的位置關(guān)系為()a共線b共面c不共面 d無法確定6.如圖，在底面abcd為平行四邊形的四棱柱abcda1b1c1d1中，m是ac與bd的交點(diǎn)，若a，b，c則下列向量中與相等的向量是()aabc b.abcc.abc dabc7設(shè)空間四點(diǎn)o，a，b，p滿足t，其中0t1，則有()a點(diǎn)p在線段ab上b點(diǎn)p在線段ab的延長線上c點(diǎn)p在線段ba的延長線上d點(diǎn)p不一定在直線ab上8已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三向量共面，則實(shí)數(shù)等于()a. b.c. d.9正方體abcda1b1c1d1的棱長為a，點(diǎn)m在ac1上且，n為b1b的中點(diǎn)，則|為()a.a b.ac.a d.a10已知空間三點(diǎn)a(0,2,3)，b(2,1,6)，c(1，1,5)則以，為邊的平行四邊形的面積為_11已知abcda1b1c1d1為正方體，()232；()0；向量與向量的夾角是60；正方體abcda1b1c1d1的體積為|.其中正確命題的序號是_12已知非零向量e1，e2不共線，如果e1e2，2e18e2，3e13e2，求證：a、b、c、d共面13設(shè)向量a(3,5，4)，b(2,1,8)，計(jì)算2a3b,3a2b，ab以及a與b所成角的余弦值，并確定，應(yīng)滿足的條件，使ab與z軸垂直14.直三棱柱abcabc中，acbcaa，acb90，d、e分別為ab、bb的中點(diǎn) (1)求證：cead；(2)求異面直線ce與ac所成角的余弦值15、如圖，直三棱柱abc-a1b1c1中，acb=90，bc=ac=2，aa1=4，d為棱cc1上的一動點(diǎn)，m、n分別為abd、a1b1d的重心。（1）求證：mnbc；（2）若二面角c-ab-d的大小為arctan,求點(diǎn)c1到平面a1b1d的距離；（3）若點(diǎn)c在abd上的射影正好為m，試判斷點(diǎn)c1在a1b1d的射影是否為n？并說明理由。16、四棱錐p=abcd中，abcd，cdad，pa底面abcd，pa=ad=cd=2ab=2，m為pc的中點(diǎn)。（1）求證bm平面pad；（2）在pad內(nèi)找一點(diǎn)n，使mn平面pbd；（3）求直線pc與平面pbd所成角的正弦值。17、在三棱柱abc-a1b1c1中，a1在底面上的射影在線段ac上，底面abc是以b為直角的等腰三角形，m為ac的中點(diǎn)，又ab=aa1=a（1）求證：bmaa1；（2）若a1c平面bmc1，求證：三棱柱abc-a1b1c1為直三棱柱。18、四棱錐p-abcd中，底面abcd是一個平行四邊形，（1）求證：pa底面abcd；（2）求四棱錐p-abcd的體積；（3）對于向量a=（x1,y1,z1）.b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3)定義一種運(yùn)算：（ab）c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1試計(jì)算（）的絕對值的值；說明其與四棱錐p-abcd體積的關(guān)系，并同此猜想這一運(yùn)算（）的絕對值的幾何意義。19如圖，ac是圓o的直徑，點(diǎn)b在圓o上，bac30，bmac交ac于點(diǎn)m，ea平面abc，fcea，ac4，ea3，fc1. (1)證明：embf；(2)求平面bef與平面abc所成的銳二面角的余弦值20如圖所示，在四棱錐pabcd中，底面abcd是矩形，pa平面abcd，paad2，ab1，bmpd于點(diǎn)m. (1)求證：ampd；(2)求直線cd與平面acm所成的角的余弦值1.答案： b 解析：以da、dc、dd1分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長為2，則m（2，0，1）、n（2，2，1）、c（0，2，0）、d1（0，0，2），=（2，-2，2），cm與d1n所成角的正弦值為，選b8解析：a、b、c三向量共面，所以存在實(shí)數(shù)m、n，使得cmanb.即.答案：d答案：7480