數(shù)值分析答案.doc

習(xí)題二2-1 已知y=f(x)的數(shù)值如下：(1) x0123y2312147(2)x-2-101y154524求Lagrange插值多項(xiàng)式并寫出截?cái)嗾`差。解：(1)(2)2-2 已知函數(shù)lnx的如下數(shù)據(jù)x8101214y2.079442.302592.484912.63906試分別用Lagrange線性插值和二次插值計(jì)算ln(11.85)的近似值，并估計(jì)它的截?cái)嗾`差。解：線性插值公式：當(dāng)x=11.85時(shí)，二次插值： 誤差估計(jì)：。2-3 設(shè)為任意給定的n+1個(gè)互不相同的節(jié)點(diǎn)，證明：(1) 若f(x)為不高于n次的多項(xiàng)式，則f(x)關(guān)于這組節(jié)點(diǎn)的n次插值多項(xiàng)式就是它自己。(2) 若是關(guān)于這組節(jié)點(diǎn)的Lagrange基函數(shù)，則有恒等式證明：(1) 因?yàn)閒(x)是n次多項(xiàng)式，所以它的n+1階導(dǎo)數(shù)為零。故f(x)關(guān)于這組節(jié)點(diǎn)的n次插值多項(xiàng)式就是它自己。(2) 取，在處進(jìn)行n次拉格朗日插值，則有由于，故有 。(3) 將按二項(xiàng)式展開，得 ，則 由上題的結(jié)論得： 。2-4 已知函數(shù)表x0.10.20.40.60.9y0.99500.98010.92110.82530.6216試構(gòu)造四次Newton插值多項(xiàng)式，計(jì)算cos0.47的近似值并估計(jì)截?cái)嗾`差。解：自變量函數(shù)值一階差商二階差商三階差商四階差商0.10.99500.20.9801-0.1490.40.9211-0.295-0.48670.60.8253-0.479-0.460.05340.90.6216-0.679-0.40.08570.040375P4(x)=0.9950-0.149(x-0.1)-0.4867(x-0.1)(x-0.2)+0.0534(x-0.1)(x-0.2)(x-0.4)+0.040375(x-0.1)(x-0.2)(x-0.4) (x-0.6)當(dāng)x=0.47時(shí)，P4(x)= 0.8916。2-5 在區(qū)間-4,4上給出f(x)=ex在等距節(jié)點(diǎn)下的函數(shù)表，若用二次插值求ex的近似值，要使截?cái)嗾`差不超過10-6，問所用函數(shù)表的步長應(yīng)怎樣選?。拷猓涸趨^(qū)間xi-1,xi上，記誤差則用二次插值的步長應(yīng)：2-6 對(duì)區(qū)間a,b作步長為h的剖分，且，證明：在任意相鄰兩節(jié)點(diǎn)間做線性插值，其誤差限為。證明：區(qū)間上的誤差限：誤差限：2-7 設(shè),計(jì)算差商,及.解：自變量函數(shù)值一階差商1-8862-2975-2089=-2089，。2-8 設(shè)在有三階導(dǎo)數(shù)，證明：當(dāng)證明：根據(jù)已知條件可得到如下表所示的插值條件：xx0x1yf(x0)f(x1)yf(x0)建立差商表：自變量函數(shù)值一階差商二階差商x0f(x0)x0f(x0)f(x0)x1f(x1)則由newton 插值公式可得：整理得：其中R(x)由以下計(jì)算得到：構(gòu)造輔助函數(shù)： 有,三個(gè)零點(diǎn)，有,三個(gè)零點(diǎn)，則至少有一個(gè)零點(diǎn)，記作。則。2-9 用下列函數(shù)值表構(gòu)造不超過3次的插值多項(xiàng)式，并建立誤差估計(jì)式。x012f(x)129f(x)3解：建立差商表：自變量函數(shù)值一階差商二階差商三階差商01121123229741則由newton 插值公式可得：。誤差估計(jì)式：。2-10 求滿足下列條件的Hermite插值多項(xiàng)式xi12yi23yi1-1解： 2-11 求一個(gè)不高于4次的插值多項(xiàng)式P4(x)，使得。解：根據(jù)已知條件可得到如下表所示的插值條件：x012P011P01建立差商表：自變量函數(shù)值一階差商二階差商三階差商四階差商0000011111110-1210-1-0.50.25則由newton 插值公式可得：。2-12 根據(jù)下表建立三次樣條插值函數(shù)x123f(x)242f1(x)1-1解：, , 列方程：則三次樣條插值函數(shù)為： =8-16x+13x2-3x3， 。 =-40+56x-23x2+3x3， 。2-13 已知y=f(x)的如下數(shù)值x01234y-8-701956求三次樣條插值函數(shù)S(x)，滿足邊界條件(1) S(0)=0，S(4)=48(2) S”(0)=0，S”(4)=24解：用三轉(zhuǎn)角算法計(jì)算：(1), , , , , , 列方程組：則三次樣條插值函數(shù)為：=x3-8， 。=x3-8， 。=x3-8， 。=x3-8， 。(2) 列方程組：則三次樣條插值函數(shù)為：=x3-8， 。=x3-8， 。=x3-8， 。=x3-8， 。用三彎矩算法計(jì)算：(1) , , , , , , ，列方程組：(2) 列方程組：第三章 最佳逼近3-1 求下列函數(shù)在指定區(qū)間上得一次最佳平方逼近多項(xiàng)式并估計(jì)平方誤差(1) ，解： 設(shè)法方程組為：基函數(shù)為：，得到：，。于是法方程組為：解之得：，。所以，最佳平方逼近一次多項(xiàng)式為：。誤差估計(jì)：由誤差估計(jì)式：。(2) ，解： 設(shè)法方程組為：基函數(shù)為：，得到：，。于是法方程組為：解之得：，。所以，最佳平方逼近一次多項(xiàng)式為：。誤差估計(jì)：由誤差估計(jì)式：。(3) ，解： 設(shè)法方程組為：基函數(shù)為：，得到：，。于是法方程組為：解之得：，。所以，最佳平方逼近一次多項(xiàng)式為：。誤差估計(jì)：由誤差估計(jì)式：。(4) ，解： 設(shè)法方程組為：基函數(shù)為：，得到：，。于是法方程組為：解之得：，。所以，最佳平方逼近一次多項(xiàng)式為：。誤差估計(jì)：由誤差估計(jì)式：。3-2 求，在上的最佳平方逼近多項(xiàng)式，并給出平方誤差。解：設(shè)法方程組為：基函數(shù)為：，得到：，于是法方程組為：解之得：，。所以，最佳平方逼近一次多項(xiàng)式為：。誤差估計(jì)：由誤差估計(jì)式：=2.881410-123-3 求參數(shù)，使達(dá)到極小。解：本題也就是求f(x)=sinx的最佳平方逼近一次多項(xiàng)式。法方程組為：基函數(shù)為：，得到：，。于是法方程組為：解之得：，。3-4 已知一組數(shù)據(jù)如下：xi2468yi2112840用最小二乘法求擬合這組數(shù)據(jù)的一條直線，并估計(jì)平方誤差。解：線性擬合：根據(jù)基函數(shù)給出法方程組，求得 , 法方程組為：解得：c0=-12.5，c1=6.55求得擬合線性多項(xiàng)式函數(shù)p1(x)=-12.5+6.55x誤差為：先計(jì)算出擬合函數(shù)值：xi1111P10.600 13.7026.8039.90得到：10.73-5 已知函數(shù)值表xi-2-10 12yi01210試用二次多項(xiàng)式擬合這組數(shù)據(jù)并給出平方誤差。解：二次擬合：根據(jù)基函數(shù)給出法方程組，求得 , 法方程組為：解得：c0=58/35=1.6571，c1=0，c2=-3/7=-0.4286求得擬合線性多項(xiàng)式函數(shù)p2(x)=1.6571-0.4286x2誤差為：先計(jì)算出擬合函數(shù)值：xi-2-1012P2-0.05731.22851.65711.2285-0.0573得到：0.22863-6 給出下列數(shù)據(jù)xi-3-2-124yi14.38.34.78.322.7用最小二乘法求形如y=a+bx2的經(jīng)驗(yàn)公式。解：根據(jù)基函數(shù)給出法方程組，求得 , 法方程組為：解得：a=3.5，b=1.2。3-7 確定經(jīng)驗(yàn)公式中的參數(shù)，使之與下列數(shù)據(jù)擬合：xi0.10.20.30.40.50.6yi0.1720.3230.4840.6901.0001.579解： 將經(jīng)驗(yàn)公式轉(zhuǎn)化為：令 ，則上式轉(zhuǎn)化為：。上表的的數(shù)據(jù)變?yōu)椋簒i0.10.20.30.40.50.6zi5.8143.0962.0661.4491.0000.633取這時(shí) ，zT =5.814 3.096 2.066 1.449 1.000 0.633,解得：a0=-1.9674，a1=0.9761，a2=0.5034。則 a=1.939，b= -3.908，c=1.987。3-8 在某化學(xué)反應(yīng)里，生成物的質(zhì)量濃度y(10-3g/cm3)與時(shí)間t(min)的關(guān)系式為，現(xiàn)測(cè)得一組數(shù)據(jù)如下：xi12346810121416yi4.006.418.018.799.539.8610.3310.4210.5310.61試確定出參數(shù)、。解：將經(jīng)驗(yàn)公式轉(zhuǎn)化為：上表的的數(shù)據(jù)變?yōu)椋簒i12346810121416zi0.250.1560.1250.1140.1050.1010.09680.0960.0950.094取這時(shí) ，zT =0.25 0.156 0.125 0.114 0.105 0.101 0.0968 0.096 0.095 0.094,解得：= 0.1650，= 0.0789。3-9 用最小二乘法求下列方程組的解 (1) (2) 解：(1) 簡化為：兩邊同乘以系數(shù)矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，就得到所需要的法方程組：具體計(jì)算如下： 解得最小二乘解：x1=26/11，x2=15/11(2)簡化為：兩邊同乘以系數(shù)矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，就得到所需要的法方程組：具體計(jì)算如下：解得最小二乘解：x=1450/487=2.9774，y=597/487=1.2259第四章 數(shù)值積分與數(shù)值微分4-1 用四節(jié)點(diǎn)復(fù)化梯形公式計(jì)算積分(1) ， (2) 解：(1) (2) 4-2用四節(jié)點(diǎn)復(fù)化Simpson公式計(jì)算積分 (1) ， (2) 解：(1) (2) 4-3 分別用復(fù)化梯形和復(fù)化Simpson公式計(jì)算積分并使絕對(duì)誤差限不超過，問需要將區(qū)間0, 1多少等分?解：復(fù)化梯形：所以區(qū)間應(yīng)該409等分。復(fù)化Simpson公式：所以區(qū)間應(yīng)該6等分。4-4 利用積分計(jì)算ln2時(shí)，若采用復(fù)化Simpson公式，問應(yīng)取多少個(gè)節(jié)點(diǎn)才能使其誤差的絕對(duì)值不超過。解： 所以應(yīng)26等分，節(jié)點(diǎn)數(shù)為：226+153個(gè)。4-5 直接驗(yàn)證Simpson求積公式具有3次代數(shù)精確度。證明：當(dāng)f(x)=1時(shí)，等式成立。當(dāng) f(x)=x時(shí)，等式成立。當(dāng) f(x)=x2時(shí)，等式成立。當(dāng) f(x)=x3時(shí)，等式成立。當(dāng) f(x)=x4時(shí)，等式不成立，所以Simpson求積公式具有3次代數(shù)精度。4-6 設(shè)函數(shù)由下表給出，分別用復(fù)化梯形和復(fù)化Simpson公式計(jì)算積分xi0.60.81.01.21.41.61.8f(xi)5.74.63.53.74.95.25.5解：復(fù)化梯形公式：復(fù)化Simpson公式：4-7 用兩點(diǎn)Guass型求積公式計(jì)算積分(1) (2) (3) 解：(1)(2)(3) 4-8 用兩點(diǎn)Guass-chebgshev公式計(jì)算積分解：4-9 如何用兩點(diǎn)Guass型