漆安慎 杜禪英 力學(xué)習(xí)題及答案07章.doc

第7章 剛體力學(xué) 58 第7章 剛體力學(xué)第七章 剛體力學(xué)一、基本知識小結(jié)剛體的質(zhì)心 定義：求質(zhì)心方法：對稱分析法，分割法，積分法。剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量 定義：平行軸定理 Io = Ic+md2 正交軸定理 Iz = Ix+Iy. 常見剛體的轉(zhuǎn)動慣量：（略）剛體的動量和質(zhì)心運動定理 剛體對軸的角動量和轉(zhuǎn)動定理 剛體的轉(zhuǎn)動動能和重力勢能 剛體的平面運動=隨質(zhì)心坐標(biāo)系的平動+繞質(zhì)心坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動動力學(xué)方程：（不必考慮慣性力矩） 動能：剛體的平衡方程 ， 對任意軸 二、思考題解答7.1 火車在拐彎時所作的運動是不是平動？ 答：剛體作平動時固聯(lián)其上的任一一條直線，在各時刻的位置（方位）始終彼此平行。若將火車的車廂看作一個剛體，當(dāng)火車作直線運行時，車廂上各部分具有平行運動的軌跡、相同的運動速度和加速度，選取車廂上的任一點都可代替車廂整體的運動，這就是火車的平動。但當(dāng)火車拐彎時，車廂上各部分的速度和加速度都不相同，即固聯(lián)在剛體上任一條直線，在各時刻的位置不能保持彼此平行，所以火車拐彎時的運動不是平動。 7.2 對靜止的剛體施以外力作用，如果合外力為零，剛體會不會運動？ 答：對靜止的剛體施以外力作用，當(dāng)合外力為了零，即時，剛體的質(zhì)心將保持靜止，但合外力為零并不表明所有的外力都作用于剛體的同一點。所以，對某一確定點剛體所受合外力的力矩不一定為零。由剛體的轉(zhuǎn)動定律可知，剛體將發(fā)生轉(zhuǎn)動。比如，置于光滑水平面上的勻質(zhì)桿，對其兩端施以大小相同、方向相反，沿水平面且垂直于桿的兩個作用力時，桿所受的外力的合力為零，其質(zhì)心雖然保持靜止，但由于所受合外力矩不為零，將作繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動。 7.3 如果剛體轉(zhuǎn)動的角速度很大，那么（1）作用在它上面的力是否一定很大？（2）作用在它上面的力矩是否一定很大？ 答：由剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律可知，剛體受對軸的合外力矩正比于繞定軸轉(zhuǎn)動角速度的時間變化率。因此，剛體轉(zhuǎn)動的角速度很大，并不意味這轉(zhuǎn)動角速度的時間變化率也很大，所以， （1）剛體定軸轉(zhuǎn)動的角速度很大，與其受力沒有直接關(guān)系。對于剛體的一般運動，所受合外力使剛體的質(zhì)心產(chǎn)生加速度，即改變剛體的平動狀態(tài)。 （2）剛體定軸轉(zhuǎn)動的角速度很大，與其受到對定軸的力矩的大小也沒有直接關(guān)系。合外力矩使剛體產(chǎn)生角加速度，改變剛體的轉(zhuǎn)動狀態(tài)。 7.4 為什么在研究剛體轉(zhuǎn)動時，要研究力矩作用？力矩和哪些因素有關(guān)？ 答：一個靜止的剛體能夠獲得平動的加速度而運動起來的原因是，相對它的質(zhì)心而言，所受的合外力不為零。一個靜止的剛體相對某一轉(zhuǎn)動，能夠獲得角加速度而轉(zhuǎn)動起來的原因是，剛體所受到的外力對轉(zhuǎn)軸的合外力矩不為零。因此，剛體的轉(zhuǎn)動是與其受到的相對轉(zhuǎn)軸的合外力矩密切相關(guān)的。取軸為剛體轉(zhuǎn)動的固定軸時，對轉(zhuǎn)動有貢獻(xiàn)的合外力矩是，其中，是作用在剛體上的第個外力在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分量，而是由轉(zhuǎn)軸（軸）到的作用點的距離，是和間由右手定則決定的夾角。所以，對軸的力矩不但與各外力在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)分量的大小有關(guān)，還與的作用線與軸的垂直距離（力臂）的值有關(guān)。 7.5試證：勻質(zhì)細(xì)棒在光滑平面上受到一對大小相等、方向相反的作用力作用時，不管力作用在哪里，它的質(zhì)心加速度總是零。 答：勻質(zhì)剛性細(xì)棒可以看作在運動中保持相對位置不變的質(zhì)點系，其質(zhì)心遵守運動定律 .當(dāng)該棒受大小相等方向相反的作用力時，質(zhì)心所受合力與各個力的作用點無關(guān)，加速度總為零。 7.6 在計算物體的轉(zhuǎn)動慣量時，能把物體的質(zhì)量集中的質(zhì)心處嗎？ 答：物體的轉(zhuǎn)動慣量時物體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度。影響轉(zhuǎn)動慣量的因素有：物體的總質(zhì)量、物體質(zhì)量的分布以及轉(zhuǎn)軸的位置。同一物體對質(zhì)心軸和任意軸的轉(zhuǎn)動慣量是不同的。所以，在計算物體的轉(zhuǎn)動慣量時，不能簡單地把物體的質(zhì)量看作集中在質(zhì)心處。 7.7 兩個同樣大小的輪子，質(zhì)量也相同。一個輪子的質(zhì)量均勻分布，另一個輪子的質(zhì)量主要集中在輪緣，問：（1）如果作用在它們上面的外力矩相同，哪個輪子轉(zhuǎn)動的角加速度較大？（2）如果它們的角加速度相等，作用在哪個輪子上的力矩較大？（3）如果它們的角動量相等，哪個輪子上的力矩較大？ 答：質(zhì)量相等、大小相同的輪子，由于質(zhì)量分布情況的不同而使得它們對同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量不同。由轉(zhuǎn)動慣量的意義可知，質(zhì)量主要集中在輪緣的輪子，其轉(zhuǎn)動慣量較大。由定軸的轉(zhuǎn)動定律和角動量，可知： （1）相同時，物體所獲得的角加速度大小與轉(zhuǎn)動慣量成反比，故質(zhì)量均勻分布的輪子轉(zhuǎn)動的角加速度較大； （2）角加速度相等時，轉(zhuǎn)動慣量大的輪子上作用的力矩也大，故質(zhì)量主要集中在輪緣的輪子受到的力矩較大； （3）兩輪的角動量相等時，兩輪的角速度與它們的轉(zhuǎn)動慣量成反比，故質(zhì)量均勻分布的輪子轉(zhuǎn)動的角速度較大轉(zhuǎn)的較快。 7.8 一個轉(zhuǎn)動著的飛輪，如不供給它能量，最終將停下來。試用轉(zhuǎn)動定律解釋這個現(xiàn)象。 答：一個轉(zhuǎn)動著的飛輪，如不供給它能量，最終必將停下來，這是由于飛輪在轉(zhuǎn)動過程中受到各種對轉(zhuǎn)軸的阻力矩作功的緣故。根據(jù)動能定理可知，阻力矩的功使飛輪的轉(zhuǎn)動動能減小，使它最終停下來 。7.9、什么是剛體？答：一般假定物體無論受多大外力或轉(zhuǎn)動得多快都不變形，并稱這樣的物體為剛體。剛體是力學(xué)中關(guān)于研究對象的另一個理想模型7.10、什么是剛體的平動？其動力學(xué)方程為何？答： 如果在運動中，剛體上任意兩質(zhì)元連線的空間方向始終保持不變，這種運動就稱為剛體的平動。例如電梯的升降、活塞的往返等都是平動。動力學(xué)方程為：7.11、什么是剛體的定軸轉(zhuǎn)動？其動力學(xué)方程為何？答：如果剛體上各質(zhì)元都繞同一直線作圓周運動就稱為剛體轉(zhuǎn)動，這條直線稱為轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)軸固定于參考系的情況稱為定軸轉(zhuǎn)動。剛體定軸軸的角動量轉(zhuǎn)動定理 （它表明：剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動時，剛體對該轉(zhuǎn)動軸線的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積在數(shù)量上等于外力對此轉(zhuǎn)動軸線的合力矩剛體定軸的轉(zhuǎn)動定理。）7.12剛體的定軸轉(zhuǎn)動的動能和重力勢能為何？答：剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動的動能等于剛體對此軸的轉(zhuǎn)動慣量與角速度平方乘積之半 重力勢能：7.13、轉(zhuǎn)動慣量的大小和什么有關(guān)？答：剛體的轉(zhuǎn)動慣量決定于剛體各部分質(zhì)量距轉(zhuǎn)軸遠(yuǎn)近及質(zhì)量的分布情況。7.14、什么是平行軸定理和垂直軸定律？平行軸定理：設(shè)剛體繞通過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為 Ic ，將軸朝任何方向平行移動一個距離 d ，則繞此軸的轉(zhuǎn)動慣量 ID為 ID=Ic+md2垂直軸定理：設(shè)剛性薄板平面為 xy 面，z 軸與之垂直，則對于任何原點O繞三個坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為應(yīng)用它很容易求出圓環(huán)或圓盤繞直徑的轉(zhuǎn)動慣7.15、什么是剛體平面運動？剛體平面運動的動力學(xué)方程為何？其機械能為何？答：剛體的平面運動=隨質(zhì)心坐標(biāo)系的平動+繞質(zhì)心坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動動力學(xué)方程： （不必考慮慣性力矩） 動能：7.16、剛體平衡的條件是什么？剛體的平衡方程 ， 對任意軸 三、習(xí)題解答7.1.1 設(shè)地球繞日作圓周運動.求地球自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)的角速度為多少rad/s?估算地球赤道上一點因地球自轉(zhuǎn)具有的線速度和向心加速度.估算地心因公轉(zhuǎn)而具有的線速度和向心加速度（自己搜集所需數(shù)據(jù)）.解 答7.1.2 汽車發(fā)動機的轉(zhuǎn)速在12s內(nèi)由1200rev/min增加到3000rev/min.假設(shè)轉(zhuǎn)動是勻加速轉(zhuǎn)動，求角加速度。在此時間內(nèi)，發(fā)動機轉(zhuǎn)了多少轉(zhuǎn)？解：對應(yīng)的轉(zhuǎn)數(shù)=7.1.3 某發(fā)動機飛輪在時間間隔t內(nèi)的角位移為。求t時刻的角速度和角加速度。解：7.1.4 半徑為0.1m的圓盤在鉛直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，在圓盤平面內(nèi)建立o-xy坐標(biāo)系，原點在軸上，x和y軸沿水平和鉛直向上的方向。邊緣上一點A當(dāng)t=0時恰好在x軸上，該點的角坐標(biāo)滿足=1.2t+t2 (:rad,t:s)。t=0時，自t=0開始轉(zhuǎn)45時，轉(zhuǎn)過90時，A點的速度和加速度在x和y軸上的投影。 yA解： o xt=0時，=/4時,由=1.2t+t2,求得t=0.47s,=1.2+2t=2.14rad/s=/2時,由=1.2t+t2,求得t=0.7895s,=1.2+2t=2.78rad/s7.1.5 鋼制爐門由兩個各長1.5m的平行臂 A CAB和CD支承，以角速率=10rad/s逆時針轉(zhuǎn)動，求臂與鉛直成45時門中心G的速度和加 B D速度。解：因爐門在鉛直面內(nèi)作平動，所以門中 G心G的速度、加速度與B點或D點相同，而B、D兩點作勻速圓周運動,因此，方向指向右下方，與水平方向成45；，方向指向右上方，與水平方向成457.1.6 收割機撥禾輪上面通常裝4到 壓板6個壓板，撥禾輪一邊旋轉(zhuǎn)，一邊隨收割機前進(jìn)。壓板轉(zhuǎn)到下方才發(fā)揮作用，一方面把農(nóng)作物壓向切割器，一方面把切下來 切割器的作物鋪放在收割臺上，因此要求壓板運動到下方時相對于作物的速度與收割機前進(jìn)方向相反。已知收割機前進(jìn)速率為1.2m/s，撥禾輪直徑1.5m，轉(zhuǎn)速22rev/min,求壓板運動到最低點擠壓作物的速度。解：撥禾輪的運動是平面運動，其上任一點的速度等于撥禾輪輪心C隨收割機前進(jìn)的平動速度加上撥禾輪繞輪心轉(zhuǎn)動的速度。壓板運動到最低點時，其轉(zhuǎn)動速度方向與收割機前進(jìn)速度方向相反，壓板相對地面（即農(nóng)作物）的速度負(fù)號表示壓板擠壓作物的速度方向與收割機前進(jìn)方向相反。7.1.7飛機沿水平方向飛行，螺旋槳尖端所在半徑為150cm，發(fā)動機轉(zhuǎn)速2000rev/min. 槳尖相對于飛機的線速率等于多少？若飛機以250km/h的速率飛行，計算槳尖相對地面速度的大小，并定性說明槳尖的軌跡。解：槳尖相對飛機的速度： 槳尖相對地面的速度：，飛機相對地面的速度與螺旋槳相對飛機的速度總是垂直的，所以，顯然，槳尖相對地面的運動軌跡為螺旋線7.1.8桑塔納汽車時速為166km/h，車輪滾動半徑為0.26m，發(fā)動機轉(zhuǎn)速與驅(qū)動輪轉(zhuǎn)速比為0.909, 問發(fā)動機轉(zhuǎn)速為每分多少轉(zhuǎn)？解：設(shè)車輪半徑為R=0.26m，發(fā)動機轉(zhuǎn)速為n1, 驅(qū)動輪轉(zhuǎn)速為n2, 汽車速度為v=166km/h。顯然，汽車前進(jìn)的速度就是驅(qū)動輪邊緣的線速度，所以：7.2.2 在下面兩種情況下求直圓錐體的總質(zhì)量和質(zhì)心位置。圓錐體為勻質(zhì)；密度為h的函數(shù)：=0（1-h/L）,0為正常數(shù)。L解：建立圖示坐標(biāo)o-x,據(jù)對稱性分析，質(zhì)心必在x軸上,在x坐標(biāo)處取一厚為dx o r a x的質(zhì)元 dm=r2dx，r/a=x/L，r=ax/L dm=a2x2dx/L2 h 圓錐體為勻質(zhì)，即為常數(shù)，總質(zhì)量：質(zhì)心：總質(zhì)量：質(zhì)心：7.2.3 長度為L的勻質(zhì)桿，令其豎直地立于光滑的桌面上，然后放開手，由于桿不可能絕對沿鉛直方向，故隨即到下。求桿子的上端點運動的軌跡（選定坐標(biāo)系，并求出軌跡的方程式）。解：設(shè)桿在o-xy平面內(nèi)運動。因桿 y在運動過程中，只受豎直向上的支承力和豎直向下的重力的作用，在水平方向不受外力作用，vcx=0,acx=0，即質(zhì)心C無水平方向的移動，只能逆著y軸作加速直線運動，直到倒在桌面上。 o x取桿的上端點的坐標(biāo)為x,y，勻質(zhì)桿的質(zhì)心在其幾何中心，由圖示的任一瞬間的幾何關(guān)系可知：4x2+y2=L2(x0,y0)7.3.1 用積分法證明：質(zhì)量為m常為l的勻質(zhì)細(xì)桿對通過中心且與桿垂直的軸線的轉(zhuǎn)動慣量等于；用積分法證明：質(zhì)量為m半徑為R的勻質(zhì)薄圓盤對通過中心且在盤面內(nèi)的軸線的轉(zhuǎn)動慣量等于xydxl/2-l/2證明：取圖示坐標(biāo)，在坐標(biāo)x處取一線元，它對y軸的轉(zhuǎn)動慣量為：，整個細(xì)桿對y軸的轉(zhuǎn)動慣量：xxR在坐標(biāo)x處取細(xì)桿狀質(zhì)元，它對x軸的轉(zhuǎn)動慣量：整個圓盤對x軸的轉(zhuǎn)動慣量：為了能求出積分，作如下變換：代入上式：據(jù)三角函數(shù)公式：l7.3.2 圖示實驗用的擺，l=0.92m,r=0.08m,ml=4.9kg,mr=24.5kg,近似認(rèn)為圓形部分為勻質(zhì)圓盤，長桿部分為勻質(zhì)細(xì)桿。求對過懸點且與盤面垂直的軸線的轉(zhuǎn)動慣量。 o解：擺對o軸的轉(zhuǎn)動慣量I等于桿對o軸的轉(zhuǎn)動慣量Il加上圓盤對o軸的轉(zhuǎn)動慣量Ir，即I=Il+Ir.根據(jù)平行軸定理ro7.3.3 在質(zhì)量為M，半徑為R的勻質(zhì)圓盤上挖出半徑為r的兩個圓孔，圓孔中心在半徑R的中點，求剩余部分對過大圓盤中心且與盤面垂直的軸線的轉(zhuǎn)動慣量。解：大圓盤對過圓盤中心o且與盤面 R垂直的軸線（以下簡稱o軸）的轉(zhuǎn)動慣量 r r 為 .由于對稱放置，兩個小圓盤對o軸的轉(zhuǎn)動慣量相等，設(shè)為I，圓盤質(zhì)量的面密度=M/R2，根據(jù)平行軸定理，設(shè)挖去兩個小圓盤后，剩余部分對o軸的轉(zhuǎn)動慣量為I”7.3.5一轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量為I=8.0kgm2，轉(zhuǎn)速為=41.9rad/s，兩制動閘瓦對輪的壓力都為392N，閘瓦與輪緣間的摩擦系數(shù)為=0.4，輪半徑為r=0.4m，問從開始制動到靜止需多長時間？閘瓦閘瓦解：由轉(zhuǎn)動定理：制動過程可視為勻減速轉(zhuǎn)動，7.3.6 勻質(zhì)桿可繞支點o轉(zhuǎn)動，當(dāng)與桿垂直的沖力作用某點A時，支點o對桿的作用力并不因此沖力之作用而發(fā)生變化，則A點稱為打擊中心。設(shè)桿長為L，求打擊中心與支點的距離。 y解：建立圖示坐標(biāo)o-xyz,z軸垂直紙面向外。 N 據(jù)題意，桿受力及運動情況如圖所示。由質(zhì)心運 o xmg動定理： ac 由轉(zhuǎn)動定理； A F把代入中，可求得 7.3.7 現(xiàn)在用阿特伍德機測滑輪轉(zhuǎn)動慣量。用輕線且盡可能潤滑輪軸。兩端懸掛重物質(zhì)量各為m1=0.46kg，m2=0.5kg，滑輪半徑為0.05m。自靜止始，釋放重物后并測得0.5s內(nèi)m2下降了0.75m。滑輪轉(zhuǎn)動慣量是多少？解： T2 T1 x o R a a y m1m2 m2g m1g T2 T1 隔離m2、m1及滑輪，受力及運動情況如圖所示。對m2、m1分別應(yīng)用牛頓第二定律：對滑輪應(yīng)用轉(zhuǎn)動定理： （3）質(zhì)點m2作勻加速直線運動，由運動學(xué)公式：，由 、可求得 ,代入（3）中，可求得 ，代入數(shù)據(jù)：7.3.8斜面傾角為，位于斜面頂端的卷揚機鼓輪半徑為R，轉(zhuǎn)動慣量為I，受到驅(qū)動力矩，通過繩所牽動斜面上質(zhì)量為m的物體，物體與斜面間的摩擦系數(shù)為，求重物上滑的加速度，繩與斜面平行，不計繩質(zhì)量。解：隔離鼓輪與重物，受力分析如圖，其中T為繩中張力，f=N為摩擦力，重物上滑加速度與鼓輪角加速度的關(guān)系為a=RmgTNfaT對重物應(yīng)用牛二定律：T- N- mgsin=ma, N=mgcos，代入前式，得 T- mgcos- mgsin=ma 對鼓輪應(yīng)用轉(zhuǎn)動定理：- TR=I=Ia/R 由聯(lián)立，可求得重物上滑的加速度：m1,m2hr7.3.9利用圖中所示裝置測一輪盤的轉(zhuǎn)動慣量，懸線和軸的垂直距離為r，為減小因不計軸承摩擦力矩而產(chǎn)生的誤差，先懸掛質(zhì)量較小的重物m1，從距地面高度為h處由靜止開始下落，落地時間為t1，然后懸掛質(zhì)量較大的重物m2，同樣自高度h處下落，所需時間為t2，根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定輪盤的轉(zhuǎn)動慣量，近似認(rèn)為兩種情況下摩擦力矩相等。TTmgafr解：隔離輪盤與重物，受力及運動情況如圖示：f為摩擦力矩，T為繩中張力，a=r對輪盤應(yīng)用轉(zhuǎn)動定理：，兩式相減，得：對重物應(yīng)用牛頓二定律：，兩式相減，可得：，代入中，可得：由運動學(xué)公式：，將角加速度代入中，得：7.4.1 扇形裝置如圖，可繞光滑的鉛直軸線o轉(zhuǎn)動，其轉(zhuǎn)動慣量為I.裝置的一端有槽，槽內(nèi)有彈簧，槽的中心軸線與轉(zhuǎn)軸垂直距離為r。在槽內(nèi)裝有一小球，質(zhì)量為m，開始時用細(xì)線固定，使彈簧處于壓縮狀態(tài)?，F(xiàn)在燃火柴燒斷細(xì)線，小球以速度v0彈出。求轉(zhuǎn)動裝置的反沖角速度。在彈射過程中，由小球和轉(zhuǎn)動裝置構(gòu)成的系統(tǒng)動能守恒否？總機械能守恒否？為什么？解：取小球、轉(zhuǎn)動裝置構(gòu)成的物體系為研究對象。在彈射過程中，物體系相對豎直軸o未受外力距作用，故物體系對轉(zhuǎn)軸o的角動量守恒，規(guī)定順時方向為正，有 v0 m r在彈射過程中，物體系動能不 o I守恒，因彈力做正功使動能增加；總機械能守恒，因為只有保守內(nèi)力（彈力）做功。7.4.2 質(zhì)量為2.97kg，長為1.0m的勻質(zhì)等截面細(xì)桿可繞水平光滑的軸線o轉(zhuǎn)動，最初桿靜止于鉛直方向。一彈片質(zhì)量為10g，以水平速度200m/s射出并嵌入桿的下端，和桿一起運動，求桿的最大擺角. o l M解：將子彈、桿構(gòu)成的物體系作為研究對象，整個過程可分為兩個階段研究：第一階段，子彈與桿發(fā)生完全非彈性碰撞， 獲得共同的角速度，此過程時間極短，可認(rèn) 為桿原地未動。由于在此過程中，外力矩為零， m v因此角動量守恒，第二階段，子彈與桿以共同的初角速度擺動到最大角度，由于在此過程中，只有重力做功，所以物體系的機械能守恒，物體系原來的動能等于重力勢能的增量： =30347.4.3一質(zhì)量為m1，速度為v1的子彈沿水平面擊中并嵌入一質(zhì)量為m2=99m1，長度為L的棒的端點，速度v1與棒垂直，棒原來靜止于光滑的水平面上，子彈擊中棒后共同運動，求棒和子彈繞垂直與平面的軸的角速度等于多少？OCAm2,Lv1m1解：以地為參考系，把子彈和棒看作一個物體系，棒嵌入子彈后作平面運動，可視為隨質(zhì)心C的平動和繞質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動，繞質(zhì)心C轉(zhuǎn)動的角速度即為所求。據(jù)質(zhì)心定義: ，據(jù)角動量守恒：7.5.1 10m高的煙囪因底部損壞而倒下來，求其上端到達(dá)地面時的線速度，設(shè)傾倒時，底部未移動，可近似認(rèn)為煙囪為勻質(zhì)桿。解：設(shè)煙囪質(zhì)量為m，高為h，質(zhì)心高度hC=h/2，對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量，倒在地面上時的角速度為由機械能守恒：上端點到達(dá)地面時的線速度：7.5.2 用四根質(zhì)量各為m長度各為l的勻質(zhì)細(xì)桿制成正方形框架，可繞其中一邊的中點在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，支點o是光滑的。最初，框架處于靜止且AB邊沿豎直方向，釋放后向下擺動，求當(dāng)AB邊達(dá)到水平時，框架質(zhì)心的線速度vc及框架作用于支點的壓力N.ABB Ao解：先求出正方形框架對支點o的轉(zhuǎn)動慣量： Ep=0設(shè)AB邊達(dá)到水平位置時，框架的角速度為，據(jù)機械能守恒定律： AB邊在水平位置時，框架所受到的向上的支撐力N和向下的重力W的作用線均通過支點o，對o軸的力矩為零，據(jù)轉(zhuǎn)動定理，框架的角加速度為零，ac=2l/2=6g/7，方向向上。規(guī)定向上方向為正，對框架應(yīng)用質(zhì)心運動定理：據(jù)牛頓第三定律，支點受到的壓力，大小等于N，方向向下。7.5.3由長為l，質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿組成正方形框架，其中一角連于水平光滑轉(zhuǎn)軸O，轉(zhuǎn)軸與框架所在平面垂直，最初，對角線OP處于水平，然后從靜止開始向下自由擺動，求OP對角線與水平成45時P點的速度，并求此時框架對支點的作用力。解：先求出框架對O軸的轉(zhuǎn)動慣量：據(jù)平行軸定理，OPCn4mgN設(shè)對角線OP轉(zhuǎn)過45后框架的角速度為，且勢能為零，由機械能守恒：設(shè)支點O對框架的作用力為N，由定軸轉(zhuǎn)動定理：= I，質(zhì)心的法向加速度 在方向應(yīng)用質(zhì)心運動定理：，在方向應(yīng)用質(zhì)心運動定理：，設(shè)與-方向夾角為，7.5.4 質(zhì)量為m長為l的勻質(zhì)桿，其B端放在桌上，A端用手支住，使桿成水平。突然釋放A端，在此瞬時，求：桿質(zhì)心的加速度，桿B端所受的力。解：以支點B為轉(zhuǎn)軸，應(yīng)用轉(zhuǎn)動 B A定理：，質(zhì)心加速度 ，方向向下。 x設(shè)桿B端受的力為N，對桿應(yīng)用 y質(zhì)心運動定理：Ny=0，Nx - mg = - m ac , Nx = m(g ac) = mg/4 N = mg/4，方向向上。7.5.5 下面是勻質(zhì)圓柱體在水平地面上作無滑滾動的幾種情況，求地面對圓柱體的靜摩擦力f.沿圓柱體上緣作用一水平拉力F,柱體作加速滾動。水平拉力F通過圓柱體中心軸線，柱體作加速滾動。不受任何主動力的拉動或推動，柱體作勻速滾動。在主動力偶矩的驅(qū)動下加速滾動，設(shè)柱體半徑為R。mgfNF(1)F(2)C解：規(guī)定前進(jìn)方向和順時針方向為正方向。假設(shè)靜摩擦力方向向后，其余受力情況如圖所所示。對每種情況，都可以根據(jù)質(zhì)心定理、繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動定理和只滾不滑條件，建立三個 方程求解。 可求得f = - F/3,負(fù)號說明靜摩擦力方向與假設(shè)方向相反，應(yīng)向前。 可求得f = F/3,正號說明靜摩擦力方向與假設(shè)方向相同，向后。 ac = 0 , f = 0,求得 負(fù)號說明靜摩擦力方向與假設(shè)方向相反，應(yīng)向前。7.5.6 板的質(zhì)量為M，受水平力F R 的作用，沿水平面運動，板與平面間的 M2 F摩擦系數(shù)為.在板上放一半徑為R質(zhì)量為M2的實心圓柱，此圓柱只滾動不滑動。求板的加速度。解：隔離圓柱，其受力及運動情況如圖 所示，其中ac為質(zhì)心對地的加速度，為相對質(zhì)心的角加速度，f2、N2分別為板施加給 W2 ac 圓柱的靜摩擦力和壓力。 f2由質(zhì)心定理： N2 對質(zhì)心應(yīng)用轉(zhuǎn)動定理： N1 隔離木板，其受力及運動情況如圖所示， f2 F 其中a為板對地的加速度，f1、N1分別為水平 f1=N1 Mg面施加給板的滑動摩擦力和壓力。 N2 a 應(yīng)用牛頓第二定律（或質(zhì)心定理）： 圓柱在木板上只滾不滑的條件是：a = ac +R (6) (圓柱與板接觸點對地的加速度等于質(zhì)心加速度加上繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的加速度，即ac+R，它必須等于木板對地的加速度a,才能只滾不滑)將（2）代入（4）求得：N1=(M+M2)g；由（1）（3）可解得，2ac=R 與（6）聯(lián)立，可求得，ac=a/3, 代入（1）中，f2 = a M2 /3；將N1、f2代入（5）中，有7.5.7 在水平桌面上放置一質(zhì)量為m的線軸，內(nèi)徑為b，外徑為R,其繞中心軸轉(zhuǎn)動慣量為mR2/3,線軸和地面之間的靜摩擦系數(shù)為。線軸受一水平拉力F,如圖所示。使線軸在桌面上保持無滑滾動之F最大值是多少？若F和水平方向成角，試證，cosb/R時，線軸向前滾；cosb/R時，線軸向后滾動。 y解：可將（1）看作（2）的特殊 F情況。建立圖示坐標(biāo)，z軸垂直紙面 C b R x 向外，為角量的正方向。根據(jù)靜摩擦 力的性質(zhì)，可知其方向與F水平分量 f 方向相反。設(shè)線軸質(zhì)心的加速度為a，繞質(zhì)心的角加速度為。由質(zhì)心定理：由轉(zhuǎn)動定理：