奧賽作業(yè) 2013.4.23.doc

奧賽作業(yè) 2013.4.23一、選擇題（本題滿分40分，每小題5分）1、已知： 和：則是的（ ）. A、充分但不必要條件 B、必要但不充分條件 C、充要條件 D、既不充分也不必要條件 2、在5件產(chǎn)品中有4件正品、1件次品從中任取2件，記其中含正品的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，則的數(shù)學(xué)期望是（ ）. A、 B、 C、 D、 3、設(shè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則側(cè)棱與底面所成的角的大小是（ ）. A、 B、 C、 D、 4、已知函數(shù)的最小值是0，則非零實(shí)數(shù)的值是（ ）. A、 B、 C、2 D、4 5、長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，其中，則經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的球面距離是（ ）. A、 B、 C、 D、 6、對(duì)任意實(shí)數(shù)，過(guò)函數(shù)圖象上的點(diǎn)的切線恒過(guò)一定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）. A、 B、 C、 D、 7、設(shè)A1、A2為橢圓的左右頂點(diǎn)，若在橢圓上存在異于A1、A2的點(diǎn)，使得，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）. A、 B、 C、 D、 8、記，則的最小值是（ ）. A、 B、 C、 D、4 二、填空題（本題滿分20分，每小題5分）9、是定義在上的奇函數(shù)，且，則 10、實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是 11、在數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，成等比數(shù)列，則 12、集合的容量是指集合中元素的和則滿足條件“，且若時(shí)，必有”的所有非空集合的容量的總和是 （用具體數(shù)字作答）奧賽作業(yè) 2013.4.2313、已知函數(shù)（1）試判斷函數(shù)的奇偶性，并給出證明；（2）求在上的最小值與最大值14、已知為拋物線的焦點(diǎn)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0)，過(guò)點(diǎn)F作斜率為的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，延長(zhǎng)AM、BM交拋物線于C、D兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為（1）求的值； （2）求直線AB與直線CD夾角的取值范圍15、已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)一切的實(shí)數(shù)，有成立，其中為的導(dǎo)函數(shù)求實(shí)數(shù)的取值范圍16、已知是數(shù)列的前項(xiàng)的和，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，其中 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè) ，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍解 答1、C 提示：因?yàn)?，故是的充要條件故選C2、C 提示：數(shù)學(xué)期望是：故選C.3、A 提示：設(shè)頂點(diǎn)在底面的射影是，則為的外心從而，于是可得故選A4、B 提示：，因?yàn)?，?. 當(dāng)時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，由條件知，解得或0（舍去）故選B. 5、C 提示：球的半徑，在中，則，從而所以，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的球面距離是故選C6、 B 提示：因?yàn)?，故于是過(guò)的切線方程是：，即，因此切線方程恒過(guò)故選B7、D 提示：由題設(shè)知OPA2=90，設(shè)P(x,y)(x0)，以O(shè)A2為直徑的圓方程為，與橢圓方程聯(lián)立得由題設(shè)知，要求此方程在(0, a )上有實(shí)根由此得化簡(jiǎn)得，所以e的取值范圍為故選D8、C 提示：設(shè)動(dòng)點(diǎn)與，則，點(diǎn)的軌跡為直線，點(diǎn)的軌跡為雙曲線，雙曲線上的任一點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立故的最小值為故選C9、0 提示：由條件知，于是，即是以2為周期的周期函數(shù)所以，故填010、4 提示：由確定的圖形是以四邊形及其內(nèi)部，其中、由線性規(guī)劃知識(shí)知，的最大值是4，當(dāng)時(shí)可取到故填411、 提示：由條件知當(dāng)時(shí)，從而，于是 ，所以于是. 所以，故填12、224 提示：先找出滿足條件的單元素和二元素的集合有：，將這四個(gè)集合中的元素任意組合起來(lái)也滿足要求，則所有符合條件的集合A中元素的總和是 ：故填224.13、（I） ， . 所以，為偶函數(shù) （II） . 因?yàn)?，故，所以，當(dāng)時(shí)，有最小值；當(dāng)時(shí)，有最大值 14、（I）由條件知，設(shè)、，不妨設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得，所以， 當(dāng)時(shí)，則，故，即直線的方程為，從而；直線的方程為：，與聯(lián)立得，得，即于是，所以 當(dāng)時(shí)，直線AM方程為與拋物線方程. 聯(lián)立得，又由，化簡(jiǎn)上述方程得. 此方程有一根為x1，所以另一根，即，同理，所以，即由、可知 （II） ，故所以，直線AB與直線CD夾角的取值范圍是 15、（I）因?yàn)?，所以有兩個(gè)不等實(shí)根：，顯然 當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞減； 當(dāng)或時(shí)，即單調(diào)遞增；綜上所述，有的單調(diào)遞減區(qū)間為：，；單調(diào)遞增區(qū)間為：、 （II）由條件有：. 當(dāng)時(shí)，即在時(shí)恒成立. 因?yàn)?，?dāng)時(shí)等號(hào)成立所以，即. 當(dāng)時(shí)，即在時(shí)恒成立，因?yàn)?，?dāng)時(shí)等號(hào)成立所以，即.當(dāng)時(shí)，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是 16、（I）當(dāng)時(shí)，有，故 當(dāng)時(shí)，及 . 于是 ，即 若，則，于是. 從而 ，所以， . 若，則于是從而 所以， 綜上所述， （II）若時(shí)，顯然不滿足條件，故當(dāng)時(shí)，若時(shí)， ，故當(dāng)時(shí)，不符合條件，舍去若