江蘇省蘇州市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 1.2任意角的三角函數(shù)學(xué)案 新人教A版必修4.doc

12 任意角的三角函數(shù)一、 學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議知識、方法要求建議任意角的三角函數(shù)值的定義 三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號、三角函數(shù)線理解在銳角三角函數(shù)定義的基礎(chǔ)上引出對任意角的三角函數(shù)值的定義，理解此定義關(guān)鍵把握有向線段及其數(shù)量的概念；同角三角函數(shù)的基本關(guān)系教學(xué)中應(yīng)突出“同角”兩字，并深化對公式逆用、變用；理解誘導(dǎo)公式時應(yīng)抓住角的終邊的對稱性，借助于圖像看三角函數(shù)值的關(guān)系.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式奇變偶不變，符號看象限二、預(yù)習(xí)指導(dǎo)1 預(yù)習(xí)目標(1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；掌握各三角函數(shù)在每一象限的符號；(2)能在單位圓中作出一個角的正弦線、余弦線、正切線；(3)掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，并能靈活應(yīng)用于求值、化簡三角函數(shù)式、證明三角恒等式(4)能正確地運用誘導(dǎo)公式求任意角的三角函數(shù)值，進行簡單三角函數(shù)的化簡和證明.2 預(yù)習(xí)提綱(1)查閱初中教材(九年級下冊)第7.1至7.4節(jié)，復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)正弦、余弦、正切函數(shù)的定義及相關(guān)求值問題；(2)理解任意三角函數(shù)值的定義，并與初中銳角三角函數(shù)的定義相比較，理解三角函數(shù)值與點p在終邊上的位置無關(guān)；(3)對三角函數(shù)線的理解，首先了解有向線段及其數(shù)量的概念，三角函數(shù)線是有向線段，在用字母表示這些線段時，要注意他們的方向，分清起點和終點，書寫順序不能顛倒；(4)借助于三角函數(shù)值的定義推導(dǎo)同角三角函數(shù)關(guān)系，并體會公式的應(yīng)用：已知角的正弦、余弦、正切值中的一個，求出其余兩個；化簡三角函數(shù)式；證明簡單的三角恒等式；(5)誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)突出了對稱思想，從圖形的角度來理解誘導(dǎo)公式，理解角的任意性；(6)課本第16頁例1、例2題型是根據(jù)角的正弦、余弦、正切值中的一個求出其余兩個值(簡稱“知一求二”)時，要注意這個角所在的象限.一般涉及開方運算時，要分類討論.課本第17頁例4由兩種解法體會證明恒等式常用方法：從一邊開始，證明它等于另一邊；證明左、右兩邊等于同一式子；分析法，尋找等式成立的充分條件.證明的指向一般“由繁到簡”.例4中證法1使用的是作差法，它是上述方法的變形，其依據(jù)是：.3 典型例題例1 已知角的終邊經(jīng)過點p(3，4)(a 0)，求角的正弦值、余弦值、正切值分析：利用三角函數(shù)的定義求解 解：因為x=3a，y= -4a，且a0，所以， 所以；點評：本題考查任意角三角函數(shù)定義，需要注意的是字母運算中字母的符號若去除a 0的條件，那么本題又該如何解答？請同學(xué)們試一試例2 當時，比較的大小分析：在單位圓中根據(jù)三角函數(shù)線及弧長公式將問題轉(zhuǎn)化為比較幾何線段的長短 解：如圖，設(shè)角的終邊與單位圓交于點p，過p作pmx 軸于點m，則有向線段mpsin過點a(1，0)作單 位圓的切線，交角的終邊于點t，則有向線段 at=tan連結(jié)ap，由弧長公式可得, 因為當時，有， 所以，即點評：本題巧用單位圓中的三角函數(shù)線及弧長公式將抽象的問題具體化，利用顯而易見的面積大小關(guān)系比較線段長短，很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性例3 已知sin= -2cos，求的正弦值、余弦值及正切值分析：靈活運用同角三角函數(shù)關(guān)系求解 解：由題可得cos0，則0，故為第二或第四象限角 又，所以 當為第二象限角，則； 當為第四象限角，則點評：根據(jù)條件要能靈活運用同角三角函數(shù)關(guān)系解題如本題采用先求正切值，并利用其符號判斷象限的方法，回避了其他不必要的討論例4 已知，求下列各式的值 (1) ； (2) 分析：可以根據(jù)例4的方法，求解出sin、cos的值代入，也可以先對代數(shù)式進行變形，將所求式化成只含tan的式子再代入，此處采用后一種方法 解：(1) ； (2) 點評：本題是關(guān)于、的齊次式的處理，將分子、分母同除以，得到只含有的式子再代值計算是處理此類問題的主要方法值得一提的是對式的變形，此處靈活運用了恒等式，從而將原式轉(zhuǎn)化為齊次式例5 已知； (2)分析：(1) 根據(jù)尋求與的整體關(guān)系；(2) 類比(1) 的方法求，進而得，最后求出 解：(1) 因為，所以， 則； (2) 因為，且，所以 又，所以， 故，所以點評：本題圍繞恒等式考查了，及之間的整體關(guān)系，其中對角函數(shù)值符號的判斷也值得關(guān)注例6 設(shè)已知是方程的兩個根，求： (1) m的值； (2) 的值分析：(1) 利用韋達定理及同角的平方關(guān)系得到關(guān)于m的方程求解；(2)先化簡再代入 解：(1)由已知，有 因為，所以 得，經(jīng)檢驗符合； (2) =點評：本題依然圍繞恒等式考查與的整體聯(lián)系，但以韋達定理為背景，因此還要注意對判別式的檢驗；對于代數(shù)式求值問題，一般都是采取先化簡后求值的方法例7 求值 (1) ； (2) 分析：誘導(dǎo)公式的運用 解：(1) 原式= = = =0； (2) 原式= = = =4點評：本題屬于靈活使用誘導(dǎo)公式進行計算，首先將問題轉(zhuǎn)化為求0360之間角的三角函數(shù)值，然后將問題轉(zhuǎn)化成求090之間角的三角函數(shù)值，體現(xiàn)化歸的數(shù)學(xué)思想例8 已知，且，求的值分析：結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角函數(shù)關(guān)系式加以解決 解：由，有，所以， 即 又因為 由、及同角三角函數(shù)關(guān)系可得： ， 所以 點評：本題先考慮利用誘導(dǎo)公式對已知和所求進行化簡，再用同角三角函數(shù)關(guān)系來溝通已知與所求對于此類三角函數(shù)求值問題，也需要關(guān)注已知與所求之間的直接聯(lián)系，例如“已知，求的值”例9 設(shè)，求值：分析：注意對角的整體處理 解：原式= =點評：化簡時需要向已知條件看齊，運用整體思想4 自我檢測(1)已知角的終邊經(jīng)過點p(4，3)，則_(2)當為第二象限角時，的值是_ (3)已知,則的值是_ (4)已知=_(5)設(shè)，求的值(6)求值： ； ； (7)已知，則_三、 課后鞏固練習(xí)a組1已知點p(3, y )在角的終邊上，且滿足y 0， = ，求2若 0，且sinxcosx0，則角x的終邊在第 象限 ？4函數(shù)的值域是_5已知角的終邊是op，角的終邊是oq，試在圖中作出、的三角函數(shù)線，然后用不等號(，)填空：(1) _；(2) _；(3) _6已知，則的值等于_ 7化簡的結(jié)果是_ 8已知：，求下列各式的值：(1) ； (2) 9若，是方程2x2 x m = 0的兩個根，求m的值10化簡：(1) ；(2)； (3)11化簡： 12設(shè)是第二象限角，且則是第_象限角13 求的值；14化簡：(1) (是第三象限角)；(2) 15若，求值： 16已知的值17已知為第三象限角，求的值b組18已知角的終邊在直線yx上，則2sincos的值是_19角的終邊在直線上，且，若p (m，n)是角終邊上一點，且|po|=(o為原點)，則_20若角為第二或第四象限角，則的值等于_21已知| = ，| = ，且，試判斷p(，)在第 象限 22利用單位圓寫出符合下列條件的角x：(1) 若 ，則x _；(2) 若，則x _.23(0，)且，是方程的兩根，求，的值24若，化簡：25設(shè)f() = ，求的值26已知的值 27若f() = ，則 f ()的值為_ 28設(shè)c組29已知角的終邊經(jīng)過點p(sin，cos)，且00)，則使f(a)的一個函數(shù)是_31若f(n)sin，則f(1)f(3)f(5)f(7)f(9)f(11)_32已知tan，則tan2_33(1)若，則 _(2)已知，那么= 34已知，求值： 35(1) 若f () = ，求f ()； (2) 若f() = ，求f ()36化簡：(1) (2)37設(shè)求的值 38在三角形abc中，若求abc的三個內(nèi)角a、b、c的大小39. 已知，求40. 若等式成立，求x的集合知識點題號注意點任意角三角函數(shù)值的定義注意分類討論的思想方法三角函數(shù)值的符號注意分類討論的思想方法誘導(dǎo)公式熟練運用公式，體會化歸思想三角函數(shù)線的應(yīng)用注意三角函數(shù)線由方向確定數(shù)量的正負同角三角函數(shù)關(guān)系注意平方關(guān)系的靈活運用綜合題靈活運用同角關(guān)系和誘導(dǎo)公式四、 學(xué)習(xí)心得五、 拓展視野三角學(xué)在我國的發(fā)展我國對三角知識的研究淵源較早西漢末東漢初(約一世紀)，我國古老的數(shù)學(xué)書籍周髀算經(jīng)一書里，記載著公元前7，8世紀人們?nèi)绾斡嬎愕孛嬉稽c到太陽距離的方法當時人在周城(周成李所建的都城洛邑，就是現(xiàn)在河南洛陽)，立8尺高的竿，如圖所示某一天正午測得竿影長是6尺，又在北方相距2000里的地方立同樣高的竿子，測得它的影長為6尺2寸他就用相似三角形的原理求得周城到日下地的距離是(里)，太陽距離地面的高是(里)然后根據(jù)勾股定理，求出測者到太陽的距離是100000里據(jù)記載，周代的天文官員，利用“重差術(shù)”測得太陽高遠三國時著名數(shù)學(xué)家劉徽，在古人“重差術(shù)”的基礎(chǔ)上，編撰了海島算經(jīng)一書春秋時代的考工說一書，對“角”已有初步認識用“倨句”表示角度的多少，其中直角叫做“矩”唐朝開元六年(718年)，在司天監(jiān)任職的印度人瞿傳悉達編譯開元占經(jīng)一百二十卷，講印度數(shù)學(xué)家阿利耶毗陀編制的三角函數(shù)表載于卷一零四九執(zhí)歷中，這是傳入我國的最早的三角函數(shù)表明朝初年，西洋三角學(xué)傳入我國在崇禎歷書中載有大測、測量全義等有關(guān)三角學(xué)書籍，1631年，瑞士人鄧玉函(15761630)、德國人湯若望(15911666)與我國數(shù)學(xué)家徐光啟共同編譯大測二卷，鄧玉函在序言中說： “大測者，測三角形之法也”我國“三角學(xué)”一詞，即由此而來該書講了三角函數(shù)的造表方法和正、余弦的關(guān)系，倍、半角的公式，以及正弦定理、余弦定理與正切定理1631年，意大利人羅雅谷(15931638)撰寫了另一部有關(guān)三角學(xué)的著作測量全義十卷卷七稱：“每弧、每角有8種線，曰正弦，曰余弦，曰正切線，曰正割線，曰正矢，曰余切，曰余割，曰余矢”這是我國三角八線名稱的由來測量全義中所介紹的三角學(xué)內(nèi)容比大測豐富全面，除正、余弦定理和正切定理外，還有同角的三角函數(shù)公式與積化和差公式等此外，崇禎歷書中還記載有割圓八線六卷，是一個每隔1的五位三角函數(shù)表其中包括正弦、正切、正割、余弦、余切、余割，另外的三角函數(shù)中