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第二章 靜電場本章主要介紹靜電場的部分求解方法。由于靜電場的基本方程是矢量方程，直接求解較困難，因此一般都采用引入電勢進行求解。本章首先引進靜電場的標量勢函數(shù)電勢并討論電勢的一些基本特性。然后討論靜電勢方程的幾種求解方法分離變量法、鏡象法、格林函數(shù)法以及電荷在小區(qū)域分布時的近似求解方法。1 靜電勢及其微分方程一、 靜電場的標勢1靜電勢的引入因為靜電場為無旋場，即，所以可以引入標量函數(shù)，引入標量函數(shù)后 靜電場標勢（簡稱電勢）。 的選擇不唯一，相差一個常數(shù)，只要知道即可確定 取負號是為了與電磁學討論一致 滿足迭加原理l 電勢差：空間某點電勢無物理意義，只有兩點間的電勢差才有意義 選空間有限兩點QC2C1 為電場力將單位正電荷從P移到Q點所做功負值 電場力作正功，電勢下降 電場力作負功，電勢上升 兩點電勢差與做功的路徑無關 等勢面：該面上電勢處處相等（與等勢面垂直，即處處成立）參考點：（1）電荷分布在有限區(qū)域，通常選無窮遠為電勢參考點 P點電勢為將單位正電荷從P移到電場力所做的功。（2）電荷分布在無限區(qū)域不能選無窮遠點作為零電勢參考點，否則積分將無窮大。l 電荷分布在有限區(qū)域時的幾種情況的電勢（1） 點電荷 （2） 電荷組 （3） 無限大均勻線性介質中點電荷 （Q為自由電荷）Q產生的電勢 ， 產生的電勢 PO（4） 連續(xù)電荷分布所產生的電勢 ，選取無窮遠處為零電勢參考點。在實際問題中，電荷分布與電場是一對矛盾體，相互制約一般無法預先知道。有導體時靜電場產生的物理過程：給定作用于導體 自由電子移動 變化為 平衡后為。若導體不帶電，在靜電場中也會出現(xiàn)感應電荷，但導體上總電量仍然為零。二、靜電勢的微分方程和邊值關系1滿足的方程l 泊松方程： 其中僅為自由電荷分布，適用于均勻各向同性線性介質。l 導出過程： 拉普拉斯方程： （適用于的區(qū)域 ）。2邊值關系（S為分界面）（ 由12）(1) 兩種介質交界面處邊值關系 證明：（a） PQ 積分為零，所以 即。（b） （為自由面電荷分布）由 （2）靜電平衡條件下導體的性質（3）導體表面上的邊值關系由于導體表面為等勢面，因此在導體表面上電勢為一常數(shù)。將介質情況下的邊值關系用到介質與導體的分界面上，并考慮導體內部電場為零，則可以得到第二個邊值關系：三、靜電場的能量1能量密度：均勻各向同性線性介質） 總能量： 2. 若已知 總能量為 ，但不代表能量密度。導出過程：，該公式只適合于靜電場情況，能量不僅分布在電荷區(qū)，而且存在于整個場空間中。例題 (教材P5556)2 唯一性定理VS一、泊松方程和邊界條件假定所研究的區(qū)域為V，在一般情況下V內可以有多種介質或導體，對于每一種介質是各向同性線性均勻介質。設V內所求電勢為，它們滿足泊松方程泊松方程或拉普拉斯方程（區(qū)域）的解有多種形式，要確定且唯一確定V內電場，必須給出邊界條件。數(shù)學上稱為定解問題：一般邊界條件有兩類： 邊界S上，為已知，若為導體= 常數(shù)為已知。 邊界S上，為已知，若是導體要給定總電荷Q。它相當于給定（）。內邊界條件由 邊值關系給出： 法線方向，在實際問題中，因為導體內場強為零，可以不包含在所求區(qū)域V內。導體上下邊界條件為外邊界條件。對于V內兩介質分界面上。二、唯一性定理1均勻單一介質當區(qū)域內分布已知，滿足，若V邊界上已知，或V邊界上已知，則V內場（靜電場）唯一確定。證明：假定泊松方程有兩個解，則有，并且在邊界上，即或者 ，令 則, 由格林第一公式 令 則 在S上積分 又 , 由于被積函數(shù)（正定）所以積分為零必然要求，常數(shù)（1）若給定的是第一類邊值關系 ，常數(shù)為零，電場唯一確定且電勢也是唯一確定的。（2）若給定的是第二類邊值關系 ，常數(shù)，相差一個常數(shù)，電場是唯一的。1. 介質分區(qū)均勻（不包含導體）Q1Q2V內已知， 成立，給定區(qū)域邊界：或，在分界面上：,，則V內場唯一確定（證明見教材P6061）2. 均勻單一介質中有導體（證明見書P60）導體中，要求的是內的場。QSS當和，已知或，（，）為已知，則內場唯一。確定， 或。3導體外有多種均勻介質當，（=常數(shù)）已知或當和導體上Q已知，V內場唯一確定。在介質分界面上，或，對于每一個導體上。三、唯一性定理的意義（1）唯一性定理給出了確定靜電場的條件，為求解給定區(qū)域中的電場分布指明了方向并提供了保證條件；（2）具有十分重要的實用價值。無論采用什么方法得到解，只要該解在區(qū)域V內滿足泊松方程，在邊界上滿足給定的邊界條件，則該解就是唯一的正確解。因此對于許多具有對稱性的問題，我們可以不必用繁雜的數(shù)學去求解泊松方程，而是提出嘗試解，只要滿足方程和邊界條件即為所求的解，若不滿足，可以加以修改或嘗試。3 拉普拉斯方程的解分離變量法一、拉普拉斯方程的適用條件1場空間中，自由電荷只分布在某些介質（如導體）表面上，將這些表面視為區(qū)域邊界，可以用拉普拉斯方程表示區(qū)域內電勢所滿足的方程。2在所求區(qū)域介質中有自由電荷分布，若這個自由電荷分布在真空中，且所產生的電勢為已知，則（1）若所求區(qū)域內為單一均勻介質，則介質中電勢為真空中電勢的 倍；（2）若所求區(qū)域為分區(qū)均勻介質，不同介質交界面上必有束縛面電荷分布，區(qū)域V中電勢可表示為兩部分的和：，不滿足，但使?jié)M足，仍可用拉普拉斯方程求解，但邊值關系必須用而不能用。二、拉普拉斯方程在幾種坐標系中解的形式1 直角坐標系下 令 若考慮到某些邊界條件為齊次邊界條件（），則均必須與某些正整數(shù)有關，其通解為所有可能解求和。一般令 若 與 無關， 特解 若 ，與 無關。 2柱坐標系下 僅討論 與 無關。令 解： 有兩個線性無關解 和 。單值性要求 ，只能取整數(shù)，令（正整數(shù)）通解：若 ，。3球坐標系下締合勒讓德函數(shù)（連帶勒讓德函數(shù)）l 若不依賴于，即具有軸對稱性通解 為勒讓德函數(shù)， l 若與均無關，即具有球對稱性，則通解為：三、解題步驟1選擇坐標系和電勢參考點坐標系選擇主要根據區(qū)域中分界面形狀參考點主要根據電荷分布是有限還是無限2分析對稱性，分區(qū)寫出拉普拉斯方程在所選坐標系中的通解3根據邊界條件確定常數(shù)（1）遠邊界條件： 電荷分布在有限區(qū)域 。邊界條件和邊值關系是相對的，導體邊界可視為外邊界，給定，或給定總電荷Q，或給定，（接地 ，電荷分布無限，一般在均勻場中，（直角坐標或柱坐標系）（2）內部邊值關系：介質分界面上 表面無自由電荷分布。例題 （教材 P6469）4 鏡象法一、 鏡象法的概念和適用條件對直角坐標無對稱性，用球坐標具有軸對稱，但邊界為平面1. 求解泊松方程的難度QQ區(qū)域無分布，適用。區(qū)域內有自由電荷，適用，但求解很困難。導體球 導體板（導體表示電荷分布是不均勻的）在許多特殊情況下可采用疊原理求解，對于空間存在有限個點電荷的情況，原則上也能夠求解。還有一些例子也可采用該方法求解，但求解難度極大（如導體板情況）。許多情況分界面上電荷是非均勻分布的，造成場對稱性不夠理想。2唯一性定理保證下的嘗試解從物理上考慮，在唯一性定理保證下，可以采用試探解的方法。特別是對于有限個自由電荷的情況，導體面上的感應電荷對場的貢獻可以等效為一個或幾個點電荷對場的貢獻。3. 鏡象法概念和條件（1）鏡象法：用假想點電荷等效地代替導體邊界面上的面電荷分布，然后用空間點電荷和等效點電荷迭加給出空間電勢分布。（2）條件：a）所求區(qū)域內只能有有限個點電荷（只有點電荷產生的感應電荷才能用點鏡象電荷代替）；b）導體邊界面形狀規(guī)則，具有一定對稱性；c）給定邊界條件。要求：a）做替代時，不能改變原有電荷分布（即自由點電荷位置、大小不能被改變）。泊松方程不能改變，所以假想電荷必須放在所求解區(qū)域之外；b）不能改變原有邊界條件，通過邊界條件確定假想電荷的大小和位置；c）一旦用了假想等效電荷，不必再考慮邊界面上的電荷對場的貢獻；d）坐標系選擇仍然根據邊界形狀來定。例題 （教材P7172）5 格林函數(shù)法格林函數(shù)法是求解數(shù)學物理方程的較為普遍的方法。（利用格林公式和已知點電荷在給定條件下的解求解給定邊界條件的空間電勢。）本節(jié)僅研究泊松方程解的格林函數(shù)方法。它與點電荷解的邊值相關，但可以解靜電學的許多邊值問題。設V內電荷分布已知， 給定V邊界S上的各點電勢第一類邊值問題 或給定邊界上法向分量第二類邊值問題求V內各點電勢值。上兩節(jié)討論了分離變量法和電象法，只在一定條件下適用。（鏡象法實際上是解格林函數(shù)的一種方法。）一、 點電荷密度的函數(shù)表示1 處于點上的單位點電荷的密度一般2常用公式：二、 格林函數(shù)1 點電荷的泊松方程：設電勢為，單位點電荷產生的電勢 空間區(qū)域V上的邊界條件或常數(shù)2 格林函數(shù)對于靜電場的點電荷問題 稱為靜電場的格林函數(shù) （或常數(shù)）只對微商。格林函數(shù)的對稱性 （偶函數(shù)）3 （1）無界空間中的格林函數(shù)上單位點電荷在無窮空間中激發(fā)的電勢到的距離 球坐標系下 （偶函數(shù)）顯然滿足點電荷泊松方程。（2）上半空間的格林函數(shù)（偶函數(shù)）（3）球外空間的格林函數(shù)設點電荷Q = 1 坐標為，觀察點為 球半徑為 （相當于教材P73例題中的a）設假想點電荷在，它的坐標為（它在連線上，題中b對應這里的） （偶函數(shù)）三、 用格林函數(shù)求解一般的邊值問題1 第一類邊值問題求解的格林方法（要求掌握這個公式）。（1）V內有電荷分布，給定，求V內。滿足（真空情況），相應格林函數(shù)問題：V內點上有單位點電荷，邊界上，其解為 （2） 二者的聯(lián)系由格林第二公式給出設滿足泊松方程，為V內電勢（為討論方便與互換），為格林函數(shù) ， 只要知道相應問題的和即可得到。2第二類邊值問題解的格林函數(shù)方法（1）V內有電荷分布 ，S上給定，求V內相應格林函數(shù)問題 常數(shù)（在S上）（2）只要知道和，即可馬上得到例題 （教材 P8283）3格林函數(shù)方法求解討論（1）的求解本身也不是一件很容易的事情。一般只有區(qū)域幾何形狀規(guī)則、簡單才容易求解，鏡象法是求解格林函數(shù)的有效方法之一。（2）格林函數(shù)方法也可用于求解拉普拉斯方程的邊值問題。由 第一類邊值問題 第二類邊值問題5 電多極矩一、電勢的多極展開我們知道，真空中給定電荷密度所激發(fā)的的電勢為在許多物理問題中，電荷只分布在一個小區(qū)域內，而需要求電場強度的場點又距離電荷分布區(qū)域比較遠，即在上式中，遠大于區(qū)域的線度，這時可以把上式表示為的展開式，由此得出電勢的各級近似值。在區(qū)域內取一點作為坐標原點，以表示由原點