幾何基礎(chǔ)總結(jié)1.docx

1.任意一個長方形可以有限剖分等價于一個正方形。解釋：設(shè)矩形的長為x寬為1.當(dāng)1x2時，做法如右圖.當(dāng)x2時，將長n等分，一條邊為x/n，一條為n；那么：nxn2n。或者xnn2xn.得到x在n2, 2n2或n22，n2中。我們發(fā)現(xiàn)任一個實數(shù)都在某一區(qū)間內(nèi)。2、梅涅勞斯定理: 如果一條直線與ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點，那么AFFBBDDCCEEA =1。證明: 過點A作AGBC交DF的延長線于G， 如圖1.則AFFB = AGBD, CEEA =DCAG。 所以AFFBBDDCCEEA= AGBDBDDCDCAG=1。 圖1 圖23、塞瓦定理： 在ABC內(nèi)任取一點G，直線AG、BG、CG分別交對邊于D、E、F，則 AFFBBDDCCEEA =1。ADC被直線BGE所截，由梅涅勞斯定理得CBBDDGGAAEEC =1 而由ABD被直線CGF所截，梅涅勞斯定理得 BDDCDGGAAFFB =1 :即得：AFFBBDDCCEEA =1。4、托勒密定理指圓內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。證：如上圖，四邊形ABCD內(nèi)接與圓。連接對角線AC、BD。過點C作2=1，交線段BD于E。由1=2；3=4；CDA=CEB。從而CEBCDA。ACBC=ADBE 那么AC*BE=AD*BC （1）由5=6；DCE=ACB；CED=CBA。從而ACBDCE。ACDC=ABDE 那么AC*DE=AB*DC （2）（1）+（2）得AC（BE+DE）=AC*BD= AD*BC+ AB*DC.5、西姆松定理 過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊的垂線，則三垂足共線如圖三角形ABC內(nèi)接于圓。過點G作GDAB，GEAC，GFBC。證明D、E、F三點共線。證：因為ADC=AEG=90A、D、E、G四點共圓；DAG+DEG=180而DAG+BCG=180DEG=BCG （1）因為GEC=GFC=90G、E、C、F四點共圓；GEF=GCF （2）（1）+（2）DEG+GEF=GCF +BCG=180D、E、F三點共線。6、折弦定理：AB和BC是O的兩條弦（即ABC是圓的一條折弦），BCAB，M是弧ABC的中點，則從M向BC所作垂線之垂足G是折弦ABC的中點，即CBBGAB。證明：過點M作MECB交于點E。因為EBM=BCM+BMC=MAC+BAC=MAC=MCA=MBG；又MB=MB；MGB=MEB均為直角。所以MEBMGB。所以：BE=BG ； ME=MG又MAG=MCE MGA=MEC所以MAGMCE。所以：AG=CE=CB+BE=CB+BG。7、蝴蝶定理：圓O，M是弦PQ的中點，過M作AB、CD連AD，BC交X、Y。證明MX=MY。證：過圓心O作AD與BC的垂線，垂足為S、T，連接 OX， OY，OM，SM，MT。 AMDCMB AM/CM=AD/BCAS=1/2AD，BT=1/2BCAM/CM=AS/CT又A=CAMSCMTMSX=MTYOMX=OSX=90OMX+OSX=180O，S，X，M四點共圓同理，O，T，Y，M四點共圓MTY=MOY，MSX=MOX MOX=MOY 。OMPQXM=YM。8、笛沙格定理：如果兩個三點形對應(yīng)頂點的連線共點, 則其對應(yīng)邊的交點共線。如圖G是三角形ABC與三角形DEF的3對頂點連線的公共點，點H、I、F分別為三對邊的交點。證明H、I、J三點共線。 證明：直線DJF截三角形GBC。由梅涅勞斯定理：GDDB*BJJC*CFFG=1；直線DEI截三角形BGA。由梅涅勞斯定理：BDDG*GEEA*AIIB=1；直線FHE截三角形GCA。由梅涅勞斯定理：GFFC*CHHA*AEEG=1；三式相乘得到：BJJC*CHHA*AIIB=1；由由梅涅勞斯逆定理（三角形ABC）的J、H、I三點共線。9帕普斯定理： 如圖，兩直線相交于點O，A，B，C和A，B，C分別為兩直線的三個點，若 相交于L， 相交于M， 相交于N，則L，M，N三點共線。證:要證N，M，L 三點共線，只需要證 。NMD+DML=1800.如圖，以M點為射影中心，由射影變換交比不變性得：(B, D, N,A)= (B,C, L,E).由定義：(B, D, N,A)=（BDN）（BDA）=BN*DADN*BA=SBMN*SDMASDMN*SBMA=sinBMN*sinDMAsinDMN*sinBMA;(B, , L,E)=（BCL）（BCE）=BL*CECL*BE=SBML*SCMESCML*SBME=sinBML*sinCMEsinCML*sinBME;所以。又因為：sinDMA=sinCME； sinDMA=sinAMP=sinBME。從而得到：sinBMNsinDMN=sinBMLsinCML；（1）而又：sinBML=sin（PMC+CML）=sinPMC*cosCML+sinCML*cosPMC。（2）sinBMN=sin（DMN+DMB）=sinDMN*cosDMB+sinDMB*cosDMN。（3）將上面（2），（3）帶入（1）整理得到：tanDMN=tanCML。所以：DMN=CML。而又：CML+DML=1800.所以：NMD+DML=1800.故得證。代數(shù)形式證明怕普斯定理證明：在平面上選擇射影坐標(biāo)系，使O（0,0,1）在l1和l2的交點上，O1（1,0,0）和O2（0,1,0）分別為l1和l2上的無窮遠(yuǎn)點，則所給的六個點的坐標(biāo)可以分別寫為A1（1,0，a1），B1（1,0，b1），C1（1,0，c1）,A2（0,1，a2），B2（0,1，b2），C2（0,1，c2）。B1C2的方程為b1x+c2y+z=0，B2C1的方程為c1x+b2y+z=0解得B1C2與B2C1的交點為N（c2-b2，c1-b1，b1b2-c1c2）同理易得C1A2與C2A1的交點M（a2-c2，a1-c1，c1c2-a1a2）A1B2與A2B1的交點L（b2-a2，b1-a1，a1a2-b1b2）若用符號(n),(m),(l)來表示N、M、L的坐標(biāo)，就得到(n)+(m)+(l)=0。所以就得到三點的det=0，由定理3.2得N、M、L在同一條直線上，證畢。10、原本關(guān)于正多面體有且只有5個的證明。 析:正多面體的每個頂點至少是3條棱的交點，那么每個頂點處的立體角至少是由三個正多邊形圍繞而成，而且這些多邊形角之和要小于360o。證：設(shè)正多面體的每個頂點有n條棱，則n3；立體角是由正m邊形圍繞而成，每個內(nèi)角為：180o-360om。那么可以得到：n（180-360m）360.顯然m3。當(dāng)n=3時，由n（180-360m）60o，m=3、4、5；當(dāng)n=4時，由n（180-360m）90o，m=3；當(dāng)n=5時，由n（180-360m）108o，m=3；當(dāng)n=6時，由n（180-360m）120，m為空集。由此知n7時， m亦為空集。故正多面體只有5中情況：nM頂角正多面體33三個正三邊形圍成正四面體34三個正四邊形圍成正六面體35三個正五邊形圍成正十二面體43四個正三邊形圍成 正八面體53五個正三邊形圍成正二十面體2、用簡單多面體的歐拉公式重新證明上述命題。（歐拉公式：簡單多面體的頂點數(shù) V、面數(shù) F及棱數(shù)E 有關(guān)系式：V+F-E=2）證：正多面體的每個頂點有n條棱，立體角是由正m邊形圍繞而成。由于每條棱通過兩個頂點故2E=mV，而又每條棱又被兩個面公用，故nF=2E，從而得到mV=2E=nF。已經(jīng)知道m(xù)3、n3。E6.故可得到： V+F-E=2；mV=2E=nF；m3、n3。 所以：2Em+2En-E=2 1m+1n=12+1E12。若m與n均3，則m4、n4，1m+1n12不成立。故m、n至少有一個等于3。當(dāng)n=3時，由1m+1n12得m=3、4、5成立；同理當(dāng)m=3時，n=3、4、5成立。此時得到與上面相同的結(jié)論，故得證。11、什么是“費馬點”？試證明與其有關(guān)的性質(zhì)。定義：在一個三角形中，到三個頂點距離最小的點。性質(zhì)：若三角形的三個內(nèi)角均小于120度時，那么則在三角形內(nèi)部對3邊張角均為120的點，是三角形的費馬點。 若三角形的有一個內(nèi)角不小于120度時，那么這個鈍角三角形的鈍角頂點就是費馬點。證：當(dāng)有一個內(nèi)角大于等于120度時，對三角形內(nèi)任一點P，延長BA至C使得AC=AC，做CAP=CAP，并且使得AP=AP, PC=PC 則APCAPCBAC120PAP=180-BAP-CAP=180-BAP-CAP=180-BAC60等腰三角形PAP中，APPPPA+PB+PCPP+PB+PCBC=AB+AC所以A是費馬點當(dāng)3個內(nèi)角均小于等于120度時做出ABC內(nèi)一點P，使得APC=BPC=CPA=120， 分別過點A、B、C作PA,PB,PC的垂線，相交于D,E,F三點，如圖，再作任一異于P的點P，過P作PH垂直EF于H。易知D=E=F=60，即DEF為等邊三角形。設(shè)計邊長為d，面積為S則有2S=d(PA+PB+PC)。PAPH2SEPFPAd。同理有2SDPFPBd2SEPDPCdS= SEPF+2SDPF+2SEPD。相加得2Sd(PA+PB+PC)即PA+PB+PCPA+PB+PC，當(dāng)且僅當(dāng)P,P重合時取到等號所以P是費馬點。12、帕斯卡定理