相對論雅可比方程.doc

相對論哈密頓 雅可比方程王雪蓮紅河學(xué)院,云南省,中國,郵編661100摘要:利用相對論哈密頓 雅可比方法求出了電子在激光場中的相對論性運動方程的解析解 并且在電子與激光脈沖散射的實驗室參照系 電子初始靜止參照系 電子平均靜止系中，對于給定的任意橢圓偏振的激光場，得到了解析表達式。關(guān)鍵詞:相對論；矢勢;哈密頓 雅可比方程;邊條件;運動方程 通過求解哈密頓 雅可比方程，從而得到力學(xué)問題的解，這就是經(jīng)典力學(xué)中的哈密頓 雅可比方法 為計算電子在激光場中的輻射，需要知道電子的運動方程，本文考慮的即是這個問題 當(dāng)激光脈沖的強度很高時，電子將作相對論性運動，此時必須考慮磁場的作用，因此要采用相對論形式的哈密頓雅可比方法求解電子運動方程 相對論是關(guān)于時空和引力的基本理論，主要由阿爾伯特愛因斯坦(Albert Einstein)創(chuàng)立，依據(jù)研究的對象不同分為狹義相對論和廣義相對論。相對論和量子力學(xué)的提出給物理學(xué)帶來了革命性的變化，共同奠定了近代物理學(xué)的基礎(chǔ)。1 哈密頓 雅可比方法 哈密頓一雅可比方程是具特定形式的一階常微分方程組（運動方程組）與一個相應(yīng)的偏微分方程的關(guān)系的理論。它來源于分析力學(xué)，對經(jīng)典力學(xué)、理論物理、微分方程。一個電荷為e 靜止質(zhì)量為m 的帶電粒子在電磁場中運動，則相對論形式的哈密頓 雅可比方程為 其中A 為電磁場矢勢， 為標(biāo)勢，S 是哈密頓主函數(shù)?？紤]電子被激光脈沖散射的情形，此時，標(biāo)勢.假定入射激光是任意橢圓偏振的橫向平面波，波矢為 k，頻率滿足 ，而洛倫茲不變相位 可表為 ，并且設(shè)激光場矢勢是 的周期函數(shù)，在電子與激光束相互作用前后為零，在t =0 時刻脈沖到達原點，于是矢勢可寫為 將式(2)代入式(1)電子運動的哈密頓 雅可比方程化為 首先我們注意到當(dāng)外場A =0 時，式(3)的解是顯然的 ，為 由于在哈密頓 雅可比方程中僅出現(xiàn) S 的偏微商，因此式(4)略去了一個無關(guān)緊要的任意常數(shù)項，而常矢量和常數(shù) 需滿足條件 這就是說在自由粒子情形，該粒子的四動量為哈密頓主函數(shù)S， 是四動量與四矢徑的標(biāo)量積 由于 僅僅是相位 的函數(shù)，哈密頓主函數(shù)也必將包含依賴于相位 的部分，受式(4)啟發(fā)，我們尋求如下形式的解 其中 和 由初始條件確定，并且為了方便起見，下文的討論中均將初始時刻取為 ，此時電子位于原點，即 函數(shù) 由式(3)確定 。將式(6)代入式(3)有 消去 的導(dǎo)數(shù)平方項，并應(yīng)用橫向條件得到的一階微分方程: 以 表示初相位，積分可得 將 代入式(6)即得到哈密頓主函數(shù)的解， 將主函數(shù)對常矢量 微商并令其等于初始坐標(biāo)就得到電子的運動方程: 其中 表示對矢量a 的各分量的偏導(dǎo)。 將主函數(shù)對微商并利用 就得到的表示: 這其實就是上文的洛倫茲不變相位 ，在本文的計算中取將主函數(shù)對坐標(biāo)微商得到正則能動量: 利用式(12)可將能量表為 根據(jù)加在電子上的初始條件 可以確定解的具體形式，下文考慮3 種有代表性的情形:電子初始靜止的參照系;電子平均靜止的參照系;電子與脈沖任意角度散射的實驗室參照系。2 .不同參照系中的運動方程電子初始靜止的參照系 (以下簡稱 e 系，并用下標(biāo)e 標(biāo)記)中，在激光束到達之前電子靜止于原點即為在時電子的坐標(biāo) ，此時激光脈沖即將到達，場的矢勢 ，電子初始動量 ，初始能量 ，由式(12)得到 可見 沒有橫向分量。 將初始條件代入式(13)即得 故 的縱向分量滿足 式(14)和式(16)是加在 和 上的所有限制條件，不失一般性，可取 和 以簡化計算，這樣方程（10）變?yōu)?于是我們就得到了電子初始靜止系中的電子運動方程： a將 和 代入式(12)和式(13)可解得電子的動量為 而電子的能量為 式(18) 式(20)給出了 e 系中電子運動方程的完整解。當(dāng)電子處于激光場中時，電子平均動量為零的參照系 (以下簡稱 R 系，用下標(biāo) R 標(biāo)記)是一個非常有用的參照系。 我們將此參照系相對于 e 系的速度記為 ，稱為漂移速度，并取遠大于光學(xué)周期 而小于脈寬的時間作時間平均，則有 解得 R 系中電子運動方程可通過對式(10)和式(13)加上相應(yīng)的邊條件來確定新的 和 而導(dǎo)出 將 R 系初始條件 應(yīng)用于式(12)得到 因此 也沒有橫向分量，并滿足限制條件 其中 滿足。 我們可取 和以簡化計算。時電子位于原點，由式（12）可得電子在R系中的運動為 可見電子在橫向按照矢勢的頻率振動，而縱向振動為其 2 倍頻，因此是兩個簡諧振動的疊加 通過洛倫茲變換，R 系中激光束頻率可用 e 系頻率的多普勒頻移表示為 接下來我們考慮最為一般的情形，即電子與激光脈沖散射的實驗室參照系(以下簡稱 L 系，相應(yīng)物理量用下標(biāo) L 標(biāo)記)中電子的運動 初始時刻電子位于原點，初始動量為 ，激光場矢勢為 0，代入式(12)有 將 和沿垂直和平行于脈沖傳播方向分解為橫向的 ， 和縱向的 、矢量，即 , 橫向的、 矢量垂直于，則由式(27)有 根據(jù)式(13)我們得到， 式(29)和式(30)即為實驗室系中加在和 上的所有限制 因此我們可取等于0，即 是橫向的， ，而以簡化計算，代入式(12)電子在 L 系中的運動方程為 其中 如上所述，并且電子的軌跡被表為橫向與縱向的疊加。3. 給定激光場矢勢的結(jié)果以上討論了激光場中電子運動的一般情形，下文我們對給定的矢勢來討論具體結(jié)果。如圖 1 所示的沿 + z方向傳播的任意橢圓偏振的平面波，其矢勢可表為 其中 和 是橫向單位矢量，常數(shù) 表征偏振度 。線偏振對應(yīng)于，而圓偏振為，。 為方便起見，記無量綱激光強度參數(shù)為 并定義參數(shù) 如下: 將式(32)代入式(25)得到， R 系中電子運動方程 對于線偏振激光，取 =1，由式(34)有， ， 消去 即得 R 系中的軌跡方程 軌跡式(36)為xz 平面內(nèi)的 8 字形 ，圖 2 給出了 分別為0 .1，0 .2 和0 .3 時的軌跡曲線。同樣的對于 e 系，計算可得電子運動方程為 對于 L 系的表述稍復(fù)雜，為此引入電子歸一化初始速度 和洛倫茲因子 ,并代入 ，計算可得在 L 系的結(jié)果為 4 .結(jié)論如上所述，我們利用哈密頓雅可比方法求出了電子在激光場中的相對論性運動方程的解析解 并且對于給定的任意橢圓偏振的激光場矢勢式(32)， 在電子與激光脈沖以任意角度散射的實驗室參照系 電子初始靜止參照系 、電子平均靜止系中，我們分別得到了解析解最后還應(yīng)指出，在上述討論中我們忽略了電子的輻射反沖。 由于我們的討論是經(jīng)典的，因此該近似的適用條件可以簡單的表示為:在電子平均靜止參照系中看來，光子能量遠遠小于電子的靜止能量 。不難看出，由于激光波長一般均在可見光或紅外波段，光子能量是 eV 量級，所以對于電子與脈沖任意角度散射的實驗室參照系而言，電子能量只要小于500 MeV，上述結(jié)果不會有顯著修正參考文獻:1 H 戈德斯坦 經(jīng)典力學(xué)M 陳為恂，譯 北京:科學(xué)出版社，1986:521-5602 朗道，栗弗席茲 力學(xué)M 北京:高等教育出版社，1979:194-2143 Landau L D，Lifshitz E M Classical Theory of FieldsM 2nd ed New York:Addsion Wesley PublishingCompany，19624 Eberly J H，Sleeper A Trajectory and mass shift of aclassical electron in a radiation pulseJ Phys Rev，1968，176(5)1:570-15735 Sarachik E S，Schappert G T Classical theory of thescattering of intense laser radiation by free