2三角形輔助線總結(jié)及口訣.doc

三角形作輔助性方法大全口訣：總則：3標注等線和等角，對頂角不要忘，相等邊角要避開。31、等腰三線合；過腰上一點做另腰平行或底平行線。等腰頂角是腰高和底夾角二倍，等腰三角形一腰延長線和另一腰構(gòu)建新等腰三角形，原頂角是新底角的二倍，新底邊垂直原底邊。42、求角大小，需構(gòu)造出有數(shù)值的角；兩角做比較，連點延邊構(gòu)三角，大外小內(nèi)找中介；相等角，等腰、對頂、平行、同余和同補；給出二倍角，構(gòu)等腰二倍角變外角,分大擴小也可以。33、兩線做比較，截長補短可求證。特殊角求三邊，帶平方都要用直角三角形。三角形內(nèi)構(gòu)四邊，四邊周長小于三角形周長；。34、角分線，到邊距離相等經(jīng)常用，也可兩邊截等段；三角形相鄰?fù)饨唤墙欠志€交點到兩邊距離相等，三角形內(nèi)角平分線交予一點，且到三邊距離相等。平行線間角分線的交點一定是中點(見后)25、中線，倍長中線、或倍長以中點為端點線利用對頂和相等線段；16垂分線上點連線段端點有幫助；3 7、多邊變身三角形，延兩邊、連對角、連頂點；如圖，AEAD是角分線，AB/DC.E一定是bc中點Bc為任意線段一、遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”。1、三線合一例：已知，如圖，ABC中，AB = AC，D為BC中點，DEAB于E，DFAC于F，求證：DE = DF證明：連結(jié)AD.D為BC中點，BD = CD又AB =ACAD平分BACDEAB，DFACDE = DF例：已知，如圖，ABC中，AB = AC，在BA延長線和AC上各取一點E、F，使AE = AF，求證：EFBC2、常過一腰上的某一已知點做另一腰的平行線和底平行線例：已知，如圖，在ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延長線上，且BD = CE，連結(jié)DE交BC于F求證：DF = EF證明：（證法一）過D作DNAE，交BC于N，則DNB = ACB，NDE = E，AB = AC，B = ACBB =DNBBD = DN又BD = CE DN = EC在DNF和ECF中1 = 2NDF =EDN = EC DNFECFDF = EF（證法二）過E作EMAB交BC延長線于M,則EMB =B（過程略）引入：如圖是一個等邊三角形木框,甲蟲在邊框上爬行(,端點除外),設(shè)甲蟲到另外兩邊的距離之和為,等邊三角形的高為,則與的大小關(guān)系是( )A、dhB、dhC、dhD、無法確定三種方法1.過點P做底邊的平行線 利用等邊三角形三條高相等2.連接B、P，將大三角形轉(zhuǎn)換為兩個小三角形，并利用三角形面積公式。3.考試中規(guī)范畫圖量出答案注意取整值3、常將等腰三角形轉(zhuǎn)化成特殊的等腰三角形-等邊三角形例：已知，如圖，ABC中，AB = AC，BAC = 80o ,P為形內(nèi)一點，若PBC = 10o PCB = 30o 求PAB的度數(shù).解法一：以AB為一邊作等邊三角形，連結(jié)CE則BAE =ABE = 60oAE = AB = BEAB = ACAE = AC ABC =ACBAEC =ACEEAC =BACBAE = 80o 60o = 20oACE = (180oEAC)= 80oACB= (180oBAC)= 50oBCE =ACEACB = 80o50o = 30oPCB = 30oPCB = BCEABC =ACB = 50o, ABE = 60oEBC =ABEABC = 60o50o =10oPBC = 10oPBC = EBC在PBC和EBC中PBC = EBCBC = BCPCB = BCEPBCEBCBP = BEAB = BEAB = BPBAP =BPAABP =ABCPBC = 50o10o = 40oPAB = (180oABP)= 70o解法二：以AC為一邊作等邊三角形，證法同一。解法三：以BC為一邊作等邊三角形BCE，連結(jié)AE,則EB = EC = BC，BEC =EBC = 60oEB = ECE在BC的中垂線上同理A在BC的中垂線上EA所在的直線是BC的中垂線EABCAEB = BEC = 30o =PCB由解法一知：ABC = 50oABE = EBCABC = 10o =PBCABE =PBC,BE = BC,AEB =PCBABEPBCAB = BPBAP =BPAABP =ABCPBC = 50o10o = 40oPAB = (180oABP) = (180o40o)= 70o二、角比較1、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角證明角的不等關(guān)系時，如果直接證不出來，可連結(jié)兩點或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形外角的位置上，小角處在內(nèi)角的位置上，再利用外角定理證題.例：已知D為ABC內(nèi)任一點，求證：BDCBAC證法（一）：延長BD交AC于E，BDC是EDC 的外角，BDCDEC同理：DECBACBDCBAC證法（二）：連結(jié)AD，并延長交BC于FBDF是ABD的外角，BDFBAD同理CDFCADBDFCDFBADCAD即：BDCBAC1.有二倍角時常用的輔助線構(gòu)造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外角例：已知，如圖，在ABC中，1 = 2，ABC = 2C，求證：ABBD = AC證明：延長AB到E，使BE = BD，連結(jié)DE則BED = BDEABD =EBDEABC =2EABC = 2CE = C 在AED和ACD中E = C1 = 2AD = ADAEDACDAC = AEAE = ABBEAC = ABBE即ABBD = AC平分二倍角例：已知，如圖，在ABC中，BDAC于D，BAC = 2DBC求證：ABC = ACB證明：作BAC的平分線AE交BC于E，則BAE = CAE = DBCBDACCBD C = 90oCAEC= 90o AEC= 180oCAEC= 90oAEBCABCBAE = 90oCAEC= 90oBAE = CAEABC = ACB例：已知，如圖，AB = AC，BDAC于D，求證：BAC = 2DBC證明：（方法一）作BAC的平分線AE，交BC于E，則1 = 2 = BAC又AB = ACAEBC2ACB = 90oBDACDBCACB = 90o2 = DBCBAC = 2DBC（方法二）過A作AEBC于E（過程略）（方法三）取BC中點E，連結(jié)AE（過程略）加倍小角例：已知，如圖，在ABC中，BDAC于D，BAC = 2DBC求證：ABC = ACB證明：作FBD =DBC,BF交AC于F（過程略）三、兩線做比較1、截長補短作輔助線的方法截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；補短法：延長較短線段和較長線段相等.這兩種方法統(tǒng)稱截長補短法.當已知或求證中涉及到線段a、b、c、d有下列情況之一時用此種方法：abab = cab = cd例：已知，如圖，在ABC中，ABAC，1 = 2，P為AD上任一點，求證：ABACPBPC證明：截長法：在AB上截取AN = AC，連結(jié)PN在APN和APC中，AN = AC1 = 2AP = APAPNAPCPC = PNBPN中有PBPCBNPBPCABAC補短法：延長AC至M，使AM = AB，連結(jié)PM在ABP和AMP中AB = AM 1 = 2AP = APABPAMPPB = PM又在PCM中有CM PMPCABACPBPC2、利用三角形三邊關(guān)系。n3、當涉及到線段平方的關(guān)系式時常構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理證題.例：已知，如圖，在ABC中，A = 90o，DE為BC的垂直平分線求證：BE2AE2 = AC2證明：連結(jié)CE，則BE = CEA = 90o AE2AC2 = EC2AE2AC2= BE2BE2AE2 = AC2練習：已知，如圖，在ABC中，BAC = 90o，AB = AC，P為BC上一點求證：PB2PC2= 2PA24條件中出現(xiàn)特殊角時常作高把特殊角放在直角三角形中.例：已知，如圖，在ABC中，B = 45o，C = 30o，AB =，求AC的長. 解：過A作ADBC于DBBAD = 90o，B = 45o，B = BAD = 45o，AD = BDAB2 = AD2BD2，AB =AD = 1C = 30o，ADBCAC = 2AD = 2四、角平分線1、有角平分線時常在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形.例：已知，如圖，AD為ABC的中線且1 = 2，3 = 4，求證：BECFEF證明：在DA上截取DN = DB，連結(jié)NE、NF，則DN = DC 在BDE和NDE中，DN = DB1 = 2ED = EDBDENDEBE = NE同理可證：CF = NF在EFN中，ENFNEFBECFEF2、 可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。例 已知，如圖，AC平分BAD，CD=CB，ABAD。求證：B+ADC=180。有角平分線時，常過角平分線上的點向角兩邊做垂線，利用角平分線上的點到角兩邊距離相等證題.例：已知，如圖，1 = 2 ，P為BN上一點，且PDBC于D，ABBC = 2BD，求證：BAPBCP = 180o證明：過P作PEBA于EPDBC，1 = 2 PE = PD在RtBPE和RtBPD中BP = BPPE = PDRtBPERtBPDBE = BDABBC = 2BD，BC = CDBD，AB = BEAEAE = CDPEBE，PDBCPEB =PDC = 90o在PEA和PDC中PE = PDPEB =PDCAE =CDPEAPDCPCB = EAPBAPEAP = 180oBAPBCP = 180o練習：1.已知，如圖，PA、PC分別是ABC外角MAC與NCA的平分線，它們交于P，PDBM于M，PFBN于F，求證：BP為MBN的平分線2. 已知，如圖，在ABC中，ABC =100o，ACB = 20o，CE是ACB的平分線，D是AC上一點，若CBD = 20o，求CED的度數(shù)。解：ACB=20，CBD=20，BD=CD，又BD=ED，ED=CD，CED=DCE，CE平分ACB，CED=DCE=10五、 中線1、有以線段中點為端點的線段時，常加倍延長此線段構(gòu)造全等三角形.例：已知，如圖，AD為ABC的中線，且1 = 2，3 = 4，求證：BECFEF證明：延長ED到M，使DM = DE，連結(jié)CM、FMBDE和CDM中， BD = CD1 = 5ED = MDBDECDMCM = BE又1 = 2，3 = 4 123 4 = 180o3 2 = 90o即EDF = 90oFDM = EDF = 90oEDF和MDF中ED = MDFDM = EDFDF = DFEDFMDFEF = MF在CMF中，CFCM MFBECFEF（此題也可加倍FD，證法同上）2、在三角形中有中線時，常加倍延長中線構(gòu)造全等三角形.例：已知，如圖，AD為ABC的中線，求證：ABAC2AD證明：延長AD至E，使DE = AD，連結(jié)BEAD為ABC的中線BD = CD在ACD和EBD中BD = CD 1 = 2AD = EDACDEBDABE中有ABBEAEABAC2AD3、.三角形一邊的兩端點到這邊的中線所在的直線的距離相等.例：AD為ABC的中線，且CFAD于F，BEAD的延長線于E求證：BE = CF 證明：（略）4.有中點時常構(gòu)造垂直平分線.例：已知，如圖，在ABC中，BC = 2AB, ABC = 2C,BD = CD求證：ABC為直角三角形證明：過D作DEBC，交AC于E，連結(jié)BE，則BE = CE，C =EBCABC = 2CABE =EBCBC = 2AB，BD = CDBD = AB在ABE和DBE中AB = BDABE =EBCBE = BEABEDBEBAE = BDEBDE = 90oBAE = 90o即ABC為直角三角形六、高1、有垂直時常構(gòu)造垂直平分線.例：已知，如圖，在ABC中，B =2C，ADBC于D求證：CD = ABBD證明：（一）在CD上截取DE = DB，連結(jié)AE，則AB = AEB =AEBB = 2CAEB = 2C又AEB = CEACC =EACAE = CE又CD = DECECD = BDAB（2） 延長CB到F，使DF = DC，連結(jié)AF則AF =AC（過程略）2有垂直平分線時常把垂直平分線上的點與線段兩端點連結(jié)起來.例：已知，如圖，ABC中，AB = AC，BAC = 120o，EF為AB的垂直平分線，EF交BC于F，交AB于E求證：BF =FC證明：連結(jié)AF，則AF = BFB =FABAB = ACB =CBAC = 120oB =CBAC =(180oBAC) = 30oFAB = 30oFAC =BACFAB = 120o30o =90o又C = 30oAF = FCBF =FC練習：已知，如圖，在ABC中，CAB的平分線AD與BC的垂直平分線DE交于點D，DMAB于M，DNAC延長線于N求證：BM = CN七、四邊形構(gòu)三角形1、條件不足時延長已知邊構(gòu)造三角形.例：已知AC = BD，ADAC于A，BCBD于B求證：AD = BC證明：分別延長DA、CB交于點EADAC BCBDCAE = DBE = 90o在DBE和CAE中DBE =CAEBD = ACE =EDBECAEED = EC，EB = EAEDEA = EC EBAD = BC2、連接四邊形的對角線，把四邊形問題轉(zhuǎn)化成三角形來解決問題.例：已知，如圖，ABCD，ADBC 求證：AB = CD 證明：連結(jié)A