基本不等式題型歸納.doc

基本不等式題型歸納【重點知識梳理】1基本不等式：（1）基本不等式成立的條件：，（2）等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立2幾個重要的不等式：（1）（）； （2）（）；（3）（）； （4）（）3算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)，則的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)4利用基本不等式求最值問題已知，則（1）如果積是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，有最小值是（簡記：積定和最?。?）如果和是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，有最大值是（簡記：和定積最大）題型一覽1、已知，且，則的最大值為，則的最小值為；2、已知，則的最小值為3、設(shè)，則函數(shù)的最大值為4、若，則的最小值為；若，則的最大值為5、若，則的最小值為；若，則的最大值為若函數(shù)在 處有最小值，則6、已知，且，則（）的最小值為，此時的值分別是7、已知，（或），則的最小值為8、已知，如果不等式恒成立，那么的最大值等于9、幾個分式的變形：（1）若，則函數(shù)的最小值是（2）已知 ，則函數(shù)的最小值為（3）函數(shù)的最小值為分析：變形得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號， 故函數(shù)的最小值為（4）已知，則的取值范圍是解：（5）設(shè)（）， 則的最大值為；（6）已知，則的最小值是（7）已知都是負(fù)實數(shù)，則的最小值是解：，10、（1）已知非負(fù)實數(shù)滿足，則的最小值為分析：因為 ，所以 ，即，因為非負(fù)實數(shù)，所以 ，所以 當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，所以 的最小值為（2）已知實數(shù)滿足，則的最小值為解：【法一】由題知，則【法二】令，（）則，由，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立11、（1）已知均為正實數(shù)，且，則的最小值為解：因為均為正實數(shù)，所以，可化為，即，所以故當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值（2）已知均為正實數(shù)，則的最小值為解：因為均為正實數(shù)，所以， 12、（1）若正實數(shù)滿足，則的最大值是解：由，得， ，解得，得最大值為（2）設(shè)為實數(shù)，若，則的最大值是解：由得則13、若且，使不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為A B C D分析：由， 得又由，選14、 若，且，則下列不等式恒成立的是（ ）A B C D分析：因為，利用基本不等式有，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，錯；由得，錯；，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，錯；綜上可知，選15、設(shè)正實數(shù)滿足，則當(dāng)取得最大值時，的最大值為A B C D答案：由得， 則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時16、（2013天津理14）設(shè)，則當(dāng)_時，取得最小值解：因為，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立因為，所以原式取最小值時.又，所以時，原式取