第五屆啟智杯小學(xué)組參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn).doc

第5屆啟智杯數(shù)學(xué)思維及應(yīng)用能力競(jìng)賽(小學(xué)組)參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)1. 觀察如下幾個(gè)等式：（1）；（2）；（3）；你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請(qǐng)據(jù)此寫出第100個(gè)式子。解：第n個(gè)式子的分母是前n個(gè)連續(xù)奇數(shù)之和，分子是第n+1至第2n個(gè)連續(xù)奇數(shù)之和，其等號(hào)右端都是3。6分第100個(gè)式子為 +4 = 10分2. 有一個(gè)2014位數(shù)，其從左到右第2、3位數(shù)字分別為2、3，第11、30、2014位數(shù)字分別為4、5、6. 如果其任何相鄰的五位數(shù)字之和全相等，請(qǐng)問(wèn)該數(shù)的第一位數(shù)字是幾？全部2014位數(shù)字之和是多少？寫出結(jié)果，并說(shuō)明分析過(guò)程。解：答案（4分）：第一位數(shù)字是4；全部2014位數(shù)字之和是8055. 4分分析過(guò)程（6分）：由于其任何相鄰的五位數(shù)字之和全相等，所以其中任何連續(xù)六位數(shù) ，總有，因此，這說(shuō)明，這2014位數(shù)每五位一循環(huán)。 +2 = 6分由于11、30、2014被5除余數(shù)分別為1、0、4，所以該數(shù)的第一位數(shù)字是4 （前五位分別是4、2、3、6、5） + 2 = 8分由于，所以這整個(gè)數(shù)為 + 2 = 10分3一個(gè)非零自然數(shù)，如果從左到右順讀和從右到左逆讀，都是一樣的，則這個(gè)數(shù)稱為“對(duì)稱數(shù)”，如4，55，171，4994，12321等都是對(duì)稱數(shù)，而332不是對(duì)稱數(shù)。那么全部非零自然數(shù)（從1開(kāi)始）從小到大的第2014個(gè)對(duì)稱數(shù)是多少？寫出結(jié)果，并說(shuō)明分析的過(guò)程?！緟⒖即鸢浮恳晃粚?duì)稱數(shù)：有9個(gè)(19) ； 1分兩位對(duì)稱數(shù)：有9個(gè)(11，22，33，99)； + 1 = 2分三位對(duì)稱數(shù)：910=90個(gè)（11，22，99）： + 1 = 3分四位對(duì)稱數(shù)：910=90個(gè)（11，22，99）； +1 = 4分五位對(duì)稱數(shù)： 91010900個(gè)（11，22，99）； + 1= 5分六位對(duì)稱數(shù)：91010900個(gè)（11，22，99）.共有：9290290021998個(gè)。 + 1= 6分七位對(duì)稱數(shù)：前10個(gè)為1000001，1001001，1002001，1009001； + 1 = 7分接下來(lái)的是1010101，1011101，1012101，1013101，1014101，1015101， + 1 = 8分所以，第2014個(gè)對(duì)稱數(shù)為1015101. + 2 = 10分4把一張紙片裁剪成8份，稱第1次操作；取其中一張?jiān)侔阉眉舫?份，稱第2次操作；如此繼續(xù)下去，能否經(jīng)過(guò)若干次操作正好剪出2014張紙片？若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；若能，則需要經(jīng)過(guò)多少次操作？寫出結(jié)果，并說(shuō)明分析的過(guò)程。解答：用表示第次操作后得到的紙片數(shù)。則，。 5分若能剪出2014張紙片，則，解得：不是整數(shù)，故不能經(jīng)過(guò)若干次操作正好剪出2014張紙片。 + 5 = 10分 5. 有如下三組數(shù)： A組：，；B組：，；C組：，。從每一組中各取一個(gè)數(shù)，相乘得到一個(gè)乘積，求這140個(gè)乘積的總和是多少？寫出過(guò)程和結(jié)果。【參考答案】解答：這140個(gè)乘積的總和 = （+）1+3+5+7+9）+） 4分=25 + 2 = 6分 = + 2 = 8分 =。 + 2 = 10分6如圖所示，五個(gè)圓中有部分的圓彼此相切（兩個(gè)圓有且只有唯一一個(gè)公共點(diǎn)稱兩個(gè)圓相切），且總共只有三種不同長(zhǎng)度的直徑。若圖中陰影部分的面積和為7，求最大圓內(nèi)空白處的總面積。第6題圖 【參考答案】解：由圖可知：這三種長(zhǎng)度的不同的直徑從小圓到大圓的長(zhǎng)度比為1:2:3. 2分即由小圓到大圓的面積之比為1:4:9. 設(shè)最小的圓的面積為，則另外2個(gè)圓的面積從小到大依次為，。 + 2 = 4分依題意圖中陰影部分的面積為：，。 + 3 = 7分則最大圓內(nèi)空白處的總面積=（）。 + 3 = 10分7如圖所示，正方形和正方形邊長(zhǎng)分別為和，：=2：5，若的面積是6，求的面積。第7題圖解答：由：=2：3， ， ， 2分如圖，連結(jié)BF，則,則，從而底為AC的三角形 與同底等高，從而面積相等，即：。 + 6 = 8分所以的面積=（）。 + 2 = 10分8通過(guò)折紙的手段將一個(gè)正方形的每邊兩等分（對(duì)折）、四等分（再對(duì)折）、八等分（再對(duì)折）等等，都是輕而易舉的（如圖，虛線為折痕）。請(qǐng)問(wèn)，你能否在正方形的每邊四等分、八等分的基礎(chǔ)上，通過(guò)折紙將其每邊三等分、七等分？能否五等分呢？若能，請(qǐng)?jiān)趫D中用虛線畫出你的折痕(用字母標(biāo)出折痕經(jīng)過(guò)的點(diǎn))；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。第8題圖【參考答案】答案不唯一，合理即可。（只要給出一邊的一個(gè)等分點(diǎn)，即認(rèn)可可以做出相應(yīng)的等分）三等分、七等分、五等分分別占3、3、4分典型參考做法一（C、F、I分別為底邊的三等分點(diǎn)、七等分點(diǎn)、五等分點(diǎn)）：ABCDEFGHI典型參考做法二（圖形右邊被等分）：9請(qǐng)將1,2,3,4，.，11,12共12個(gè)數(shù)填入下列“井”字圖形的12個(gè)內(nèi)，要求：（1）每個(gè)數(shù)都用一次；（2）每個(gè)“口”字四個(gè)角上四個(gè)數(shù)之和均相等，四條直線上四個(gè)數(shù)之和也相等，且等于各“口”字四個(gè)角上四個(gè)數(shù)之和。解：填法不唯一，寫出滿足條件的一種填法即可。以下是兩種填法，由此旋轉(zhuǎn)、反射的結(jié)果也對(duì)。要點(diǎn)：四個(gè)數(shù)之和必然是26.（五個(gè)口占5分，四條線占5分;全對(duì)給10分）10425118712613993528111271641010 明明的QQ號(hào)是由五個(gè)不同的數(shù)字組成的五位數(shù)，他把號(hào)碼口頭告訴了A、B、C三位同學(xué)?？上麄兌紱](méi)有記住。A記的是 “23865”，B記的是 “32856”，C記的是 “56328”.如果ABC三人每個(gè)人記的五位數(shù)中，位置和數(shù)字均正確的都只有兩位，而且位置不相鄰，請(qǐng)問(wèn)明明的QQ號(hào)是多少？寫出結(jié)果，并說(shuō)明分析的過(guò)程?！緟⒖即鸢浮拷猓捍鸢福?分）：明明的QQ號(hào)是36825分析過(guò)程（6分）：把ABC三人記的結(jié)果排列如下：A 23865B 32856C 56328由于每個(gè)人記對(duì)了兩個(gè)位置，三個(gè)人共記對(duì)六個(gè)位置，總共五位數(shù)，由抽屜原理，必然有一位是兩個(gè)人都記對(duì)了，在三人說(shuō)記的數(shù)中，只有百位數(shù)出現(xiàn)了兩個(gè)相同的數(shù)字8，故8是AB二人共同記對(duì)的數(shù)字； 3分于是C記對(duì)的只能是十位數(shù)和千位數(shù)2、6； + 1 = 4分B除了百位8外，還應(yīng)記住了萬(wàn)位3或個(gè)位6，但由于6已經(jīng)在千位出現(xiàn)，不能重復(fù)，故B記對(duì)的數(shù)是萬(wàn)位3； + 1 = 5分最后，A記對(duì)的是百位8和個(gè)位5. + 1 =6分11張老師、王老師、李老師三人的年齡為三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，其中張老師28歲，他們?nèi)朔謩e教數(shù)學(xué)、語(yǔ)文和英語(yǔ)。已經(jīng)知道：（1）李老師比英語(yǔ)教師年齡大；（2）張老師和語(yǔ)文教師不同歲；（3）語(yǔ)文教師比王老師年齡小。請(qǐng)判斷一下，數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、英語(yǔ)教師分別是誰(shuí)？他們的年齡各為多大？寫出結(jié)果，并說(shuō)明分析的過(guò)程。解：答案（4分，身份和年齡各2分）：數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、英語(yǔ)教師分別是王老師、李老師、張老師；他們的年齡分別為30、29、28歲。分析過(guò)程（6分）：由（2）（3），王老師、張老師都不是語(yǔ)文老師，所以李老師是語(yǔ)文老師。 3分再由此結(jié)合（1）（3），李老師比王老師小、比英語(yǔ)老師大，說(shuō)明王老師不是英語(yǔ)老師，所以王老師是數(shù)學(xué)老師，從而張老師是英語(yǔ)老師。 + 2= 5分因此三位老師的年齡順序是：王老師 李老師 張老師。所以張老師28、李老師29、王老師30. + 1 = 6分12某療養(yǎng)院共有100個(gè)床位，床號(hào)為1、2、3、.、100，依次分布在三種不同類型的病房?jī)?nèi)：?jiǎn)稳朔?、雙人房、三人房（每種類型至少有1間，前幾間是單人房，接下來(lái)幾間是雙人房，最后幾間為三人房）。（1）最少有多少間房？（2）最多有多少間房？（3）如果其中有13個(gè)單人房，并且52、53號(hào)床在同一個(gè)房間，58、59號(hào)床不在同一個(gè)房間，問(wèn)這里共有多少個(gè)房間？ 寫出結(jié)果，并說(shuō)明分析的過(guò)程。解：答案（3分）：（1）最少35個(gè)房間；（2）最多97個(gè)房間；（3）這時(shí)安排49個(gè)房間。分析過(guò)程（7分）：（1）要使房間數(shù)最少，必須盡可能多安排三人房。單人、雙人各保留1個(gè)，安排三張床，其余97張床可以安排32個(gè)三人房，一個(gè)單人房。所以房間數(shù)為35個(gè)； 1分（2）要使房間數(shù)最多，必須盡可能多安排單人房。三人、雙人各保留1個(gè)，安排五張床，其余95張床可以安排95個(gè)單人房。所以房間數(shù)為97個(gè)； + 1= 2分（3）如果其中有13個(gè)單人房，安排第113號(hào)床，之后為雙人間，雙人間結(jié)束的房號(hào)一定是奇數(shù)； + 1= 3分由于最后的房間全部是3人間，100號(hào)是3的倍數(shù)加1，所以雙人間的最后一個(gè)房號(hào)又必須是3的倍數(shù)加1。所以雙人間的最后一個(gè)房號(hào)既是奇數(shù)，又是3的倍數(shù)加1，只能是6的倍數(shù)加1. + 2= 5分由于58、59號(hào)床不在同一個(gè)房間，說(shuō)明58是某個(gè)房間結(jié)