中一數(shù)學(xué)輔助讀物.pdf

數(shù)苗 中一數(shù)學(xué)輔助讀物 仁愛堂田家炳中學(xué)數(shù)學(xué)組編 一九九零年四月 目 錄 生命的數(shù)學(xué) 1 正負(fù)號和加減號 4 0 和 無 6 漫話 9 借助梯形面積公式 13 生活的數(shù)學(xué) 生命的數(shù)學(xué) 現(xiàn)象到處可見 扔一塊骨頭 狗看到了 會(huì)毫不猶疑地沿直線追去 我們自然不會(huì)相信狗懂得兩點(diǎn)之間的距離 以直線為最短 祇是生存的本能 促使它這樣行動(dòng)罷了 人的血液 是靠血管輸送到身體各部份去 一個(gè)成年 人的血管 總長近兩萬公里 接起來可以繞地球半圈 現(xiàn) 在 人和動(dòng)物的血管直徑比已經(jīng)弄清楚了 這就是從主動(dòng) 脈開始 血管不斷地分成兩個(gè)直徑一樣的分支 並且總是 按照 1 3 2 1 縮小 經(jīng)過計(jì)算證實(shí) 按照這樣的比值 血 液在血管中流動(dòng)時(shí) 消耗的能量最小 尤其令人驚異的是蜜蜂 這種小昆蟲 能夠把蜂房正 六棱柱底部的三個(gè)全等菱形的鈍角 都建成約 109 5o 計(jì) 算確定 這樣的蜂房消耗材料最少 今天 我們已把蜜蜂 和各種飛禽走獸 都請進(jìn)了 仿生學(xué) 中來 充當(dāng)我們的 老師 第 1 頁 蔓生植物如牽?；?菜豆 蛇麻草等 是沿著螺旋線的 方向 纏繞其他植物往上長的 還有榆樹的葉子 橡樹的枝 條 也是按照螺旋線排列的 根據(jù)數(shù)學(xué)的分析 這樣可以最 有效地接受陽光照射 蝸牛殼 牛角等是螺旋線 甚至松鼠 在樹幹上相互追逐 也是沿螺旋線奔跑的 這是從樹頂?shù)囊?邊到樹底的另一邊的最短線 蛋白分子和核酸分子的空間結(jié) 構(gòu) 也是螺旋形結(jié)構(gòu) 被稱為生物的基本結(jié)構(gòu) 長期自然選擇的結(jié)果 生物按照數(shù)學(xué)法則來選擇適應(yīng)本 身需要的形狀 這種事例太多了 西瓜為甚麼長成球狀 任何體積的幾何體中 以球的表 面積最小 西瓜長成球狀 就可以減少表面水份散失 有利 於它傳種接代 竹子長成空心圓錐形 可以用有限的表面積 獲得盡可 能大的體積 這對於提高它的生存能力有利 植物的葉子有葉脈 葉脈是輸送水分和養(yǎng)分的交通線 第 2 頁 科學(xué)家發(fā)現(xiàn) 各種植物葉子的幾何形狀雖然千差萬別 可 是葉脈的圖案 卻與葉片形狀有著最經(jīng)濟(jì)的對應(yīng)關(guān)係 葉 脈的圖案 能使維管束的數(shù)量最少 而運(yùn)輸效果最好 已 經(jīng)有人提出來了 將來設(shè)計(jì)工廠或者城市的管道系統(tǒng)時(shí) 應(yīng)該向植物的葉脈學(xué)習(xí) 第 3 頁 正負(fù)號和加減號 數(shù)學(xué)符號很重要 有了各種各樣的符號 在表達(dá)概念 說明關(guān)係和進(jìn)行運(yùn)算時(shí) 就既方便 又準(zhǔn)備了 十五世紀(jì)時(shí) 歐洲的商人在裝貨的箱子上 常劃一個(gè) 號表示超重 劃一個(gè) 號表示不足 在數(shù)學(xué)上 最先採用這兩個(gè)符號的 是十五世紀(jì)德國的數(shù)學(xué)家魏德曼 因?yàn)槭褂?號十分方便 後來就被人們普遍採用 了 請看這個(gè)式子 4 9 5 2 在 4 9 5 2 前面的 或者 號 是表示數(shù)的正負(fù) 性質(zhì)的 分別叫做正 負(fù)數(shù) 又叫做 性質(zhì)符號 在號之 間的 和 是表示數(shù)的運(yùn)算方法的 分別叫做加 減號 又叫做 運(yùn)算符號 第 4 頁 上式可以寫成 4 9 5 2 在這裡 所有的運(yùn)算都變?yōu)榧臃?要是把其中的加號全部省略掉 又得到 4 9 5 2 在這裡 除了第一個(gè)符號還保留性質(zhì)符號外 其餘各數(shù)前 面的性質(zhì)符號 都轉(zhuǎn)化成運(yùn)算符號了 這種寫法叫做代數(shù) 和 讀作 負(fù) 4 減 9 加 5 加 2 或者讀作 4 加 9 加 5 加 2 這樣看來 在一定的條件下 性質(zhì)符號和運(yùn)算符號是 可以互相轉(zhuǎn)化的 表示正或加 表示負(fù)或者 減 就為這種轉(zhuǎn)化提供了形式上的方便 正因?yàn)檫@樣 我們一定要明確正 負(fù)號和加減號是兩 不同性質(zhì)的符號 在實(shí)際應(yīng)用中 一定要注意它們的聯(lián)繫 和區(qū)別 第 5 頁 0 和 無 無 在數(shù)量上可以用 0表示 但是 0 和 無 並 不完全是一回事 九世紀(jì)時(shí) 印度發(fā)現(xiàn)了一塊古老的紀(jì)念碑 在這塊石碑 上 刻著一個(gè)數(shù) 270 考古學(xué)家說 這關(guān)於 0 的早期歷 史紀(jì)錄 0 的出現(xiàn) 看來和記數(shù)法有密切的關(guān)係 比如四個(gè)十加 上五 可以記作 45 但是四個(gè)一百加上五 就不能再寫成 45 了 最初 一個(gè)數(shù)的某一位數(shù)字沒有數(shù) 是在那一位上留下 空位表示的 後來 為了避免弔起誤會(huì) 就在兩個(gè)數(shù)字中間 添上一個(gè)小圓點(diǎn)表示空位 再後來 這個(gè)小圓點(diǎn)又逐漸演變 成 0 了 0 一經(jīng)間世 它就一個(gè)獨(dú)立的數(shù)字 成為阿拉伯?dāng)?shù) 第 6 頁 字的十個(gè)成員之一 長久以來 因?yàn)槿藗兘?jīng)常用 0 來表示 無 於是 有些人就認(rèn)為 0 祇能用來代表 無 這樣看 0 是不對 的 某地的氣溫是攝氏 0 度 這個(gè) 0 度是不是表示沒有溫 度呢 當(dāng)然不是 攝氏 0度相當(dāng)於華氏 32 度 它表示了水 的冰點(diǎn) 這樣一個(gè)確定的量 就是在一個(gè)大氣壓下 水在 這溫度開始結(jié)冰 在數(shù)軸上 O 是原點(diǎn) 以這點(diǎn)為界 凡是大於 0 的數(shù) 右邊的點(diǎn)上 表示正數(shù) 凡是小於 0 的數(shù)左邊的點(diǎn)上 表 示負(fù)數(shù) 並且離原點(diǎn)越遠(yuǎn)的點(diǎn) 表示數(shù)的絕對值越大 所 以 0 既不是正數(shù) 也不是負(fù)數(shù) 在數(shù)的世界中 0 是唯一 的一個(gè)中性數(shù) 是正數(shù)和負(fù)數(shù)的 分水嶺 在直角坐標(biāo)系中 x 軸上的點(diǎn)的 y 坐標(biāo)都是 0 y 軸上 的點(diǎn)的 x坐標(biāo)都是 0 第 7 頁 在近似計(jì)算中 也要注意 0的使用 比如說 2 5 和 2 50 的含意就不同 2 5 表示精確到 0 1 而 2 50 表示精確到 0 01 所以 我們不能把 2 50 中最後的 0 理解為可有可 無 隨便把它劃去 電子計(jì)算機(jī)巧思妙算 又快又好 離不開 0 0 也可以用來做序數(shù) 比如劃分時(shí)區(qū)設(shè) 0 區(qū) 寫書時(shí)把 引言寫成第 0 章 這樣做 可以把 0區(qū)和 0 章的特殊性表示 出來 今天 龐大的數(shù)學(xué)體學(xué)系及其應(yīng)用 要是沒有了 0 那 是不堪設(shè)想的 隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展 0 的念意和用處會(huì)更加豐富多 彩 漫話 與圓有聯(lián)繫的圓形和物體 現(xiàn)實(shí)世界中實(shí)在是太多了 有關(guān)圓周長 弧長 圓面積 扇形 弓形面積的計(jì)算 有 關(guān)圓柱 圓錐 圓臺 球的表面積和體積的計(jì)算 某些特 殊曲線長度的計(jì)算 某些特殊圓形 如橢圓 面積的計(jì)算 某些特殊幾何體 如橢球 的表面積和體積的計(jì)算等 所 有這些計(jì)算都離不開一個(gè)重要的常數(shù) 即圓周率 另外 在三角學(xué) 微積分及現(xiàn)代數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域 都有 廣泛的應(yīng)用 到底是一個(gè)怎樣的數(shù) 大家都知道 對於任何一個(gè)圓 它的周長與直徑的比 都是一個(gè)確定的數(shù) 就是圓周率 因此 圓的周長 圓的直徑 是希臘文 圓周 的第一個(gè)字母 在上述公式中 第 8 頁第 9 頁 當(dāng)直徑 1 時(shí) 周長 所以 實(shí)際上是直徑為 1 個(gè)單 位的圓的周長 英國數(shù)學(xué)家瓊斯於 1706 年 第一個(gè)用 表 示圓周率 便一直沿用下來 數(shù)學(xué)家們早已證明 是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù) 是無 理數(shù) 數(shù)學(xué)家們也早已證明 不是任何代何代數(shù)方程的 根 所以 又是一個(gè) 超越數(shù) 在我國古代有 周三徑一 之說 是說圓的周長大約是 其直徑的三倍 取近似值 3 當(dāng)然誤差較大 在古代中國和別的國家 許多人用實(shí)驗(yàn)的方法 即用繩 子去量圓的直徑和周長 得到 的較為精確的近似值 3 1 我國東漢時(shí)的大科學(xué)家張衡估算 3 16 古印度以 10 3 16 作圓周率 古希臘的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家阿基米德 公元前三世紀(jì) 通過計(jì)算圓內(nèi)接和外切正 96 邊形的周長 將 的值計(jì)算確到 0 01 即 3 14 處於世界領(lǐng)先地位 在 我國的魏晉時(shí)代 公元三世紀(jì) 有一位大數(shù)家劉徽 使用 第 10 頁 割圓術(shù) 成倍增加圓內(nèi)接正邊多邊形邊數(shù) 計(jì)算這些正多 邊形的周長 當(dāng)邊數(shù)愈來愈多時(shí) 正多邊的周長就越來越 接近圓的周長 劉徽計(jì)算的結(jié)果是 3927 1250 3 1416 是 很了不起的成就 劉徽建議用 31 14 作圓周率 後人稱 3 14 和 3 1416 為 徽率 公元五世紀(jì)的南北朝時(shí)期 我國又出了一個(gè)大數(shù)家祖 沖之 他繼續(xù)使用劉徽的 割圓術(shù) 把 計(jì)算到小數(shù)點(diǎn) 第七位 得到 3 141 592 6 3 141 592 7 並以22 7 和355 113 兩個(gè)分?jǐn)?shù)作為 的近似值 分別稱為 約率 和 密率 而355 113 後人也稱為 祖率 直到一千年後歐洲人才找到了 這個(gè)密率 祖沖之以驚人的毅力 熟練的計(jì)算技術(shù) 極端 細(xì)緻的工作精神 算得直徑為 1丈的圓內(nèi)接正 24 576 邊形 的周長是 3 141 592 6丈 當(dāng)時(shí)計(jì)算工具是 籌 即小棒 把小棒擺在地上進(jìn)行計(jì)算 可以想像 祖沖之為此付出了 第 11 頁 多麼大心血 他對科學(xué)的偉大貢獻(xiàn)是中華民族的驕傲 他為 科學(xué)獻(xiàn)身的精神更值得我們繼承和發(fā)揚(yáng)光大 16 世紀(jì)後 歐洲人發(fā)現(xiàn)了用 冪級數(shù) 來計(jì)算 值方 法 使 的位數(shù)直線上升 16 世紀(jì) 德國有個(gè)叫盧道爾夫 的人 他幾乎花費(fèi)了畢生精力 把 值計(jì)算到了小數(shù)點(diǎn)後 面 35 位即 3 141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88 根據(jù)他的遺囑 後人把這個(gè)結(jié)果刻在他的墓碑上 近年有人 使用大型高速計(jì)算機(jī) 把 的值計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)後 150 萬位 若把這個(gè)長長的數(shù)字印成書 這本書就有好幾百頁 不過 計(jì)算到如此精確 已沒有多少實(shí)用價(jià)值了 一般的工程技術(shù) 中 要求 精確到小數(shù)點(diǎn)後三 四位或五 六位即可 在 許多科學(xué)研究中 要求 精確到小數(shù)點(diǎn)後七 八位也就足 夠了 第 12 頁 借助梯形面積公式 德國大數(shù)家高斯 Gauss 小時(shí)候就很喜歡動(dòng)腦筋 據(jù)說在他十歲的時(shí)候 有一次 老師在課堂上給同學(xué)們出 了一道題 求從 1 到 100 所有整數(shù)的和 同學(xué)們個(gè)個(gè)都埋 著頭一個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù)地做加法 祇有小高斯坐在那裡出神 忽然地他舉起了手說 老師 我做完了 和是 5050 老師很驚奇 別的學(xué)生才做了幾個(gè)數(shù)的加法 高斯怎麼做 得這樣快 原來 高斯覺得做 99次加法太麻煩了 要想竅門 他 把這 100 個(gè)加數(shù)配成 50 對 即 1 和 100 2 和 99 3 和 98 50 和 51 每一對之和都是 101 所以總和是 101 50 5050 利用高斯的辦法 請你計(jì)算一下 101 到 150 所有整數(shù) 的和 第 13 頁 你會(huì)很快得出這 50 個(gè)數(shù)的和是 101 150 50 2 251 25 6275 這類求和題有一個(gè)特點(diǎn) 一系列加數(shù)有規(guī)律地排列 後 一個(gè)加數(shù)總比前一個(gè)加數(shù)多 1 我們可以總結(jié)出一個(gè)求和的 公式 和 最大數(shù) 最小數(shù) 加數(shù)的個(gè)數(shù) 2 若用字母S 表示和 m 和 n 分別表示最大與最小加數(shù) K 表示加數(shù)的個(gè)數(shù) 則這個(gè)公式就是 S m n K 2 請你再看一個(gè)題 1 3 5 99 這是求 100 以內(nèi)所有正的奇數(shù)的和 這些數(shù)有一個(gè)特 點(diǎn) 後一個(gè)數(shù)都比前一個(gè)數(shù)大 2 它也可以用高斯辦法來解 第 14 頁 決 1 3 5 99 1 99 3 97 49 51 100 25 2 500 如果按上面的公式來計(jì)算呢 S 1 99 50 2 100 50 2 2 500 結(jié)果是一樣的 再如 44 41 38 2 44 2 41 5 26 20 23 46 7 23 345 如果也按上面的公式來計(jì)算 有 S 44 2 15 2 345 第 15 頁 結(jié)果又是一樣的 這個(gè)例子的特點(diǎn)是 後一個(gè)加數(shù)都比 前一個(gè)加數(shù)小 3 而加數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù) 即相加時(shí)不能全部 配成對 然而仍可用上面的公式來計(jì)算 這毫不奇怪 它說明了前面總結(jié)的公式很有用 可用來求一系列特殊數(shù)的 和 這一系列數(shù) 後面一個(gè)與它前面一個(gè)的差都相等 這種 有規(guī)律排列一系列數(shù)稱為 等差數(shù)列 附圖是一堆鋼管 最上面一層是 6根 下一層都比上一 層多一根 最下面一層是 10 根 共層 不用一根一根地去 數(shù) 也不用一層一層地去加 你能很快算出這堆鋼管是多少 根嗎 如果這樣想 假如還有同樣多的鋼管 倒過來放 即最 上一層放 10根 最下一層放 6 根 共 5 層 那麼每一層都 第 16 頁 是 10 6 根 所以原來這批鋼管的總數(shù)是 S 10 6 5 2 40 根 此式與上面說的公式 S m n K 2 相一致 而思考問題的方法也與開頭的幾個(gè)例子相一致 它實(shí)際上 就是等差數(shù)列的求和問題 你看 這堆鋼管從兩頭看過去 多像一個(gè)梯形啊