（江蘇專用）2018版高考數(shù)學大一輪復習 第九章 平面解析幾何 9.5 橢圓教師用書 文 蘇教版.doc

9.5 橢圓1.橢圓的概念平面內到兩個定點f1，f2的距離的和等于常數(shù)(大于f1f2)的點的軌跡叫做橢圓，兩個定點f1，f2叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.集合pm|mf1mf22a，f1f22c，其中a0，c0，且a，c為常數(shù)：(1)若ac，則集合p為橢圓；(2)若ac，則集合p為線段；(3)若ab0)1(ab0)圖形性質范圍axabybbxbaya對稱性對稱軸：坐標軸 對稱中心：原點頂點a1(a,0)，a2(a,0) b1(0，b)，b2(0，b)a1(0，a)，a2(0，a)b1(b,0)，b2(b,0)軸長軸a1a2的長為2a；短軸b1b2的長為2b焦距f1f22c離心率e(0,1)a，b，c的關系a2b2c2【知識拓展】點p(x0，y0)和橢圓的關系(1)點p(x0，y0)在橢圓內1.【思考辨析】判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)平面內到兩個定點f1，f2的距離的和等于常數(shù)的點的軌跡叫做橢圓.()(2)橢圓上一點p與兩焦點f1，f2構成pf1f2的周長為2a2c(其中a為橢圓的長半軸長，c為橢圓的半焦距).()(3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.()(4)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲線是橢圓.()(5)1(ab)表示焦點在y軸上的橢圓.()(6)1(ab0)與1(ab0)的焦距相等.()1.(教材改編)橢圓1的焦距為4，則m_.答案4或8解析由題意知或解得m4或m8.2.(2016蘇州檢測)在平面直角坐標系xoy內，動點p到定點f(1,0)的距離與p到定直線x4的距離的比值為.則動點p的軌跡c的方程為_.答案1解析設點p(x，y)，由題意知，化簡得3x24y212，所以動點p的軌跡c的方程為1.3.(2016全國乙卷改編)直線l經過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為_.答案解析如圖，由題意得，bfa，ofc，obb，od2bb.在rtfob中，ofobbfod，即cbab，解得a2c，故橢圓離心率e.4.已知中心在原點的橢圓c的右焦點為f(1,0)，離心率等于，則c的方程是_.答案1解析由題意知c1，e，所以a2，b2a2c23.故所求橢圓方程為1.5.(教材改編)已知點p是橢圓1上y軸右側的一點，且以點p及焦點f1，f2為頂點的三角形的面積等于1，則點p的坐標為_.答案或解析設p(x，y)，由題意知c2a2b2541，所以c1，則f1(1,0)，f2(1,0)，由題意可得點p到x軸的距離為1，所以y1，把y1代入1，得x，又x0，所以x，所以p點坐標為或.題型一橢圓的定義及標準方程命題點1利用定義求軌跡例1(2016徐州模擬)如圖所示，一圓形紙片的圓心為o，f是圓內一定點，m是圓周上一動點，把紙片折疊使m與f重合，然后抹平紙片，折痕為cd，設cd與om交于點p，則點p的軌跡是_.答案橢圓解析由條件知pmpf，popfpopmomrof.p點的軌跡是以o，f為焦點的橢圓.命題點2利用待定系數(shù)法求橢圓方程例2(1)已知橢圓以坐標軸為對稱軸，且長軸長是短軸長的3倍，并且過點p(3,0)，則橢圓的方程為_.(2)已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經過兩點p1(，1)，p2(，)，則橢圓的方程為_.答案(1)y21或1(2)1 解析(1)若焦點在x軸上，設方程為1(ab0).橢圓過p(3,0)，1，即a3，又2a32b，b1，橢圓方程為y21.若焦點在y軸上，設方程為1(ab0).橢圓過點p(3,0)，1，即b3.又2a32b，a9，橢圓方程為1.所求橢圓的方程為y21或1.(2)設橢圓方程為mx2ny21(m0，n0且mn).橢圓經過點p1，p2，點p1，p2的坐標適合橢圓方程.即兩式聯(lián)立，解得所求橢圓方程為1.命題點3利用定義解決“焦點三角形”問題例3已知f1，f2是橢圓c：1(ab0)的兩個焦點，p為橢圓c上的一點，且.若pf1f2的面積為9，則b_.答案3解析設pf1r1，pf2r2，則因為2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2，又因為所以b3.引申探究1.在例3中，若增加條件“pf1f2的周長為18”，其他條件不變，求該橢圓的方程.解由原題得b2a2c29，又2a2c18，所以ac1，解得a5，故橢圓方程為1.2.在例3中，若將條件“”“pf1f2的面積為9”分別改為“f1pf260”“”，結果如何？解pf1pf22a，又f1pf260，所以pfpf2pf1pf2cos 60f1f，即(pf1pf2)23pf1pf24c2，所以3pf1pf24a24c24b2，所以pf1pf2b2，又因為b2b23，所以b3.思維升華(1)求橢圓的方程多采用定義法和待定系數(shù)法，利用橢圓的定義定形狀時，一定要注意常數(shù)2af1f2這一條件.(2)求橢圓標準方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定形，再定量，即首先確定焦點所在位置，然后再根據(jù)條件建立關于a，b的方程組.如果焦點位置不確定，要考慮是否有兩解，有時為了解題方便，也可把橢圓方程設為mx2ny21(m0，n0，mn)的形式.(3)當p在橢圓上時，與橢圓的兩焦點f1，f2組成的三角形通常稱為“焦點三角形”，利用定義可求其周長；利用定義和余弦定理可求pf1pf2；通過整體代入可求其面積等.(1)(2016鹽城模擬)已知兩圓c1：(x4)2y2169，c2：(x4)2y29，動圓在圓c1內部且和圓c1相內切，和圓c2相外切，則動圓圓心m的軌跡方程為_.(2)(2016鎮(zhèn)江模擬)設f1、f2分別是橢圓y21的左、右焦點，若橢圓上存在一點p，使()0(o為坐標原點)，則f1pf2的面積是_.答案(1)1(2)1解析(1)設圓m的半徑為r，則mc1mc2(13r)(3r)168c1c2，所以m的軌跡是以c1，c2為焦點的橢圓，且2a16,2c8，故所求的軌跡方程為1.(2)()()0，pf1pf2，f1pf290.設pf1m，pf2n，則mn4，m2n212,2mn4，題型二橢圓的幾何性質例4(1)已知點f1，f2是橢圓x22y22的左，右焦點，點p是該橢圓上的一個動點，那么|的最小值是_.(2)(2016全國丙卷改編)已知o為坐標原點，f是橢圓c：1(ab0)的左焦點，a，b分別為橢圓c的左，右頂點.p為c上一點，且pfx軸.過點a的直線l與線段pf交于點m，與y軸交于點e.若直線bm經過oe的中點，則c的離心率為_.答案(1)2(2)解析(1)設p(x0，y0)，則(1x0，y0)，(1x0，y0)，(2x0，2y0)，|22.點p在橢圓上，0y1，當y1時，|取最小值2.(2)設m(c，m)，則e，oe的中點為d，則d，又b，d，m三點共線，所以，a3c，e.思維升華(1)利用橢圓幾何性質的注意點及技巧注意橢圓幾何性質中的不等關系在求與橢圓有關的一些量的范圍，或者最大值、最小值時，經常用到橢圓標準方程中x，y的范圍，離心率的范圍等不等關系.利用橢圓幾何性質的技巧求解與橢圓幾何性質有關的問題時，要結合圖形進行分析，當涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的內在聯(lián)系.(2)求橢圓的離心率問題的一般思路求橢圓的離心率或其范圍時，一般是依據(jù)題設得出一個關于a，b，c的等式或不等式，利用a2b2c2消去b，即可求得離心率或離心率的范圍.(2016江蘇)如圖，在平面直角坐標系xoy中，f是橢圓1(ab0)的右焦點，直線y與橢圓交于b，c兩點，且bfc90，則該橢圓的離心率是_.答案解析聯(lián)立方程組解得b，c兩點坐標為b，c，又f(c,0)，則，又由bfc90，可得0，代入坐標可得c2a20，又因為b2a2c2.代入式可化簡為，則橢圓離心率為e.題型三直線與橢圓例5(2016天津)設橢圓1(a)的右焦點為f，右頂點為a.已知，其中o為原點，e為橢圓的離心率.(1)求橢圓的方程；(2)設過點a的直線l與橢圓交于點b(b不在x軸上)，垂直于l的直線與l交于點m，與y軸交于點h.若bfhf，且moamao，求直線l的斜率.解(1)設f(c,0)，由，即，可得a2c23c2.又a2c2b23，所以c21，因此a24.所以橢圓的方程為1.(2)設直線l的斜率為k(k0)，則直線l的方程為yk(x2).設b(xb，yb)，由方程組消去y，整理得(4k23)x216k2x16k2120，解得x2或x.由題意，得xb，從而yb.由(1)知，f(1,0)，設h(0，yh)，有(1，yh)，.由bfhf，得0，所以0，解得yh.因此直線mh的方程為yx.設m(xm，ym)，由方程組消去y，解得xm.在mao中，moamaomamo，即(xm2)2yxy，化簡得xm1，即1，解得k或k.所以直線l的斜率為或.思維升華(1)解決直線與橢圓的位置關系的相關問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應用根與系數(shù)的關系建立方程，解決相關問題.涉及弦中點的問題時用“點差法”解決，往往會更簡單.(2)設直線與橢圓的交點坐標為a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(k為直線斜率).提醒：利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進行的，不要忽略判別式.如圖，已知橢圓o：y21的右焦點為f，b，c分別為橢圓o的上，下頂點，p是直線l：y2上的一個動點(與y軸交點除外)，直線pc交橢圓o于另一點m.(1)當直線pm過橢圓的右焦點f時，求fbm的面積；(2)記直線bm，bp的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值；求的取值范圍.(1)解由題意知b(0,1)，c(0，1)，焦點f(，0)，當直線pm過橢圓o的右焦點f時，直線pm的方程為1，即yx1.聯(lián)立解得或(舍去)，即點m的坐標為(，).連結bf，則直線bf的方程為1，即xy0.又bfa2，點m到直線bf的距離為d，故fbm的面積為smbfbfd2.(2)方法一證明設p(m，2)，且m0，則直線pm的斜率為k，則直線pm的方程為yx1.聯(lián)立消去y，得(1)x2x0，解得點m的坐標為(，)，所以k1m，k2，所以k1k2m為定值.解由知，(m,3)，(m，2)(，)，所以(m,3)(，).令m24t4，則t7.因為yt7在t(4，)上單調遞增，所以t7479，故的取值范圍為(9，).方法二證明設點m的坐標為(x0，y0)(x00)，則直線pm的方程為yx1，令y2，得點p的坐標為(，2)，所以k1，k2，所以k1k2為定值.解由知，(，3)，(x0，y02)，所以(x0)3(y02)3(y02)3(y02).令ty01(0,2)，則t7.因為yt7在t(0,2)上單調遞減，所以t7279，故的取值范圍為(9，).8.高考中求橢圓的離心率問題考點分析離心率是橢圓的重要幾何性質，是高考重點考查的一個知識點，這類問題一般有兩類：一類是根據(jù)一定的條件求橢圓的離心率；另一類是根據(jù)一定的條件求離心率的取值范圍，無論是哪類問題，其難點都是建立關于a，b，c的關系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，轉化為關于離心率e的關系式，這是化解有關橢圓的離心率問題難點的根本方法.典例1(2015福建改編)已知橢圓e：1(ab0)的右焦點為f，短軸的一個端點為m，直線l：3x4y0交橢圓e于a，b兩點.若afbf4，點m到直線l的距離不小于，則橢圓e的離心率的取值范圍是_.解析左焦點f0，連結f0a，f0b，則四邊形afbf0為平行四邊形.afbf4，afaf04，a2.設m(0，b)，則，1b2.離心率e .答案典例2(14分)(2016浙江)如圖，設橢圓y21(a1).(1)求直線ykx1被橢圓截得的線段長(用a，k表示)；(2)若任意以點a(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值范圍.規(guī)范解答解(1)設直線ykx1被橢圓截得的線段為am，由得(1a2k2)x22a2kx0，故x10，x2，因此am|x1x2|.6分(2)假設圓與橢圓的公共點有4個，由對稱性可設y軸左側的橢圓上有兩個不同的點p，q，滿足apaq.記直線ap，aq的斜率分別為k1，k2，且k1，k20，k1k2.8分由(1)知ap，aq，故，所以(kk)1kka2(2a2)kk0.由k1k2，k1，k20，得1kka2(2a2)kk0，因此1a2(a22)，因為式關于k1，k2的方程有解的充要條件是1a2(a22)1，所以a.12分因此，任意以點a(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點的充要條件為1a，由e，得00)的左、右焦點分別為f1、f2，過f2的直線l交c于a、b兩點，若af1b的周長為4，則橢圓c的方程為_.答案1解析af1b的周長af1bf1af2bf24a，4a4，故a，即3m()2，m1.橢圓的方程為1.2.(2016蘇北四市一模)已知橢圓1(ab0)，點a、b1、b2、f依次為其左頂點、下頂點、上頂點和右焦點.若直線ab2與直線b1f的交點恰在直線x上，則橢圓的離心率為_.答案解析由題意知直線ab2：1，直線b1f：1，聯(lián)立解得x，若交點在橢圓的右準線上，則，即2c2aca20，所以2e2e10，解得e.3.若對任意kr，直線ykx10與橢圓1恒有公共點，則實數(shù)m的取值范圍是_.答案1,2)(2，)解析聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去y得(2k2m)x24kx22m0，因為直線與橢圓恒有公共點，所以16k24(2k2m)(22m)0，即2k2m10恒成立，因為kr，所以k20，則m10，所以m1，又m2，所以實數(shù)m的取值范圍是1,2)(2，).4.(2016南昌模擬)已知橢圓：x21，過點p(，)的直線與橢圓相交于a，b兩點，且弦ab被點p平分，則直線ab的方程為_.答案9xy50解析設a(x1，y1)，b(x2，y2)，因為a，b在橢圓x21上，所以兩式相減，得xx0，即(x1x2)(x1x2)0，又弦ab被點p(，)平分，所以x1x21，y1y21，將其代入上式，得x1x20，得9，即直線ab的斜率為9，所以直線ab的方程為y9(x)，即9xy50.5.(2016宿遷模擬)已知f1、f2是橢圓y21的兩個焦點，p為橢圓上一動點，則使pf1pf2取得最大值的點p為_.答案(0,1)或(0，1)解析由橢圓定義得pf1pf22a4，pf1pf2()24，當且僅當pf1pf22，即p(0，1)或(0,1)時，pf1pf2取得最大值.6.已知兩定點a(2,0)和b(2,0)，動點p(x，y)在直線l：yx3上移動，橢圓c以a，b為焦點且經過點p，則橢圓c的離心率的最大值為_.答案解析由題意知，橢圓c的離心率e，求e的最大值，即求a的最小值.由于a，b兩點是橢圓的焦點，所以papb2a，即在直線l上找一點p，使papb的值最小，設點a(2,0)關于直線l：yx3的對稱點為q(x0，y0)，則解得即q(3,1)，則papbqb，即2a，a，e.7.若橢圓1(a0，b0)的焦點在x軸上，過點(2,1)作圓x2y24的切線，切點分別為a，b，直線ab恰好經過橢圓的右焦點和上頂點，則橢圓方程為_.答案1解析設切點坐標為(m，n)，則1，即m2n2n2m0.m2n24，2mn40，即直線ab的方程為2xy40.直線ab恰好經過橢圓的右焦點和上頂點，2c40，b40，解得c2，b4，a2b2c220，橢圓方程為1.8.已知p為橢圓1上的一點，m，n分別為圓(x3)2y21和圓(x3)2y24上的點，則pmpn的最小值為_.答案7解析由題意知橢圓的兩個焦點f1，f2分別是兩圓的圓心，且pf1pf210，從而pmpn的最小值為pf1pf2127.9.(2017連云港質檢)橢圓y21的左，右焦點分別為f1，f2，點p為橢圓上一動點，若f1pf2為鈍角，則點p的橫坐標的取值范圍是_.答案(，)解析設橢圓上一點p的坐標為(x，y)，則(x，y)，(x，y).f1pf2為鈍角，0，即x23y20，y21，代入，得x2310，x22，x2.解得xb0)的離心率等于，其焦點分別為a，b，c為橢圓上異于長軸端點的任意一點，則在abc中，_.答案3解析在abc中，由正弦定理得，因為點c在橢圓上，所以由橢圓定義知cacb2a，而ab2c，所以3.11.(2016南京模擬)如圖，橢圓c：1(ab0)的右焦點為f，右頂點，上頂點分別為a，b，且abbf.(1)求橢圓c的離心率；(2)若斜率為2的直線l過點(0,2)，且l交橢圓c于p，q兩點，opoq，求直線l的方程及橢圓c的方程.解(1)由已知abbf，即a，4a24b25a2,4a24(a2c2)5a2，e.(2)由(1)知a24b2，橢圓c：1.設p(x1，y1)，q(x2，y2)，直線l的方程為y22(x0)，即2xy20.由消去y，得x24(2x2)24b20，即17x232x164b20.3221617(b24)0，解得b.x1x2，x1x2.opoq，0，即x1x2y1y20，x1x2(2x12)(2x22)0，5x1x24(x1x2)40