第五屆日本算術(shù)奧林匹克競賽預賽試題.doc

第五屆日本算術(shù)奧林匹克競賽預賽試題 一、雨嘩嘩地不停地下著。如在雨地里放一個如圖1那樣的長方體的容器，雨水將它注滿要用1小時。有下列AE不同的容器（圖2），雨水注滿這些容器各需多長時間？二、將一正方形的紙對折2次后，還是正方形（見圖1）。用同樣的方法，可把某形狀的紙對折3次后，成為圖2那樣的三角形。已知可把4種形狀的紙對折3次后，折成那樣的三角形，請畫出這4種形狀。三、有6個1克重的球，1個2克重的球，1個3克重的球，共有8個球。把這8個球從到編上號，放到天平上稱，就成為圖中所示狀態(tài)。問：（1）2克重的球是幾號球？（2）3克重的球是幾號球？四、有193個人坐成一橫排。首先，正中間的一個人站起來，然后，按下述方法大家都或坐或站。鄰座的人站起來，1秒鐘后，自己也站起來。站起1秒鐘后坐下。如果左右鄰座的人同時是站著的話，即使過了1秒鐘，自己仍然坐著。問：（1）最初的那個人站起8秒鐘后，有幾個人站著？（2）96秒鐘后，有幾個人站著？五、有一個如圖那樣的方塊網(wǎng)格，每1個小方塊里有1個人，在這些人中間，有人戴著帽子，有人沒戴。每一個人都只能看見自己前方，后方和斜方的人的頭，如圖1所示，A方塊里的人能看見8個人的頭，B方塊里的人能看見5個人的頭，C方塊里的人能看見3個人的頭，自己看不見自己的頭。在圖2的方格中，寫著不同方塊里的人能看見的帽子的數(shù)量，那么，請在圖2中找出有戴帽子的人的方塊，并把它涂成黑色。六、某俱樂部有11個成員，他們的名字分別是AK。這些人分為兩派，一派人總說實話，另一派人總說謊話。某日，老師問：“11個人里面，總說謊話的有幾個人？”那天，J和K休息，余下的9個人這樣回答：A說：“有10個人?！盉說：“有7個人?！盋說：“有11個人?！盌說：“有3個人?！盓說：“有6個人?！盕說：“有10個人?！盙說：“有5個人。”H說：“有6個人?！盜說：“有4個人?！蹦敲?，這個俱樂部的11個成員中，總說謊話的有幾個人？七、有50張卡片，每一張都分別寫著從1到50的數(shù)字（見圖）?？ㄆ膬擅嬉幻媸羌t色，一面是藍色，兩面都寫著相同的數(shù)字。有一個班正好有50名學生，老師把這50張卡片都將藍色朝上地擺在桌上，對同學們說：“請你們按學號的順序逐個到前面來翻卡片，規(guī)則是：只要卡片上的數(shù)字是你自己學號的倍數(shù)，你就把它們都翻過來，藍的就翻成紅的，紅的就翻成藍的。”那么，到最后，學號是50的學生按老師的要求翻完以后，紅色朝上的卡片有多少張？八 、如圖所示，把邊長為6cm的等邊三角形剪成4部分，從三角形頂點往下1cm處，呈30角下剪刀，使中間部分形成一個小的等邊三角形。問：所有斜線部分的面積是中間小等邊三角形的面積的幾倍？九、有同樣大小的立方體27個，把它們豎3個，橫3個，高3個，緊密地沒有縫隙地搭成一個大的立方體（見九題圖）。如果用1根很直的細鐵絲扎進這個大立方體，最多可以穿透幾個小立方體？附：第五屆日本算術(shù)奧林匹克競賽預賽試題解析一、解題中“雨嘩嘩地不停地下著”這一條件，也可以理解為雨均勻地下。（這與日常生活中的降雨略有不同，生活中降雨可能會時大時小，并不均勻。）雨水從敞口部分垂直落入到容器內(nèi)，我們就可以把“敞開面”（即圖中所示的陰影面）叫做“接雨面”。圖中所示的長方體容器，“接雨面”與底面大小相同，雨水將它下滿需要1小時，也就是說1小時后該容器內(nèi)雨水的深度是10cm。如果容器的高度不止10cm，而是無限的，那么2小時后容器內(nèi)雨水的深度將會是2cm，以后每過1小時雨水的深度就會增加10cm；如果在長方體容器中垂直放入一個很薄的擋板（其厚度忽略不計），將大容器分成兩個小容器（如圖所示）。小容器的“接雨面”變小了，但每個小容器的“接雨面”與底面大小仍然相同。那么1小 時后，每個小容器內(nèi)雨水的深度還是10cm。（因為忽略了擋板的厚度，它不占原來長方體容器的容積。）通過上述分析與假設，我們可得出如下結(jié)論：只要容器的“接雨面”與底面大小相同，1小時后容器內(nèi)雨水的深度就是10cm。根據(jù)結(jié)論，觀察圖2所示的五種容器。其中A、B、E三種容器的“接雨面”與底面大小相同。A容器高10cm，雨水下滿該容器需要1小時；B容器高30cm，雨水下滿該容器需要3小時；E容器高20cm，雨水下滿該容器需要2小時。剩下C、D兩種容器，它們的“接雨面”與底面大小不同，可先將其轉(zhuǎn)化為“接雨面”與底面大小相同的容器（如圖所示）。此時，C容器的高變?yōu)?0cm，雨水下滿需3小時；D容器的高變?yōu)?5cm，雨水下滿需1.5小時。二、解（見下圖）三、解 由圖1可知：（一式）由圖2可知：（二式）由圖3可知：（三式）觀察三式可得出如下結(jié)論：、中不可能有克重的球，、中必有重量超過1克的球。觀察二式可得結(jié)論：、兩球重量均為1克，（因為如果其中有重2克的，則、重量之和最多與、重量之和相等，圖2將不成立，與已知矛盾。）觀察一式可得結(jié)論：、中沒有重3克的球。（否則圖1所示狀態(tài)將不成立）綜合上述3條結(jié)論可知：號球重2克，、的重量均為1克。再次觀察二式可知：號球重3克。四、解（找規(guī)律）（用表示站，表示坐）上表第1個方框內(nèi)的2表示第1秒后有2人站著；第2個方框內(nèi)有兩個數(shù)，上面2表示第2秒后有2人站著，下面的4表示第3秒后有4人站著。三角內(nèi)的兩個數(shù)為所求，即：第8秒后有2人站著，第96秒后有4人站著。五、解 答案如下圖所示。分析 站在第一行第五列的人能看見1頂帽子，說明他周圍的3人有2人沒戴帽子。站在第二行第四列的人能看見7頂帽子，說明他周圍的8人中只有1人沒戴帽子，綜合結(jié)論可知他本人沒有戴帽子。站在第二行第五列的人能看到4頂帽子，且他周圍的5人中已有1人沒戴帽子，說明其余4人均戴帽子，根據(jù)結(jié)論可知他本人沒戴帽子。利用上下對稱原理可以分析出：站在第四行、第五行后三列的6個人中，只有第四行第四列、第五列兩人沒戴帽子，其他人均戴帽子。站在第四行第二列的人能看到7頂帽子，說明他周圍的8人中只有1人沒戴帽子。站在第三行第1列的人能看見1頂帽子，說明他周圍的5人中只有1人戴帽子。綜合結(jié)論可知：這1人不可能是第二行第一二列的人，也不可能是第四行第二列的人。所以只能是站在第三行第二列的人或第四行第一列的人。站在第五行第一列的人能看到2頂帽子，說明結(jié)論所說戴帽子的人站在第四行第一列。站在第二行第二列的人能看到6頂帽子，說明站在第一行第一、二列的2人都戴帽子。綜合上述分析，可以看到“思考的順序”是解答本題的關(guān)鍵。六、解因為9個人回答出了7種不同的人數(shù)，而且回答相同的最多是兩個人。所以說謊話的不少于7人。若說謊話的有7人，則除B外，其它回答問題的8人均說了謊話，與假設出現(xiàn)矛盾；若說謊話的有8人，則回答問題的9人均說了謊話，出現(xiàn)矛盾；若說謊話的有10人，則只能1人說實話，而A和F都說了實話，出現(xiàn)了矛盾；若說謊話的有11人，則沒有說實話的，而C說了實話，出現(xiàn)矛盾；顯然說謊話的有9人，回答問題的9人均說謊話，休息的兩人說實話。七、解 每張卡片，所寫數(shù)字有幾個約數(shù)就被翻過幾次。被翻了奇數(shù)次的卡片紅色面朝上，而只有完全平方數(shù)才能有奇數(shù)個約數(shù)，所以本題也就是求寫有完全平方數(shù)的卡片有幾張，所以紅色朝上的卡片共有7張。八、解 將大三角形分成邊長1cm的小等邊三角形即可求解。大三角形中包含36個小等邊三角形，空白三角形包含3個小等邊三角形。所以九、解 首先從簡單的想起，研究鐵絲穿透1個小立方體時，應從哪面穿入，哪面穿出。然后考慮鐵絲扎進8個小立方體搭成的較大立方體，最多可以穿透幾個小立方體。最后再考慮扎進27個小立方體搭成的大立方體時，最多可以穿透幾個小立方體。（1）鐵絲穿透1個小立方體可有三種不同情況。（如圖1所示）其中A、B兩種是穿過相對兩面，A種平行于棱的方向穿過，B種斜著穿過；C種則是穿過相鄰兩面。再進一步分析，若增加7個小立方體，搭成較大立方體時，這個小立方體相對兩面中只能有一個面與其它小立方體相鄰，也就是說只能考慮鐵絲在一個方向上繼續(xù)穿透其它小立方體。而這個小立方體相鄰的兩面可以分別與其它小立方體相鄰，鐵絲可以沿兩個方向繼續(xù)穿透其它小立方體。因此，C種情況是我們解答本題需要深入考慮的。（為了便于分析，將這個小立方體編為號。） （2）考慮鐵絲扎進較大立方體時最多可以穿透幾個小立方體。如圖2所示，鐵絲沿斜上方向可繼續(xù)穿透號小立方體，沿斜下方向可繼續(xù)穿透號、號小立方體。因此，共可穿透4個小立方體。（3）考慮鐵絲扎進27個小立方體搭成的大立方體時，最多可以穿透幾個小立方體。如圖3所示，鐵絲沿斜上方向可繼續(xù)穿透號立方體，沿斜下方向可以繼續(xù)穿透號、號小立