河北專接本高等數(shù)學(xué)---線性代數(shù)復(fù)習(xí)內(nèi)容.pdf

阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277226 第第二二篇篇線線性性代代數(shù)數(shù) 第第九九章章行行列列式式 第第一一節(jié)節(jié)二二階階 三三階階行行列列式式 A A 基基本本知知識(shí)識(shí) 一一 二二 三三階階行行列列式式 1 用記號(hào)表示代數(shù)和稱為二階行列式 即 圖線記憶 實(shí)線表示乘積項(xiàng)取 正 號(hào) 虛線表示乘積項(xiàng)取 負(fù) 號(hào) 行列式一般 用字母來表示 行列式是一個(gè)數(shù) 用記號(hào)表示 2 代數(shù)和稱為三階行列式 即 圖線記憶 實(shí)線表示乘積項(xiàng)取 正 號(hào) 虛線表示乘積項(xiàng)取 負(fù) 號(hào) B B 例例題題分分析析 例 1 例 2設(shè) 問 當(dāng)為何值時(shí) 0 當(dāng)為何值時(shí) 0 當(dāng)或時(shí) 0 當(dāng)且時(shí) 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277227 例 3 1 0 6 2 5 3 4 0 1 5 0 2 4 6 3 0 例 4 滿足什么條件時(shí) 有 的充分必要條件是 解兩題由計(jì)算可知分別是 或 第第二二節(jié)節(jié)階階行行列列式式 A A 基基本本知知識(shí)識(shí) 一一 排排列列與與逆逆序序 1 排列定義 由個(gè)不同數(shù)碼 1 2 3 組成的有序數(shù)組 稱為一個(gè)級(jí) 排 列 1 2 3 4 及 4 3 2 1 都是 4 級(jí)排列 2 逆序數(shù)定義 在一個(gè)級(jí)排列中 如果有較大的數(shù) 排在較小的數(shù)前 則稱與構(gòu)成一個(gè)逆序 一個(gè)級(jí)排序中逆序的總數(shù)稱為的逆序數(shù) 記為 如果 是奇數(shù) 則稱為奇排列 如果 是偶數(shù)或 0 則稱為偶排列 二二 行行列列式式 1 行列式定義 所有不同行不同列的元素乘積的代數(shù)和 每一項(xiàng)的正負(fù)號(hào)由行的逆序數(shù)和列 的逆序數(shù)決定 若行的逆序數(shù) 列的逆序數(shù) 奇數(shù) 則取 反之取 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277228 2 三角形行列式 稱為下三角行列式 稱為上三角行列式 稱為對(duì)角行列式 B B 例例題題分分析析 例 1 2 1 3 1所以 213 為奇排列 2 3 1 5 4 3所以 23154 為奇排列 例 2求下列乘積項(xiàng)中的逆序數(shù) 解8 8 例 3為 5 階行列式中帶負(fù)號(hào)項(xiàng) 求 解 第第三三節(jié)節(jié)行行列列式式性性質(zhì)質(zhì) A A 基基本本知知識(shí)識(shí) 性質(zhì) 1 將行列式轉(zhuǎn)置 行列式的值不變 即 例 1 行變列 或列變行 性質(zhì) 2 交換行列式兩行 列 行列式的值變號(hào) 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277229 例 2 推論 如果行列式中有兩行 列 對(duì)應(yīng)元素相同或成比例 則行列式值為 0 例 3 0 0 性質(zhì) 3 用數(shù)乘行列式某一行 列 等于以數(shù)乘此行列式 例 4 推論 1 如果行列式中某行 列 所有元素有公因子 則可提到行列式外 例 5已知 1 求 可知 推論 2 如果行列式的某一行 列 元素全部為零 那么此行列式值為零 性質(zhì) 4 如果將行列式中的某一行 列 的每一個(gè)元素都寫成兩個(gè)數(shù)的和 則此行列式可以寫成 兩個(gè)行列式的和 這兩個(gè)行列式分別以這兩個(gè)數(shù)為所在行 列 對(duì)應(yīng)位置的元素 其他位置的 元素與原行列式相同 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277230 例 6 性質(zhì)5 將行列式某一行 列 的所有元素同乘以數(shù)后加到另一行 列 對(duì)應(yīng)位置的元素上 行列式值不變 B B 例例題題分分析析 例 1 例 2 例 3計(jì)算 解該行列式的特點(diǎn)是各行 3 個(gè)數(shù)之和都為 把第 2 3 列同時(shí)乘以 1 加到第 1 列上 再把第 1 行乘以 加到第 2 行 第 3 行 變成了上三角行列式 直接計(jì)算對(duì)角線數(shù)相乘的值 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277231 第第四四節(jié)節(jié)行行列列式式按按行行 列列 展展開開 A A 基基本本知知識(shí)識(shí) 一 余子式概念 在階行列式中 中去掉元素所在的第 行與第列后 余下的 階子式 稱為中元素的余子式 記為 例 1 二 代數(shù)余子式概念 的余子式前添加稱為元素的代數(shù)余子式 記作 例 2 三 代數(shù)余子式的相關(guān)定理 1 定理 1 D i 1 2 n j 1 2 n 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277232 值運(yùn)算 階行列式 等于它的任意一行 列 各元素與其對(duì)應(yīng)代數(shù)余子式乘積的和 例 3將行列式按第一行 第三列展開 解按第一行展開得 按第三列展開得 2 定理 2 0 或 0 i 1 2 n j 1 2 n 零運(yùn)算 階行列式 D 的某一行 列 的元素與另一行 列 對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式的 乘積的和等于 0 例 4計(jì)算 1 0 解由題可知是第一行的元素與第二行的代數(shù)余子式的乘積的和 構(gòu)造新的行列式 該行列式的值為 0 按照第二行展開 1 0 0 所以原題的解 為 0 結(jié)論 把定理和行列式的性質(zhì)結(jié)合起來 可以使行列式的計(jì)算大為簡化 計(jì)算行列式值時(shí) 常 常利用行列式的性質(zhì)使某一行 列 的元素出現(xiàn)盡可能多的零 這種運(yùn)算叫做化零運(yùn)算 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277233 第第五五節(jié)節(jié)克克萊萊姆姆法法則則 A A 基基本本知知識(shí)識(shí) 二元一次方程組 當(dāng)時(shí) 推廣到元一次方程組 一 非齊次線性方程組解的定理 線性方程當(dāng)系數(shù)行列式0 時(shí) 有且僅有唯一解 例 1 二 齊次線性方程組解的定理 1 當(dāng)非齊次線性方程組的常數(shù)項(xiàng)均為零時(shí) 稱為齊次線性方程組 2 齊次線性方程組解的定理 例 2 所以方程組僅有零解 B B 例例題題分分析析 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277234 例 1求當(dāng)為何值時(shí) 方程組僅有零解 有非零解 方程組有非零解 方程組僅有零解 例 2只有零解 則取什么值 解方程組的系數(shù)行列式 所以當(dāng)時(shí) 方程組只有零解 C C 真真題題演演練練 例 1線性方程組只有零解 則 200401 解方程組只有零解的充要條件是 即 例 2如果方程組有無窮多解 那么 200503 解齊次線性方程組有無窮多解 即有非零解的充要條件為系數(shù)行列式值為零 即 解得或 例 3若齊次線性方程組有非零解 則 200701 解齊次線性方程組有非零解的充要條件為系數(shù)行列式值為零 即 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277235 解得或 例 4已知三階行列式 則 200902 解 例 5四階行列式的值等于 201001 解所 以選 例 6設(shè)四階矩陣 其中均為 4 維列向 量 且已知行列式 則行列式 200601 20 30 40 50 解 由且易知 由 且 易知 將上述結(jié)果代入 可得 所以選 例 7計(jì)算四階行列式的值 200702 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277236 解 原式 例 8設(shè)三階方陣 其中 j 1 2 3 為的第 j 列 且的行列式 2 若 則的行列式值 200901 16 12 54 6 解本題考查的是方陣及行列式的性質(zhì) 所以選 例 9若行列式 則 k 200903 5 3 解本題考察三階行列式計(jì)算 選 第第九九章章練練習(xí)習(xí)題題 1 計(jì)算下列行列式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277237 13 2 解方程 1 0 2 3 用克萊姆法則進(jìn)行求解 1 方程組有非零解的條件是 2 設(shè)方程組僅有零解 則滿足 3 設(shè)方程組有非零解 則滿足 4 設(shè)方程組有非零解 則滿足 第第九九章章練練習(xí)習(xí)題題答答案案 1 1 14 2 3 4 5 6 7 210 8 2 9 143 10 11 12 13 2 1 2 3 1 或 2 且 3 或 4 或 本本章章小小結(jié)結(jié) 行列式的核心內(nèi)容是求行列式值 包括具體行列式的計(jì)算和個(gè)別抽象行列式的計(jì)算 其 中具體行列式的計(jì)算又有低階和階兩種類型 主要方法是應(yīng)用行列式按行或者列展開定理 和化為上下三角行列式求解 還可能用到的方法包括 行列式的定義 階行列式的值為取 自不同行 不同列的各個(gè)元素的乘積的代數(shù)和 行列式的性質(zhì) 如 數(shù)乘行列式等于用此 數(shù)乘一行列式中的某一行或某一列 對(duì)于抽象行列式的求值 考點(diǎn)不在求行列式 而在 于考慮 等的相關(guān)性質(zhì) 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277238 第第十十章章矩矩陣陣 第第一一節(jié)節(jié)矩矩陣陣的的概概念念 A A 基基本本知知識(shí)識(shí) 例 1某企業(yè)生產(chǎn) 5 種產(chǎn)品的季度產(chǎn)值 單位 萬元 1234529870858483 39075908190 48870828091 可以寫成排成 4 行 5 列的產(chǎn)值矩陣 一 矩陣的概念 由 個(gè)數(shù)排成一個(gè)行列的矩陣表 稱為 一個(gè) 矩陣 記作 或 一般用大寫字母 A B C 表示矩陣 為表明矩陣的行數(shù)和列數(shù)可用表示 或記作 二 矩陣形狀 1 所有元素均為 0 的矩陣 稱為 0 矩陣 記作 2 所有元素均為非負(fù)數(shù)的矩陣 稱為非負(fù)矩陣 3 如果 的行數(shù)與列數(shù)都等于 則稱為階方陣 只有方陣 才有行列式值 即 不是方陣沒有行列式值 如果兩矩陣 有相同行數(shù)與列數(shù) 且對(duì)應(yīng)位置元素均相等則稱與相等 記作 第第二二節(jié)節(jié)矩矩陣陣的的運(yùn)運(yùn)算算 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277239 A A 基基本本知知識(shí)識(shí) 一 矩陣的加法和數(shù)與矩陣的乘法 1 加法 例 1 2 數(shù)乘 例 2 3 矩陣運(yùn)算律 都是矩陣 是數(shù) 則 1 2 3 4 5 6 7 8 驗(yàn)證 為方陣 二 矩陣的乘法 設(shè)矩陣 的列數(shù)與矩陣 的行數(shù)相同 則由元素 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277240 構(gòu)成的行列矩陣 1 矩陣相乘后得到新矩陣的形狀 例 不可乘 可乘 2 兩個(gè)矩陣相乘 內(nèi)部決定可乘與否 外部決定新形狀 例 3 求 結(jié)論 若 則稱與可交換 乘法口訣 矩陣的每一行與矩陣每一列對(duì)應(yīng)元素乘積的和 不換行則新矩陣不換行 3 乘法運(yùn)算法則 1 2 3 4 4 矩陣乘法的重要結(jié)論 B B 例例題題分分析析 例 1 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277241 例 2求 解 例3 為三階矩陣 若已知 求 解已知矩陣為三階矩陣 由此得知 所以 例 4 求 例 5 求 例 6 求 為二階矩陣 解設(shè) 則有 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277242 所以 解得所以 第第三三節(jié)節(jié)幾幾種種特特殊殊矩矩陣陣 A A 基基本本知知識(shí)識(shí) 一 對(duì)角矩陣 1 數(shù)乘 2 加法 3 乘法 4 如果為對(duì)角矩陣 則 二 數(shù)量矩陣 對(duì)角矩陣中 元素時(shí)稱為階數(shù)量矩陣 以數(shù)量矩陣左乘或右乘 前提是可乘 一個(gè)矩陣 其乘積等于以數(shù)乘矩陣 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277243 三三 單位矩陣 I 或 E 如果階數(shù)量矩陣中元素時(shí) 則為單位矩陣 記作或 單位矩陣與任何矩陣左乘或右乘 前提是可乘 仍等于任何矩陣 四 三角形矩陣 上三角形矩陣 下三角形矩陣 B B 例例題題分分析析 例 1求 解 例 2求 解 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277244 第第四四節(jié)節(jié)逆逆矩矩陣陣 A A 基基本本知知識(shí)識(shí) 一 逆矩陣定義 對(duì)于階矩陣 如果存在階矩陣 使得 那么矩陣稱 為可逆矩陣 而稱為的逆矩陣 如果可逆 的逆矩陣是唯一的 將的逆矩陣記作 1 矩陣 可逆的充要條件是 為非奇異 2 伴隨矩陣 即代數(shù)余子式矩陣的轉(zhuǎn)置 即 3 代數(shù)余子式求逆矩陣 是 中元素的代數(shù)余子式 二 對(duì)角矩陣的逆矩陣 其中 三三 逆矩陣性質(zhì)及公式 1 1 2 3 4 5 2 1 2 3 4 B B 例例題題分分析析 例 1 求 所以可逆 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277245 于是 例 2 求 例 3設(shè)階矩陣滿足 證明為可逆矩陣 并求 為常數(shù) 且 證明 可逆 例 4判斷正誤 為同階矩陣 且可逆 1 若 則 2 若 則 3 若 則 4 若 則 解 1 因?yàn)榭赡?所以 則 2 無法推出 反例 3 因?yàn)榭赡?4 無法推出 反例 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277246 第第五五節(jié)節(jié)矩矩陣陣初初等等變變換換 A A 基基本本知知識(shí)識(shí) 一 矩陣的初等變換 1 交換矩陣兩行 列 2 以一個(gè)非零的數(shù)乘矩陣的某一行 列 3 把矩陣的某一行 列 的 倍加于另一行 列 二 初等矩陣 對(duì)單位矩陣施以一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣 1 2 3 三 初等矩陣的乘法 左乘初等矩陣進(jìn)行行變換 右乘初等矩陣進(jìn)行列變換 例 1 交換的第一行得 例 2 將的第三列乘以 2 加于第一列得 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277247 四 初等矩陣的逆矩陣 五 矩陣的形式 任一矩陣經(jīng)過若干次初等變換 可以化為下面形式的矩陣 稱之為形式 六 求逆矩陣方法 2 擴(kuò)展單位矩陣 例 3求的逆矩陣 解 作 3 6 矩陣 為 3 階單位矩陣 得 1 利用擴(kuò)展單位矩陣求逆矩陣方法 1 補(bǔ)充同階單位矩陣 2 只能初等行變換 不能出現(xiàn)列變換 3 將矩陣化成單位矩陣 2 求逆矩陣方法 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277248 1 擴(kuò)充單位矩陣法 2 伴隨矩陣法 B B 例例題題分分析析 例 1 化為形式矩陣 例 2化為形式矩陣 例 3 求 例 4 用初等變換求 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277249 故 例 5設(shè)滿足下式 求 解用行初等變換求逆矩陣 設(shè) 即 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277250 第第六六節(jié)節(jié)矩矩陣陣的的秩秩 A A 基基本本知知識(shí)識(shí) 一 階子式 從矩陣中 任取行列 位于這些行列相交處元 素 保持它們原來對(duì)應(yīng)位置構(gòu)成的階行列式 稱為矩陣的一個(gè)階子式 例 1取一三兩行 二四兩列相交處的元素所構(gòu)成的二階子式 二 矩陣的秩 1 秩的概念 為矩陣 若中 階子式行列式值不為 0 但任何階子式行列式值 都為 0 則稱的秩為 記作 當(dāng)時(shí) 2 矩陣的秩的性質(zhì) 1 2 3 當(dāng)時(shí) 稱為滿秩矩陣 例 2 矩陣經(jīng)初等變換后秩不變 3 求秩方法 1 將矩陣化為上或下三角形矩陣 2 每一行第一個(gè)非零數(shù)都要在對(duì)角線上 否則通過上下?lián)Q行使其成立 3 數(shù)對(duì)角線上有幾個(gè)非 0 數(shù) 二二 例例題題分分析析 例 1求的秩 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277251 例 2求的秩 例 3求的秩 C C 真真題題演演練練 例 1設(shè) 則 200401 解僅由 即可確定出 例 2設(shè) 為階可逆矩陣 則下列等式不成立的是 200401 解 例 3設(shè)方陣為階方陣 為常數(shù) 那么 解根據(jù)行列式性質(zhì)和矩陣的數(shù)乘 易得選 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277252 例 4矩陣的秩 200502 解 因?yàn)?所以 例 5下列命題中 不正確的是 200602 初等矩陣的逆矩陣也是初等矩陣 初等矩陣的和也是初等矩陣 初等矩陣都是可逆的 初等矩陣的轉(zhuǎn)置是初等矩陣 解分析 很顯然都是正確的 下面分析一下 給出兩個(gè)初等矩陣 以及 很顯然 不是初等矩陣 所以的結(jié) 論是錯(cuò)誤的 選 例 6設(shè)矩陣 200701 1 問矩陣是否可逆 若可逆則說明理由并求出其逆矩陣 2 問是否存在 3 階矩陣使 若存在則求出矩陣 解解法一 擴(kuò)展單位矩陣求逆矩陣 所以不可逆 可逆 解法二 利用伴隨矩陣求逆矩陣 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277253 故矩陣可逆 2 解 將 化簡為 由于可逆 所以存在滿足要求且 例7設(shè)矩陣為可逆方陣 其行列式值分別為 則下列各式中 正確的是 200702 解 分析 其中為方陣的階數(shù) 例 8設(shè)矩陣為階方陣 則下列說法正確的是 200703 若 若 解選 因?yàn)榫仃嚦朔ú粷M足交換律 即不一定等于 所以不一定成立 令 則 但 所以 選 例 9設(shè) 其中矩陣 求矩陣 200703 解 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277254 有得到 例10設(shè)矩陣為階方陣 則下列說法正確的是 200801 均不可逆 解 所以選 例 11設(shè)均為階方陣 下列敘述正確的是 200802 如果行列式 如果 O 則 O 或 O 解 所以選 C 例 12已知 則 200803 解 例 13設(shè)均為階方陣 則下列敘述正確的是 200901 若 則 若 則或 解 例 14設(shè)均為階方陣 則下列敘述正確的是 200902 若 則 若 則或 若 則或 解 例 15矩陣 則 200903 解 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277255 第第十十章章練練習(xí)習(xí)題題 1 判斷 1 n階方陣是可以求值的 2 用同一組數(shù)組成的兩個(gè)矩陣是相等的 3 兩個(gè)行數(shù) 列數(shù)都相同的矩陣是相等的 4 矩陣都有行列式 5 兩個(gè)矩陣的行列式相等 則兩個(gè)矩陣相等 6 兩個(gè)矩陣相等 則其行列式對(duì)應(yīng)相等 7 如果矩陣A的行列式值為 0 則A 0 2 計(jì)算 1 設(shè) 則 2 設(shè)n階方陣A和B滿足AB BA 證明 3 若矩陣 驗(yàn)證 4 若矩陣 驗(yàn)證 3 用伴隨矩陣求下列矩陣的逆矩陣 1 2 3 4 用初等變換求逆矩陣 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277256 1 2 3 5 解矩陣方程 1 2 6 求下列矩陣的秩 1 2 3 4 第第十十章章習(xí)習(xí)題題答答案案 1 1 正確 2 錯(cuò)誤 3 錯(cuò)誤 4 錯(cuò)誤 5 錯(cuò)誤 6 正確 7 錯(cuò)誤 2 1 2 3 4 略 3 1 2 3 4 1 2 3 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277257 5 1 2 6 1 2 3 4 本本章章小小結(jié)結(jié) 矩陣中除可逆陣 伴隨陣 分塊陣 初等矩陣等重要概念外 主要也是運(yùn)算 其運(yùn)算分 兩個(gè)層次 一是運(yùn)用矩陣的性質(zhì)對(duì)抽象矩陣進(jìn)行運(yùn)算 二是具體矩陣的數(shù)值運(yùn)算 下面的表 格分類列出了逆矩陣 伴隨矩陣 矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)以供區(qū)別記憶 行列式性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì)秩的性質(zhì) 轉(zhuǎn)置矩陣 逆矩陣 伴隨矩陣 三者之間有一 個(gè)既好記又好用的性質(zhì) 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277258 數(shù)乘矩陣 矩陣之積及 矩陣之和 則有 若是可逆矩陣則有 同樣 若可逆則有 第第十十一一章章線線性性方方程程組組 第第一一節(jié)節(jié)消消元元法法求求解解線線性性方方程程組組 A A 基基礎(chǔ)礎(chǔ)知知識(shí)識(shí) 一 線性方程組與矩陣 認(rèn)識(shí) 矩陣形成 1 稱為系數(shù)矩陣 稱為常數(shù)項(xiàng)矩陣 稱為元未知量矩陣 2 稱為非齊次線性方程組 當(dāng) 即時(shí) 稱為齊次線性方程組 稱為線性方程組的增廣矩陣 是矩陣的秩 是增廣矩陣的秩 是矩陣的列數(shù) 即線性方程組中未知量的個(gè)數(shù) 二 求解線性方程組 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277259 例 1 消元法 解 2 以上就是消元求解過程 利用增廣矩陣的初等行變換表示 最后得到方程組的解 1 3 2 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277260 消元法求解過程 增廣矩陣初等行變換 1 非齊次線性方程組的解 1 時(shí)有且僅有唯一解 2 時(shí)有無窮解 3 時(shí)無解 2 齊次線性方程組的解 1 時(shí)僅有零解 2 時(shí)有非零解 B B 例例題題分分析析 例 1解線性方程組 解對(duì)方程組的增廣矩陣施以初等行變換 得 取 為任意常數(shù) 則方程全部解為 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277261 例 2解線性方程組 解對(duì)方程組的增廣矩陣施以初等行變換 因?yàn)?所以無解 例 3取何值時(shí) 線性方程組有解 并求其解 解對(duì)方程組的增廣矩陣施以初等行變換 當(dāng)1 時(shí) 3 方程組有唯一解 當(dāng) 1 時(shí) 1 3 方程有無窮多解 設(shè) 為任意常數(shù) 于是 例 4解齊次線性方程組 解 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277262 2 4 有非零解 得到原方程組的同解方程組設(shè) 為任意常數(shù) 于是得到方程組的一般解 第第二二節(jié)節(jié)維維向向量量空空間間 A A 基基本本知知識(shí)識(shí) 一 維向量 個(gè)實(shí)數(shù)組成的有序數(shù)組稱作維向量 一般用 等希臘字母表示 1 行向量 稱為維行向量 稱為向量的第 個(gè)分量 2 列向量 稱為維列向量 稱為向量的第 個(gè)分量 可以寫成 3 矩陣與向量 中的每一行 都是維 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277263 行向量 每一列 都是維列向量 4 向量相等 兩個(gè)維向量 當(dāng)且僅當(dāng)它們各對(duì)應(yīng)分量分別相等時(shí) 才是相等的 則可稱 5 零向量 各分量都為 0 的向量 0 0 0 6 負(fù)向量 稱是的負(fù)向量 二 向量四則運(yùn)算 1 數(shù)乘2 1 2 3 2 4 6 2 加法 1 3 5 7 2 0 1 0 3 3 6 7 3 減法 2 0 1 1 1 3 4 1 1 3 3 0 4 運(yùn)算規(guī)律 1 2 3 4 5 6 7 8 第第三三節(jié)節(jié)向向量量間間的的線線性性關(guān)關(guān)系系 A A 基基本本知知識(shí)識(shí) 線性方程組可以寫成常數(shù)列向量與系數(shù)列向量如下的線性關(guān)系 其中 一 線性表示 線性方程組有解與否 就相當(dāng)于是否存在一組數(shù) 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277264 使線性關(guān)系式成立 如果存在 則方程組有解 否則 無解 可以表示上述關(guān)系式時(shí) 稱向量是向量組的線性組合 或者稱可由向量組 線性表示 1 線性表示定義 對(duì)于給定向量 如果存在一組數(shù)使 成立 則稱是的線形組合 或稱可為 的線性表示 例 1 2 1 1 解 2 線性表示的充分必要條件 以為列向量的矩陣與以 為列向量的 矩陣有相同的秩 1 任何一個(gè)維向量 都是維向量組 的線性組合 因?yàn)?2 零向量是任何一組向量的線性組合 因?yàn)?0 3 向量組中任一向量都是此向量的線性組合 因?yàn)?二 線性相關(guān)與線性無關(guān) 1 線性相關(guān)定義 對(duì)于向量組 如果存在一組不全為 0 的數(shù)時(shí) 使得 成立 則稱線性相關(guān) 2 線性無關(guān)定義 對(duì)于向量組 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí) 使得 成立 則稱線性無關(guān) 例 2與線性相關(guān) 與線性無關(guān) 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277265 1 對(duì)于維向量組 其中 則線 性相關(guān)的充分必要條件是 以為向量的矩陣的秩小于向量的個(gè)數(shù) 2 對(duì)于 個(gè) 維向量 則向量組線性相關(guān)的充 分必要條件是 0 不滿秩 無關(guān)的條件為 滿秩 3 當(dāng)向量組中所含向量個(gè)數(shù)大于向量維數(shù)時(shí) 此向量組相關(guān) 4 如果向量組中有一部分向量 部分組 線性相關(guān) 則整個(gè)向量組相關(guān) 5 含有 0 向量的向量組線性相關(guān) 6 向量組線性相關(guān)的充要條件是 其中至少有一個(gè)向量是其余個(gè)向 量的線性組合 7 如 果 向 量 組 線 性 相 關(guān) 而線 性 無 關(guān) 則可 由 線性表示且表示法唯一 B B 例例題題分分析析 例1判斷向量與是否各為向量組 的線性組合 若是 求出表達(dá)式 解 1 設(shè)對(duì)矩陣進(jìn)行變換 秩 秩 2所以可由表示 2 對(duì)進(jìn)行變換 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277266 秩 3 秩 2 因此 所以不可由線性表示 例 2判斷向量組是否線性相關(guān) 對(duì)矩陣施以初等變換 秩 所以 線性相關(guān) 例 3 判斷是否線性相關(guān) 所以無關(guān) 例 4 證明如果無關(guān) 則亦無關(guān) 證明 存在一組數(shù)使 整理得 由無關(guān)得 因?yàn)?故方程僅有零解 即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)才成立 所以無關(guān) 第第四四節(jié)節(jié)向向量量組組的的秩秩 A A 基基本本知知識(shí)識(shí) 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277267 一 極大無關(guān)組定義 如果維向量組中的一個(gè)線性無關(guān)的部分組 已達(dá)到最大可能 即如果 個(gè)向量以外向量組中還有向量 那么任意個(gè)向量構(gòu) 成的部分組均線性相關(guān) 則稱為向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)部分組 簡稱極大無關(guān)組 向量組的極大無關(guān)組可能不只一個(gè) 但由定義可知 其向量個(gè)數(shù)是相同的 例 1二維向量 因?yàn)槿魏?3 個(gè)二維向量組必線性相 關(guān) 又線性無關(guān) 故是的一個(gè)極大無關(guān)組 也是的 一個(gè)極大無關(guān)組 二二 掌握定理 1 如果是的線性無關(guān)部分組 它是極大無關(guān)組的充分必要條件是 中的每一個(gè)向量可由線性表示 2 向量組的極大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù) 稱為向量組的秩記為 例 1其秩 3 矩陣的秩 行向量組的秩 列向量組的秩 將矩陣的行向量組的秩稱為行秩 將矩陣的列向量組的秩稱為列秩 B B 例例題題分分析析 例 1的一個(gè)極大無關(guān)組 并把其余向量用該 極大無關(guān)組表示 解對(duì)矩陣 施以初等行變換 由最后一個(gè)矩陣可知 為一個(gè)極大無關(guān)組 第第五五節(jié)節(jié)齊齊次次線線性性方方程程組組解解的的結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu) A A 基基本本知知識(shí)識(shí) 一一 齊齊次次線線性性方方程程組組 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277268 1 解的性質(zhì) 如果是齊次線性方程組的兩個(gè)解 則也是它的解 如果是齊次線性方程組的解 則也是它的解 為常數(shù) 如果都是齊次線性方程組的解 則其線性組合 也是它的解 其中都是任意常數(shù) 2 基礎(chǔ)解系 齊次線性方程組的解向量組的一個(gè)極大無關(guān)組 二二 例例題題分分析析 例 1 解對(duì)增廣矩陣施以初等行變換 得 即原方程組與同解 其中為自由未知量 讓自由未知量取值得方程組的解為 就是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系 例 2用基礎(chǔ)解系表示該方程組的一般解 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277269 解 此方程組有無窮多個(gè)解 得原方程與同解 其中 為自由未知量 讓自由未知量取為 得方程組的基礎(chǔ)解系為 所以方程組的一般解 為任意常數(shù) 例 3解方程組 解用初等行變換把系數(shù)矩陣化為最簡形式 與原方程組同解的方程組為 得 其中為自由未知量 讓自由未知量取為 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277270 通解為 第第六六節(jié)節(jié)非非齊齊次次線線性性方方程程組組解解的的結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu) A A 基基本本知知識(shí)識(shí) 一一 非非齊齊次次線線性性方方程程組組 1 導(dǎo)出組 令 得到的齊次線性方程組 稱為非齊次線性方程組的導(dǎo)出組 2 非齊次線性方程組的解與它的導(dǎo)出組的解之間有下列性質(zhì) 1 如果是非齊次線性方程組的一個(gè)解 是其導(dǎo)出組的一個(gè)解 則也是方程組的一 個(gè)解 2 如果 是非齊次線性方程組的兩個(gè)解 則是其導(dǎo)出組的解 3 如果是非齊次線性方程組的一個(gè)解 是其導(dǎo)出組的全部解 則是非齊次線 性方程組的全部解 二二 例例題題分分析析 例 1用基礎(chǔ)解系表示如下線性方程組的全部解 解對(duì)方程組的增廣矩陣施以初等行變換 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277271 得 即原方程組與方程組同解 其中為自由未知量 讓自由未知量取值 得方程組的一個(gè)解 原方程組的導(dǎo)出組與方程組同解 其中為自由未知量 讓自由未知量取值 即得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系 因此所給方程組的全部解為 其中為任意常數(shù) 例 2 方程組 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277272 1 求為何值時(shí) 方程組有唯一解 無解 無窮解 2 當(dāng)為無窮解時(shí) 用基礎(chǔ)解系表示其全部解 解對(duì)增廣矩陣施以初等行變換 當(dāng)時(shí) 方程組有唯一解 當(dāng)時(shí) 方程組無解 當(dāng)時(shí) 方程組有無窮解 當(dāng)時(shí) 代入方程組得 為自由未知量 取 所以非齊次解 設(shè)為 那么齊次解為 所以通解為 其中 為任意常數(shù) C C 真真題題演演練練 例 1設(shè)向量組 線性相關(guān) 則 200401 3 1 0 解方法 1 由線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?方法 2線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng) 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277273 即 選 例 2設(shè)是矩陣 行秩為 列秩為 那么 200503 解 因?yàn)榫仃嚨男兄鹊扔诰仃嚨牧兄?例 3設(shè) 1 求向量組 的秩和極大無關(guān)組 2 把不屬于極大無關(guān)組的向量用極大無關(guān)組線性表示 200901 解 設(shè) 極大無關(guān)組 設(shè) 則有 例 4 1 設(shè)向量組試判定向量組的線性 相關(guān)性 2 已知線性方程組用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示通解 200902 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277274 解 1 線性相關(guān) 2 得 同解方程組為是自由未知量 取 特解 方程組的導(dǎo)出組為即是自由未知量 取 基礎(chǔ)解系為通解為 其中為任意常數(shù) 例 5已知線性方程組 1 問為何值時(shí) 線性方程組有唯一解 無解 有無窮多解 2 當(dāng)方程組有無窮多解時(shí) 用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示其通解 200903 解對(duì)方程組的增廣矩陣施以初等行變換 1 當(dāng)且時(shí) 方程組有唯一解 當(dāng)時(shí) 有無窮多解 當(dāng)時(shí) 無解 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277275 2 當(dāng)時(shí) 得 同解方程組 是自由未知量 取 得特解 方程組的導(dǎo)出組為 即 是自由未知量 取 得基礎(chǔ)解系 通解 其中為任意常數(shù) 例 6已知線性方程組 1 問為何值時(shí) 線性方程組有唯一解 無解 有無窮多解 2 當(dāng)方程組有無窮多解時(shí) 用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示其通解 200803 解對(duì)方程組的增廣矩陣施以初等行變換 1 有唯一解 無解 有無窮多解 2 將帶入方程得得 同解方程組 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277276 是自由未知量 取 得特解 方程組的導(dǎo)出組為 即 是自由未知量 取 得基礎(chǔ)解系 通解 其中為任意常數(shù) 例 7已知線性方程組 1 問為何值時(shí) 線性方程組有唯一解 無解 有無窮多解 2 當(dāng)方程組有無窮多解時(shí) 用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示其通解 200801 解 1 對(duì)方程組的增廣矩陣施以初等行變換 有唯一解 無解 有無窮多解 2 將代入方程組 得與原方程同解 是自由未知量 取 特解為 方程組的導(dǎo)出組為 即 是自由未知量 取 基礎(chǔ)解系為 阿樊教育考試輔導(dǎo)中心 QQ161984524Tel 0311 89807277277 通解為 其中為任意常數(shù) 例 8設(shè)非齊次線性方程組 已知是方程組的一個(gè)解 1 問為何值時(shí)方程組有唯一解 2 問為何值時(shí)方程組有無窮多解 并求出導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示的通解 200703 解因?yàn)槭欠匠探M的一個(gè)解 所以 對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換 1 要使得方程組有唯一解 即當(dāng)時(shí) 方程組有唯一解 2 要使得方程組有無窮多解 當(dāng) 得到 即當(dāng)時(shí) 方程組有無窮多解 此時(shí)方程組的一般解為 其中是自由未知量 得方程組的一個(gè)特解是 方程組導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為 方程組的通解為 其中為任意常數(shù) 例 10設(shè)非齊次線性方程組 1