兩個集合的容斥關(guān)系公式.doc

_兩個集合的容斥關(guān)系公式：AB = A+B - AB (:重合的部分） 三個集合的容斥關(guān)系公式：ABC = A+B+C - AB - BC - CA + ABC 詳細推理如下： 、 等式右邊改造 = 【（A+B - AB）+C - BC】 - CA + ABC 、文氏圖分塊標(biāo)記如右圖圖：構(gòu)成，構(gòu)成，構(gòu)成 、等式右邊（）里指的是下圖的+六部分： 那么ABC還缺部分。 、等式右邊【】號里+（+）后，相當(dāng)于ABC多加了+三部分， 減去BC（即+兩部分）后，還多加了部分。 、等式右邊里減去CA （即+兩部分）后，ABC又多減了部分， 則加上ABC（即）剛好是ABC。 編輯本段容斥原理1如果被計數(shù)的事物有A、B兩類，那么，A類B類元素個數(shù)總和= 屬于A類元素個數(shù)+ 屬于B類元素個數(shù)既是A類又是B類的元素個數(shù)。 例1一次期末考試，某班有15人數(shù)學(xué)得滿分，有12人語文得滿分，并且有4人語、數(shù)都是滿分，那么這個班至少有一門得滿分的同學(xué)有多少人？ 分析依題意，被計數(shù)的事物有語、數(shù)得滿分兩類，“數(shù)學(xué)得滿分”稱為“A類元素”，“語文得滿分”稱為“B類元素”，“語、數(shù)都是滿分”稱為“既是A類又是B類的元素”，“至少有一門得滿分的同學(xué)”稱為“A類和B類元素個數(shù)”的總和。 答案15+12-4=23 試一試電視臺向100人調(diào)查前一天收看電視的情況，有62人看過2頻道，34人看過8頻道，其中11人兩個頻道都看過。兩個頻道都沒看過的有多少人？ 100-(62+34-11)=15 編輯本段容斥原理2如果被計數(shù)的事物有A、B、C三類，那么，A類和B類和C類元素個數(shù)總和= A類元素個數(shù)+ B類元素個數(shù)+C類元素個數(shù)既是A類又是B類的元素個數(shù)既是A類又是C類的元素個數(shù)既是B類又是C類的元素個數(shù)+既是A類又是B類而且是C類的元素個數(shù)。 例2某校六（1）班有學(xué)生45人，每人在暑假里都參加體育訓(xùn)練隊，其中參加足球隊的有25人，參加排球隊的有22人，參加游泳隊的有24人，足球、排球都參加的有12人，足球、游泳都參加的有9人，排球、游泳都參加的有8人，問：三項都參加的有多少人？ 分析：參加足球隊的人數(shù)25人為A類元素，參加排球隊人數(shù)12人為B類元素，參加游泳隊的人數(shù)24人為C類元素，既是A類又是B類的為足球排球都參加的12人，既是B類又C類的為足球游泳都參加的9人，既是C類又是A類的為排球游泳都參加的8人，三項都參加的是A類B類C類的總和設(shè)為X。注意：這個題說的每人都參加了體育訓(xùn)練隊，所以這個班的總?cè)藬?shù)既為A類B類和C類的總和。 答案：25+22+24-12-9-8+X=45 解得X=3 例3在1到1000的自然數(shù)中，能被3或5整除的數(shù)共有多少個？不能被3或5整除的數(shù)共有多少個？ 分析：顯然，這是一個重復(fù)計數(shù)問題（當(dāng)然，如果不怕麻煩你可以分別去數(shù)3的倍數(shù)，5的倍數(shù)）。我們可以把“能被3或5整除的數(shù)”分別看成A類元素和B類元素，能“同時被3或5整除的數(shù)（15的倍數(shù)）”就是被重復(fù)計算的數(shù)，即“既是A類又是B類的元素”。求的是“A類或B類元素個數(shù)”?，F(xiàn)在我們還不能直接計算，必須先求出所需條件。10003=3331，能被3整除的數(shù)有333個（想一想，這是為什么？）同理，可以求出其他的條件。 例4分母是1001的最簡分數(shù)一共有多少個？ 分析：這一題實際上就是找分子中不能與1001進行約分的數(shù)。由于1001=71113，所以就是找不能被7，11，13整除的數(shù)。 解答：11001中,有7的倍數(shù)1001/7 = 143 (個)；有11的倍數(shù)1001/11 = 91 (個),有13的倍數(shù)1001/13 = 77 (個)；有7´11=77的倍數(shù)1001/77 = 13 (個),有7´13=91的倍數(shù)1001/91 = 11 (個),有11´13=143的倍數(shù)1001/43 = 7 (個).有1001的倍數(shù)1個. 由容斥原理知:在11001中,能被7或11或13整除的數(shù)有(143+91+7)-(13+11+7)+1=281(個),從而不能被7、11或13整除的數(shù)有1001-281=720(個).也就是說,分母為1001的最簡分數(shù)有720個. 例5某個班的全體學(xué)生在進行了短跑、游泳、投擲三個項目的測試后，有4名學(xué)生在這三個項目上都沒有達到優(yōu)秀，其余每人至少有一項達到了優(yōu)秀，達到了優(yōu)秀的這部分學(xué)生情況如下表： 短跑游泳投擲短跑、游泳短跑、投擲游泳、投擲短跑、游泳、投擲1 71 8 1 56 652求這個班的學(xué)生共有多少人？ 分析：這個班的學(xué)生數(shù)，應(yīng)包括達到優(yōu)秀和沒有達到優(yōu)秀的。 試一試：一個班有42人，參加合唱隊的有30人，參加美術(shù)組的有25人，有5人什么都沒有參加，求兩種都參加的有多少人？ 在一根長的木棍上有三種刻度線，第一種刻度線將木棍分成10等份，第二種將木棍分成12等份，第三種將木棍分成15等份。如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段？ 分析很顯然，要計算木棍被鋸成多少段，只需要計算出木棍上共有多少條不同的刻度線，在此基礎(chǔ)上加1就是段數(shù)了。 若按將木棍分成10等份的刻度線鋸開，木棍有9條刻度線。在此木棍上加上將木棍分成12等份的11條刻度線，顯然刻度線有重復(fù)的，如5/10和6/12都是1/2。同樣再加上將木棍分成15等份的刻度線，也是如此。所以，我們應(yīng)該按容斥原理的方法來解決此問題。用容斥原理的那一個呢？想一想，被計數(shù)的事物有那幾類？每一類的元素個數(shù)是多少？ 解答 不計木棍的兩個端點，木棍的內(nèi)部等分點數(shù)分別是9，11，14(相應(yīng)于10，12，15等分)，共計34個 由于5，6的最小公倍數(shù)為30，所以10與12等份的等分點在30單位處相重，必須從34中減1 又由于4，5的最小公倍數(shù)為20，所以12與15等份的等分點在20單位和40單位兩處相重，必須再減去2， 同樣，6，4的最小公倍數(shù)為12，所以15與1