相對(duì)論雅可比方程.doc

相對(duì)論哈密頓 雅可比方程王雪蓮紅河學(xué)院,云南省,中國,郵編661100摘要:利用相對(duì)論哈密頓 雅可比方法求出了電子在激光場中的相對(duì)論性運(yùn)動(dòng)方程的解析解 并且在電子與激光脈沖散射的實(shí)驗(yàn)室參照系 電子初始靜止參照系 電子平均靜止系中，對(duì)于給定的任意橢圓偏振的激光場，得到了解析表達(dá)式。關(guān)鍵詞:相對(duì)論；矢勢;哈密頓 雅可比方程;邊條件;運(yùn)動(dòng)方程 通過求解哈密頓 雅可比方程，從而得到力學(xué)問題的解，這就是經(jīng)典力學(xué)中的哈密頓 雅可比方法 為計(jì)算電子在激光場中的輻射，需要知道電子的運(yùn)動(dòng)方程，本文考慮的即是這個(gè)問題 當(dāng)激光脈沖的強(qiáng)度很高時(shí)，電子將作相對(duì)論性運(yùn)動(dòng)，此時(shí)必須考慮磁場的作用，因此要采用相對(duì)論形式的哈密頓雅可比方法求解電子運(yùn)動(dòng)方程 相對(duì)論是關(guān)于時(shí)空和引力的基本理論，主要由阿爾伯特愛因斯坦(Albert Einstein)創(chuàng)立，依據(jù)研究的對(duì)象不同分為狹義相對(duì)論和廣義相對(duì)論。相對(duì)論和量子力學(xué)的提出給物理學(xué)帶來了革命性的變化，共同奠定了近代物理學(xué)的基礎(chǔ)。1 哈密頓 雅可比方法 哈密頓一雅可比方程是具特定形式的一階常微分方程組（運(yùn)動(dòng)方程組）與一個(gè)相應(yīng)的偏微分方程的關(guān)系的理論。它來源于分析力學(xué)，對(duì)經(jīng)典力學(xué)、理論物理、微分方程。一個(gè)電荷為e 靜止質(zhì)量為m 的帶電粒子在電磁場中運(yùn)動(dòng)，則相對(duì)論形式的哈密頓 雅可比方程為 其中A 為電磁場矢勢， 為標(biāo)勢，S 是哈密頓主函數(shù)。考慮電子被激光脈沖散射的情形，此時(shí)，標(biāo)勢.假定入射激光是任意橢圓偏振的橫向平面波，波矢為 k，頻率滿足 ，而洛倫茲不變相位 可表為 ，并且設(shè)激光場矢勢是 的周期函數(shù)，在電子與激光束相互作用前后為零，在t =0 時(shí)刻脈沖到達(dá)原點(diǎn)，于是矢勢可寫為 將式(2)代入式(1)電子運(yùn)動(dòng)的哈密頓 雅可比方程化為 首先我們注意到當(dāng)外場A =0 時(shí)，式(3)的解是顯然的 ，為 由于在哈密頓 雅可比方程中僅出現(xiàn) S 的偏微商，因此式(4)略去了一個(gè)無關(guān)緊要的任意常數(shù)項(xiàng)，而常矢量和常數(shù) 需滿足條件 這就是說在自由粒子情形，該粒子的四動(dòng)量為哈密頓主函數(shù)S， 是四動(dòng)量與四矢徑的標(biāo)量積 由于 僅僅是相位 的函數(shù)，哈密頓主函數(shù)也必將包含依賴于相位 的部分，受式(4)啟發(fā)，我們尋求如下形式的解 其中 和 由初始條件確定，并且為了方便起見，下文的討論中均將初始時(shí)刻取為 ，此時(shí)電子位于原點(diǎn)，即 函數(shù) 由式(3)確定 。將式(6)代入式(3)有 消去 的導(dǎo)數(shù)平方項(xiàng)，并應(yīng)用橫向條件得到的一階微分方程: 以 表示初相位，積分可得 將 代入式(6)即得到哈密頓主函數(shù)的解， 將主函數(shù)對(duì)常矢量 微商并令其等于初始坐標(biāo)就得到電子的運(yùn)動(dòng)方程: 其中 表示對(duì)矢量a 的各分量的偏導(dǎo)。 將主函數(shù)對(duì)微商并利用 就得到的表示: 這其實(shí)就是上文的洛倫茲不變相位 ，在本文的計(jì)算中取將主函數(shù)對(duì)坐標(biāo)微商得到正則能動(dòng)量: 利用式(12)可將能量表為 根據(jù)加在電子上的初始條件 可以確定解的具體形式，下文考慮3 種有代表性的情形:電子初始靜止的參照系;電子平均靜止的參照系;電子與脈沖任意角度散射的實(shí)驗(yàn)室參照系。2 .不同參照系中的運(yùn)動(dòng)方程電子初始靜止的參照系 (以下簡稱 e 系，并用下標(biāo)e 標(biāo)記)中，在激光束到達(dá)之前電子靜止于原點(diǎn)即為在時(shí)電子的坐標(biāo) ，此時(shí)激光脈沖即將到達(dá)，場的矢勢 ，電子初始動(dòng)量 ，初始能量 ，由式(12)得到 可見 沒有橫向分量。 將初始條件代入式(13)即得 故 的縱向分量滿足 式(14)和式(16)是加在 和 上的所有限制條件，不失一般性，可取 和 以簡化計(jì)算，這樣方程（10）變?yōu)?于是我們就得到了電子初始靜止系中的電子運(yùn)動(dòng)方程： a將 和 代入式(12)和式(13)可解得電子的動(dòng)量為 而電子的能量為 式(18) 式(20)給出了 e 系中電子運(yùn)動(dòng)方程的完整解。當(dāng)電子處于激光場中時(shí)，電子平均動(dòng)量為零的參照系 (以下簡稱 R 系，用下標(biāo) R 標(biāo)記)是一個(gè)非常有用的參照系。 我們將此參照系相對(duì)于 e 系的速度記為 ，稱為漂移速度，并取遠(yuǎn)大于光學(xué)周期 而小于脈寬的時(shí)間作時(shí)間平均，則有 解得 R 系中電子運(yùn)動(dòng)方程可通過對(duì)式(10)和式(13)加上相應(yīng)的邊條件來確定新的 和 而導(dǎo)出 將 R 系初始條件 應(yīng)用于式(12)得到 因此 也沒有橫向分量，并滿足限制條件 其中 滿足。 我們可取 和以簡化計(jì)算。時(shí)電子位于原點(diǎn)，由式（12）可得電子在R系中的運(yùn)動(dòng)為 可見電子在橫向按照矢勢的頻率振動(dòng)，而縱向振動(dòng)為其 2 倍頻，因此是兩個(gè)簡諧振動(dòng)的疊加 通過洛倫茲變換，R 系中激光束頻率可用 e 系頻率的多普勒頻移表示為 接下來我們考慮最為一般的情形，即電子與激光脈沖散射的實(shí)驗(yàn)室參照系(以下簡稱 L 系，相應(yīng)物理量用下標(biāo) L 標(biāo)記)中電子的運(yùn)動(dòng) 初始時(shí)刻電子位于原點(diǎn)，初始動(dòng)量為 ，激光場矢勢為 0，代入式(12)有 將 和沿垂直和平行于脈沖傳播方向分解為橫向的 ， 和縱向的 、矢量，即 , 橫向的、 矢量垂直于，則由式(27)有 根據(jù)式(13)我們得到， 式(29)和式(30)即為實(shí)驗(yàn)室系中加在和 上的所有限制 因此我們可取等于0，即 是橫向的， ，而以簡化計(jì)算，代入式(12)電子在 L 系中的運(yùn)動(dòng)方程為 其中 如上所述，并且電子的軌跡被表為橫向與縱向的疊加。3. 給定激光場矢勢的結(jié)果以上討論了激光場中電子運(yùn)動(dòng)的一般情形，下文我們對(duì)給定的矢勢來討論具體結(jié)果。如圖 1 所示的沿 + z方向傳播的任意橢圓偏振的平面波，其矢勢可表為 其中 和 是橫向單位矢量，常數(shù) 表征偏振度 。線偏振對(duì)應(yīng)于，而圓偏振為，。 為方便起見，記無量綱激光強(qiáng)度參數(shù)為 并定義參數(shù) 如下: 將式(32)代入式(25)得到， R 系中電子運(yùn)動(dòng)方程 對(duì)于線偏振激光，取 =1，由式(34)有， ， 消去 即得 R 系中的軌跡方程 軌跡式(36)為xz 平面內(nèi)的 8 字形 ，圖 2 給出了 分別為0 .1，0 .2 和0 .3 時(shí)的軌跡曲線。同樣的對(duì)于 e 系，計(jì)算可得電子運(yùn)動(dòng)方程為 對(duì)于 L 系的表述稍復(fù)雜，為此引入電子歸一化初始速度 和洛倫茲因子 ,并代入 ，計(jì)算可得在 L 系的結(jié)果為 4 .結(jié)論如上所述，我們利用哈密頓雅可比方法求出了電子在激光場中的相對(duì)論性運(yùn)動(dòng)方程的解析解 并且對(duì)于給定的任意橢圓偏振的激光場矢勢式(32)， 在電子與激光脈沖以任意角度散射的實(shí)驗(yàn)室參照系 電子初始靜止參照系 、電子平均靜止系中，我們分別得到了解析解最后還應(yīng)指出，在上述討論中我們忽略了電子的輻射反沖。 由于我們的討論是經(jīng)典的，因此該近似的適用條件可以簡單的表示為:在電子平均靜止參照系中看來，光子能量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于電子的靜止能量 。不難看出，由于激光波長一般均在可見光或紅外波段，光子能量是 eV 量級(jí)，所以對(duì)于電子與脈沖任意角度散射的實(shí)驗(yàn)室參照系而言，電子能量只要小于500 MeV，上述結(jié)果不會(huì)有顯著修正參考文獻(xiàn):1 H 戈德斯坦 經(jīng)典力學(xué)M 陳為恂，譯 北京:科學(xué)出版社，1986:521-5602 朗道，栗弗席茲 力學(xué)M 北京:高等教育出版社，1979:194-2143 Landau L D，Lifshitz E M Classical Theory of FieldsM 2nd ed New York:Addsion Wesley PublishingCompany，19624 Eberly J H，Sleeper A Trajectory and mass shift of aclassical electron in a radiation pulseJ Phys Rev，1968，176(5)1:570-15735 Sarachik E S，Schappert G T Classical theory of thescattering of intense laser radiation by free