（江蘇專(zhuān)用）高考數(shù)學(xué) 考前三個(gè)月 必考題型過(guò)關(guān)練 第37練 圓錐曲線中的探索性問(wèn)題 理.doc

第37練圓錐曲線中的探索性問(wèn)題題型一定值、定點(diǎn)問(wèn)題例1已知橢圓c：1經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，)，離心率為，直線l經(jīng)過(guò)橢圓c的右焦點(diǎn)f交橢圓于a、b兩點(diǎn)(1)求橢圓c的方程；(2)若直線l交y軸于點(diǎn)m，且，當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，探求的值是否為定值？若是，求出的值；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由破題切入點(diǎn)(1)待定系數(shù)法(2)通過(guò)直線的斜率為參數(shù)建立直線方程，代入橢圓方程消y后可得點(diǎn)a，b的橫坐標(biāo)的關(guān)系式，然后根據(jù)向量關(guān)系式，.把，用點(diǎn)a，b的橫坐標(biāo)表示出來(lái)，只要證明的值與直線的斜率k無(wú)關(guān)即證明了其為定值，否則就不是定值解(1)依題意得b，e，a2b2c2，a2，c1，橢圓c的方程為1.(2)因直線l與y軸相交于點(diǎn)m，故斜率存在，又f坐標(biāo)為(1,0)，設(shè)直線l方程為yk(x1)，求得l與y軸交于m(0，k)，設(shè)l交橢圓a(x1，y1)，b(x2，y2)，由消去y得(34k2)x28k2x4k2120，x1x2，x1x2，又由，(x1，y1k)(1x1，y1)，同理，.所以當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，直線的值為定值.題型二定直線問(wèn)題例2在平面直角坐標(biāo)系xoy中，過(guò)定點(diǎn)c(0，p)作直線與拋物線x22py(p0)相交于a，b兩點(diǎn)(1)若點(diǎn)n是點(diǎn)c關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)o的對(duì)稱點(diǎn)，求anb面積的最小值；(2)是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以ac為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由破題切入點(diǎn)假設(shè)符合條件的直線存在，求出弦長(zhǎng)，利用變量的系數(shù)恒為零求解解方法一(1)依題意，點(diǎn)n的坐標(biāo)為n(0，p)，可設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，直線ab的方程為ykxp，與x22py聯(lián)立得消去y得x22pkx2p20.由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x22pk，x1x22p2.于是sabnsbcnsacn2p|x1x2|p|x1x2|pp2p2，當(dāng)k0時(shí)，(sabn)min2p2.(2)假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為ya，ac的中點(diǎn)為o，l與以ac為直徑的圓相交于點(diǎn)p，q，pq的中點(diǎn)為h，則ohpq，q點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)opac，oh|2ay1p|，ph2op2oh2(yp2)(2ay1p)2(a)y1a(pa)，pq2(2ph)24(a)y1a(pa)令a0，得a，此時(shí)pqp為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為y，即拋物線的通徑所在的直線方法二(1)前同方法一，再由弦長(zhǎng)公式得ab|x1x2|2p，又由點(diǎn)到直線的距離公式得d.從而sabndab2p 2p2.當(dāng)k0時(shí)，(sabn)min2p2.(2)假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為ya，則以ac為直徑的圓的方程為(x0)(xx1)(yp)(yy1)0，將直線方程ya代入得x2x1x(ap)(ay1)0，則x4(ap)(ay1)4(a)y1a(pa)設(shè)直線l與以ac為直徑的圓的交點(diǎn)為p(x3，y3)，q(x4，y4)，則有pq|x3x4| 2.令a0，得a，此時(shí)pqp為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為y，即拋物線的通徑所在的直線題型三定圓問(wèn)題例3已知橢圓g的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率為，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為f1和f2，橢圓g上一點(diǎn)到f1和f2的距離之和為12，圓ck：x2y22kx4y210(kr)的圓心為點(diǎn)ak.(1)求橢圓g的方程；(2)求akf1f2的面積；(3)問(wèn)是否存在圓ck包圍橢圓g？請(qǐng)說(shuō)明理由破題切入點(diǎn)(1)根據(jù)定義，待定系數(shù)法求方程(2)直接求(3)關(guān)鍵看長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)解(1)設(shè)橢圓g的方程為1(ab0)，半焦距為c，則解得所以b2a2c236279.所以所求橢圓g的方程為1.(2)點(diǎn)ak的坐標(biāo)為(k,2)，sakf1f2|f1f2|2626.(3)若k0，由620212k0211512k0，可知點(diǎn)(6,0)在圓ck外；若k0，可知點(diǎn)(6,0)在圓ck外所以不論k為何值，圓ck都不能包圍橢圓g.即不存在圓ck包圍橢圓g.總結(jié)提高(1)定值問(wèn)題就是在運(yùn)動(dòng)變化中尋找不變量的問(wèn)題，基本思想是使用參數(shù)表示要解決的問(wèn)題，證明要解決的問(wèn)題與參數(shù)無(wú)關(guān)在這類(lèi)試題中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的(2)由直線方程確定定點(diǎn)，若得到了直線方程的點(diǎn)斜式：yy0k(xx0)，則直線必過(guò)定點(diǎn)(x0，y0)；若得到了直線方程的斜截式：ykxm，則直線必過(guò)定點(diǎn)(0，m)(3)定直線問(wèn)題一般都為特殊直線xx0或yy0型1在平面直角坐標(biāo)系xoy中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，)且斜率為k的直線l與橢圓y21有兩個(gè)不同的交點(diǎn)p和q.(1)求k的取值范圍；(2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為a，b，是否存在常數(shù)k，使得向量與共線？如果存在，求k值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)由已知條件，得直線l的方程為ykx，代入橢圓方程得(kx)21.整理得(k2)x22kx10.直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)p和q等價(jià)于8k24(k2)4k220，解得k.即k的取值范圍為(，)(，)(2)設(shè)p(x1，y1)，q(x2，y2)，則(x1x2，y1y2)，由方程，得x1x2.又y1y2k(x1x2)2.而a(，0)，b(0,1)，(，1)所以與共線等價(jià)于x1x2(y1y2)，將代入上式，解得k.由(1)知k，故不存在符合題意的常數(shù)k.2已知雙曲線方程為x21，問(wèn)：是否存在過(guò)點(diǎn)m(1,1)的直線l，使得直線與雙曲線交于p、q兩點(diǎn)，且m是線段pq的中點(diǎn)？如果存在，求出直線的方程，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解顯然x1不滿足條件，設(shè)l：y1k(x1)聯(lián)立y1k(x1)和x21，消去y得(2k2)x2(2k22k)xk22k30，由0，得k，x1x2，由m(1,1)為pq的中點(diǎn)，得1，解得k2，這與k0)過(guò)m(2，)，n(，1)兩點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求橢圓e的方程；(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個(gè)交點(diǎn)a，b，且？若存在，寫(xiě)出該圓的方程，并求ab的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)因?yàn)闄E圓e：1(a，b0)過(guò)m(2，)，n(，1)兩點(diǎn)，所以解得所以橢圓e的方程為1.(2)假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個(gè)交點(diǎn)a，b，且，設(shè)該圓的切線方程為ykxm，a(x1，y1)，b(x2，y2)，解方程組得x22(kxm)28，即(12k2)x24kmx2m280，則16k2m24(12k2)(2m28)8(8k2m24)0，即8k2m240.故y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2m2.要使，需使x1x2y1y20，即0，所以3m28k280，所以k20.又8k2m240，所以所以m2，即m或m，因?yàn)橹本€ykxm為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，所以圓的半徑為r，r2，r，所求的圓為x2y2，此時(shí)圓的切線ykxm都滿足m或m，而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為x與橢圓1的兩個(gè)交點(diǎn)為(，)或(，)滿足，綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓x2y2，使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個(gè)交點(diǎn)a，b，且.4(2014重慶)如圖，設(shè)橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1、f2，點(diǎn)d在橢圓上，df1f1f2，2，df1f2的面積為.(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)是否存在圓心在y軸上的圓，使圓在x軸的上方與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過(guò)不同的焦點(diǎn)？若存在，求出圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)設(shè)f1(c,0)，f2(c,0)，其中c2a2b2.由2，得df1c，從而sdf1f2df1f1f2c2，故c1，從而df1.由df1f1f2，得dfdff1f，因此df2.所以2adf1df22，故a，b2a2c21.因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)如圖，設(shè)圓心在y軸上的圓c與橢圓y21相交，p1(x1，y1)，p2(x2，y2)是兩個(gè)交點(diǎn)，y10，y20，f1p1，f2p2是圓c的切線，且f1p1f2p2.由圓和橢圓的對(duì)稱性，易知，x2x1，y1y2.由(1)知f1(1,0)，f2(1,0)，所以(x11，y1)，(x11，y1)，再由f1p1f2p2，得(x11)2y0.由橢圓方程得1(x11)2，即3x4x10，解得x1或x10.當(dāng)x10時(shí)，p1，p2重合，題設(shè)要求的圓不存在當(dāng)x1時(shí)，過(guò)p1，p2分別與f1p1，f2p2垂直的直線的交點(diǎn)即為圓心c.設(shè)c(0，y0)，由cp1f1p1，得1.而求得y1，故y0.圓c的半徑cp1 .綜上，存在滿足題設(shè)條件的圓，其方程為x2(y)2.5(2014江西)如圖，已知拋物線c：x24y，過(guò)點(diǎn)m(0,2)任作一直線與c相交于a，b兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)b作y軸的平行線與直線ao相交于點(diǎn)d(o為坐標(biāo)原點(diǎn))(1)證明：動(dòng)點(diǎn)d在定直線上；(2)作c的任意一條切線l(不含x軸)，與直線y2相交于點(diǎn)n1，與(1)中的定直線相交于點(diǎn)n2，證明：mnmn為定值，并求此定值(1)證明依題意可設(shè)ab方程為ykx2，代入x24y，得x24(kx2)，即x24kx80.設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則有x1x28.直線ao的方程為yx；bd的方程為xx2.解得交點(diǎn)d的坐標(biāo)為注意到x1x28及x4y1，則有y2.因此動(dòng)點(diǎn)d在定直線y2上(x0)(2)解依題設(shè)，切線l的斜率存在且不等于0，設(shè)切線l的方程為yaxb(a0)，代入x24y得x24(axb)，即x24ax4b0.由0得(4a)216b0，化簡(jiǎn)整理得ba2.故切線l的方程可寫(xiě)為yaxa2.分別令y2，y2得n1，n2的坐標(biāo)為n1(a,2)，n2(a，2)，則mnmn(a)242(a)28，即mnmn為定值8.6(2014福建)已知曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)f(0,1)的距離比它到直線y3的距離小2.(1)求曲線的方程(2)曲線在點(diǎn)p處的切線l與x軸交于點(diǎn)a，直線y3分別與直線l及y軸交于點(diǎn)m，n.以mn為直徑作圓c，過(guò)點(diǎn)a作圓c的切線，切點(diǎn)為b.試探究：當(dāng)點(diǎn)p在曲線上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)p與原點(diǎn)不重合)時(shí)，線段ab的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論解方法一(1)設(shè)s(x，y)為曲線上任意一點(diǎn)，依題意，點(diǎn)s到f(0,1)的距離與它到直線y1的距離相等，所以曲線是以點(diǎn)f(0,1)為焦點(diǎn)、直線y1為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線的方程為x24y.(2)當(dāng)點(diǎn)p在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段ab的長(zhǎng)度不變證明如下：由(1)知拋物線的方程為yx2，設(shè)p(x0，y0