漆安慎 杜禪英 力學(xué)習(xí)題及答案07章.doc

第7章 剛體力學(xué) 58 第7章 剛體力學(xué)第七章 剛體力學(xué)一、基本知識(shí)小結(jié)剛體的質(zhì)心 定義：求質(zhì)心方法：對(duì)稱分析法，分割法，積分法。剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 定義：平行軸定理 Io = Ic+md2 正交軸定理 Iz = Ix+Iy. 常見(jiàn)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：（略）剛體的動(dòng)量和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 剛體對(duì)軸的角動(dòng)量和轉(zhuǎn)動(dòng)定理 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和重力勢(shì)能 剛體的平面運(yùn)動(dòng)=隨質(zhì)心坐標(biāo)系的平動(dòng)+繞質(zhì)心坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程：（不必考慮慣性力矩） 動(dòng)能：剛體的平衡方程 ， 對(duì)任意軸 二、思考題解答7.1 火車在拐彎時(shí)所作的運(yùn)動(dòng)是不是平動(dòng)？ 答：剛體作平動(dòng)時(shí)固聯(lián)其上的任一一條直線，在各時(shí)刻的位置（方位）始終彼此平行。若將火車的車廂看作一個(gè)剛體，當(dāng)火車作直線運(yùn)行時(shí)，車廂上各部分具有平行運(yùn)動(dòng)的軌跡、相同的運(yùn)動(dòng)速度和加速度，選取車廂上的任一點(diǎn)都可代替車廂整體的運(yùn)動(dòng)，這就是火車的平動(dòng)。但當(dāng)火車拐彎時(shí)，車廂上各部分的速度和加速度都不相同，即固聯(lián)在剛體上任一條直線，在各時(shí)刻的位置不能保持彼此平行，所以火車拐彎時(shí)的運(yùn)動(dòng)不是平動(dòng)。 7.2 對(duì)靜止的剛體施以外力作用，如果合外力為零，剛體會(huì)不會(huì)運(yùn)動(dòng)？ 答：對(duì)靜止的剛體施以外力作用，當(dāng)合外力為了零，即時(shí)，剛體的質(zhì)心將保持靜止，但合外力為零并不表明所有的外力都作用于剛體的同一點(diǎn)。所以，對(duì)某一確定點(diǎn)剛體所受合外力的力矩不一定為零。由剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律可知，剛體將發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)。比如，置于光滑水平面上的勻質(zhì)桿，對(duì)其兩端施以大小相同、方向相反，沿水平面且垂直于桿的兩個(gè)作用力時(shí)，桿所受的外力的合力為零，其質(zhì)心雖然保持靜止，但由于所受合外力矩不為零，將作繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。 7.3 如果剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度很大，那么（1）作用在它上面的力是否一定很大？（2）作用在它上面的力矩是否一定很大？ 答：由剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律可知，剛體受對(duì)軸的合外力矩正比于繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的時(shí)間變化率。因此，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度很大，并不意味這轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的時(shí)間變化率也很大，所以， （1）剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度很大，與其受力沒(méi)有直接關(guān)系。對(duì)于剛體的一般運(yùn)動(dòng)，所受合外力使剛體的質(zhì)心產(chǎn)生加速度，即改變剛體的平動(dòng)狀態(tài)。 （2）剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度很大，與其受到對(duì)定軸的力矩的大小也沒(méi)有直接關(guān)系。合外力矩使剛體產(chǎn)生角加速度，改變剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)。 7.4 為什么在研究剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，要研究力矩作用？力矩和哪些因素有關(guān)？ 答：一個(gè)靜止的剛體能夠獲得平動(dòng)的加速度而運(yùn)動(dòng)起來(lái)的原因是，相對(duì)它的質(zhì)心而言，所受的合外力不為零。一個(gè)靜止的剛體相對(duì)某一轉(zhuǎn)動(dòng)，能夠獲得角加速度而轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)的原因是，剛體所受到的外力對(duì)轉(zhuǎn)軸的合外力矩不為零。因此，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)是與其受到的相對(duì)轉(zhuǎn)軸的合外力矩密切相關(guān)的。取軸為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的固定軸時(shí)，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)有貢獻(xiàn)的合外力矩是，其中，是作用在剛體上的第個(gè)外力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分量，而是由轉(zhuǎn)軸（軸）到的作用點(diǎn)的距離，是和間由右手定則決定的夾角。所以，對(duì)軸的力矩不但與各外力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)分量的大小有關(guān)，還與的作用線與軸的垂直距離（力臂）的值有關(guān)。 7.5試證：勻質(zhì)細(xì)棒在光滑平面上受到一對(duì)大小相等、方向相反的作用力作用時(shí)，不管力作用在哪里，它的質(zhì)心加速度總是零。 答：勻質(zhì)剛性細(xì)棒可以看作在運(yùn)動(dòng)中保持相對(duì)位置不變的質(zhì)點(diǎn)系，其質(zhì)心遵守運(yùn)動(dòng)定律 .當(dāng)該棒受大小相等方向相反的作用力時(shí)，質(zhì)心所受合力與各個(gè)力的作用點(diǎn)無(wú)關(guān)，加速度總為零。 7.6 在計(jì)算物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，能把物體的質(zhì)量集中的質(zhì)心處嗎？ 答：物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。影響轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的因素有：物體的總質(zhì)量、物體質(zhì)量的分布以及轉(zhuǎn)軸的位置。同一物體對(duì)質(zhì)心軸和任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是不同的。所以，在計(jì)算物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，不能簡(jiǎn)單地把物體的質(zhì)量看作集中在質(zhì)心處。 7.7 兩個(gè)同樣大小的輪子，質(zhì)量也相同。一個(gè)輪子的質(zhì)量均勻分布，另一個(gè)輪子的質(zhì)量主要集中在輪緣，問(wèn)：（1）如果作用在它們上面的外力矩相同，哪個(gè)輪子轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度較大？（2）如果它們的角加速度相等，作用在哪個(gè)輪子上的力矩較大？（3）如果它們的角動(dòng)量相等，哪個(gè)輪子上的力矩較大？ 答：質(zhì)量相等、大小相同的輪子，由于質(zhì)量分布情況的不同而使得它們對(duì)同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同。由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的意義可知，質(zhì)量主要集中在輪緣的輪子，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較大。由定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定律和角動(dòng)量，可知： （1）相同時(shí)，物體所獲得的角加速度大小與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比，故質(zhì)量均勻分布的輪子轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度較大； （2）角加速度相等時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大的輪子上作用的力矩也大，故質(zhì)量主要集中在輪緣的輪子受到的力矩較大； （3）兩輪的角動(dòng)量相等時(shí)，兩輪的角速度與它們的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比，故質(zhì)量均勻分布的輪子轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度較大轉(zhuǎn)的較快。 7.8 一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)著的飛輪，如不供給它能量，最終將停下來(lái)。試用轉(zhuǎn)動(dòng)定律解釋這個(gè)現(xiàn)象。 答：一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)著的飛輪，如不供給它能量，最終必將停下來(lái)，這是由于飛輪在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中受到各種對(duì)轉(zhuǎn)軸的阻力矩作功的緣故。根據(jù)動(dòng)能定理可知，阻力矩的功使飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能減小，使它最終停下來(lái) 。7.9、什么是剛體？答：一般假定物體無(wú)論受多大外力或轉(zhuǎn)動(dòng)得多快都不變形，并稱這樣的物體為剛體。剛體是力學(xué)中關(guān)于研究對(duì)象的另一個(gè)理想模型7.10、什么是剛體的平動(dòng)？其動(dòng)力學(xué)方程為何？答： 如果在運(yùn)動(dòng)中，剛體上任意兩質(zhì)元連線的空間方向始終保持不變，這種運(yùn)動(dòng)就稱為剛體的平動(dòng)。例如電梯的升降、活塞的往返等都是平動(dòng)。動(dòng)力學(xué)方程為：7.11、什么是剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)？其動(dòng)力學(xué)方程為何？答：如果剛體上各質(zhì)元都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)就稱為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，這條直線稱為轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)軸固定于參考系的情況稱為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體定軸軸的角動(dòng)量轉(zhuǎn)動(dòng)定理 （它表明：剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體對(duì)該轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積在數(shù)量上等于外力對(duì)此轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的合力矩剛體定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理。）7.12剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能和重力勢(shì)能為何？答：剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能等于剛體對(duì)此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度平方乘積之半 重力勢(shì)能：7.13、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小和什么有關(guān)？答：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量決定于剛體各部分質(zhì)量距轉(zhuǎn)軸遠(yuǎn)近及質(zhì)量的分布情況。7.14、什么是平行軸定理和垂直軸定律？平行軸定理：設(shè)剛體繞通過(guò)質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 Ic ，將軸朝任何方向平行移動(dòng)一個(gè)距離 d ，則繞此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ID為 ID=Ic+md2垂直軸定理：設(shè)剛性薄板平面為 xy 面，z 軸與之垂直，則對(duì)于任何原點(diǎn)O繞三個(gè)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為應(yīng)用它很容易求出圓環(huán)或圓盤(pán)繞直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣7.15、什么是剛體平面運(yùn)動(dòng)？剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為何？其機(jī)械能為何？答：剛體的平面運(yùn)動(dòng)=隨質(zhì)心坐標(biāo)系的平動(dòng)+繞質(zhì)心坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程： （不必考慮慣性力矩） 動(dòng)能：7.16、剛體平衡的條件是什么？剛體的平衡方程 ， 對(duì)任意軸 三、習(xí)題解答7.1.1 設(shè)地球繞日作圓周運(yùn)動(dòng).求地球自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)的角速度為多少rad/s?估算地球赤道上一點(diǎn)因地球自轉(zhuǎn)具有的線速度和向心加速度.估算地心因公轉(zhuǎn)而具有的線速度和向心加速度（自己搜集所需數(shù)據(jù)）.解 答7.1.2 汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速在12s內(nèi)由1200rev/min增加到3000rev/min.假設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)是勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)，求角加速度。在此時(shí)間內(nèi)，發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)了多少轉(zhuǎn)？解：對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)數(shù)=7.1.3 某發(fā)動(dòng)機(jī)飛輪在時(shí)間間隔t內(nèi)的角位移為。求t時(shí)刻的角速度和角加速度。解：7.1.4 半徑為0.1m的圓盤(pán)在鉛直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，在圓盤(pán)平面內(nèi)建立o-xy坐標(biāo)系，原點(diǎn)在軸上，x和y軸沿水平和鉛直向上的方向。邊緣上一點(diǎn)A當(dāng)t=0時(shí)恰好在x軸上，該點(diǎn)的角坐標(biāo)滿足=1.2t+t2 (:rad,t:s)。t=0時(shí)，自t=0開(kāi)始轉(zhuǎn)45時(shí)，轉(zhuǎn)過(guò)90時(shí)，A點(diǎn)的速度和加速度在x和y軸上的投影。 yA解： o xt=0時(shí)，=/4時(shí),由=1.2t+t2,求得t=0.47s,=1.2+2t=2.14rad/s=/2時(shí),由=1.2t+t2,求得t=0.7895s,=1.2+2t=2.78rad/s7.1.5 鋼制爐門(mén)由兩個(gè)各長(zhǎng)1.5m的平行臂 A CAB和CD支承，以角速率=10rad/s逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，求臂與鉛直成45時(shí)門(mén)中心G的速度和加 B D速度。解：因爐門(mén)在鉛直面內(nèi)作平動(dòng)，所以門(mén)中 G心G的速度、加速度與B點(diǎn)或D點(diǎn)相同，而B(niǎo)、D兩點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng),因此，方向指向右下方，與水平方向成45；，方向指向右上方，與水平方向成457.1.6 收割機(jī)撥禾輪上面通常裝4到 壓板6個(gè)壓板，撥禾輪一邊旋轉(zhuǎn)，一邊隨收割機(jī)前進(jìn)。壓板轉(zhuǎn)到下方才發(fā)揮作用，一方面把農(nóng)作物壓向切割器，一方面把切下來(lái) 切割器的作物鋪放在收割臺(tái)上，因此要求壓板運(yùn)動(dòng)到下方時(shí)相對(duì)于作物的速度與收割機(jī)前進(jìn)方向相反。已知收割機(jī)前進(jìn)速率為1.2m/s，撥禾輪直徑1.5m，轉(zhuǎn)速22rev/min,求壓板運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)擠壓作物的速度。解：撥禾輪的運(yùn)動(dòng)是平面運(yùn)動(dòng)，其上任一點(diǎn)的速度等于撥禾輪輪心C隨收割機(jī)前進(jìn)的平動(dòng)速度加上撥禾輪繞輪心轉(zhuǎn)動(dòng)的速度。壓板運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，其轉(zhuǎn)動(dòng)速度方向與收割機(jī)前進(jìn)速度方向相反，壓板相對(duì)地面（即農(nóng)作物）的速度負(fù)號(hào)表示壓板擠壓作物的速度方向與收割機(jī)前進(jìn)方向相反。7.1.7飛機(jī)沿水平方向飛行，螺旋槳尖端所在半徑為150cm，發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速2000rev/min. 槳尖相對(duì)于飛機(jī)的線速率等于多少？若飛機(jī)以250km/h的速率飛行，計(jì)算槳尖相對(duì)地面速度的大小，并定性說(shuō)明槳尖的軌跡。解：槳尖相對(duì)飛機(jī)的速度： 槳尖相對(duì)地面的速度：，飛機(jī)相對(duì)地面的速度與螺旋槳相對(duì)飛機(jī)的速度總是垂直的，所以，顯然，槳尖相對(duì)地面的運(yùn)動(dòng)軌跡為螺旋線7.1.8桑塔納汽車時(shí)速為166km/h，車輪滾動(dòng)半徑為0.26m，發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速與驅(qū)動(dòng)輪轉(zhuǎn)速比為0.909, 問(wèn)發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為每分多少轉(zhuǎn)？解：設(shè)車輪半徑為R=0.26m，發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為n1, 驅(qū)動(dòng)輪轉(zhuǎn)速為n2, 汽車速度為v=166km/h。顯然，汽車前進(jìn)的速度就是驅(qū)動(dòng)輪邊緣的線速度，所以：7.2.2 在下面兩種情況下求直圓錐體的總質(zhì)量和質(zhì)心位置。圓錐體為勻質(zhì)；密度為h的函數(shù)：=0（1-h/L）,0為正常數(shù)。L解：建立圖示坐標(biāo)o-x,據(jù)對(duì)稱性分析，質(zhì)心必在x軸上,在x坐標(biāo)處取一厚為dx o r a x的質(zhì)元 dm=r2dx，r/a=x/L，r=ax/L dm=a2x2dx/L2 h 圓錐體為勻質(zhì)，即為常數(shù)，總質(zhì)量：質(zhì)心：總質(zhì)量：質(zhì)心：7.2.3 長(zhǎng)度為L(zhǎng)的勻質(zhì)桿，令其豎直地立于光滑的桌面上，然后放開(kāi)手，由于桿不可能絕對(duì)沿鉛直方向，故隨即到下。求桿子的上端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡（選定坐標(biāo)系，并求出軌跡的方程式）。解：設(shè)桿在o-xy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。因桿 y在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，只受豎直向上的支承力和豎直向下的重力的作用，在水平方向不受外力作用，vcx=0,acx=0，即質(zhì)心C無(wú)水平方向的移動(dòng)，只能逆著y軸作加速直線運(yùn)動(dòng)，直到倒在桌面上。 o x取桿的上端點(diǎn)的坐標(biāo)為x,y，勻質(zhì)桿的質(zhì)心在其幾何中心，由圖示的任一瞬間的幾何關(guān)系可知：4x2+y2=L2(x0,y0)7.3.1 用積分法證明：質(zhì)量為m常為l的勻質(zhì)細(xì)桿對(duì)通過(guò)中心且與桿垂直的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于；用積分法證明：質(zhì)量為m半徑為R的勻質(zhì)薄圓盤(pán)對(duì)通過(guò)中心且在盤(pán)面內(nèi)的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于xydxl/2-l/2證明：取圖示坐標(biāo)，在坐標(biāo)x處取一線元，它對(duì)y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：，整個(gè)細(xì)桿對(duì)y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：xxR在坐標(biāo)x處取細(xì)桿狀質(zhì)元，它對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：整個(gè)圓盤(pán)對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：為了能求出積分，作如下變換：代入上式：據(jù)三角函數(shù)公式：l7.3.2 圖示實(shí)驗(yàn)用的擺，l=0.92m,r=0.08m,ml=4.9kg,mr=24.5kg,近似認(rèn)為圓形部分為勻質(zhì)圓盤(pán)，長(zhǎng)桿部分為勻質(zhì)細(xì)桿。求對(duì)過(guò)懸點(diǎn)且與盤(pán)面垂直的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 o解：擺對(duì)o軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I等于桿對(duì)o軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Il加上圓盤(pán)對(duì)o軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ir，即I=Il+Ir.根據(jù)平行軸定理ro7.3.3 在質(zhì)量為M，半徑為R的勻質(zhì)圓盤(pán)上挖出半徑為r的兩個(gè)圓孔，圓孔中心在半徑R的中點(diǎn)，求剩余部分對(duì)過(guò)大圓盤(pán)中心且與盤(pán)面垂直的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：大圓盤(pán)對(duì)過(guò)圓盤(pán)中心o且與盤(pán)面 R垂直的軸線（以下簡(jiǎn)稱o軸）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 r r 為 .由于對(duì)稱放置，兩個(gè)小圓盤(pán)對(duì)o軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相等，設(shè)為I，圓盤(pán)質(zhì)量的面密度=M/R2，根據(jù)平行軸定理，設(shè)挖去兩個(gè)小圓盤(pán)后，剩余部分對(duì)o軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I”7.3.5一轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I=8.0kgm2，轉(zhuǎn)速為=41.9rad/s，兩制動(dòng)閘瓦對(duì)輪的壓力都為392N，閘瓦與輪緣間的摩擦系數(shù)為=0.4，輪半徑為r=0.4m，問(wèn)從開(kāi)始制動(dòng)到靜止需多長(zhǎng)時(shí)間？閘瓦閘瓦解：由轉(zhuǎn)動(dòng)定理：制動(dòng)過(guò)程可視為勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)，7.3.6 勻質(zhì)桿可繞支點(diǎn)o轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)與桿垂直的沖力作用某點(diǎn)A時(shí)，支點(diǎn)o對(duì)桿的作用力并不因此沖力之作用而發(fā)生變化，則A點(diǎn)稱為打擊中心。設(shè)桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，求打擊中心與支點(diǎn)的距離。 y解：建立圖示坐標(biāo)o-xyz,z軸垂直紙面向外。 N 據(jù)題意，桿受力及運(yùn)動(dòng)情況如圖所示。由質(zhì)心運(yùn) o xmg動(dòng)定理： ac 由轉(zhuǎn)動(dòng)定理； A F把代入中，可求得 7.3.7 現(xiàn)在用阿特伍德機(jī)測(cè)滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。用輕線且盡可能潤(rùn)滑輪軸。兩端懸掛重物質(zhì)量各為m1=0.46kg，m2=0.5kg，滑輪半徑為0.05m。自靜止始，釋放重物后并測(cè)得0.5s內(nèi)m2下降了0.75m?；嗈D(zhuǎn)動(dòng)慣量是多少？解： T2 T1 x o R a a y m1m2 m2g m1g T2 T1 隔離m2、m1及滑輪，受力及運(yùn)動(dòng)情況如圖所示。對(duì)m2、m1分別應(yīng)用牛頓第二定律：對(duì)滑輪應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定理： （3）質(zhì)點(diǎn)m2作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：，由 、可求得 ,代入（3）中，可求得 ，代入數(shù)據(jù)：7.3.8斜面傾角為，位于斜面頂端的卷?yè)P(yáng)機(jī)鼓輪半徑為R，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，受到驅(qū)動(dòng)力矩，通過(guò)繩所牽動(dòng)斜面上質(zhì)量為m的物體，物體與斜面間的摩擦系數(shù)為，求重物上滑的加速度，繩與斜面平行，不計(jì)繩質(zhì)量。解：隔離鼓輪與重物，受力分析如圖，其中T為繩中張力，f=N為摩擦力，重物上滑加速度與鼓輪角加速度的關(guān)系為a=RmgTNfaT對(duì)重物應(yīng)用牛二定律：T- N- mgsin=ma, N=mgcos，代入前式，得 T- mgcos- mgsin=ma 對(duì)鼓輪應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定理：- TR=I=Ia/R 由聯(lián)立，可求得重物上滑的加速度：m1,m2hr7.3.9利用圖中所示裝置測(cè)一輪盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，懸線和軸的垂直距離為r，為減小因不計(jì)軸承摩擦力矩而產(chǎn)生的誤差，先懸掛質(zhì)量較小的重物m1，從距地面高度為h處由靜止開(kāi)始下落，落地時(shí)間為t1，然后懸掛質(zhì)量較大的重物m2，同樣自高度h處下落，所需時(shí)間為t2，根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定輪盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，近似認(rèn)為兩種情況下摩擦力矩相等。TTmgafr解：隔離輪盤(pán)與重物，受力及運(yùn)動(dòng)情況如圖示：f為摩擦力矩，T為繩中張力，a=r對(duì)輪盤(pán)應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定理：，兩式相減，得：對(duì)重物應(yīng)用牛頓二定律：，兩式相減，可得：，代入中，可得：由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：，將角加速度代入中，得：7.4.1 扇形裝置如圖，可繞光滑的鉛直軸線o轉(zhuǎn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I.裝置的一端有槽，槽內(nèi)有彈簧，槽的中心軸線與轉(zhuǎn)軸垂直距離為r。在槽內(nèi)裝有一小球，質(zhì)量為m，開(kāi)始時(shí)用細(xì)線固定，使彈簧處于壓縮狀態(tài)?，F(xiàn)在燃火柴燒斷細(xì)線，小球以速度v0彈出。求轉(zhuǎn)動(dòng)裝置的反沖角速度。在彈射過(guò)程中，由小球和轉(zhuǎn)動(dòng)裝置構(gòu)成的系統(tǒng)動(dòng)能守恒否？總機(jī)械能守恒否？為什么？解：取小球、轉(zhuǎn)動(dòng)裝置構(gòu)成的物體系為研究對(duì)象。在彈射過(guò)程中，物體系相對(duì)豎直軸o未受外力距作用，故物體系對(duì)轉(zhuǎn)軸o的角動(dòng)量守恒，規(guī)定順時(shí)方向?yàn)檎?，?v0 m r在彈射過(guò)程中，物體系動(dòng)能不 o I守恒，因彈力做正功使動(dòng)能增加；總機(jī)械能守恒，因?yàn)橹挥斜Ｊ貎?nèi)力（彈力）做功。7.4.2 質(zhì)量為2.97kg，長(zhǎng)為1.0m的勻質(zhì)等截面細(xì)桿可繞水平光滑的軸線o轉(zhuǎn)動(dòng)，最初桿靜止于鉛直方向。一彈片質(zhì)量為10g，以水平速度200m/s射出并嵌入桿的下端，和桿一起運(yùn)動(dòng)，求桿的最大擺角. o l M解：將子彈、桿構(gòu)成的物體系作為研究對(duì)象，整個(gè)過(guò)程可分為兩個(gè)階段研究：第一階段，子彈與桿發(fā)生完全非彈性碰撞， 獲得共同的角速度，此過(guò)程時(shí)間極短，可認(rèn) 為桿原地未動(dòng)。由于在此過(guò)程中，外力矩為零， m v因此角動(dòng)量守恒，第二階段，子彈與桿以共同的初角速度擺動(dòng)到最大角度，由于在此過(guò)程中，只有重力做功，所以物體系的機(jī)械能守恒，物體系原來(lái)的動(dòng)能等于重力勢(shì)能的增量： =30347.4.3一質(zhì)量為m1，速度為v1的子彈沿水平面擊中并嵌入一質(zhì)量為m2=99m1，長(zhǎng)度為L(zhǎng)的棒的端點(diǎn)，速度v1與棒垂直，棒原來(lái)靜止于光滑的水平面上，子彈擊中棒后共同運(yùn)動(dòng)，求棒和子彈繞垂直與平面的軸的角速度等于多少？OCAm2,Lv1m1解：以地為參考系，把子彈和棒看作一個(gè)物體系，棒嵌入子彈后作平面運(yùn)動(dòng)，可視為隨質(zhì)心C的平動(dòng)和繞質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)，繞質(zhì)心C轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度即為所求。據(jù)質(zhì)心定義: ，據(jù)角動(dòng)量守恒：7.5.1 10m高的煙囪因底部損壞而倒下來(lái)，求其上端到達(dá)地面時(shí)的線速度，設(shè)傾倒時(shí)，底部未移動(dòng)，可近似認(rèn)為煙囪為勻質(zhì)桿。解：設(shè)煙囪質(zhì)量為m，高為h，質(zhì)心高度hC=h/2，對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，倒在地面上時(shí)的角速度為由機(jī)械能守恒：上端點(diǎn)到達(dá)地面時(shí)的線速度：7.5.2 用四根質(zhì)量各為m長(zhǎng)度各為l的勻質(zhì)細(xì)桿制成正方形框架，可繞其中一邊的中點(diǎn)在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，支點(diǎn)o是光滑的。最初，框架處于靜止且AB邊沿豎直方向，釋放后向下擺動(dòng)，求當(dāng)AB邊達(dá)到水平時(shí)，框架質(zhì)心的線速度vc及框架作用于支點(diǎn)的壓力N.ABB Ao解：先求出正方形框架對(duì)支點(diǎn)o的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： Ep=0設(shè)AB邊達(dá)到水平位置時(shí)，框架的角速度為，據(jù)機(jī)械能守恒定律： AB邊在水平位置時(shí)，框架所受到的向上的支撐力N和向下的重力W的作用線均通過(guò)支點(diǎn)o，對(duì)o軸的力矩為零，據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理，框架的角加速度為零，ac=2l/2=6g/7，方向向上。規(guī)定向上方向?yàn)檎?，?duì)框架應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：據(jù)牛頓第三定律，支點(diǎn)受到的壓力，大小等于N，方向向下。7.5.3由長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿組成正方形框架，其中一角連于水平光滑轉(zhuǎn)軸O，轉(zhuǎn)軸與框架所在平面垂直，最初，對(duì)角線OP處于水平，然后從靜止開(kāi)始向下自由擺動(dòng)，求OP對(duì)角線與水平成45時(shí)P點(diǎn)的速度，并求此時(shí)框架對(duì)支點(diǎn)的作用力。解：先求出框架對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：據(jù)平行軸定理，OPCn4mgN設(shè)對(duì)角線OP轉(zhuǎn)過(guò)45后框架的角速度為，且勢(shì)能為零，由機(jī)械能守恒：設(shè)支點(diǎn)O對(duì)框架的作用力為N，由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理：= I，質(zhì)心的法向加速度 在方向應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：，在方向應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：，設(shè)與-方向夾角為，7.5.4 質(zhì)量為m長(zhǎng)為l的勻質(zhì)桿，其B端放在桌上，A端用手支住，使桿成水平。突然釋放A端，在此瞬時(shí)，求：桿質(zhì)心的加速度，桿B端所受的力。解：以支點(diǎn)B為轉(zhuǎn)軸，應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng) B A定理：，質(zhì)心加速度 ，方向向下。 x設(shè)桿B端受的力為N，對(duì)桿應(yīng)用 y質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：Ny=0，Nx - mg = - m ac , Nx = m(g ac) = mg/4 N = mg/4，方向向上。7.5.5 下面是勻質(zhì)圓柱體在水平地面上作無(wú)滑滾動(dòng)的幾種情況，求地面對(duì)圓柱體的靜摩擦力f.沿圓柱體上緣作用一水平拉力F,柱體作加速滾動(dòng)。水平拉力F通過(guò)圓柱體中心軸線，柱體作加速滾動(dòng)。不受任何主動(dòng)力的拉動(dòng)或推動(dòng)，柱體作勻速滾動(dòng)。在主動(dòng)力偶矩的驅(qū)動(dòng)下加速滾動(dòng)，設(shè)柱體半徑為R。mgfNF(1)F(2)C解：規(guī)定前進(jìn)方向和順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎较?。假設(shè)靜摩擦力方向向后，其余受力情況如圖所所示。對(duì)每種情況，都可以根據(jù)質(zhì)心定理、繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理和只滾不滑條件，建立三個(gè) 方程求解。 可求得f = - F/3,負(fù)號(hào)說(shuō)明靜摩擦力方向與假設(shè)方向相反，應(yīng)向前。 可求得f = F/3,正號(hào)說(shuō)明靜摩擦力方向與假設(shè)方向相同，向后。 ac = 0 , f = 0,求得 負(fù)號(hào)說(shuō)明靜摩擦力方向與假設(shè)方向相反，應(yīng)向前。7.5.6 板的質(zhì)量為M，受水平力F R 的作用，沿水平面運(yùn)動(dòng)，板與平面間的 M2 F摩擦系數(shù)為.在板上放一半徑為R質(zhì)量為M2的實(shí)心圓柱，此圓柱只滾動(dòng)不滑動(dòng)。求板的加速度。解：隔離圓柱，其受力及運(yùn)動(dòng)情況如圖 所示，其中ac為質(zhì)心對(duì)地的加速度，為相對(duì)質(zhì)心的角加速度，f2、N2分別為板施加給 W2 ac 圓柱的靜摩擦力和壓力。 f2由質(zhì)心定理： N2 對(duì)質(zhì)心應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定理： N1 隔離木板，其受力及運(yùn)動(dòng)情況如圖所示， f2 F 其中a為板對(duì)地的加速度，f1、N1分別為水平 f1=N1 Mg面施加給板的滑動(dòng)摩擦力和壓力。 N2 a 應(yīng)用牛頓第二定律（或質(zhì)心定理）： 圓柱在木板上只滾不滑的條件是：a = ac +R (6) (圓柱與板接觸點(diǎn)對(duì)地的加速度等于質(zhì)心加速度加上繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的加速度，即ac+R，它必須等于木板對(duì)地的加速度a,才能只滾不滑)將（2）代入（4）求得：N1=(M+M2)g；由（1）（3）可解得，2ac=R 與（6）聯(lián)立，可求得，ac=a/3, 代入（1）中，f2 = a M2 /3；將N1、f2代入（5）中，有7.5.7 在水平桌面上放置一質(zhì)量為m的線軸，內(nèi)徑為b，外徑為R,其繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為mR2/3,線軸和地面之間的靜摩擦系數(shù)為。線軸受一水平拉力F,如圖所示。使線軸在桌面上保持無(wú)滑滾動(dòng)之F最大值是多少？若F和水平方向成角，試證，cosb/R時(shí)，線軸向前滾；cosb/R時(shí)，線軸向后滾動(dòng)。 y解：可將（1）看作（2）的特殊 F情況。建立圖示坐標(biāo)，z軸垂直紙面 C b R x 向外，為角量的正方向。根據(jù)靜摩擦 力的性質(zhì)，可知其方向與F水平分量 f 方向相反。設(shè)線軸質(zhì)心的加速度為a，繞質(zhì)心的角加速度為。由質(zhì)心定理：由轉(zhuǎn)動(dòng)定理：