2013《直角三角形的邊角關(guān)系》復(fù)習(xí)提綱.doc

直角三角形的邊角關(guān)系復(fù)習(xí)提綱一,.銳角三角函數(shù)的概念 如圖，在ABC中，C=90 銳角A的對邊與斜邊的比叫做A的正弦，記為sinA，即 銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做A的余弦，記為cosA，即銳角A的對邊與鄰邊的比叫做A的正切，記為tanA，即銳角A的鄰邊與對邊的比叫做A的余切，記為cotA，即例：（2012連云港，3，3分）小明在學(xué)習(xí)“銳角三角函數(shù)”中發(fā)現(xiàn)，將如圖所示的矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC上的點E處，還原后，再沿過點E的直線折疊，使點A落在BC上的點F處，這樣就可以求出67.5的角的正切值是 （ ） A.+1 B. +1 C. 2.5 D.【解析】注意折疊后兩點對稱，也就是說ABE和AEF都是等腰三角形。得到67.5的角為FAB?！敬鸢浮吭O(shè)AB=x,則BE=x,在直角三角形ABE中，用勾股定理求出AE=EF=x,于是BF=（+1）x.在直角三角形ABF中，tanFAB=+1=tan67.5.選B?！军c評】根據(jù)折疊得到A、E關(guān)于折痕對稱，從而根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到等腰三角形。求出兩線段的長。二,特殊角的三角函數(shù)值（重點）根據(jù)正弦、余弦和正切的定義，可以得到如下幾個常用的特殊角的正弦、余弦和正切值。例1:（2012，湖北孝感，14，3分）計算：cos245+tan30sin60=_【解析】分別把cos45=的值，tan30=的值，sin60=的值代入進行計算即可答案=1?！军c評】本題考查特殊角三角函數(shù)值的計算，特殊角三角函數(shù)值計算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，題型以選擇題、填空題為主牢記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵例2:（2011甘肅蘭州，21，7分）已知是銳角，且sin(+15)=，計算的值。【答案】由sin(+15)=得=45,原式=三， 解直角三角形（重點）在直角三角形中，由已知一些邊、角，求出另一些邊、角的過程，叫做解直角三角形。在RtABC中，C=90，A、B、C所對的邊分別為 。（1）三邊之間關(guān)系： （2）銳角之間關(guān)系：A+B=90（3）邊角之間關(guān)系： , , （4）面積公式： （5）同角的三角函數(shù)的關(guān)系:sinA2cosA21 ; tanAcotA1 ; tanA ，cotA （6）互為余角的函數(shù)之間的關(guān)系 sin(90A)cosA， cos(90A)sinA， tan(90A)cotA， cot(90A)tanA 在直角三角形中，除直角的五個量中，若已知其中的兩個量（其中至少有一條邊），就可以求出另外三個未知量，有如下四種類型：在RtABC中，C=90已知選擇的邊角關(guān)系斜邊和一直角邊由，求A；B=90-A，兩直角邊由，求A；B=90-A，斜邊和一銳角B=90-A；一直角邊和一銳角B=90-A；，注意： (1)選擇關(guān)系式常遵循以下原則：一是盡量選可以直接應(yīng)用原始數(shù)據(jù)的關(guān)系式；二是設(shè)法選擇便于計算的關(guān)系式，若能用乘法計算就避免用除法計算。（2）對于含有非基本量的直角三角形，比如有些條件中已知兩邊之和，中線、高線、角平分線長，角之間的關(guān)系，銳角三角函數(shù)值，周長、面積等等。對于這類問題，我們常用的解題方法是：將非基本量轉(zhuǎn)化為基本量，或由基本量間關(guān)系通過列方程（組），然后解方程（組），求出一個或兩個基本量，最終達(dá)到解直角三角形的目的。（3）在非直角三角形的問題中，往往是通過作三角形的高，構(gòu)成直角三角形來解決，而作高時，常從非特殊角的頂點作高；對于較復(fù)雜的圖形，往往通過“補形”或“分割”的方法，構(gòu)造出直角三角形，利用解直角三角形的方法，實現(xiàn)問題的有機轉(zhuǎn)化。CBA圖1例1:（2012四川內(nèi)江，11，3分）如圖1所示，ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則sinA的值為( )AB C D【解析】欲求sinA，需先尋找A所在的直角三角形，而圖形中A所在的ABCCBA圖2D并不是直角三角形，所以需要作高觀察格點圖形發(fā)現(xiàn)連接CD（如下圖2所示），恰好可證得CDAB，于是有sinA例2:（2011湖北荊州，8，3分）在ABC中，A120，AB4，AC2，則的值是（ ）ABDC42ABCD【解析】如圖，作,延長BA，過點C作BA的垂線, 交BA的延長線于點D, ,，,答案選D.例3: (2012重慶，20，6分)已知：如圖，在RtABC中，BAC=90，點D在BC邊上，且ABD是等邊三角形。若AB=2，求ABC的周長。（結(jié)果保留根號）【解析】由ABC是直角三角形和ABD是等邊三角形，可求出C=30,利用三角函數(shù)可求出答案。【答案】ABD是等邊三角形B=60BAC=90C=30sinC=BC=4, cosC= AC=BCcosC=2 ABC的周長是6+2例4:（2012江蘇淮安，24，10分）如圖，ABC中，C=90，點D在AC上，已知BDC=45，BD=10，AB=20求A的度數(shù) 【解析】先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，在RtBDC中求出BC的值，再在RtABC中利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)【答案】解：在RtBDC中，因為sinBDC=，所以BC=BDsinBDC=10sin45=10=10在RtABC中，因為sinA=，所以A=30四、銳角三角函數(shù)及解直角三角形的實際應(yīng)用（難點）解直角三角形，可將某些實際問題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為直角三角形中的元素（邊、角）之間的關(guān)系.一般有以下幾個步驟：1.審題：認(rèn)真分析題意，根據(jù)題目中的已知條件，畫出它的平面圖，弄清已知和未知；2.明確題目中的一些名詞、術(shù)語的漢語，如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度及方向角；3.是直角三角形的，根據(jù)邊角關(guān)系進行計算；若不是直角三角形，應(yīng)大膽嘗試添加輔助線，把它們分割成一些直角三角形和矩形，把實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形進行解決；4.確定合適的邊角關(guān)系，細(xì)心推理計算。1, 銳角三角函數(shù)計算的實際應(yīng)用仰角：當(dāng)從低處觀測高處的目標(biāo)時，視線與水平線所成的銳角稱為仰角。俯角：當(dāng)從高處觀測低處的目標(biāo)時，視線與水平線所成的銳角成為俯角。例:（2012山西，23，9分）如圖，為了開發(fā)利用海洋資源，某勘測飛機預(yù)測量一島嶼兩端AB的距離，飛機在距海平面垂直高度為100米的點C處測得端點A的俯角為60，然后沿著平行于AB的方向水平飛行了500米，在點D測得端點B的俯角為45，求島嶼兩端AB的距離（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：）解：如下圖,過點A作AECD于點E，過點B作BFCD于點F，ABCD，AEF=EFB=ABF=90，四邊形ABFE為矩形AB=EF，AE=BF由題意可知：AE=BF=100米，CD=500米 2分在RtAEC中，C=60，AE=100米CE=（米） 4分在RtBFD中，BDF=45，BF=100DF=100（米） 6分AB=EF=CD+DFCE=500+1006001.7360057.67542.3（米） 8分答：島嶼兩端AB的距離為542.3米 9分【點評】本題考查了仰俯角問題，解決此類題目的關(guān)鍵是正確的將仰俯角轉(zhuǎn)化為直角三角形的內(nèi)角并用解直角三角形的知識解答即可，解決此類題型的關(guān)鍵是數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想即不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的特殊圖形進行計算難度中等2、坡度的定義及表示（難點）我們通常把坡面的鉛直高度h和水平寬度的比叫做坡度（或坡比）。坡度常用字母i表示。斜坡的坡度和坡角的正切值關(guān)系是： .注意：（1）坡度一般寫成1：m的形式（比例的前項為1，后項可以是小數(shù)）；（2）若坡角為a，坡度為 ，坡度越大，則a角越大，坡面越陡。ABC3018例1.（2012湖北咸寧，12，3）如圖，某公園入口處原有三級臺階，每級臺階高為18cm，深為30cm，為方便殘疾人士，擬將臺階改為斜坡，設(shè)臺階的起點為A，斜坡的起始點 為C，現(xiàn)設(shè)計斜坡BC的坡度，則AC的長度是 cm【解析】如圖，過點B作BDAC于D，依題意可求得AD60cm，BD54cm；由斜坡BC的坡度i1：5，求得CD270cm，故ACCDAD27060210（cm）【點評】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用：坡度問題此題難度適中，注意掌握坡度的定義、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的作法例2. （2011山東濰坊，19，9分）今年“五一”假期，某數(shù)學(xué)活動小組組織一次登山活動.他們從山腳下A點出發(fā)沿斜坡AB到達(dá)B點，再從B點沿斜坡BC到達(dá)山頂C點，路線如圖所示.斜坡AB的長為1040米，斜坡BC的長為400米，在C點測得B點的俯角為30,.已知A點海拔121米，C點海拔721米.（1）求B點的海拔；（2）求斜坡AB的坡度.【解】（1）如圖所示，過點C作CFAM，F(xiàn)為垂足，過點B作BEAM，BDCF，E、D為垂足.在C點測得B點的俯角為30，CBD=30，又BC=400米，CD=400sin30=400=200（米）.B點的海拔為721200=521（米）.（2）BE=521121=400（米），AB=1040米，（米）.AB的坡度=1：2.4，所以斜坡AB的坡度為1：2.4.O3,方向角的定義方向角：方向角是以觀察點為中心（方向角的頂點），以正北或正南為始邊，旋轉(zhuǎn)到觀察目標(biāo)所形成的銳角，方向角也稱象限角。如圖，目標(biāo)方向線0A、0B、0C的方向角分別為北偏東15、南偏東20、北偏西60。其中，南偏東45習(xí)慣上又叫東南方向，同樣，北偏西45又叫西北方向。如OE的方向角為南偏東45，OG的方向角為南偏西45，那么，G、E可以說在O的哪個方向呢？由方向角的定義可知，G在O的西南方向，E在O的東南方。例1.（2012連云港，24，10分）已知B港口位于A觀測點北偏東方向53.2，且其到A觀測點正北方向的距離BD的長為16km。一艘貨輪從B港口以40km/h的速度沿如圖所示的BC方向航行，15min后到達(dá)C 處。現(xiàn)測得C處位于觀測點北偏東79.8方向。求此時貨輪與A觀測點之間的距離AC的長（精確到0.1km）.(參考數(shù)據(jù)：sin53.20.80，cos53.20.60，sin79.80.98，cos79.80.18，tan26.60.50，1.41，2.24)【解析】過點B作AC的垂線，把所求線段AC換為兩線段的差。利用RtABH和RtBCH求線段AH、CH的長，利用AHCH確定AC的長?！窘狻緽C=40=10.在RtADB中，sinDAB=, sin53.20.8。53.216km79.8所以AB=20.如圖，過點B作BHAC，交AC的延長線于H。在RtAHB中，BAH=DACDAB=63.637=26.6，tanBAH=,0.5=,AH =2BH.BH2CH2=AB 2,BH 2+(2BH)2=202,BH=4,所以AH=8，在RtAHB中，BH2CH2=BC 2，CH=所以AC=AHCH=82613.4km.【點評】本題的關(guān)鍵是把方位角放到相應(yīng)的直角三角形中，找到直角三角形利用三角函數(shù)求出線段的長。五,測量物體的高度1, 測量底部可以到達(dá)的物體的高度（重點）簡單的測傾器由度盤、鉛錘和支桿組成。如圖。使用測傾器測量傾斜角的步驟如下：(1)把支桿豎直插入地面,使支桿的中心線、鉛垂線和度盤的0刻度線重合,這時度盤的頂線PQ在水平位置。（2）轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤,使度盤的直徑對準(zhǔn)目標(biāo)M,記下此時鉛垂線所指的度數(shù)。此度數(shù)就是測點相對于被測點的仰角或俯角。說明：（1）所謂“底部可以到達(dá)”，就是在地面上可以無障礙地直接測得測點與被測物體的底部之間的距離。（2）測量步驟如圖（測量物體MN的高度）：在測點A處安置測傾器，測得M的仰角MCE=；量出測點A到物體底部N的水平距離AN=；量出測傾器的高度AC=（即頂線PQ成水平位置時，它與地面的距離）。（3）物體MN的高度 = 。圖5CDABOE例1：（2012湖北襄陽，10，3）在一次數(shù)學(xué)活動中，李明利用一根拴有小錘的細(xì)線和一個半圓形量角器制作了一個測角儀，去測量學(xué)校內(nèi)一座假山的高度CD如圖5，已知李明距假山的水平距離BD為12m，他的眼睛距地面的高度為1.6m，李明的視線經(jīng)過量角器零刻度線OA和假山的最高點C，此時，鉛垂線OE經(jīng)過量角器的60刻度線，則假山的高度為（ ）A(41.6)m B(121.6)m C(41.6)m D4m【解析】如下圖，過點A作AFCD于F，則AFBD12m，F(xiàn)DAB1.6mAOBEDCF再由OECF可知CAOE60所以，在RtACF中，CF4，那么CDCFFD(41.6)m【答案】A【點評】通過作高將問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題是解答關(guān)鍵，其間需要具有良好的閱讀理解能力，能將對應(yīng)線段和角之間的關(guān)系理清2,測量底部不可以到達(dá)的物體的高度（難點）（1）所謂“底部不可以到達(dá)”，就是在地面上不能直接測得測點與被測物體底部之間的距離。（2）測量步驟（如圖。測量物體MN的高度）：在測點A處安置測傾器，測得此時M的仰角MCE=；在測點A與物體之間的B處擬制測傾器（A、B與N在一條直線上，且A、B之間的距離可以直接測得），測得此時M的仰角MDE=；量出測傾器的高度AC=BD=，以及測點A、B之間的距離AB= 。（3）物體高度MN=ME+EN= 米。提示：測量底部不可以到達(dá)的物體的高度，求解時常要解兩個直角三角形。例1：（2012山東青島，20，8）如圖，某校教學(xué)樓AB的后面有一建筑物CD，當(dāng)光線與地面的夾角是22時，教學(xué)樓在建筑物的墻上留下高2米的影子CE；而當(dāng)光線與地面夾角是45時，教學(xué)樓頂A在地面上的影子F與墻角C有13米的距離（B、F、C在一條直線上）求教學(xué)樓AB的高度；學(xué)校要在A、E之間掛一些彩旗，請你求出A、E之間的距離（結(jié)果保留整數(shù)）. （參考數(shù)據(jù)：sin22，cos22，tan22 ）【解析】（1）過點D作DMAB，若假設(shè)AB=x米，可表示出AM、ME的長，然后在RtAEM中，利用22正切建立關(guān)系式來解.（2）根據(jù)（1）求出ME的長，再RtAME中，可求得之間的距離.【答案】解：過點E作EMAB，垂足為M.設(shè)AB為x.RtABF中，AFB=45，BF=AB=x，BC=BF+FC=x+13在RtAEM中，AEM=22，AM=AB-BM=AB-CE=x-2，tan22= ，=，x=12.即教學(xué)樓的高12m.由（1）可得ME=BC=x+13=12+13=25.在RtAME中，cos22=，即之間的距離約為【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵例2：（2012湖北隨州，20,9分）在一次暑假旅游中，小亮在仙島湖的游船上（A處），測得湖西岸的山峰太婆尖（C處）和湖東岸的山峰老君嶺（D處）的仰角都是45，游船向東航行100米后（B處），測得太婆尖、老君嶺的高度為多少米？（，結(jié)果精確到米）。【解析】設(shè)太婆尖高h(yuǎn)1米，老君嶺高h(yuǎn)2米?？煞謩e在直角三角形中利用正切值表示出水平線段的長度，再利用移動距離為AB=100米，可建立關(guān)于h1、h2的方程組，解這個方程組求得兩山峰高度。答案：設(shè)太婆尖高h(yuǎn)1米，老君嶺高h(yuǎn)2米，依題意，有（米） （米）【答案】太婆尖高度為137米，老君嶺高度為237米?！军c評】本題考查了直角三角形的解法。解題的關(guān)鍵是要首先構(gòu)造直角三角形，再借助角邊關(guān)系、三角函數(shù)的定義解題例3：（2012四川省資陽市，20，8分）小強在教學(xué)樓的點P處觀察對面的辦公大樓為了測量點P到對面辦公大樓上部AD的距離，小強測得辦公大樓頂部點A的仰角為45，測得辦公大樓底部點B的俯角為60，已知辦公大樓高46米，CD10米求點P到AD的距離（用含根號的式子表示）【解析】解：連結(jié)PA、PB，過點P作PMAD于點M；延長BC，交PM于點N，則APM=45，BPM=60，NM=10米1分設(shè)PM=米在RtPMA中，AM=PMtanAPM=tan45（米）3分在RtPNB中，BN=PNtanBPM=(10)tan60(10)（米）5分由AM+BN=46米，得 +(10) 466分解得， ，點P到AD的距離為米（結(jié)果為米也可）8分【答案】（結(jié)果分母有理化為米也可）【點評】本題綜合考查了直角三角形中的三角函數(shù)、特殊角的三角函數(shù)值及構(gòu)造出的方程思想.解決本題的關(guān)鍵是作垂線構(gòu)造出直角三角形從而再運用三角函數(shù)解題.難度中等.例4：(2012廣安,23，8分)如圖(1)，2012年4月10日，中國漁民在中國南海黃巖島附近捕魚作業(yè)，中國海監(jiān)船在A地偵察發(fā)現(xiàn)，在南偏東60o方向的B地，有一艘某國軍艦正以每小時13海里的速度向正西方向的C地行駛，企圖抓捕正在C地捕魚的中國漁民。此時，C地位于中國海監(jiān)船的南偏東45o方向的10海里處，中國海監(jiān)船以每小時30海里的速度趕往C地救援我國漁民，能不能及時趕到？(1)（參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73，2.45）思路導(dǎo)引：構(gòu)造直角三角形，便于運用題目中的特殊角的三角函數(shù)值，解直角三角形問題解析：如圖(2),過點A作ADBC，交BC 的延長線于點D，根據(jù)題意得出DAC=45，DAB=60，(2)ADBC，sinDAC=，cosDAC=，cosDAC=,即是tan45=,CD=10, cos45=,AD=10=,tan60=BD=BC=5.20（海里），中國海監(jiān)船以每小時30海里的速度趕往C地所需時間是（時），某國軍艦以每小時13海里的速度向正西方向的C地所需時間是=（時），因為，所以中國海監(jiān)船以每小時30海里的速度趕往C，能及時救援我國漁民. 點評：結(jié)合圖形信息解直角三角形