2018版高中數(shù)學第二章圓錐曲線與方程2.1.1橢圓及其標準方程學案新人教A版.docx

2.1.1橢圓及其標準方程1.了解橢圓的實際背景，經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程.2.了解橢圓的標準方程的推導及簡化過程.(難點)3.掌握橢圓的定義、標準方程及幾何圖形.(重點、易錯點)基礎初探教材整理1橢圓的定義閱讀教材P32探究思考以上部分，完成下列問題.把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)已知F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)，到F1，F(xiàn)2兩點的距離之和為6的點的軌跡是橢圓.()(2)到F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)兩點的距離之和等于12的點的軌跡是橢圓.()(3)到F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)距離相等的點的軌跡是橢圓.()【解析】(1).因為到兩定點距離之和小于|F1F2|，動點的軌跡不存在，故(1)錯.(2).由橢圓定義知，(2)對.(3).其動點軌跡是線段F1F2的中垂線，故(3)錯.【答案】(1)(2)(3)教材整理2橢圓的標準方程閱讀教材P32思考P34例1以上部分，完成下列問題.橢圓的標準方程焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程1(ab0)1(ab0)焦點坐標(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)a，b，c的關(guān)系c2a2b2判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)橢圓的兩種標準方程中，雖然焦點位置不同，但都有a2b2c2.()(2)平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的集合是橢圓.()(3)橢圓的特殊形式是圓.()(4)橢圓4x29y21的焦點在y軸上.()【答案】(1)(2)(3)(4)小組合作型橢圓定義的應用(1)橢圓1上一點P到一個焦點的距離為5，則P到另一個焦點的距離為()A.5B.6C.4D.10(2)橢圓1的焦點為F1，F(xiàn)2，AB是橢圓過焦點F1的弦，則ABF2的周長是() 【導學號：97792013】A.20B.12C.10D.6【自主解答】(1)設P到另一焦點的距離為r，則r52a10，r5.(2)AB過F1，|AB|AF1|BF1|.由橢圓定義知，|AB|AF2|BF2|4a20.【答案】(1)A(2)A在橢圓中若遇到橢圓上的點到焦點的距離及動點到兩定點的距離的和為定值的軌跡的判斷問題，常常用橢圓的定義進行解決.再練一題1.(1)設P是橢圓1上的點，若F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，則|PF1|PF2|等于()A.4B.5C.8D.10(2)已知F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)，則到F1，F(xiàn)2兩點的距離之和等于8的點的軌跡是_.【解析】(1)a5，|PF1|PF2|2a10.(2)由于動點到F1，F(xiàn)2的距離之和恰巧等于F1F2的長度，故此動點的軌跡是線段F1F2.【答案】(1)D(2)線段F1F2求橢圓的標準方程根據(jù)下列條件，求橢圓的標準方程.(1)兩個焦點的坐標分別為(4,0)和(4,0)，且橢圓經(jīng)過點(5,0)；(2)中心在原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過(2,0)和(0,1)兩點；(3)焦點在y軸上，與y軸的一個交點為P(0，10)，P到離它較近的一個焦點的距離等于2.【精彩點撥】本題考查橢圓標準方程的求法，求橢圓的標準方程時，要先判斷焦點位置，確定出適合題意的橢圓標準方程的形式，最后由條件確定出a和b即可.【自主解答】(1)由于橢圓的焦點在x軸上，設它的標準方程為1(ab0).2a10，a5.又c4，b2a2c225169.故所求橢圓的方程為1.(2)法一當橢圓的焦點在x軸上時，設所求橢圓的方程為1(ab0).橢圓經(jīng)過兩點(2,0)，(0,1)，則所求橢圓的方程為y21；當橢圓的焦點在y軸上時，設方程為1(ab0).橢圓經(jīng)過兩點(2,0)，(0,1)，則與ab矛盾，故舍去.綜上可知，所求橢圓的標準方程為y21.法二設橢圓方程為mx2ny21(m0，n0，mn).橢圓過(2,0)和(0,1)兩點，綜上可知，所求橢圓方程為y21.(3)橢圓的焦點在y軸上，可設它的標準方程為1(ab0).P(0，10)在橢圓上，a10.又P到離它較近的一焦點的距離等于2，c(10)2，故c8.b2a2c236.所求橢圓的標準方程是1.1.求橢圓的標準方程的常用方法是待定系數(shù)法，即先由條件確定焦點位置，設出方程，再設法求出a2、b2代入所設方程，也可以簡記為：先定位，再定量.2.當焦點位置不確定時，可設橢圓方程為mx2ny21(mn，m0，n0).因為它包括焦點在x軸上(mn)和焦點在y軸上(mn)兩類情況，所以可以避免分類討論，從而達到了簡化運算的目的.再練一題2.根據(jù)下列條件，求橢圓的標準方程.(1)兩個焦點的坐標分別是(4,0)，(4,0)，橢圓上任意一點P到兩焦點的距離之和等于10；(2)求經(jīng)過兩點(2，)，的橢圓的標準方程. 【導學號：97792014】【解】(1)橢圓的焦點在x軸上，設橢圓的標準方程為1(ab0).2a10,2c8，a5，c4.b2a2c252429.故所求橢圓的標準方程為1.(2)法一若焦點在x軸上，設橢圓的標準方程為1(ab0).由已知條件得解得所以所求橢圓的標準方程為1.若焦點在y軸上，設橢圓的標準方程為1(ab0).由已經(jīng)條件得解得即a24，b28，則a2b2，與題設中ab0矛盾，舍去.綜上，所求橢圓的標準方程為1.法二設橢圓的方程為Ax2By21(A0，B0，AB).將兩點(2，)，代入，得解得所以所求橢圓的標準方程為1.探究共研型與橢圓有關(guān)的軌跡問題探究軌跡和軌跡方程有什么不同？【提示】軌跡和軌跡方程是兩個不同的概念.求曲線的軌跡不僅要求出方程，而且要指明曲線的位置，類型.求軌跡方程只求那個方程即可，不需描述曲線的特征.已知點M在橢圓1上，MP垂直于橢圓兩焦點所在的直線，垂足為P，且M為線段PP的中點，求P點的軌跡方程.【精彩點撥】【自主解答】設P點的坐標為(x，y)，M(x0，y0)，P(x0，0).點M在橢圓上，1.又M是線段PP的中點，代入上式，得1，即x2y236.故P點的軌跡方程為x2y236.1.本題中由點P，M的關(guān)系，得到等式x0x，y0是關(guān)鍵.利用點M在橢圓上，將含x0，y0的式子代入橢圓方程便得到了動點P的軌跡方程，此法稱為“代入法”，此類問題一般使用此法.2.求軌跡方程的主要方法(1)定義法用定義法求橢圓方程的思路是先觀察、分析已知條件，看所求動點軌跡是否符合橢圓的定義，若符合橢圓的定義，則用待定系數(shù)法求解即可.(2)相關(guān)點法有些問題中的動點軌跡是由另一動點按照某種規(guī)律運動而形成的，只要把所求動點的坐標“轉(zhuǎn)移”到另一個動點在運動中所遵循的條件中去，即可解決問題，這種方法稱為相關(guān)點法.用相關(guān)點法求軌跡方程的步驟：設所求軌跡上的動點P(x，y)，再設具有某種運動規(guī)律f(x，y)0上的動點Q(x，y).找出P，Q之間坐標的關(guān)系，并表示為將x，y代入f(x，y)0，即得所求軌跡方程.再練一題3.如圖211，設P是圓x2y225上的動點，點D是P在x軸上的投影，M為PD上一點，且|MD|PD|.當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程.圖211【解】設點M的坐標是(x，y)，P的坐標是(xP，yP)，因為點D是P在x軸上的投影，M為PD上一點，且|MD|PD|，所以xPx，且yPy.因為P在圓x2y225上，所以x2225，整理得1，即C的方程是1.1.已知橢圓1的一個焦點為(2,0)，則橢圓的方程是()A.1B.1C.x21D.1【解析】由題意知，橢圓焦點在x軸上，且c2，由a2b2c2，得a2246，因此橢圓方程為1，故選D.【答案】D2.若方程1表示焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是()A.9m25B.8m25C.16m25D.m8【解析】由題意知解得8m25，故選B.【答案】B3.已知橢圓的焦點在y軸上，其上任意一點到兩焦點的距離和為8，焦距為2，則此隨圓的標準方程為_.【解析】由題意知2a8，a4，2c2，c，b2a2c21，故此橢圓的標準方程為x21.【答案】x214.已知橢圓1上一點P與橢圓兩焦點F1，F(xiàn)2