線代數(shù)A(上半學(xué)期)答案.doc

線性代數(shù)試卷A答案一、 求行列式的值（每題6分，共18分）1、 (6分)2、 （6分）3、 （6分）（結(jié)果正確，根據(jù)步驟酌情給分。）二、 計(jì)算下列各題（每題8分，共16分）1、 設(shè)計(jì)算A41 + A42 + A43 + A44 = ? 其中A4j(j= 1, 2, 3, 4)是|A|中元素a4j的代數(shù)余子式.解. A41 + A42 + A43 + A44 （3分）=（3分）（2分）2、 已知，求滿足矩陣方程的矩陣.解：由，有（1分）（4分）（3分）三、 （本題14分）已知向量組,求：（1）向量組秩（4分）（2）向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組（4分）（3）把其余向量用此極大線性無關(guān)組線性表示.（6分）解：（1分）是向量組的一個(gè)極大無關(guān)組（4分）（6分）四、 （本題14分）有線性方程組, 問k為何值時(shí),（1）方程組無解? （4分）（2）方程組有唯一解?（2分）（3）方程組有無窮多組解? （2分）（4）方程組有無窮多組解時(shí), 求出一般解.（6分）解：由克萊姆法則有：,令D=0，有（2分）（1）當(dāng)時(shí)，,所以當(dāng)時(shí)，方程組無解（2分）（2）令，有所以當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解。（2分）（3）當(dāng)時(shí)，,所以當(dāng)時(shí)方程組有無窮多組解。（2分）（4）由（3）可得同解方程組：，得其中為基礎(chǔ)解系，為特解，所以方程的一般解是（為任意常數(shù)）。（6分）五、 （本題20分）已知二次型（1） 驗(yàn)證二次型是否正定。（4分）（2） 求一個(gè)正交變換，將其化成標(biāo)準(zhǔn)形。（16分）解：（1），因?yàn)椋远涡褪遣徽ǎ?分）（2）得：，（2分）當(dāng)時(shí)，有同解方程組：，有基礎(chǔ)解系（3分）當(dāng)時(shí)，得：，則其基礎(chǔ)解系（3分）將正交化，令，則（2分）將單位化有：（2分）所以，使得（2分）標(biāo)準(zhǔn)型（2分）六、 證明題（共18分）1、 設(shè)方陣的兩個(gè)不同特征值的特征向量分別是，證明：不是的特征向量。（8分）證明：（2分）如果是特征向量，則（2分）有，又因?yàn)槭莾蓚€(gè)不同特征值的特征向量，所以線性無關(guān)，（2分）于是有，得與題設(shè)矛盾。所以不是的特征向量。（2分）2、 證明向量組線性無關(guān)的充要條件是向量組線性無關(guān)。（10分）證明：（1）必要性：向量組線性無關(guān)，設(shè)有n個(gè)數(shù)，有即：，所對(duì)應(yīng)方程組的系數(shù)行列式等于1，故僅有零解，所以，所以線性無關(guān)（5分）（3） 充分性：向量組線性無關(guān)，因?yàn)椋?