小學五年級數(shù)學精讀第11-20講（附答案+精彩講解）［媽媽身邊的貼心家教］

第 11講 計算問題第 06講 估算與比較 通分與裂頂（ 43） 1.除式 12345678910111213 31211101987654321 計算結果的小數(shù)點后前三位數(shù)字是多少？ 解法一： A 大于 1234 3122=0.3952， A 小于 1235 3121=0.3957， 0.3952 小于 A 小于 0.3957 答：計算結果的小數(shù)點后前三位數(shù)字是 395。 解法二： 1234 3121 0.3953 0.395 答：計算結果的小數(shù)點后前三位數(shù)字是 395。 2計算下式的值，其中小數(shù)部分 四舍五入，答案僅保留整數(shù)： 33.3332-3.1415926 0.618. 解： 33.3332-3.1415926 0.618（ 100/3） 2-5=10000/9-5 1111-5=1106 答：保留整數(shù)約等于 1106。 3.在 1,1/2,1/3,1/4,。 1/99， 1/100 中選出若干個數(shù)使它們的和大于 3，最少要選多少個數(shù)？ 解法一： 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/101+(1/2+1/3+1/6)+(1/4+1/8)+(1/5+1/10)+2/7=2+3/8+3/10+2/7=2+269/2801+(1/2+1/3+1/6)+(1/4+1/8)+(1/5+1/10)+1/8+(1/9+1/11) =1+1+(3/8+1/8)+3/10+20/99 =2+4/8+3/10+20/99 2+1/2+3/10+20/100 =3 答：最少要選出 11 個數(shù)。 解法二： 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6=1+（ 1/2+1/3+1/6） +1/4+1/5=2+1/4+1/5=2.453 1/7=0.142 ,1/8=0.125， 1/9=0.1（ 1 循環(huán)）， 1/10=0.1，所以 1/7+1/8+1/9+1/10=0.478， 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10=2.9283 答：最少要選出 11 個數(shù)。 4數(shù) 1/（ 1/10+1/11+1/12+ +1/19）的整數(shù)部分是幾？ 解： 1/10+1/11+1/12+ +1/1910*1/20=1/2 所以 1/1 （ 2）請把 656/657， 52/53， 2679/2680， 8/9 這 4 個數(shù)從大到小排列。 解：（ 1） A 小于 1/2， B 小于 1/2， 1/2-A=1/（ 2 222222221）， 1/2-B=1/（ 2 888888887） 1/2-B 小于 1/2-A， B 大于 A （ 2） 656/657=1-1/657， 52/53=1-1/53， 2679/2680=1-1/2680,8/9=1-1/9 因為 1/9 大于 1/53 大于 1/657 大于 1/2680，所以 2679/2680 大于 656/657 大于 52/53 大于 8/9 答：（ 1） A 與 B 中較大的是 B； （ 2） 2679/2680 大于 656/657 大于 52/53 大于 8/9. 7 24/31 小于 80/ 0，所以（ 4）最小， 3/8+8/20=31/40 答：（ 4）式最小，（ 4） =31/40。 10.下面的 4 個算式中，哪個式子的得數(shù)最大？（ 1）（ 1/17+1/19） 20，（ 2）（ 1/24+1/29） 30，（ 3）（ 1/31+1/37） 40，（ 4）（ 1/41+1/47） 50。 解：（ 1）式 -2=3/17+1/19，（ 2）式 -2=6/24+1/29，（ 3）式 -2=9/31+3/37，（ 4）式 -2=9/41+3/47 因為 9/31+3/379/41+3/47， 9/31+3/379/36+3/89=6/24+1/29， 9/31+3/379/51+3/57=3/17+1/19，所以（ 3）式最大。 答：（ 3）式最大。 11.從所有分母小于 10 的真分數(shù)中，找出一個最接近 0.618 的分數(shù)。 解：分母小于 10 的真分數(shù)分母可以是 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9。 分母是 1，罱詠 ?.618 的分數(shù)是 1/1， 1-0.618=0.382； 分母是 2，最接近 0.618 的分數(shù)是 1/2， 0.618-1/2=0.118； 分母是 3，最接近 0.618 的分數(shù)是 2/3， 2/3-0.618=0.049； 分母是 4，最接近 0.618 的分數(shù)是 3/4， 3/4-0.618=0.132； 分母是 5，最接近 0.618 的分數(shù)是 3/5， 0.618-3/5=0.018； 分母是 6，最接近 0.618 的分數(shù)是 4/6， 4/6-0.618=0.049； 分母是 7，最接近 0.618 的分數(shù)是 4/7， 0.618-4/7=0.047； 分母是 8，最接近 0.618 的分數(shù)是 5/8， 5/8-0.618=0.007； 分母是 9，最接近 0.618 的分數(shù)是 6/9， 6/9-0.618=0.049。 0.007 最小，所以 5/8 最接近 0.618。 答：最接近 0.618 的是 5/8。 12.計算：（ 1+1/2）（ 1-1/2）（ 1+1/3）（ 1-1/3）（ 1+1/99）（ 1-1/99）。 解：（ 1+1/2）（ 1-1/3） =3/2 2/3=1，（ 1+1/3）（ 1-1/4） =4/3 3/4=1，（ 1+1/98）（ 1-1/99） =99/98 98/99=1 所以，（ 1+1/2）（ 1-1/2）（ 1+1/3）（ 1-1/3）（ 1+1/99）（ 1-1/99） =（ 1-1/2）（ 1+1/99） =1/2 100/99=50/99 答：計算結果是 50/99。 13.計算： 1+3（ 1/6） +5（ 1/12） +7（ 1/20） +9（ 1/30） +11（ 1/42） +13（ 1/56） +15（ 1/72） +17（ 1/90） 。 解： 1+3（ 1/6） +5（ 1/12） +7（ 1/20） +9（ 1/30） +11（ 1/42） +13（ 1/56） +15（ 1/72） +17（ 1/90） =（ 1+3+5+7+9+11+13+15+17） +（ 1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90） =81+（ 1/2-1/3） +（ 1/3-1/4） +（ 1/4-1/5） +（ 1/5-1/6） +（ 1/6-1/7） +（ 1/7-1/8） +（ 1/8-1/9） +（ 1/9-1/10） =81+1/2-1/10 =81（ 2/5） 此主題相關 圖片如下： 14計算：（ 1/8+1/24+1/48+1/80+1/120+1/168+1/224） 64。 解：（ 1/8+1/24+1/48+1/80+1/120+1/168+1/224） 64 =(1/4-1/8+)+(1/8-1/12)+(1/12-1/16)+(1/16-1/20)+(1/20-1/24)+(1/24-1/28)+(1/28-1/32) 64 =(1/4-1/32) 64 =7/32 64 =14 答：計算結果是 14。 15.計算： 1-2/（ 1（ 1+2） -3/（ 1+2）（ 1+2+3） -4/（ 1+2+3）（ 1+2+3+4） - -10/（ 1+2+9）（ 1+2+ +9+10） 解： 1-2/（ 1（ 1+2） -3/（ 1+2）（ 1+2+3） -4/（ 1+2+3）（ 1+2+3+4） - -10/（ 1+2+ +9）（ 1+2+ +9+10） =1-2/1 3-3/3 6-4/6 10- -10/45 55 =1-（ 1-1/3） -（ 1/3-1/6） -（ 1/6-1/10） - -（ 1/45-1/55） =1-（ 1-1/3+1/3-1/6+1/6-1/10+ +1/45-1/55） =1-（ 1-1/55） =1/55 答：計算結果是 1/55。 此主題相關圖片如下： 第 12 講 應用題第 14 講 行程問題之四（ 47） 1.有一座時鐘現(xiàn)在顯示 10 時整。那么，經(jīng)過多少分鐘，分針與時針第一次重合；再經(jīng)過多少分鐘，分針與時針第二次重合？ 解： 10 時整，分針與時針距離是 10 格，需要追擊的距離是（ 60-10）格，分針走 60 格，時針走 5 格，即分針走 1 格，時針走 5/60=1/12 格。 第一次重合經(jīng)過 （ 60-10） /（ 1-1/12） =54（ 6/11）（分） 第二次重合再經(jīng)過 60/（ 1-1/12） =65（ 5/11）（分） 答：經(jīng)過 54（ 6/11）分鐘，分針與時針第一次重合；再經(jīng)過 65（ 5/11）分鐘，分針與時針第二次重合。 2. 8 時到 9時之間時針和分針在“ 8”的兩邊，并且兩針所形成的射線到“ 8”的距離相等。問這時是 8時多少分？ 解： 8 時到 9 時之間，時針和分針在“ 8”的兩邊，并且距離相等，說明時針和分針走過的距離之和時 40格，經(jīng)過的時間是 40/（ 1+1/12） =36（ 12/13）（分） 答：這時是 8 時 36（ 12/13）分。 3.某人下午六時多外出買東西，出門時看手表，發(fā)現(xiàn)表的時針和分針的夾角為 110，七時前回家時又看手表，發(fā)現(xiàn)時針和分針的夾角仍是 110。那么此人外出多少分鐘？ 解：分針從時針后 110到時針前 110，追上 了 220， 220 /360 *60=110/3 格，時間是 110/3/（ 1-1/12）=40（分） 答：此人外出 40 分鐘。 4.甲、乙兩車分別從 A,B 兩地同時相向而行， 6 小時后相遇在 C 點。如果甲車速度不變，乙車每小時多行5 千米，且兩車還從 A， B兩地同時出發(fā)相向而行，則相遇地點距 C 點 12千米；如果乙車速度不變，甲車每小時多行 5 千米，且兩車還從 A， B 兩地同時出發(fā)相向而行，則相遇地點距 C 點 16 千米。甲車原來每小時行多少千米？ 解：設一方加速后相遇時間是 X 小時，甲、乙如果都不加速距離將是（ 12+16）千米，這段距 離是速度差 5千米形成的。 X=28/5=28/5（小時），甲以原來的速度，用（ 6-28/5）小時行 12 千米，速度是每小時 12/（ 2/5） =30（千米） 答：甲車原來每小時行 30 千米。 5.甲、乙兩人同時從山腳開始爬山，到達山頂后就立即下山，他們兩人的下山速度都是各自上山速度的 1.5倍，而且甲比乙速度快。兩人出發(fā)后 1小時，甲與乙在離山頂 600米處相遇，當乙到達山頂時，甲恰好到半山腰。那么甲回到出發(fā)點共用多少小時？ 解法一：甲如果用下山速度上山，乙到達山頂時，甲走過的路程應該是一個單程的 1*1.5+1/2=2 倍，就是說甲下山的速度是乙上山速度的 2 倍。 兩人相遇時走了 1 小時，這時甲還要走一段下山路，這段下山路乙上山用了 1 小時，所以甲下山要用 1/2小時。 甲一共走了 1+1/2=1.5（小時） 答：甲回到出發(fā)點共用 1.5 小時。 解法二：相遇時甲已經(jīng)下山 600 米，走這 600 米的時間，如果甲用上山速度只能走 600/1.5=400 米，所以上山速度一小時甲比乙多走 600+400=1000 米。 乙到山頂時甲下到半山腰，甲走 1/2 下山路的時間，如果用來上山，只能走 1/2/1.5=1/3 的上山路，所以乙走完上山路的時間里，甲可 以走上山路的 1+1/3=4/3 倍，說明上山速度甲是乙的 4/3 倍。 甲上山速度是 1000/（ 4/3-1） =4000（米），下山速度是 4000*1.5=6000（米），上山路程是 4000-400=3600（米），出發(fā) 1 小時后，甲還有下山路 3600-600=3000（米），要走 6000/3000=0.5（小時） 一共要走 1+0.5=1.5（小時） 答：甲回到出發(fā)點共用 1.5 小時。 6.男、女兩名運動員在長 110米的斜坡上練習跑步（坡頂為 A，坡底為 B）。兩人同時從 A 點出發(fā)，在 A，B 之間不停地往返奔跑。已知男運動員 上坡速度是每秒 3米，下坡速度是每秒 5米，女運動員上坡速度是每秒 2 米，下坡速度是每秒 3 米。那么兩人第二次迎面相遇的地點離 A 點多少米？ 解：男下到 B 點時，女離 A 點 3/5 第一次迎面相遇時，兩人離 A 點 1-2/5*1/2=4/5 女下到 B 點時，男離 A 點 4/5-1/5=3/5 男回到 A 點時，女離 A 點 3/5 第二次迎面相遇時，兩人離 A 點 3/5*5/7=3/7 3/7*110=47（ 1/7）（米） 答：兩人第二次迎面相遇的地點離 A 點 47（ 1/7）米。 7.某人沿電車線路行走，每 12 分鐘有一輛電車從后面追上，每 4分鐘有一 輛電車迎面開來。假設兩個起點站的發(fā)車間隔是相同的，求這個發(fā)車間隔。 解：發(fā)車距離是 1， 12 分鐘追上行人，車和人速度差是 1/12 車 4 分鐘與行人迎面相遇，車和人速度和是 1/4 車的速度是（ 1/12+1/4） /2=1/6 發(fā)車間隔時間 =1/（ 1/6） =6（分） 答：這個發(fā)車間隔是 6 分鐘。 8.A， B 兩地相距 105千米，甲、乙兩人分別騎車從 A， B兩地同時出發(fā)，甲速度為每小時 40 千米，出發(fā)后 1 小時 45 分鐘相遇，然后甲、乙兩人繼續(xù)沿各自方向往前騎。在他們相遇 3 分鐘后，甲與迎面騎車而來的丙相遇，而丙在 C 地追上乙。若甲 以每小時 20 千米的速度，乙以每小時比原速快 2 千米的車速，兩人同時分別從 A， B 出發(fā)相向而行，則甲、乙二人在 C 點相遇，問丙的車速是多少？ 解：乙原來車速是每小時 105/1（ 45/60） -40=20（千米） 乙加速后與甲在 C 相遇， CA 距離是 20*105/（ 20+22） =50（千米） 乙原來速度到 C 點時間是（ 105-50） /20=11/4（小時） 甲、乙原來相遇地點與 C 點的距離是 40*1（ 48/60） -50=22（千米） 丙走這 22 千米用的時間是 11/4-1（ 48/60） =19/20（小時） 丙車速是每小時 22/（ 19/20） =23（ 3/19）（千米） 答：丙的車速是每小時 23（ 3/19）千米。 9.從甲市到乙市有一條公路，它分成三段。在第一段上，汽車速度是每小時 40千米；在第二段上，汽車速度是每小時 90千米；在第三段上，汽車速度是每小時 50千米。已知第一段公路的長恰好是第三段的 2倍，現(xiàn)有兩輛汽車分別從甲、乙兩市同時出發(fā)，相向而行， 1小時 20分后，在第二段從甲到乙方向的 1/3處相遇。那么，甲、乙兩市相距多少千米？ 解：從乙市出發(fā)車走完第三段時，從甲市出發(fā)車走完第一段的 1/2*40/50=2/5 路程，第一段還 剩 3/5。 兩車在第二段距離甲 1/3 地方相遇，說明甲走完第一段剩下的 3/5 路程，和乙走第二段 1/3 路程時間相同。 這段時間是 80/（ 2/3+1+1） =30（分鐘） 汽車走第一段時間是 30*（ 2/3+1） =50（分鐘） 汽車走第二段時間是 30*3=90（分鐘） 汽車走第三段時間是 30*（ 2/3） =20（分鐘） 甲、乙兩市相距 40*50/60+90*90/60+50*20/60=185（千米） 答：甲、乙兩市相距 185 千米。 10.甲、乙兩人在 400米圓形跑道上進行 10000米比賽。兩人從起點同時出發(fā)，開始時 甲的速度為每秒 8米，乙的速度為每秒 6米。當甲每次追上乙后，甲的速度減少 2米，乙的速度減少 0.5 米。這樣下去，直到甲發(fā)現(xiàn)乙第一次追上自己開始，兩人都把速度每秒增加 0.5 米，直到終點。那么領先者到達終點是，另一個人距終點多少米？ 解：甲第一次追上乙時跑的時間是 400/（ 8-6） =200（秒），甲跑 8*200=1600（米），乙跑 6*200=1200（米） 甲第二次追上乙時又跑的時間是 400/（ 6-5.5） =800（秒），甲又跑 6*800=4800（米），乙又跑 5.5*800=4400（米） 乙追上甲跑的時間是 400/（ 5-4） =400（秒），甲又跑 4*400=1600（米），乙又跑 5*400=2000（米） 甲還剩 10000-（ 1600+4800+1600） =2000（米），乙還剩 10000-（ 1200+4400+2000） =2400（米） 甲到終點還要跑 2000/4.5=444（ 4/9）（秒），乙還要跑 2400/5.5=436（ 4/11）（秒） 乙比甲先到 444（ 4/9） -436（ 4/11） =8（ 8/99）（秒） 乙到終點時甲距終點還有 4.5*8（ 8/99） =36（ 4/11）（米） 答：領先者到達終點是，另一個 人距終點 36（ 4/11）米。 11龜兔賽跑，全程 5.2千米，兔子每小時跑 20千米，烏龜每小時跑 3千米。烏龜不停地跑；但兔子卻邊跑邊玩它先跑了 1分鐘然后玩 15分鐘，又跑了 2分鐘然后玩 15分鐘，再跑了 3 分鐘然后玩 15分鐘，那么先到達終點的比后到達終點的快多少分鐘？ 解：兔子應跑的時間是 5.2/20*60=15.6（分）， 1+2+3+4+5=15，兔子中間休息了 5 次，跑到終點實際用了15.6+15*5=90.6（分） 烏龜跑到終點用的時間是 5.2/3*60=104（分） 兔子先到 104-90.6=13.4（分） 答：先到達終點的比后到達終點的快 13.4 分鐘。 12 A， B 兩地相距 125 千米，甲、乙二人騎自行車分別從 A， B 兩地同時出發(fā)，相向而行。丙騎摩托車以每小時 63 千米的速度，與甲同時從 A 出發(fā)，在甲、乙二人間來回穿梭（胍蟻嚶雋捶禱兀?千米，且當丙第二次回到甲處時（甲、丙同時出發(fā)的那一次為丙第零次回到甲處），甲、乙二人相距 45 千米。問：當甲、乙二人相距 20 千米時，甲與丙相距多少千米？ 此主題相關圖片如下： 解：設甲丙第一次相遇時甲走了 X，那么丙走了 63/9=7X， 7X 分為 2 段：甲走過的 X，丙又向前走再回到X 處共（ 7-1） =6X，所以丙比甲向前走了 6X/2=3X 的距離，在 4X 處與乙第一 次相遇。 設乙速度是甲速度的 V 倍，那么甲丙第一次相遇時乙走了 VX， VX 分為 2 段：丙走 4X 時與乙第一次相遇，乙走 4/7VX；丙返回與甲第一次相遇，乙又走了 3/7VX。 乙丙第一次相遇共走全程 S（就是 AB 的距離）， 4X+4/7*VX=S，得 X=7/（ 28+4V） S 假設甲丙第一次相遇時，甲乙的距離是 M， 3X-3/7VX=M， 得 3*7/（ 28+4V） S-3/7V*7/（ 28+4V） S=M 所以 M=（ 21-3V） /（ 28+4V） S，說明甲丙第一次相遇時，甲乙的距離是他們原來距離 S 的（ 21-3V） /（ 28+4V）倍 甲丙從距離 A 點 X 處繼續(xù)向 B 走，乙從距離 B 點 VX 處繼續(xù)向 A 走，也就是甲乙相距 M，過程和上面類似，甲丙第二次相遇時，甲乙的距離 N=（ 21-3V） /（ 28+4V） M=（ 21-3V） /（ 28+4V） *（ 21-3V） /（ 28+4V）S 題中給出 N=45， S=125，所以 45=（ 21-3V） /（ 28+4V） *（ 21-3V） /（ 28+4V） *125 得 9/25=（ 21-3V） /（ 28+4V） *（ 21-3V） /（ 28+4V） （ 21-3V） /（ 28+4V） =3/5，解得 V=7/9 所以乙的速度是 V*9=7 甲丙第三次相遇 時甲乙距離是 45*3/5=27，從這時到甲乙距離是 20 千米，還要走（ 27-20） /（ 9+7） =7/16小時 從甲丙第三次相遇到乙丙再次相遇需要時間 =27/（ 63+7） =27/70 小時 20 千米，丙還得往回走一點，需要時間是（ 729/35-20） /（ 9+7）小時 所以，當甲乙距離是 20 千米時，甲丙的距離是甲丙第三次相遇時甲乙的距離減去這段時間里甲丙又走的距離： 729/35-（ 729/35-20） /（ 9+7） *（ 9+63） =171/10=17.1（千米） 答：甲與丙相距 17.1 千米。 13一輛小汽車與一輛大卡車在一段 9千米長的狹路上相遇，必須倒車，才能繼續(xù)通行。已知小汽車的速度是大卡車速度的 3 倍，兩車倒車的速度是各自速度的 1/5，小汽車需倒車的路程是大卡車需倒車的路程的 4 倍。如果小汽車的速度是每小時 50 千米，那么要通過這段狹路最少用多少小時？ 解：小汽車倒車通過狹路時間（ 9*4/5） /（ 50/5） +9/50=9/10（小時） 大卡車倒車通過狹路時間（ 9*1/5） /（ 50*1/3*1/5） +9/（ 50/3） =54/50（小時） 9/1054/50 答：要通過這段狹路最少用 9/10 小時。 14在一個沙漠地帶，汽車每天行駛 200 千米，每輛汽車載運可行駛 24 天的汽油?，F(xiàn)有甲、乙兩輛汽車同時從某地出發(fā)，并在完成任務后，沿原路返回。為了讓甲車盡可能開出更遠的距離，乙車在行駛一段路程后，僅留下自己返回出發(fā)地的汽油，將其他的油給甲車。求甲車所能開行的最遠距離。 解：甲在乙折返點最多裝滿 24 天的油，乙的油相當于用于自己往返和甲到折返點，所以折返點距起點的路程是 24/（ 2+1） =8（天）。 甲在乙折返點裝滿 24 天的油，繼續(xù)前進還可以走（ 24-8） /2=8（天），甲最多行 8+8=16（天）的路程，距離是 200*16=3200（千米） 答：甲車所能開行的最遠距離是 3200 千米。 15甲、乙兩班學生到離校 24 千米的飛機場參觀，但只有一輛汽車，一次只能乘坐一個班的學生。為了盡快到達飛機場，兩個班商定，由甲班先坐車，乙班步行，同時出發(fā)，甲班學生在途中某地下車后步行去飛機場，汽車則從某地立即返回接在途中步行的乙班學生。如果甲、乙兩班學生步行速度相同，汽車速度是他們步行速度的 7倍，那么汽車應在距飛機場多少千米處返回接乙班學生，才能使兩班同時到達飛機場？ 解：甲班坐車路程 +AB=7*乙步， AB=（ 7-1） /2=3 倍乙步， AB=3 倍甲步 24/（ 3+1+1） =4.8（千米） 答：汽車應在距飛機場 4.8 千米處返回接乙班學生，才能使兩班同時到達飛機場。 討論區(qū)： 此主題相關圖片如下： 5-12-07.某人沿電車線路行走，每 12分鐘有一輛電車從后面追上，每 4分鐘有一輛電車迎面開來。假設兩個起點站的發(fā)車間隔是相同的，求這個發(fā)車間隔。 另一解法： 相同間隔，速度和行 4分鐘，速度差行 12 分鐘， 12/4=3 倍，即從后面超過所行的路是迎面相遇所行路成的 3 倍，而從后面超過所行的路又是一個整間隔加上行人 12 分鐘所走的路，因此，電車 12-4=8 分鐘的行程等于行人 12+4=16 分鐘所走的路，即電車速度是行人速度的 16/8=2 倍； 所以，電車間隔 =4/2/（ 2+1） =6 分鐘。 以下是引用 abc 在 2004-10-7 13:54:23 的發(fā)言： 5-12-08.A， B 兩地相距 105千米，甲、乙兩人分別騎車從 A， B兩地同時出發(fā)，甲速度為每小時 40千米，出發(fā)后 1 小時 45 分鐘相遇，然后甲、乙兩人繼續(xù)沿各自方向往前騎。在他們 相遇 3 分鐘后，甲與迎面騎車而來的丙相遇，而丙在 C 地追上乙。若甲以每小時 20千米的速度，乙以每小時比原速快 2千米的車速，兩人同時分別從 A， B 出發(fā)相向而行，則甲、乙二人在 C 點相遇，問丙的車速是多少？ 解：乙原來車速是每小時 105/1（ 45/60） -40=20（千米） 乙加速后與甲在 C 相遇， CA 距離是 20*105/（ 20+22） =50（千米） 乙原來速度到 C 點時間是（ 105-50） /20=11/4（小時） 甲、乙原來相遇地點與 C 點的距離是 40*1（ 48/60） -50=22（千米） 丙走這 22 千米用的時間是 11/4-1（ 48/60） =19/20（小時） 丙車速是每小時 22/（ 19/20） =23（ 3/19）（千米） 答：丙的車速是每小時 23（ 3/19）千米。 補充一個圖形： 此主題相關圖片如下： 以下是引用 abc 在 2004-10-7 13:58:34 的發(fā)言： 5-12-13一輛小汽車與一輛大卡車在一段 9千米長的狹路上相遇，必須倒車，才能繼續(xù)通行。已知小汽車的速度是大卡車速度的 3 倍，兩車倒車的速度是各自速度的 1/5，小汽車需倒車的路程是大卡車需倒車的路程的 4 倍。如果小汽車的速度是每小時 50 千米，那么要通過這段狹路最少用多少小時？ 解：小汽車倒車通過狹路時間（ 9*4/5） /（ 50/5） +9/50=9/10（小時） 大卡車倒車通過狹路時 間（ 9*1/5） /（ 50*1/3*1/5） +9/（ 50/3） =54/50（小時） 9/108*100，兩團總人數(shù) 100，總人數(shù) =864/8=108（人）； 108*10=10801142，所以 1 個團人數(shù)大于 50， 1 個團人數(shù)小于 50。 若每個團都多與 50 人，分別買票花錢 108*10=1080，實際多 1142-1080=62（元），是小于 50 團多花的，小團人數(shù)是 62/（ 12-10） =31（人），大團人數(shù)是 108-31=77（人） 答：兩個旅游團分別是 31 人和 77 人。 少 14 題 15.某游客在 10 時 15 分由碼頭劃出一條小船，他欲在不遲于 13 時回到碼頭。河水的流速為每小時 1.4 千米，小船在靜水中的速度為每小時 3千米，他每劃 30分鐘就休息 15分鐘，中余不改變方向，并在某次休息后往回劃。那么他最多能劃離碼頭多遠？ 解：劃 30 分鐘休 15 分鐘共 45 分鐘， 13 點 -10 點 15 分 =165 分鐘 =30*4+15*3 分鐘，可劃 4 次休 3 次 順流 1 次 30 分鐘劃（ 3+1.4） 30/60=2.2 千米，逆流 1 次 30 分鐘劃（ 3-1.4） 30/60=0.8 千米，休息 1 次 15分鐘船漂走 1.4*15/60=0.35 千米。 假如先順流， 45 分鐘后在離碼頭 2.2+0.35=2.55 千米處，往回，可行 0.8*3-0.35*2=1.7 千米， 13 點回不來，所以他應該先逆流劃。 逆流劃 3 輪可以離碼頭最遠，距離是 0.8*3-0.35*2=1.7 千米，剩下的時間連漂帶劃可以行 2.2*1+0.35*1=2.55 千米，大于 1.7 千米， 13 點前可以回到碼頭。 答：他最遠能劃離碼頭 1.7 千米。 第 16 講 幾何問題第 07 講 直線 形面積（ 62） 1、圖 16-1中三角形 ABC 的面積是 180平方厘米， D是 BC的中點， AD 的長是 AE 長的 3倍， EF 的長是 BF長的 3 倍。那么三角形 AEF 的面積是多少平方厘米？ 此主題相關圖片如下： 解：三角形 ABD 和 ACD 等底同高面積相等， S ABD=1/2S ABC 三角形 ABE 是 ABD 底長的 1/3，高相同， S ABE=1/3 S ABD=1/6 S ABC 三角形 AEF 是 ABE 底長的 3/4，高相同， S AEF=3/4 S ABE=3/24 S ABC=3/24*180=22.5（平方厘米） 答：三角形 AEF 的面積是 22.5 平方厘米。 2、如圖 16-2，把四邊形 ABCD 的各邊都延長 2倍，得到一個新四 邊形 EFGH。如果 ABCD 的面積是 5平方厘米，則 EFGH 的面積是多少平方厘米？ 此主題相關圖片如下： 解：連接 AF， AC。 AE=2AB，所以三角形 AEF 面積 =2*三角形 ABF 面積， BF=2*BC，所以三角形 ABF面積 =2*三角形 ABC 面積，這樣三角形 BEF 面積 =6*三角形 ABC 面積 同樣道理，三角形 DGH 面積 =6*三角形 ACD 面積 所以三角形 BEF 面積 +三角形 DGH 面積 =6*四邊形 ABCD 面積 同樣道理，三角形 AEH 面積 +三角形 CFG 面積 =6*四邊形 ABCD 面積 所以， EFGH 面積 =（ 6+6+1） ABCD 面積 =13*5=65（平方厘米） 答： EFGH 的面積是 65 平方厘米。 3、圖 16-3中的四邊形土地的總面積是 52公頃 ，兩條對角線把它分成了 4個小三角形，其中 2個小三角形的面積分別是 6 公頃和 7 公頃。那么最大的一個三角形的面積是多少公頃？ 此主題相關圖片如下： 解：因為三角形 ADO 與三角形 CDO 高相同，所以 AO/OC=ADO 面積 /CDO 面積 =6/7。 又因為三角形 ABO 與三角形 BCO 高相同，所以 ABO 面積 /BCO 面積 =AO/OC=6/7。最大的三角形是 BCO。三角形 ABC 面積 =四邊形 ABCD 面積 -三角形 ADO 面積 -三角形 CDO 面積 =52-6-7=39，其中 ABO 占 6/13，BCO 占 7/13，所以三角形 BCO 面積 =39*7/13=21（公頃） 答：最大的一個三角形的面積是 21 公頃。 4、如圖 16-4，已知 AE=1/5AC， CD=1/4BC， BF=1/6AB，那么三角形 DEF 的面積 /三角形 ABC 的面積等于多少？ 此主題相關圖片如下： 解：連 AD，因為 CD=1/4AC，三角形 ACD 面積 /三角形 ABC 面積 =1/4，因為 AE=1/5AC，三角形 CDE 面積 /三角形 ACD 面積 =4/5，所以三角形 CDE 面積 =1/5*三角形 ABC 面積 連 BE，三角形 ABE 面積 /三角形 ABC 面積 =1/5，三角形 AEF 面積 /三角形 ABE 面積 =5/6，三角形 AEF 面積 =1/6*三角形 ABC 面積 連 CF，三角形 BCF 面積 /三角形 ABC 面積 =1/6，三角形 BDF 面積 /三角形 BCF 面積 =3/4，三角形 BDF 面積 =1/8*三角形 ABC 面積 所以三角形 DEF 面積 /三角形 ABC 面積 =（ 1-1/5-1/6-1/8） /1=61/120 答：角形 DEF的面積 /三角形 ABC 的面積等于 61/120。 5、如圖 16-5，長方形 ABCD 的面積是 2 平方厘米， EC=2DE， F是 DG的中點。陰影部分的面積是多少平方厘米？ 此主題相關圖片如下： 解：連接 FC。三角形 BCD 面積 =1/2*長方形 ABCD 面積 =1/2*2=1 EC=2DE，三角形 BDE 面積 =1/3*BCD=1/3*1=1/3，三角形 BCE 面積 =2/3 F 是中點， BFG=BDF， CFG=CDF，三角形 BCF 面積 =四邊形 BFCD 面積 =1/2*BCD=1/2*1=1/2 三角形 CEF 面積 =BFCD-BDE=1/2-1/3=1/6， DEF=1/2*CEF=1/2*1/6=1/12 三角形 BFG 面積 =三角形 BDE 面積 -三角形 DEF 面積 =1/3-1/12=1/4 跤安糠置婊 ?三角形 BCD 面積 -三角形 BDE 面積 -三角形 BFG 面積 =1-1/3-1/4=5/12（平方厘米） 答：陰影部分面積是 5/12 平方厘米。 6、如圖 16-6，已知 D 是 BC 中點， E是 CD 的中點， F 是 AC 的中點。三角形 ABC 由 這 6部分組成，其中比多 6 平方厘米。那么三角形 ABC 的面積是多少平方厘米？ 此主題相關圖片如下： 解：設三角形 ABC 面積是 S，因為 D 是 BC 的中點，所以 =1/2S 又因為 F 是 AC 的中點，所以 + = =1/2 =1/4S 又因為 E 是 DC 的中點，所以 = + = + =1/2*1/4S=1/8S （ +） -（ + ） = - =1/4S-1/8S=1/8S 比多 6 平方厘米，所以 1/8S=6， S=6*8=48（平方厘米） 答：三角形 ABC 的面積是 48平方厘米。 7、圖 16-7是一個各條邊分別為 5厘米、 12厘米、 13厘米的直角三角形。如圖 16-8，將它的短直角邊對折到斜邊上去與斜邊相重合，那么圖 16-8 中的陰影部分（即未被蓋住的部分）的面積是多少平方厘米？ 此主題相關圖片如下： 解：給三角形各個點標上字母，如圖。三角形 ABC 的面積 =1/2*12*5=30（平方厘米） 三角形 BCD 與三角形 ECD 相同， CE=CB=5，所以 AE=AC-EC=13-5=8 三角形 DEA 與三角形 DEC 等高，所以三角形面積的比是 DEA/DEC=8/5 三 角形 DEA 的面積 =三角形 ABC 面積 *8/（ 8+5+5） =30*4/9=40/3=13（ 1/3）（平方厘米） 答：圖 16-8中的陰影部分（即未被蓋住的部分）的面積是 13（ 1/3）平方厘米。 8、如圖 16-9，在一個梯形內(nèi)有兩個三角形的面積分別為 10與 12，已知梯形的上底長是下底長的 2/3。那么余下陰影部分的面積是多少？ 此主題相關圖片如下： 解：設梯形的上底為 2X，則下底為 3X，高為 2*10/2X+2*12/3X=18/X，面積是（ 2X+3X） *18/X/2=45，陰影部分面積是 45-10-12=23 答：陰影部分的面積是 23。 9、圖 16-10中 ABCD 是梯形，三角形 ADE面積是 1.8，三角形 ABF 的面積是 9，三角形 BCF 的 面積是 27。那么陰影部分面積是多少？ 此主題相關圖片如下： 解：三角形 BAF 與 BCF 等高，所以 AF/FC=9/27=1/3 三角形 EAF 與 ECF 等高，所以面積比 EAF/ECF=AF/FC=1/3 三角形面積比： DEA/DEC=（ DFA-EFA） /（ DFC-EFC） =（ DFA-EFA） /（ 3*DFA-3*EFC） =1/3 又因為三角形 ADE 面積是 1.8，所以三角形 DEC 面積是 3*1.8=5.4 ABCD 是梯形，三角形 ABC 與 DBC 同底等高，所以三角形 ABC 面積 =三角形 DBC 面積 三角形 DFC=DBC-FBC=ABC-FBC=（ ABF+FBC） -FBC=ABF=9 三角形 EFC 面積 =DBC-DEC=9-5.4=3.6， EAF=1/3EFC=1/3*3.6=1.2 陰影部分面積 =EFA+EFC=1.2+3.6=4.8 答：陰影部分面積是 4.8。 10、如圖 16-11，梯形 ABCD 的上底 AD 長為 3 厘米，下底 BC 長為 9厘米，而三角形 ABO 的面積為 12平方厘米。則梯形 ABCD 的面積為多少平方厘米？ 此主題相關圖片如下： 解：過 O 點作梯形的高 EF，則 EO 是三角形 ADO 的高， OF 是三角形 BCO 的高。 三角形 ABD 面積 -三角形 ADO 面積 =12，所以 1/2*AD*EF-1/2*AD*EO=12 得： 1/2*AD*（ EF-EO） =12， EF-EO=12*2/AD=12*2/3=8，即： OF=8 三角形 ABC 面積 -三角形 BCO 面積 =12，所以 1/2*BC*EF-1/2*BC*OF=12 得： 1/2*BC*（ EF-OF） =12， EF-OF=12*2/BC=12*2/9=8/3，即： EO=8/3 EF=EO+OF=3/8+8=32/3 梯形 ABCD 的面積 =（ 3+9） *32/3/2=64（平方厘米） 答：梯形 ABCD 的面積為 64 平方厘米。 11、如圖 16-12， BD， CF 將長方形 ABCD 分成 4塊，紅色三角形面積是 4平方厘米，黃色三角形面積是6 平方厘米。問：綠色四邊形面積是多少平方厘米？ 此主題相關圖片如下： 解：連 BF，三角形 BDF 面積 =三角形 CDF 面積，則 BEF=CDE=6 CDE/BCE=BE/DE=BEF/DEF=6/4，所以 BCE=6*CDE/4=6*6/4=9 BCD=BCE+CDE=9+6=15， ABD=BCD=15 ABEF=ABD-DEF=15-4=11 答：四邊形 ABEF 面積是 11 平方厘米。 12、如圖 16-13，平行四邊形 ABCD 周長為 75厘米，以 BC 為底時高是 14厘米；以 CD為底時高是 16厘米。求平行四邊形 ABCD 的面積。 此主題相關圖片如下： 解： BC*14=CD*16， BC/CD=16/14， BC+CD=75/2， BC=75/2*16/（ 16+14） =20 ABCD 面積 =14*20=280（平方厘米） 答：平行四邊行 ABCD 的面積是 280 平方厘米。 13、如圖 16-14，一個正方形被分成 4個小長方形，它們的面積分別是 1/10 平方米、 1/5平方米、 3/10平方米和 2/5 平方米。已知圖中的陰影部分是正方形，那么它的面積是多少平方米？ 此主題相關圖片如下： 解：大正方形面積是 1/10+1/5+3/10+2/5=1 小正方形面積：左下 /右下 =1/2，面積是 1/5 的小正方形的長是 1*2/（ 1+2） =2/3 左上 /右上 =3/4，面積是 3/10 的小正方形的寬是 1*3/（ 3+4） =3/7 陰影小正方形的邊長是 2/3-3/7=5/21，面積是 5/21*5/21=25/441 答：圖中陰影部分小正方形的面積是 25/441 平方米。 14、圖 16-15 中外側的四邊形是一邊長為 10 厘米的正方形，求陰影部分的面積。 此主題相關圖片如下： 解：從四邊形的 4 個頂點向?qū)χ恼叫蔚倪叜嫶咕€，可以看出，陰影部分的面積比正方形陰影以外的面積多出一個小正方形，面積是 2*3=6，所以 陰影部分面積 =（ 100+6） /2=53（平方厘米） 答：陰影 部分的面積是 53 平方厘米。 15、如圖 16-16，長方形被其內(nèi)的一些直線劃分成了若干塊，已知邊上有 3 塊面積分別是 13， 35， 49。那么圖中陰影部分的面積是多少？ 此主題相關圖片如下： 解：給各個點標上字母，如圖。三角形 EBC 面積 =三角形 FCD 面積 EBC=1/2ABCD=ABE+EDC=（ 49+13+FGI） +（ 35+HDC） =97+FGI+HDC 陰影部分 GCHI 面積 =EBC-（ EIH+GBC） =EBC-（ FGI+HCD） =（ 97+FGI+HDC） -（ FGI+HCD） =97 答：圖中陰影部分的面積是 97。 第 17 講 幾何問題第 08 講 圓與扇形（ 67） 1、如圖 17-1，有 8 個半徑為 1 厘米的小圓，用它們的圓周的一部分連成一個花瓣圖形，圖中的黑點是這些圓的圓心。如果圓周率取 3.1416，那么花瓣圖形的面積是多少平方厘米？ 此主題相關圖片如下： 解： 4 個角上圓心組成正方形，邊長是 4，每一個角上的花瓣面積為 3/4 圓，正方形中每一個凹去部分 1/2圓，即共多 4*（ 3/4-1/2） =1 個圓的面積。 大花瓣面積 =4*4+3.1416*1*1=19.1416（平方厘米） 答：花瓣圖形的面積是 19.1416 平方厘米。 2、如圖 17-2，一套絞盤和一組滑輪形成一個提升機構，其中盤 A直徑為 10 厘米，盤 B直徑為 40厘米，盤 C 直徑為 20 厘米。問： A順時針方向轉動一周時，重物上升多少厘米？（取 3.14） 此主題相關圖片如下 ： 解： A 盤順時針轉 1 圈， B 盤和 C 盤同時轉 1/2 圈， B 盤轉 1/2 圈拉重物上來的距離等于 B 盤（ 1/2） /2=1/4 圈，所以重物上升 1/4*40*3.14=31.4（厘米） 答：重物上升 31.4 厘米。 3、圖 17-3為一卷緊繞成的牛皮紙，紙卷直徑為 20 厘米，中間有一直徑為 6厘米的卷軸。已知紙的厚度為 0.4毫米，問：這卷紙展開后大約有多長？（取 3.14） 此主題相關圖片如下： 解：紙卷側邊面積 = *（ 10*10-3*3） =91*，展開后面積不變，長 *0.04=91* 所以，當取 3.14 時，長 =91* /0.04=7143.5（厘米） 答：這卷紙展開后大約有 7143.5 厘米長。 4、如圖 17-4，大小兩圓的相交部分（即陰影區(qū)域）的面積是大圓面積的 4/15，是小圓面積的 3/5。如果量得小圓的半徑是 5 厘米，那么大圓半徑是多少厘米？ 此主題相關圖片如下： 解：大圓面積：小圓面積 =（ 3/5）：（ 4/15） =9： 4=3*3： 2*2， 大圓半徑：小元半徑 =3： 2， 所以，大圓半徑為 5*3/2=7.5（厘米） 答：大圓半徑是 7.5 厘米。 5、如圖 17-5，在 18 8的方格紙上，畫有 1， 9， 9， 8四個數(shù)字。那么，圖中的陰影面積占整個方格紙面積的幾分這幾？ 此主題相關圖片如下： 解： 1 占 8 格， 9 占 21 格， 8 占 24 格，陰影面積占方格總面積的（ 8+2*21+24） /（ 18*8） =74/144=37/72 答：陰影面積占整個方格紙面積的 37/72。 6、如圖 17-6，用一塊面積為 36 平方厘米的圓形鋁板下料，從中裁出了 7個同樣大小的圓鋁板。問：所余下的邊角料的總面積是多少平方厘米？ 此主題相關圖片如下： 解：大圓直徑是小圓的 3 倍，半徑也是 3 倍，小圓面積 /大圓面積 = r2/ R2=（ 1/3） 2=1/9 小圓面積 =36*1/9=4， 7 個小圓總面積 =4*7=28，邊角料面積 =36-28=8（平方厘米） 答：所余下的邊角料的總面積是 8平方厘米。 7、如圖 17-7，已知大正方形的面積是 22 平方厘米，那么小正方形的面積是多少平方厘米？ 此主題相關圖片如下： 解：設圓的半徑是 r，則圓的直徑和大正 方形的邊長都是 2r 小正方形的面積 =1/2*2r*r+1/2*2r*r=2r*r，大正方形的面積 =2r*2=4r*r 所以小正方形的面積 =1/2*大正方形的面積 =1/2*22=11（平方厘米） 答：小正方形的面積是 11 平方厘米。 8、如圖 17-8是一個直徑是 3 厘米的半圓， AB 是直徑，讓 A 點不動，把整個半圓逆時針轉 60，此時 B點移動到點，如圖 17-9所示。那么圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？ 此主題相關圖片如下： 解：陰影部分面積 =整個圖形面積 -半圓面積 =60大扇形面積 =1/6 大圓面積 =1/6* *32=1/6*2.14*9=4.71（平方厘米） 答：圖中陰影部分的積是 4.71 平方厘米。 9、如圖 17-10，四分之一大圓 的半徑為 7，求陰影部分的面積，其中圓周率取近似值 22/7。 此主題相關圖片如下： 解：兩個小圓直徑都是大圓半徑，陰影里的交點是兩個小 半圓周中點。連接大圓心和陰影中的交點，把兩小圓重合部分陰影面積平分成兩半，連接四分之一大圓周上的兩點，連線與兩個小圓邊上形成的兩個小面積就等于被平分的那塊陰影面積。所以陰影部分的總面積就是四分之一大圓面積減去大圓里等腰直角三角形的面積。 1/4*22/7*72-1/2*7*7=14（平方厘米） 答：圖中陰影部分的面積是 14 平方厘米。 此主題相關圖片如下： 10、如圖 17-11，等腰直角三角形的一腰的長是 8 厘米，以它的兩腰為直徑分別畫了兩個半圓，那么陰影部分的面積共有多少平方厘米？（取 3.14） 此主題相關圖片如下： 解：陰影部分面積 =圓面積 *2-正方形面積 =3.14*42-1/2*82=18.24（平方厘米） 答：陰影部分的面積共有 18.24 平方厘米。 此主題相關圖片如下： 11、圖 17-12中的 4 個圓的圓心是正方形的 4 個頂點，它們的公共點是該正方形的中心。如果每個圓的半徑都是 1 厘米，那么陰影部分的總面積是多少平方厘米？ 此主題相關圖片如下： 解：把小正方形的中心點與每兩個圓的交點相連，得到 1 個“十字”，再以 4 個交點為中點向 4 個圓周連線，得到 1 個大正方形，這個大正方形被“十字”平分成 4 個小正方形 ，它們與原來的正方形大小都相同?？傻藐幱安糠挚偯娣e等于大正方形的面積。 大正方形的面積 =1/2*大正方形對角線 *大正方形對角線 =1/2*4*圓半徑 *4*圓半徑 =1/2*4*4=8（平方厘米） 答：陰影部分的總面積是 8 平方厘米。 12、如圖 17-13，以 AB 為直徑做半圓，三角形 ABC 是直角三角形，陰影部分比陰影部分的面積小 28 平方厘米， AB 長 40 厘米。求 BC 的長度。（取 3.14） 此主題相關圖片如下： 解：陰影部分比陰影部分的面積小 28 平方厘米，即半圓面積比三角形 ABC 的面積小 28 平方厘米，半圓面積 =1/2 *202=628 平方厘米， 三角形 ABC 的面積 =半圓面積 +8=628+28=656 平方厘米， 所以， BC=2*656/40=32.8（厘米） 答： BC 的長度是 32.8 厘米。 13、圖 17-14由一個長方形與兩個 90角的扇形構成，其中陰影部分的面積是多少平方厘米？（取 3.14） 此主題相關圖片如下： 解：陰影部分面積 =1/4 大圓面積 -（長方形面積 -1/4 小圓面積） =1/4* *52-（ 5*2-1/4* *22） =25/4* -（ 10-） =29/4* -10=12.765（平方厘米） 答：陰影部分的面積是 12.765 平方厘米。 14、求圖 17-15 中四條豎直線與水平線之間添加標示垂直的符號陰影部分的面積（取 3.14） 此主題相關圖片如下： 解：把圖的右半部分旋轉到左半部分的下方，形成半圓 陰影面積 =半圓面積 -小正方形面積 =1/2*3.14*102-10*10/2=107（平方厘米） 答：陰影部分的面積是 107 平方厘米。 此主題相關圖片如下： 15、平面上有 7個大小相同的圓，位置如圖 17-16所示。如果每個圓的面積都是 10，那么陰影部分的面積是多少？ 此主題相關圖片如下： 解：陰影面積是一個圓面積加上 6 塊葉子形的面積， 6 塊葉子形的面積正好等于 1 個圓的面積，所以陰影總面積是 2 個圓的面積，即 2*10=20。 答：陰影部分面積是 20。 第 18 講 數(shù)列與數(shù)表問題第 04 講 數(shù)列與數(shù)表綜合（ 72） 1 有 7根竹竿排成一行。第一根竹竿長 1米，其余每根長都是前一根的一半。問：這 7根竹竿的總長 是幾米？ 1+1/2+1/4+1/8+ +1/64=2-1/64= 63164 2甲，乙兩廠生產(chǎn)同一種玩具，甲廠生產(chǎn)的玩具數(shù)量每個月保持不變，乙廠生產(chǎn)的玩具數(shù)量每個月增加一倍。已知一月份甲，乙兩廠生產(chǎn)玩具的總數(shù)是 98 件，二月份甲、 乙兩廠生產(chǎn)玩具的總數(shù)是 106 件，那么乙廠生產(chǎn)的玩具數(shù)量第一次超過甲廠生產(chǎn)的玩具數(shù)量在幾月份？ 乙一月份做了 106-98=8 件，甲每一個月都做 98-8=90 件。 當在五月份的時候， 8*2*2*2*290 3在兩位數(shù) 10， 11， 98， 99中，把每個被 7除余 2的數(shù)，如 16， 23等，改成 1.6， 2.3而其余的數(shù)不變。問：經(jīng)過這樣的改變之后，所有數(shù)的和是多少？ 10+11+12+ +99-（ 16+23+ +93） *9/10=4316.4 4在 100 以內(nèi)于 77 互質(zhì)的所有奇數(shù)之和是多少？ 1+3+5+7+ +99=2500 77=7*11 7+21+ +91=343 11+33+55+77+99=275 2500-343-275+77=1959 5華羅庚金杯少年數(shù)學邀請賽，第一屆在 1986年舉行，第二屆在 1988 年舉行，第三屆在 1991年舉行，以后每二年舉行一屆。第一屆華杯賽所在年份的各位數(shù)字和是 A1=1+9+8+6=24 前二屆所在年份的各位數(shù)字和是 A2=1+9+8+6+1+9+8+8=50。問：前 50 屆華杯賽所在年份的各位數(shù)字和A50 等于多少？ 解：從第三屆開始，將 每五個年份分為一組，共分成 9 組，最后還剩下 3 個年份。在每組中，年份的數(shù)字和剛好組成等差數(shù)列。每一組的所有數(shù)字和則正好是中間的那個年份數(shù)字和的五倍。那么中間的那個年份依次為 1995， 2005， 2015， 2025， 2035， 2045， 2055， 2065， 2075， 其數(shù)字和依次為 24， 7， 8， 9， 10， 11， 12， 13， 14，因此所有組的數(shù)字總和為 （ 24+7+ +14） *5=540 。最后剩下 3 個年份為 2081， 2083， 2085 他們的數(shù)字和為 11+13+15=39 再加上 A2=50,有 A50=A2+540+39=629 6黑板上寫有從 1開始的若干個連續(xù)的奇數(shù)： 1， 3， 5， 7， 9， 11， 13。檫去其中一個奇數(shù)以后，剩下的所有奇數(shù)之和為 1998。那么，檫去的奇數(shù)是多少？ 1+3+5+7+ +89=2025 2025-1998=27 7某車間原有工人不少于 63人，在 1月底前的某一天調(diào)進若干工人，以后，每天都增調(diào) 1人進車間工作?，F(xiàn)知該車間 1月份每人每天生產(chǎn)一件產(chǎn)品，共生產(chǎn) 1994件。試問： 1月幾日開始調(diào)進工人？共調(diào)進了多少工人？ 解：由于 65*311994，故車間原有人數(shù)不多于 64，不 少于 63。現(xiàn)分情況討論： 若車間原有工人 63 人，則調(diào)入工人共生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為 1994-63*31=41 件。調(diào)入工人每天生產(chǎn)的產(chǎn)品恰好構成一個公差為 1 的等差數(shù)列。由等差數(shù)列求和公式（ a1+an） *n/2=41 知，項數(shù)應該是 41*2 的約數(shù)，故應取 n=2，此時 a1=20， a2=21，即從 1 月 30 日開始調(diào)入工人，共調(diào)入 21 人。 若車間原有工人 64 人，則調(diào)入工人共生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為 1994-64*31=10 件。同樣由等差數(shù)列求和公式（ a1+an） *n/2=10，知 n 是 20 的約數(shù)。當 n=2 是， a1+a2=10， a2=a1+1，此時不是整數(shù)當 n=4 時， a1+a4=5， a4=a1+3，于是有 a1=1， a4=4， n 為其他值時無解。所以是從 1 月 28 日開始調(diào)入工人，一共調(diào)入了 4 名工人。 8 100 這個數(shù)能寫成多少個不同自然數(shù)之和？ 100=1+2+3+4+ +12+20 共 13 個 9 70 個數(shù)排成一行，除了兩頭的兩個以外，每個數(shù)的 3 倍都恰好等于它兩邊兩個數(shù)的和。這一行最左邊的幾個數(shù)是這樣的： 0， 1， 3， 8， 21，。問最右邊的一個數(shù)被 6 除余幾 找規(guī)律：它們的余數(shù)分別是 0， 1， 3， 2， 3， 1， 0， 5， 3， 4， 3， 5， 0， 1， 3 0， 1， 3， 2， 3， 1， 0， 5， 3， 4， 3， 5 這 12 個數(shù)為一個周期 70/12=5 10 余數(shù)是 4 10一串數(shù)排成一行，它們的規(guī)律是這樣的：頭兩個數(shù)都是 1，從第三個數(shù)開始，每一個數(shù)都是前兩個數(shù)的和，也就是： 1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55，。問：這串數(shù)的前 100 個數(shù)有多少個偶數(shù)？ 2 奇 1 偶， 100/3=33 1 最后一個是奇數(shù) 33*1=33 個 11有一串數(shù)如下： 1， 2， 4， 7， 11， 16，。它的規(guī)律是：由 1開始，加 1，加 2，加 3，依次 逐個產(chǎn)生這串數(shù)，直到第 50 個數(shù)為止。那么在這 50 個數(shù)中，被 3 除余 1 的數(shù)有多少個？ 找規(guī)律：余數(shù)依次是 1， 2， 1， 1， 2， 1， 1， 2， 1 ?/P1， 2， 1 一個循環(huán)， 50/3=16 2 16*2+1=33 個 12已知一串有規(guī)律的數(shù)： 1?/3， 5/8， 13/21， 34/55，那么，在這串數(shù)中，從左往右數(shù)，第 10個數(shù)是多少？ 規(guī)律是這樣的：先寫出 1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89， 144， 233， 377， 610， 987， 1597， 2584， 4181， 6765 此數(shù)為 4181/6765 13觀察下面的數(shù)表 1/1 2/1； 1/2 3/1； 2/2； 1/3 4/1； 3/2； 2/3； 1/4； 5/1； 4/2； 3/3； 2/4； 1/5。 根據(jù)前五行所表達的規(guī)律，說明： 1991/1949 這個數(shù)位于由上而下的第幾行？在這一行中，它位于由左向右的第幾個？ 解：計算每一行其中一個數(shù)分子與分母之和， 1+1=2 2+1=3 3+1=4 1991+1949=3940 位于 3940-1=3939 行。每一行中分母從為 1 開始，所以應該在 1949 列 。 14今要在一個圓周上標出一些數(shù)，第一次先把圓周二等份，在兩個分點旁分別標上 1/2 和1/3，如圖 18-1 所示。第二次把兩段半圓弧二等分，在分點旁標上相鄰兩分點旁所標兩數(shù)的和 5/6=1/2+1/3，如圖 18-2 所示。第三次把 4 段圓弧二等分，并在 4 個分點旁標上相鄰兩等分點旁所標兩數(shù)的和 1 又 1/3=1/2+5/6， 1 又 1/6=1/3+5/6，如圖 18-3 所示。如此繼續(xù)下去，當?shù)诎舜螛送陻?shù)以后，圓周上所有已標數(shù)的總和是多少？ 此主題相關圖片如下： 第一個和是 5/6 第二個是 3*5/6 第三個是 9*5/6 3（ n-1） *5/6 3(8-1)*5/6=1822 又 1/2 15設 1， 3， 9， 27， 81， 243 是 6 個 給定的數(shù)，從這 6 個數(shù)中每次或者取一個，或者取幾個不同的數(shù)求和（每個數(shù)只能取一次），可以得到一個新數(shù)，這樣共得到 63個新數(shù)，如果把它們從小到答依次排列起來是 1， 3， 4， 9， 10， 12，那么，其中的第 60 個數(shù)是多少？ 解：一共有 63 個，要算第 60 個，只能反推。最大的是 1+3+9+27+81+243=364，第 62 個是 364-1=363 第 61 個是 364-3=361 第 60 個是 364-（ 1+3） =360 第 19 講 數(shù)字謎問題第 11 講 數(shù)字謎綜合之二（ 77） 1、試將 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7 分別填入下面的方框中，每個數(shù)字只用一次： （這是一個三位數(shù)），（這是一個三位數(shù)），（這是一個一位數(shù)），使得這三個數(shù)中任意兩個都互質(zhì)。已知其中一個三位數(shù)已填好，它是 714，求其他兩個數(shù)。 解： 714=2 3 7 17， 2， 3， 5， 6 中只有 5 與 714 互質(zhì)，所以一位數(shù)是 5。 剩下的 2， 3， 6 組成另一個三位數(shù)，由于與 714 互質(zhì)，它不能是偶數(shù)，所以只能從 263 和 623 中選取。 623=7 89，不與 714 互質(zhì)， 263 則不能被 3， 7， 17 整除，三位數(shù)只能是 263。 答：三位數(shù)是 263，一位數(shù)是 5。 2、如圖 19-1， 4個小三角形的頂點處有 6個圓圈。如果在這些圓圈中分別填上 6個質(zhì)數(shù)，它們的和是 20，而且每個小三角形 3 個頂頭上的數(shù)之和相等。問這 6 個質(zhì)數(shù)的積是多少？ 解：設每個小三角形 3 頂點之和為 A， 4 個小三角形頂點和為 4A，外面 3 個數(shù)計算一次，中間 3 個數(shù)計算3 次，所以 4A=20+2A，得 A=10， A 是 3 個質(zhì)數(shù)之和， 3 個質(zhì)數(shù)只能是 2， 3， 5，這 6 個質(zhì)數(shù)是 2， 2， 3，3， 5， 5，它們的乘積是 2 2 3 3 5 5=900 答：這 6 個質(zhì)數(shù)的積是 900。 此主題相關圖片 如下： 3、在圖 19-2 所示算式的每個方框內(nèi)填入一個數(shù)字，要求所填的數(shù)字都是質(zhì)數(shù)，并使豎式成立。 解：所填數(shù)字都是質(zhì) 數(shù)，只能是 2， 3， 5， 7，被乘數(shù)和乘數(shù)中也不能出現(xiàn) 2。 2 個個位數(shù)相乘，積的個位是質(zhì)數(shù)，積個位只能是 5，最后結果個位也是 5（確定紅色數(shù)）。 由于 73 3， 73 5， 73 7 積個位和十位不同時為質(zhì)數(shù)，所以被乘數(shù)個位只能是 5。 假設乘數(shù)個位是 3，由于 375 3=1175， 575 3=1725，不都是質(zhì)數(shù)，只有 775 3=2523 符合，乘數(shù)十位也取 3，乘積也是 2523，得出一組解： 775 33=25575 假設乘數(shù)個位是 5，由于 375 5=1875， 575 5=2875， 775 5=3875，不都是質(zhì)數(shù)， 不符合。 假設乘數(shù)個位是 7，由于 375 7=2625， 575 7=4025， 775 7=5425，不都是質(zhì)數(shù)，不符合。 答：只有 775 33=25575 這一組答案，如圖。 此主題相關圖片如下： 4、把一個兩位數(shù)的個位數(shù)字與其十位數(shù)字交換后得到一個新數(shù)，它與原來的數(shù)加起來恰好是某個自然數(shù)的平方。那么這個和數(shù)是多少？ 解：設原來兩位數(shù)十位是 B，個位是 A，即兩位數(shù)是 AB，則新數(shù)是 BA， AB+BA=X*X AB+BA=（ 10A+B） +（ 10B+A） =11（ A+B） =X*X， A+B=11=X，所以 X*X=121 答：這個和數(shù)是 121。 5、迎杯春杯 =好好好 在上面的乘法算式中，不同的漢字表示不同的數(shù)字，相同的漢字表示 相同的數(shù)字。那么“迎 +春 +杯 +好”之和等于多少？ 解：好好好 =好 111=好 3 37， 100 以內(nèi) 37 的倍數(shù)只有 37 和 74，所以“迎杯”或“春杯”中必有 1 個是 37 或 74，判斷出“杯”是 7 或 4。 若 杯 =7，則好 =9， 999/37=27，所以，迎 +春 +杯 +好 =3+2+7+9=21 若 杯 =4，則好 =6， 666/74=9，不是兩位數(shù)，不符合題意 答：迎 +春 +杯 +好 =3+2+7+9=21。 6、數(shù)數(shù)科學 =學數(shù)學 在上面的算式中，每一個漢字代表一個數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，那么，“數(shù)學”所代表的 兩位數(shù)是多少？ 解：學數(shù)學是數(shù)數(shù)的倍數(shù)，也就是（ 11數(shù)）的倍數(shù) 學數(shù)學 =學 101+數(shù) 10，學數(shù)學是數(shù)的倍數(shù)， 101 是質(zhì)數(shù)，所以學是數(shù)的倍數(shù) 學數(shù)學是 11 的倍數(shù)，學 +學 -數(shù) =11，學是數(shù)的倍數(shù)，數(shù)是 11 的約數(shù)， 所以，數(shù) =1，學 =（ 11+1） /2=6，數(shù)學 =16 答：數(shù)學兩字代表的兩位數(shù)是 16。 7、將 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 這 9 個數(shù)字分別填入下式的各個方框中，可使此等式成立： = =3634。填好后得到三個兩位數(shù)和一個三位數(shù)，這三個兩位數(shù)中最大的一個是多少？ 解： 3634=2 23 79，兩位數(shù)是 79， 46 79=23 158，兩位數(shù)中最大的是 79。 答：這三個兩位數(shù)中最大的是 79。 8、六年級的學生總人數(shù)是三位數(shù)，其中男生占 3/5，男生人數(shù)也是三位數(shù)，而組成以上兩個三位數(shù)的 6個數(shù)字，恰好是 1， 2， 3， 4， 5， 6。那么六年級共有多少人？ 解：男生人數(shù)是總人數(shù)的 3/5，總人數(shù)是 5 的倍數(shù)，個位只能是 5。 男生人數(shù)是 3 的倍數(shù)，個位必須是奇數(shù)，只能是 1 或 3，男生人數(shù)的三位數(shù)只能由 1， 2， 3 或者 2， 3， 4或者 1， 2， 6 組成（和是 3 的倍數(shù)）。 男生人數(shù)首位小于 4。 假設男生人數(shù)由 1， 2， 3 組成，可能是 123， 213， 321 123 5/3=205， 213 5/3=355， 321 5/3=535，都不符合題意 假設男生人數(shù)由 2， 3， 4 組成，只可能是 243， 243 5/3=405，不符合題意 假設男生人數(shù)由 1， 2， 6 組成，只可能是 261， 261 5/3=435，符合題意 答：六年級共有 435 人。 9、圖 19-3 是三位數(shù)與一位數(shù)相乘的算式，在每個方格填入一個數(shù)字，使算式成立。那么共有多少種不同的填法？ 此主題相關圖片如下： 解： 1992=2 2 2 3 83，一位數(shù)的約數(shù)中， 2， 3， 4， 6， 8 去除 1992 都可以得到三位數(shù)，所以可能有 5種填法。 答：共有 5 種不同的填法。 10、在圖 19-4 殘缺的算式中，只寫出 3 個數(shù)字 1，那么這個算式的乘積是多少？ 此主題相關圖片如下： 解：積的十位是 1，被 乘數(shù)與乘數(shù)個位乘積的十位也是 1。 被乘數(shù)個位與乘數(shù)十位的乘積個位是 1，則被乘數(shù)個位可能是 1， 3， 7， 9。 被乘數(shù)與乘數(shù)個位的乘積，前 2 位是 10，積有下列可能： 101， 102， 103， 104， 105， 106， 107， 108， 109，去掉質(zhì)數(shù) 101， 103， 107， 109，去掉個位是 0 的 100。 102=6 17， 104=2 27， 105=5 21， 106=2 53， 108=4 27 若被乘數(shù)是 17 或 27，乘數(shù)十位必須是 3，都不能進位；若被乘數(shù)是 21，乘數(shù)十位必須是 1，也不能進位，去掉。所以被乘數(shù)只能是 53，乘數(shù)相 72， 53 72=3816 答：這個算式的乘積是 3816。 11、圖 19-5中一個殘缺的乘法豎式，在每個方框中填入一個不是 2的數(shù)字，可使其成為正確的算式。那么所得的乘積是多少？ 此主題相關圖片如下： 解：最后乘積首位不能是 2，下一位必向首位進位 1，首位是 3。百位最多向千位進 2，千位必定是 2 和不小于 6 的數(shù)之和，兩位乘數(shù)與三位乘數(shù)的十位上的數(shù)字相乘結果不小于 600，由兩位乘數(shù)大于 60。三位乘數(shù)百位與兩位乘數(shù)相乘的積不小于 220，不大于 229，這個百位數(shù)只能是 3， 220-229 之間 3 的倍數(shù)是 222=3 74， 225=3 75， 228=3 76，因為不能填 2，所以去掉 222，剩下 225=3 75， 228=3 76。 75 399 的積小于 30000，去掉，只剩下 228=3 76。 30000/76 大于 394，驗算： 76 395=30020，有 2 去掉； 76 396=30096，符合要求； 76 397 乘積個位是 2，去掉； 76 398=30248，有 2 去掉； 76 399=30324，有 2 去掉。只有一組解。 答：所得的乘積是 30096。 12、請補全圖 19-6 這個殘缺算式。問這個除法算式的商數(shù)是多少？ 此主題相關圖片如下： 解：首先可以確定商十位是 0，被除數(shù)前 2 位是 10，并用紅字填出其它確定的格子。 商和除數(shù)的個位，可能是 2 4， 2 9， 3 6， 4 7， 6 8 試算得 2 4 這一組無解， 2 9 這一組，當 9 是商的個位， 2 是除數(shù)的個位時， 得 10028 92=109； 3 6，4 7， 6 8 這三組都無解。 答：這個除法算式的商數(shù)是 109。 13、若用相同漢字表示相同數(shù)字，不同漢字表示不同數(shù)字，則在等式 學習好勤動腦 5=勤動腦學習好 8 中，“學習好勤動腦”所表示的六位數(shù)最少是多少？ 解：因為：學習好勤動腦 5=勤動腦學習好 8，所以：學習好 5000+勤動腦 5=勤動腦 8000+學習好 8 學習好 /勤動腦 =（ 8000-5） /（ 5000-8） =7995/4992=3 13 205/3 13 128 =205/128=410/256=615/384=820/512，其中 410256 和 615384 由 6 個不同數(shù)字組成，最小的是 410256。 答：“學習好勤動腦”所表示的六位數(shù)最少是 410256。 14、互為反序的兩個自然數(shù)的積是 92565，求這兩個互為反序的自然數(shù)。（例如 102 和 201， 35 和 53， 11和 11，稱為互為反序的數(shù)，但 120 和 21 不是互為反序的數(shù)。） 解： 96525=3 3 5 11 11 17，這兩個互為反序的自然數(shù)都是 3 和 11 的倍數(shù) （ 3 11 5）（ 3 7 17） =165 561 答：這兩個數(shù)是 165 和 561。 15、開放的中國盼奧運 =盼盼盼盼盼盼盼盼盼 上面的橫式中不同的漢字代表不同的數(shù)字，代表某個一位數(shù)。那么，“盼”字所代表的數(shù)字是多少？ 解： 111111111 9=12345679，商的百位是 6，去掉； 888888888 9 商的百位是 4，去掉； 777777777 9 商的百位是 7，得 86419753，符合要求； 試算其它數(shù)： 666666666 9 商百位是 0，去掉； 555555555 9 商百位是 3，去掉； 444444444 9 商百位是 7，去掉； 333333333 9 商百位是 0，去掉； 222222222 9 商百位是 3，去掉。所以只有一個解，盼 =7。 答：“盼”字所代表的數(shù)字是 7。 第 20 講 計數(shù)問題第 05 講 計數(shù)綜合之一（ 81） 1、恰好能被 6， 7， 8， 9 整除的五位數(shù)有多少個？ 解： 6， 7， 8， 9=504， 5 位數(shù)中最小的 504 的倍數(shù)是 10080 99999/504 余數(shù)是 207， 5 位數(shù)中最大的 504 的倍數(shù)是 999999-207=99792 符合要求的 5 位數(shù)的個數(shù)是（ 99792-10080） /504+1=178+1=179 答 ：恰好能被 6， 7， 8， 9 整除的五位數(shù)有 179 個。 2、小明的兩個衣服口袋中各有 13 張卡片，每張卡片上分別寫著 1， 2， 3， 13。如果從這兩個口袋中各拿出一張卡片來計算它們所寫的兩數(shù)的乘積，可以得到許多不相等的乘積。那么，其中能被 6整除的乘積共有多少個？ 解：含有一張 3 時，另一張可以是： 212 的偶數(shù)，共 6 張； 含有一張 6 時，另一張可以是 113 中的任何一張，共 12 張； 含有一張 12 時，另一張可以是 113 中的任何一張，共 12 張； 其中重復的有 9 個，所以，不同的乘積一共有 21。 答：其中能被 6 整除的乘積有 21 個。 3、 1， 2， 3， 4， 5， 6 這 6 個數(shù)中，選 3 個使它們的和能被 3 整除。那么不同的選法有幾種？ 解： 16 被 3 除的余數(shù) 0、 1、 2 各有兩個，要使三個數(shù)之和能被 3 整除，只有余數(shù) 0、 1、 2 的各選一個； 根據(jù)余數(shù)情況，把這 6 個數(shù)分成三組：（ 1， 4）（ 2， 5）（ 3， 6），從每一個組中各取一個數(shù)，共有 2 2 2=8 種選法。 答：不同的選法有 8 種。 4、同時滿足以下條件的分數(shù)共有多少個？ 大于 1/6，并且小于 1/5； 分子和分母都是質(zhì)數(shù)； 分母是兩位數(shù)。 解：若分子是 2，分母在 12 和 10 之間，符合條件的是 2/11； 若分子是 3，分母在 18 和 15 之間，符合條件的是 3/17； 若分子是 5，分母在 30 和 25 之間，符合條件的是 5/29； 若分子是 7，分母在 42 和 35 之間，符合條件的是 7/37， 7/41； 若分子是 11，分母在 66 和 55 之間，符合條件的是 11/59， 11/61； 若分子是 13，分母在 78 和 65 之間，符合條件的是 13/67， 13/71， 13/73； 若分子是 17，分母在 102 和 85 之間，符合條件的是 17/89， 17/97。 若分子是 19的有 19/97 答：符合要求 的分數(shù)共有 13 個。 5、一個六位數(shù)能被 11 整除，它的各位數(shù)字非零且互不相同。將這個六位數(shù)的 6個數(shù)字重新排列，最少還能排出多少個能被 11 整除的六位數(shù)？ 解：被 11 整除的數(shù)奇偶數(shù)位上的數(shù)字和的差能被 11 整除，所以，把這個數(shù)的奇數(shù)位上的 3 個數(shù)中的 2 個或 3 個數(shù)重排，或者把偶數(shù)位上 3 個數(shù)中的 2 個或 3 個數(shù)重排，或者奇數(shù)位上的 3 個數(shù)與偶數(shù)位上的 3 個數(shù)全換，組成的新數(shù)一定可以整除 11。 奇數(shù)位上的 3 數(shù)排列有 3*2*1=6 種，偶數(shù)位上的 3 數(shù)排列也有 3*2*1=6 種，奇偶數(shù)位上數(shù)字和都不變，一共有 6*6=36 種。奇數(shù)位 上的數(shù)改到偶數(shù)位，同時偶數(shù)位上的數(shù)改到奇數(shù)位，即奇偶數(shù)位上數(shù)字和互換，一共也有 6*6=36 種。 因此，這 6 個數(shù)排成能被 11 整除的數(shù)的排法共有 36+36=72 種， 那么，去掉原數(shù)，最少還能排出 72-1=71 種。 答：最少還能排出 71 個能被 11 整除的六位數(shù)。 6、在大于等于 1998，小于等于 8991 的整數(shù)中，個位數(shù)字與十位數(shù)字不同的數(shù)共有多少個？ 解菏孜唬 ?，只有 1 個， 1998； 首位是 28 共 7 種，百位 09 共 10 種，十位也 10 種，個位與十位不同，有 9 種 共 7*10*10*9=6300 種 ；其中多算了 89928998，即大于 8991 的 7 種。 所以一共有 6300+1-7=6294 種。 答：個位數(shù)字與十位數(shù)字不同的數(shù)共有 6294 種。 7、個位、十位、百位上的 3 個數(shù)字之和等于 12 的三位數(shù)共有多少個？ 解：百位可取 19 中的數(shù)字，十位和個位可取 09 中的數(shù)字。 百位是 1，十 +個 =11，有 8 個；百位是 2，十 +個 =10，有 9 個； 百位是 3，十 +個 =9，有 10 個；百位是 4，十 +個 =8，有 9 個； 百位是 5，十 +個 =7，有 8 個；百位是 6，十 +個 =6，有 7 個； 百位是 7，十 +個 =5，有 6 個；百 位是 8，十 +個 =4，有 5 個； 百位是 9，十 +個 =3，有 4 個。一共有： 8+9+10+9+8+7+6+5+4=66 個 答：這樣的三位數(shù)共有 66 個。 8、一個正整數(shù)，如果它順著看和倒過來看都是一樣的，那么稱這個數(shù)為“回文數(shù)”。例如 1331， 7， 202都是回文數(shù)，而 220 則不是回文數(shù)。問：從一位到六位的回文數(shù)一共有多少個？其中的第 1996 個數(shù)是多少？ 解： 1 位回文數(shù)有 9 個； 2 位回文數(shù)有 9*1=9 個； 3 位回文數(shù)有 9*10*1=90 個； 4 位回文數(shù)有 9*10*1*1=90 個； 5 位回文數(shù)有 9*10*10*1*1=900 個； 6 位回文數(shù)有 9*10*10*1*1*1=900 個。 一共有： 9+9+90+90+900+900=1998 個。 最后一個是 999999，第 1997 個是 998899，第 1996 個是 997799。 答：從一位到六位的回文數(shù)一共有 1998 個，第 1996 個是 997799。 解：把它看成一個五位數(shù)，則首位只能是 8這 1種； 千位可以是 05， 6 種； 千位一定，十位可以是 05 中不同于千位的數(shù)，有 5 種； 千位和十位一定，百位可以是 09 中不同于首位以及千位和十位的數(shù)，有 7 種； 前 4 位一定，個位可以是 09 中不同于前 4 位的數(shù)，有 6 種。 所以一共有： 1*6*5*7*6=1260 個 答：一共有 1260 個。 10、有些五位數(shù)的各位數(shù)字均取自 1， 2， 3， 4， 5，并且任意相鄰兩位數(shù)字（大減?。┑牟疃际?1。問這樣的五位數(shù)共有多少個？ 解：（ 1）首位取 1 時，千位只能是 2，百位可以是 1 和 3。 百位是 1，十位只能是 2，個位可以是 1 和 3。 2 種。 百位是 3，十位可以是 2 和 4；十位是 2，個位可以是 1 和 3，十位是 4，個位可以是 3 和 5。 4 種。 所以，首位取 1 時，共有 2+4=6 種。 （ 2）首位取 2 時，千位可以是 1 和 3。 千位