（全面突破）高考數(shù)學最新一輪復習 必考題型鞏固提升 8.5直線、平面垂直的判定及其性質學案.doc

8.5直線、平面垂直的判定及其性質考情分析近年來，立體幾何高考命題形式比較穩(wěn)定，題目難易適中，常常立足于棱柱、棱錐和正方體，復習是要以多面體為依托，始終把直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的性質和判定作為考察重點，在難度上也始終以中等偏難為主。基礎知識1判斷線線垂直的方法：所成的角是直角，兩直線垂直；垂直于平行線中的一條，必垂直于另一條；垂直于同一平面的兩條直線平行。2線面垂直： 定義：如果一條直線l和一個平面相交，并且和平面內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l和平面互相垂直其中直線l叫做平面的垂線，平面叫做直線l的垂面,直線與平面的交點叫做垂足。直線l與平面垂直記作：l。直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。直線和平面垂直的性質定理：如果兩條直線同垂直于一個平面,那么這兩條直線平行。3面面垂直：兩個平面垂直的定義：相交成直二面角的兩個平面叫做互相垂直的平面。兩平面垂直的判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直（線面垂直面面垂直）。兩平面垂直的性質定理：若兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面（面面垂直線面垂直）。注意事項1.垂直問題的轉化關系2. (1)證明線線垂直的方法定義：兩條直線所成的角為90；平面幾何中證明線線垂直的方法；線面垂直的性質：a，bab；線面垂直的性質：a，bab.(2)證明線面垂直的方法線面垂直的定義：a與內任何直線都垂直a；判定定理1：l；判定定理2：ab，ab；面面平行的性質：，aa；面面垂直的性質：，l，a，ala.(3)證明面面垂直的方法利用定義：兩個平面相交，所成的二面角是直二面角；判定定理：a，a題型一直線與平面垂直的判定與性質【例1】下列命題中錯誤的是()a. 如果平面平面，那么平面內一定存在直線平行于平面b. 如果平面不垂直于平面，那么平面內一定不存在直線垂直于平面c. 如果平面平面，平面平面，l，那么l平面d. 如果平面平面，那么平面內所有直線都垂直于平面答案：d解析：對于命題a，在平面內存在直線l平行于平面與平面的交線，則l平行于平面，故命題a正確對于命題b，若平面內存在直線垂直于平面，則平面與平面垂直，故命題b正確對于命題c，設m，n，在平面內取一點p不在l上，過p作直線a，b，使am，bn.，am，則a，al，同理有bl.又abp，a，b，l.故命題c正確對于命題d，設l，則l，但l.故在內存在直線不垂直于平面，即命題d錯誤，故選d.【變式1】 如圖，已知bd平面abc，mc綉bd，acbc，n是棱ab的中點求證：cnad.證明bd平面abc，cn平面abc，bdcn.又acbc，n是ab的中點cnab.又bdabb，cn平面abd.而ad平面abd，cnad.題型二平面與平面垂直的判定與性質【例2】如圖，在三棱錐dabc中，若abbc，adcd，e是ac的中點，則平面adc與平面bde的關系是_答案：垂直解析：deac且beac.故ac平面bde.故平面adc平面bde.【變式2】 如圖所示，在長方體abcda1b1c1d1中，abad1，aa12，m是棱cc1的中點證明：平面abm平面a1b1m.證明a1b1平面b1c1cb，bm平面b1c1cb，a1b1bm，由已知易得b1m，又bm，b1b2，b1m2bm2b1b2，b1mbm.又a1b1b1mb1，bm平面a1b1m.而bm平面abm，平面abm平面a1b1m.考向三平行與垂直關系的綜合應用【例3】已知平面，和直線m，給出下列條件：m；m；m；.(1)當滿足條件_時，有m；(2)當滿足條件_時，有m(填所選條件的序號)答案：(1)(2)解析：(1)，m，m.(2)，m，m.【變式3】 如圖，正方形abcd和四邊形acef所在的平面互相垂直，efac，ab，ceef1.(1)求證：af平面bde；(2)求證：cf平面bde. 證明(1)設ac與bd交于點g.因為efag，且ef1，agac1.所以四邊形agef為平行四邊形，所以afeg.因為eg平面bde，af平面bde，所以af平面bde.(2)如圖，連接fg.因為efcg，efcg1，且ce1，所以四邊形cefg為菱形所以cfeg.因為四邊形abcd為正方形，所以bdac.又因為平面acef平面abcd，且平面acef平面abcdac，所以bd平面acef. 所以cfbd.又bdegg.所以cf平面bde.考向四線面角【例4】如圖，四棱錐pabcd的底面是正方形，pd底面abcd，點e在棱pb上(1)求證：平面aec平面pdb；(2)當pdab，且e為pb的中點時，求ae與平面pdb所成的角的大小 (1)證明四邊形abcd是正方形，acbd.pd底面abcd，pdac.又pdbdd，ac平面pdb.又ac平面aec，平面aec平面pdb.(2)解設acbdo，連接oe.由(1)知，ac平面pdb于點o，aeo為ae與平面pdb所成的角點o、e分別為db、pb的中點，oepd，且oepd.又pd底面abcd，oe底面abcd，oeao.在rtaoe中，oepdabao，aeo45.即ae與平面pdb所成的角為45. 求直線與平面所成的角，一般分為兩大步：(1)找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面上的射影來完成；(2)計算，要把直線與平面所成的角轉化到一個三角形中求解【訓練4】如圖，已知dc平面abc，ebdc，acbceb2dc2，acb120，p，q分別為ae，ab的中點(1)證明：pq平面acd；(2)求ad與平面abe所成角的正弦值(1)證明因為p，q分別為ae，ab的中點，所以pqeb.又dceb，因此pqdc，pq平面acd，dc平面acd，從而pq平面acd.(2)解如圖，連接cq，dp.因為q為ab的中點，且acbc，所以cqab.因為dc平面abc，ebdc，所以eb平面abc.因此cqeb，又abebb，故cq平面abe.由(1)有pqdc，又pqebdc，所以四邊形cqpd為平行四邊形，故dpcq，因此dp平面abe，dap為ad和平面abe所成的角，在rtdpa中，ad，dp1，sindap.因此ad和平面abe所成角的正弦值為.重難點突破【例4】如圖，在四棱錐pabcd中，平面pad平面abcd，abad，bad60，e，f分別是ap，ad的中點求證：(1)直線ef平面pcd；(2)平面bef平面pad.解析(1)在pad中，因為e，f分別為ap，ad的中點，所以efpd.又因為ef平面pcd，pd平面pcd，所以直線ef平面pcd.(2)如圖，連結bd.因為abad，bad60，所以abd為正三角形因為f是ad的中點，所以bfad.因為平面pad平面abcd，bf平面abcd，平面pad平面abcdad，所以bf平面pad.又因為bf平面bef，所以平面bef平面pad. 鞏固提高1.已知m是平面的一條斜線，點a，l為過點a的一條動直線，那么下列情形可能出現(xiàn)的是()a. lm，lb. lm，lc. lm，ld. lm，l答案：c解析：設m在平面內的射影為n，當ln且與無公共點時，lm，l.2.設，為不重合的平面，m，n為不重合的直線，則下列命題正確的是()a. 若，n，mn，則mb. 若m，n，mn，則nc. 若n，n，m，則md. 若m，n，mn，則答案：c解析：與、兩垂直相交平面的交線垂直的直線m，可與平行，故a錯；對于b，存在n情況，故b錯；d，存在情況，故d錯由n，n，可知，又m，所以m，故c正確，選c.3.平面平面的一個充分條件是()a. 存在一條直線l，l，lb. 存在一個平面，c. 存在一個平面，d. 存在一條直線l，l，l答案：d解析：由a項可推出；由b項可推出；由c項可推出或，均不是的充分條件故應選d.4.如圖，已知六棱錐pabcdef的底面是正六邊形，pa平面abcdef，pa2ab，則下列結論正確的是()a. paadb. 平面abcdef平面pbcc. 直線bc平面paed. 直線pd與平面abcdef所成的角為30答案：a解析：因為pa平面abcdef，所以paad，故a正確；b項中兩個平面不垂直；c項中，ad與平面pae相交，bcad，故c錯；d項中，pd與平面abcdef所成的角為45，故d錯故選a.5.如圖，以等腰直角三角形abc斜邊bc上的高ad為折痕，把abd和ac