廣東省深圳市五校高三數學上學期第一次月考試卷 文（含解析）.doc

廣東省深圳市五校聯考2015屆高三上學期第一次月考數學試卷（文科） 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1（5分）已知集合a=0，1，2，3，集合b=xn|x|2，則ab=（）a3b0，1，2c1，2d0，1，2，32（5分）設復數z1=1+i，z2=2+xi（xr），若z1z2r，則x=（）a2-b1-c1d23（5分）已知m，n是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的為（）a若，則b若m，m，則c若m，n，則mnd若m，n，則mn4（5分）已知向量=（2，3），=（x，6），且，則|+|的值為（）abc5d135（5分）等差數列an的前n項和為sn，已知a5=8，s3=6，則a9=（）a8b12c16d246（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的y=（）ab1c1d27（5分）將函數y=cos（2x）的圖象向右平移個單位后所得的圖象的一個對稱軸是（）ax=bx=cx=dx=8（5分）函數f（x）=（x1）cosx2在區(qū)間0，4上的零點個數是（）a4b5c6d79（5分）已知直線l：x+my+4=0，若曲線x2+y2+2x6y+1=0上存在兩點p、q關于直線l對稱，則m的值為（）a2b2c1d110（5分）已知函數f（x）是定義在r上的奇函數，f（1）=0，當x0時，有0成立，則不等式f（x）0的解集是（）a（1，0）（1，+）b（1，0）c（1，+）d（，1）（1，+）二、填空題：本大題共5題，考生作答4小題，每小題5分，滿分15分（一）必做題（1113題）11（5分）函數y=的定義域為12（5分）一個幾何體的三視圖如圖1，則該幾何體的體積為13（5分）設雙曲線的離心率為2，且一個焦點與拋物線x2=8y的焦點相同，則此雙曲線的方程為三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答需寫出文字說明、證明過程和演算步驟16（12分）已知函數（）求函數f（x）的最小正周期和值域；（）若，求sin2的值17（13分）某中學2015屆高三年級從甲、乙兩個班級各選出7名學生參加數學競賽，他們取得的成績（滿分100分）的莖葉圖如圖，其中甲班學生的平均分是85，乙班學生成績的中位數是83（1）求x和y的值；（2）計算甲班7位學生成績的方差s2；（3）從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，求甲班至少有一名學生的概率18（13分）如圖甲，在平面四邊形abcd中，已知a=45，c=90，adc=105，ab=bd，現將四邊形abcd沿bd折起，使平面abd平面bdc（如圖乙），設點e、f分別為棱ac、ad的中點（1）求證：dc平面abc；（2）設cd=a，求三棱錐abfe的體積19（14分）各項均不相等的等差數列an的前四項的和為s4=14，且a1，a3，a7成等比數列（1）求數列an的通項公式an與前n項和sn；（2）記tn為數列的前n項和，若tnan+1對任意的正整數n都成立，求實數的最小值20（14分）已知橢圓e：+=1（ab0）的上頂點為p（0，1），過e的焦點且垂直長軸的弦長為1若有一菱形abcd的頂點a、c在橢圓e上，該菱形對角線bd所在直線的斜率為1（1）求橢圓e的方程；（2）當直線bd過點（1，0）時，求直線ac的方程；（3）當abc=時，求菱形abcd面積的最大值21（14分）已知函數f（x）=a（x）2lnx，ar（1）若a=1，判斷函數f（x）是否存在極值，若存在，求出極值；若不存在，說明理由；（2）求函數f（x）的單調區(qū)間；（3）設函數g（x）=若至少存在一個x01，e，使得f（x0）g（x0）成立，求實數a的取值范圍（二）、選做題：14、15題，考生只能從中選做一題14（5分）如圖，cd是圓o的切線，切點為c，點b在圓o上，bc=2，bcd=60，則圓o的面積為選做題（正四棱錐與球體積選做題）15棱長為1的正方體的外接球的體積為廣東省深圳市五校聯考2015屆高三上學期第一次月考數學試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1（5分）已知集合a=0，1，2，3，集合b=xn|x|2，則ab=（）a3b0，1，2c1，2d0，1，2，3考點：交集及其運算 專題：集合分析：求出b中不等式的解集，找出解集中的自然數解確定出b，求出a與b的交集即可解答：解：由b中的不等式解得：2x2，即b=x|2x2，xn=0，1，2，a=0，1，2，3，ab=0，1，2，故選：b點評：此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義解本題的關鍵2（5分）設復數z1=1+i，z2=2+xi（xr），若z1z2r，則x=（）a2-b1-c1d2考點：復數代數形式的乘除運算 專題：數系的擴充和復數分析：直接由復數代數形式的乘法運算化簡復數z1z2，然后由虛部為0即可求出x的值解答：解：z1z2=（1+i）（2+xi）=2x+（2+x）i，z1z2r，2+x=0即x=2故選：a點評：本題考查了復數代數形式的乘法運算，考查了復數的基本概念，是基礎題3（5分）已知m，n是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的為（）a若，則b若m，m，則c若m，n，則mnd若m，n，則mn考點：空間中直線與直線之間的位置關系；平面與平面之間的位置關系 專題：閱讀型分析：用身邊的事物舉例，或用長方體找反例，對答案項進行驗證和排除解答：解：反例把書打開直立在桌面上，與相交或垂直；答案b：與相交時候，m與交線平行；答案c：直線m與n相交，異面，平行都有可能，以長方體為載體；答案d：，正確故選d點評：本題考查了線面的垂直和平行關系，多用身邊具體的例子進行說明，或用長方體舉反例4（5分）已知向量=（2，3），=（x，6），且，則|+|的值為（）abc5d13考點：平行向量與共線向量；向量的模；平面向量的坐標運算 專題：平面向量及應用分析：根據兩個向量平行的坐標表示求出x的值，然后運用向量的坐標加法運算求出兩個和向量的坐標，最后利用求模公式求模解答：解：由向量=（2，3），=（x，6），且，則26（3）x=0，解得：x=4所以，則=（2，3）所以=故選b點評：本題考查了兩個平行的坐標表示，考查了平面向量的坐標運算，考查了向量模的求法，是基礎題5（5分）等差數列an的前n項和為sn，已知a5=8，s3=6，則a9=（）a8b12c16d24考點：等差數列的通項公式；等差數列的前n項和 專題：等差數列與等比數列分析：由給出的等差數列的第5項和前3項和代入通項公式及前n項和公式求等差數列的首項和公差，然后直接運用通項公式求a9解答：解：設等差數列an的首項為a1，公差為d，則，解得：a1=0，d=2，所以a9=a1+8d=0+82=16故選c點評：本題考查了等差數列的通項公式和前n項和公式，考查了計算能力，此題屬基礎題6（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的y=（）ab1c1d2考點：程序框圖 專題：算法和程序框圖分析：模擬程序框圖的運行過程，得出該程序是計算y的值，并且以3為周期，從而得出程序運行的結果是什么解答：解：模擬程序框圖的運行過程，如下：y=2，i=1，12014？，否，y=1=；i=1+1=2，22014？，否，y=1=1；i=2+1=3，32014？，否，y=1=2；i=3+1=4，42014？，否，y=1=；，i=2012+1=2013，20132014？，否，y=1=2；i=2013+1=2014，20142014？，是，輸出y：2故選：d點評：本題考查了程序框圖的應用問題，解題時應模擬程序框圖的運行過程，尋找解答問題的途徑，是基礎題7（5分）將函數y=cos（2x）的圖象向右平移個單位后所得的圖象的一個對稱軸是（）ax=bx=cx=dx=考點：函數y=asin（x+）的圖象變換 專題：三角函數的圖像與性質分析：利用誘導公式可得f（x）=cos（2x）=cos（2x），于是有f（x）=cos（2x），利用余弦函數的對稱性即可得到答案解答：解：令f（x）=cos（2x）=cos（2x），則f（x）=cos2（x）=cos（2x），由2x=k（kz），得其對稱軸方程為：x=+（kz），當k=0時，x=，即為將函數y=cos（2x）的圖象向右平移個單位后所得的圖象的一個對稱軸，故選：a點評：本題考查函數y=asin（x+）的圖象變換，考查余弦函數的對稱性，屬于中檔題8（5分）函數f（x）=（x1）cosx2在區(qū)間0，4上的零點個數是（）a4b5c6d7考點：根的存在性及根的個數判斷 專題：函數的性質及應用分析：令函數值為0，構建方程，即可求出在區(qū)間0，4上的解，從而可得函數f（x）=（x1）cosx2在區(qū)間0，4上的零點個數解答：解：令f（x）=0，可得x=1或cosx2=0x=1或x2=k+，kz，x0，4，則x20，16，k可取的值有0，1，2，3，4，方程共有6個解，函數f（x）=（x1）cosx2在區(qū)間0，4上的零點個數為6個，故選c點評：本題考查三角函數的周期性以及零點的概念，屬于基礎題9（5分）已知直線l：x+my+4=0，若曲線x2+y2+2x6y+1=0上存在兩點p、q關于直線l對稱，則m的值為（）a2b2c1d1考點：直線與圓的位置關系 專題：直線與圓分析：曲線x2+y2+2x6y+1=0上有兩點p、q，滿足關于直線x+my+4=0對稱，說明曲線是圓，直線過圓心，易求m的值；解答：解：曲線方程為（x+1）2+（y3）2=9表示圓心為（1，3），半徑為3的圓點p、q在圓上且關于直線x+my+4=0對稱，圓心（1，3）在直線上代入得m=1故選：d點評：本題考查直線與圓的方程的應用，圓的一般式方程，考查函數與方程的思想，是中檔題10（5分）已知函數f（x）是定義在r上的奇函數，f（1）=0，當x0時，有0成立，則不等式f（x）0的解集是（）a（1，0）（1，+）b（1，0）c（1，+）d（，1）（1，+）考點：函數奇偶性的性質 專題：函數的性質及應用；導數的概念及應用分析：根據當x0時，有0成立，可得為增函數，結合函數f（x）是定義在r上的奇函數，f（1）=0，可分析出在各個區(qū)間上，和f（x）的符號，進而可得不等式f（x）0的解集解答：解：當x0時，有0成立，當x0時，為增函數，又f（1）=0，當x1時，0，f（x）0，當0x1時，0，f（x）0，又函數f（x）是定義在r上的奇函數，是定義在（，0）（0，+）上的偶函數，故當x1時，0，f（x）0，當1x0時，0，f（x）0，故f（x）0的解集是（1，0）（1，+），故選：a點評：本題考查的知識點是函數奇偶性的性質，函數的單調性，是函數圖象和性質與導函數的綜合應用，難度中檔二、填空題：本大題共5題，考生作答4小題，每小題5分，滿分15分（一）必做題（1113題）11（5分）函數y=的定義域為x|xo且x1考點：函數的定義域及其求法 分析：函數式是分式，分子含有根式，分母含有對數式，函數的定義域是使根式內的代數式大于等于0，且分母不等于0，還要使對數函數有意義解答：解：要使原函數有意義，則需解得：x0且x1，所以原函數的定義域為x|x0，且x1故答案為x|x0，且x1點評：本題考查了函數的定義域及其求法，屬于以函數的定義為平臺，求集合的交集的基礎題，也是2015屆高考常會考的題型12（5分）一個幾何體的三視圖如圖1，則該幾何體的體積為6考點：由三視圖求面積、體積 專題：空間位置關系與距離分析：由三視圖知幾何體是一個半圓柱，半圓柱的底面是一個半徑為2的半圓，高是3，根據所給的數據作出底面積，乘以高，得到體積解答：解：由三視圖知幾何體是一個半圓柱，半圓柱的底面是一個半徑為2的半圓，高是3，故半圓柱的體積v=223=6，故答案為：6點評：本題考查由三視圖還原幾何體，并且求幾何體的體積，本題解題的關鍵是理解三個視圖高長寬之間的關系，進而判斷出幾何體的形狀，本題是一個基礎題13（5分）設雙曲線的離心率為2，且一個焦點與拋物線x2=8y的焦點相同，則此雙曲線的方程為考點：拋物線的簡單性質；雙曲線的簡單性質 專題：圓錐曲線的定義、性質與方程分析：利用拋物線的方程先求出拋物線的焦點即雙曲線的焦點，利用雙曲線的方程與系數的關系求出a2，b2，利用雙曲線的三個系數的關系列出m，n的一個關系，再利用雙曲線的離心率的公式列出關于m，n的另一個等式，解方程組求出m，n的值，代入方程求出雙曲線的方程解答：解：拋物線的焦點坐標為（0，2），所以雙曲線的焦點在y軸上且c=2，所以雙曲線的方程為，即a2=n0，b2=m0，所以，又，解得n=1，所以b2=c2a2=41=3，即m=3，m=3，所以雙曲線的方程為故答案為：點評：解決雙曲線、橢圓的三參數有關的問題，有定注意三參數的關系：c2=a2+b2而橢圓中三參數的關系為a2=c2+b2三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答需寫出文字說明、證明過程和演算步驟16（12分）已知函數（）求函數f（x）的最小正周期和值域；（）若，求sin2的值考點：三角函數中的恒等變換應用；二倍角的正弦；三角函數的周期性及其求法 專題：三角函數的圖像與性質分析：（）將化為f（x）=cos（x+）即可求得f（x）的最小正周期和值域；（）由可求得cos（+）=，由余弦函數的二倍角公式與誘導公式可求得sin2的值解答：解：（）由已知，f（x）=sincos=（1+cosx）sinx=cos（x+）函數f（x）的最小正周期為2，值域為，（）由（）知，f（）=cos（+）=，cos（+）=，sin2=cos（+2）=cos2（+）=12=1=點評：本題考查三角函數的性質、兩角和的正（余）弦公式等基礎知識，考查運算能力，考查化歸與轉化等數學思想，屬于中檔題17（13分）某中學2015屆高三年級從甲、乙兩個班級各選出7名學生參加數學競賽，他們取得的成績（滿分100分）的莖葉圖如圖，其中甲班學生的平均分是85，乙班學生成績的中位數是83（1）求x和y的值；（2）計算甲班7位學生成績的方差s2；（3）從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，求甲班至少有一名學生的概率考點：古典概型及其概率計算公式；莖葉圖；極差、方差與標準差 專題：概率與統計分析：（1）利用平均數求出x的值，中位數求出y的值，解答即可（2）根據所給的莖葉圖，得出甲班7位學生成績，做出這7次成績的平均數，把7次成績和平均數代入方差的計算公式，求出這組數據的方差（3）設甲班至少有一名學生為事件a，其對立事件為從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，甲班沒有一名學生；先計算出從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生的所有抽取方法總數，和沒有甲班一名學生的方法數目，先求出從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，甲班沒有一名學生的概率，進而結合對立事件的概率性質求得答案解答：解：（1）甲班學生的平均分是85，x=5，乙班學生成績的中位數是83，y=3；（2）甲班7位學生成績的方差為s2=40；（3）甲班成績在90分以上的學生有兩名，分別記為a，b，乙班成績在90分以上的學生有三名，分別記為c，d，e，從這五名學生任意抽取兩名學生共有10種情況：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）其中甲班至少有一名學生共有7種情況：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e）記“從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，甲班至少有一名學生”為事件m，則答：從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，甲校至少有一名學生的概率為點評：本小題主要考查莖葉圖、樣本均值、樣本方差、概率等知識，考查或然與必然的數學思想方法，以及數據處理能力、運算求解能力和應用意識18（13分）如圖甲，在平面四邊形abcd中，已知a=45，c=90，adc=105，ab=bd，現將四邊形abcd沿bd折起，使平面abd平面bdc（如圖乙），設點e、f分別為棱ac、ad的中點（1）求證：dc平面abc；（2）設cd=a，求三棱錐abfe的體積考點：直線與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺的體積 專題：證明題分析：（1）先證明ab底面bdc，可得abcd，又dcbc，從而證明dc平面abc（2）由（1）知 ef平面abc，求得，代入體積公式進行運算可得答案解答：解：（1）證明：在圖甲中，ab=bd，且a=45，adb=45，abc=90 即abbd在圖乙中，平面abd平面bdc，且平面abd平面bdc=bd，ab底面bdc，abcd又dcb=90，dcbc，且abbc=b，dc平面abc（2）e、f分別為ac、ad的中點，efcd，又由（1）知，dc平面abc，ef平面abc，在圖甲中，adc=105，bdc=60，dbc=30，由cd=a得，點評：本題考查證明線線垂直、線面垂直的方法，求棱錐的體積，求出aeb的面積，確定棱錐的高為ef 是解題的關鍵19（14分）各項均不相等的等差數列an的前四項的和為s4=14，且a1，a3，a7成等比數列（1）求數列an的通項公式an與前n項和sn；（2）記tn為數列的前n項和，若tnan+1對任意的正整數n都成立，求實數的最小值考點：數列的求和；數列與不等式的綜合 專題：等差數列與等比數列分析：（1）設公差為d，利用s4=14，且a1，a3，a7成等比數列，建立方程，即可求得首項與公差，從而可得數列an的通項公式；（2）利用裂項法，可求數列的前n項和，則tnan+1對任意的正整數n都成立，等價于對nn*恒成立，求得的最大值即可解答：解：（1）設公差為d，則s4=14，且a1，a3，a7成等比數列4a1+6d=14，（a1+2d）2=a1（a1+6d）d0，d=1，a1=2，an=n+1，sn=（2）=tn=tnan+1對任意的正整數n都成立，an+1對任意的正整數n都成立，等價于對nn*恒成立又=，且在n=2時取等號，所以實數的最小值為點評：本題考查等差數列的通項與求和，考查裂項法的運用，考查學生的計算能力以及恒成立問題的等價轉化能力，綜合性強，屬于難題20（14分）已知橢圓e：+=1（ab0）的上頂點為p（0，1），過e的焦點且垂直長軸的弦長為1若有一菱形abcd的頂點a、c在橢圓e上，該菱形對角線bd所在直線的斜率為1（1）求橢圓e的方程；（2）當直線bd過點（1，0）時，求直線ac的方程；（3）當abc=時，求菱形abcd面積的最大值考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；直線的一般式方程；橢圓的標準方程 專題：綜合題分析：（1）依題意，b=1，解，得|y|=，所以，由此能求出橢圓e的方程（2）直線bd：y=1（x1）=x+1，設ac：y=x+b，由方程組得，再由根的判別式、中點坐標公式和菱形的性質能推導出ac的方程（3）因為四邊形abcd為菱形，且，所以ab=ac=bc，所以菱形abcd的面積，由ac2=（x2x1）2+（y2y1）2=2（x2x1）2=2（x2+x1）28x1x2=，能推導出當且僅當b=0時，菱形abcd的面積取得最大值解答：解：（1）依題意，b=1，解，得|y|=，所以，a=2，橢圓e的方程為（2）直線bd：y=1（x1）=x+1，設ac：y=x+b，由方程組得，當時，a（x1，y1），c（x2，y2）的中點坐標為=，abcd是菱形，所以ac的中點在bd上，所以解得，滿足=5b20，所以ac的方程為y=x（3）因為四邊形abcd為菱形，且，所以ab=ac=bc，所以菱形abcd的面積，由（2）可得ac2=（x2x1）2+（y2y2）2=2，ac2=（x2x1）2+（y2y1）2=2（x2x1）2=2（x2+x1）28x1x2=2=，因為，所以當且僅當b=0時，菱形abcd的面積取得最大值，最大值為點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要靈活運用根的判別式、中點坐標公式和菱形的性質，結合橢圓的性質注意合理地進行等價轉化21（14分）已知函數f（x）=a（x）2lnx，ar（1）若a=1，判斷函數f（x）是否存在極值，若存在，求出極值；若不存在，說明理由；（2）求函數f（x）的單調區(qū)間；（3）設函數g（x）=若至少存在一個x01，e，使得f（x0）g（x0）成立，求實數a的取值范圍考點：利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值 專題：導數的綜合應用分析：（1）利用求極值的方法，先求導，再判斷函數f（x）單調性，然后判斷是否存在極值；（2）求含有參數的f（x）的單調區(qū)間，需要分類討論； （3）本命題等價于f（x）g（x）0在1，e上有解，設f（x）=f（x）g（x），f（x）min=f（1）=0，從而求得a的取值范圍解答：解：（1）當a=1時，其定義域為（0，+），f（x）在（0，+）上單調遞增，函數f（x