（應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文）k14受限圖的完全圈可擴(kuò)性與多屬性決策的方案排序法.pdf

獨(dú)創(chuàng)聲明 本人聲明所呈交的學(xué)位論文是本入在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研 究成果。據(jù)我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含其他 人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，也不包含為獲得 有其他需要特別聲明的，本欄可空) 或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書使用過的毒才蚪。 與我一同工作的同志對(duì)本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說明并表 示謝意。 學(xué)位論文作者簽名：馬建衙 1 、鄉(xiāng) 導(dǎo)師簽字：2 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學(xué)位論文作者完全了解堂撞有關(guān)保掣、使用學(xué)位淪文的規(guī)定，有權(quán)?？?并向國(guó)家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和磁盤，允許論文被查閱和借閱。本 人授權(quán)堂撞可以將學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)掘庫(kù)進(jìn)行檢索，可以 采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存、匯編學(xué)位論文。( 保密的學(xué)位論文在解密 后適用本授權(quán)書) 學(xué)位論文作者簽名：馬冶前 導(dǎo)師簽字：a 紗 簽字目期：2 0 0 年4 月哆日簽字日期：2 0 0 。f 年 3i sf u l l yc y c l ee x t e n d a b l e a n dt h ee x a m p l es h o w st h a tt h ec o n d i t i o no f “5 f 3 ”i ss h a r pi n t h e t h e 。r e mo fk i1 一r e s t r i c t e dg r a p h w h e n6 8 ，i tc a ne a s i l ys h o wt h a tt h e o r e m 1 6i st h eg e n e r a li z a t i o no ft h e o r e m1 5 a n da tt h es a m et i m eg i v e st h e g r a p ht h a ts a t i s f yt h e o r e m1 6 sc o n d i t i o nb u tn o tt h ec o n d i t i o no ft h e o r e m 1 ，3 a sa n o t h e r s c i e n c eb r a n c hs c i e n c eo fo p e r a t i o nr e s e a r c h ，c o n t r o l t h e o r ys t u d i e sq u a n t i t i v ea n a l y s i sm e t h o d so fd e c i s i o nm a k i n gu n d e rr is k y o ru n c e r t a i ns i t u a t i o n s t h ec o r eo fi t ss o l u t i o ni st od e c i d et h er a n k in g a m o n ga l t e r n a t i v e sa f t e re v a l u a t i o n ，a n dc h o o s e t h eb e s t t h es e c o n d c h a p t e r a n dt h et h i r dc h a p t e ro f t h i sp a p e rw i l lm a i n yd i s c u s st h e a l g o r i t h mr a n k i n gi nm u l t i a t t r i b u t ed e c i s i o nm a k i n gp r o b l e m s i nt h e f o l l o w i n gs i t u a t i o n s c u r r e n t l y ，t h e r ea r el o t so fs o l u t i o n st ot h em u l t i a t t r i b u t ed e c i s i o i l m a k i n gp r o b l e m sw i t ha l 】t h ei n f o r m a t i o na b o u tw e i g h t so r w i t h o u ta n y i n f o r m a t i o na b o u tw e i g h t s t h e r e f o r e ，r e s e a r c h e r sa r ev e r yi n t e r e s t e di n 山東師范大學(xué)碩士學(xué)錳論文 6 t h ec a s ew h e nt h ew e i g h t si n f o r m a t i o ni so n l yp a r t l ya v a i l a b l e a r t i c l e 3 3 g a v eaa l g o r i g h mr a n k i n gm e t h o du n d e rw e a ki n d e xo r d e r i n g t h es e c o n d c h a p t e ro ft h i sp a p e rw i l ls t u d ya l g o r i g h mr a n k i n gm e t h o d su n d e rs t r o n g i n d e xo r d e r i n gw it hp r e f e r e n c e sa m o n ga l g o r i g h m s w i t hs t r o n gi n d i c e so r d e r i n g ，w ec a nc o n s t r u c tad e c i s i o nm o d e ra s t h ef o l l o w i n g ： r a i nh ( w ) = = c l + g + e 嘸 i + w ，2 + ，+ 阡i = 1 “ 愛美洲“產(chǎn)1 2 ，艫d i 0 ( ，2 1 , 2 ， ) b ya n a l y t i cc a l c u l a t i o n ，w ec a ns o l v et h ew e i g h t s 彬i nt h e1 i n e a r p r o g r a mp r o b l e ma b o v e w ec a nc o m p l e t eo u rr a n k i n gw o r kj u s tb yc a l c u l a t i n g t h es u b j e c t i v ee x p e c t a t i o nv a l u e e ( x ，) = f o r e a c ha l t e r n a t i v ez ，l t h i sm e t h o di n c l u d e st h es i t u a t i a no fw e a kin d e xo r d e r i n g o nt h eo t h e r h a n d i ta l s oc o n s i d e r st h ea c t i v ea t t e n d i n go ft h eo t h e rr e s e a c h e r s i n o r d e rt oi e t t h ed e c i s i o nm a k i n gm o r er e a s o n a b l e t h i sc a p t e rg i v e st h ea n a l y s i so ft h ee x a m p l e t h et o p s i sm e t h o disa r le f f e c t i v em u l t i a t t r i b u t e d e c i s io n m a k i n g a r t i c l e 1 9 g i v e su st h ev i v i dp r o c e s so fc a l c u la t l n g m e t h o d ，a n dt h e n ，a r t i c l e 3 4 m a k e sf u r t h e rd i s c u s s i o n sa b o u ti t b u ta 1 t h i sm e t h o d sa r ea n a l y s i s e du n d e rt h ec o n d i t i o n so fi n d i c e sw e i g h t sa n d a t t r i b u t e s h o w e v e r ，d u et ot h ee f f e c t so fm a n yf a c t o r ss u c ha st h e c o m p l e x i t yo ft h es u b j e c t sa n di n c o m d l e t e n e s so fd e c i z i o n m a k i n g i n f o r m a t i o n 。i ti sv e r yd i f f i c u l tt od e t e r m i n ea 1 1t h ei n d i c e sv a l u ef o r e a c ha l t e r n a t i v eo rt oo b j e c t i v e l yd e c i d et h ew e i g h t sf o re a c hi n d e x b u t 1 tw 訂1b er e l a t i v e l ye a s i e ri fw eo n l yn e e dt og i v et h e map r o p e ri n t e r v a l 山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文7 t h e r e f o r e ，t h er e s e a e ho fi n t e r v a lv a l u ed e c i s i o n m a k i n gh a st h ei m p o r ta n t t h e o r i c a la n da p p l y i n gv a l u e ，t h et h i r dc h a p t e rm a i n l ydjs c u s s e st h a tt h e i n d i c e sw e i g h ta n da t t r i b u t sc a n tb ec o m p l e t e l yd e f i n e db u tc a nb ed e f i n e d i t sm u l t i p l ea t t r i b u t ed e c i s i o nm a k i n gi ni t si n t e r v a lv a l u e d e c i s i o n m a k i n g ，a l s o ，g i v e st h ea c t i o n sr a n k i n gt h e o r ya n dm e t h o do nt h e b a s i so ft r a d i t i o n a lt o p s i s d e f i n et h ei d e a ls o l u t i o na n dn e g a t i v ei d e a ls o l u t i o na s f o l l o w i n g ： 。+ m 。a x 。日懋盤二 = w ，口x 。r a 。i n 。二，翟驃。二) = 口i ，口。 c o m p u t et h ew e i g h t e dd i s t a n c e s i ，s 7 b e t w e e nt h ed e c i s i o n a l t e r n a t v e sa n dt h ei d e a ls o l u t i o n ，a n dt h ew e i g h t e dd i s t a n c e d ，研】 b e t w e e na l t e r n a t i v e sa n dt h en e g a t iv ei d e a ls o l u t i o n ， u s i n gt h er e l a t i v ec l o s e n e s si n t e r v a l e l ，e t b e t w e e na l t e r n a t i v e s a n dn e g a t i v ejd e a ls o l u t i o n ，w ec o n s t r u c tap r e f e r e n c ed e g r e e c o m p a r i s o n m a t r i xp ，a n dt h e r e f o r ed e j i c tt h ev a l u eo fd i f f e r e n ta l t e r n a t i v ea n d c o m p l e t et h er a n k i n g t h i se a p t e ra l s og i v e st h ea n a l y s i so ft h ee x a m p l e k e y w o r d s ：k , , p - r e s t r i c t e dg r a p h ；l o c a l l yk c o n n e c t e dg f a p h ；f u l l yc y c l e e x t e n s i b l eg r a p h ：s t r o n gi n d e xo r d e r i n g ；i n t e r v a j d e c i s jo n m a k i n g c l a s s i f ；c a t i o n ，0 1 5 7 l u 東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 第一章 眉。一受限圖的完全圈可擴(kuò)性 圖論是借助圖形對(duì)問題進(jìn)行分析的一種重要的研究方法，它在科學(xué)研究中有 重要的應(yīng)用。其中的h a m i l t o n 問題是圖論中的四大難題之一。1 8 5 7 年，愛爾蘭數(shù) 學(xué)家哈密頓提出：“一個(gè)連通圖有h a m i l t o n 圈的充要條件是什么? ”這樣個(gè)問 題。但是這個(gè)問題至今仍未能解決。后來人們發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)n p c 問題，于是對(duì)它 降低要求間接研究該問題。其中一種思路就是研究某些特殊圖類。由于線圖的特 性，無爪圖成為近來人們比較感興趣的課題。尤其在7 0 年代末8 0 年代初，關(guān)于 哈密頓性質(zhì)的一些初步結(jié)果被證明后，有關(guān)無爪圖哈密頓問題的研究日益活躍， 并取得了長(zhǎng)足的發(fā)展。另外一種思路是研究h a m i i t o n 圖的充分條件。關(guān)于這兩種 思路人們主要從以下兩個(gè)方面來研究：圈和路。 本章結(jié)合兩種思路主要研究類特殊圖類的圈方面的完全圈可擴(kuò)性問題。 1 1完全圈可擴(kuò)性的若干結(jié)果 以下僅討論有限、無向、簡(jiǎn)單圖。所使用的記號(hào)和術(shù)語約定如下，其中未加 說明的部分請(qǐng)參照文獻(xiàn) 1 。 設(shè)g = ( 礦( g ) ，e ( g ) ) 是一個(gè)圖，y ( g ) 、e ( g ) 分別是g 的頂點(diǎn)集和邊集。對(duì)s 、 z c v ( g ) ，口v ( g ) ，及g 的子圖h ，令 n 7 ( 。) = 甜t ：鯽e ( g ) ，n h ( “) = n r 圩、( 盤) ，( s ) = u n 7 ( v ) ，n ( s ) = n 】( s ) r ( ， ，) = n7 ( y ( h ) ) ， i h i = l 礦( h ) i n 。( d ) 和n 。( s ) 也分別簡(jiǎn)記為n ( a ) 和n ( s ) 6 = m i n n ( v ) i ：v y ( g ) g 的由s 導(dǎo)出的子圖記為( s ) 。如果( ( 口) ) 連通，則稱頂點(diǎn)口是局部連通的。 如果對(duì)v 口礦( g ) ，( ( ) 是一連通的，則稱g 是局部k 一連通的。特殊地，局部 卜連通圖也稱為局部連通圖。 山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 9 設(shè)c = v i v 2 v ，v i 是g 的一個(gè)圈，v 。，v ，礦( c ) ，用v i 。和v j 分別表示c 的點(diǎn) v h 和v ，v i l 和v j l 也分別簡(jiǎn)記成v i 和v ? ：用v ，c v ，和v ，c v ，分別表示c 的路 v ，v v ，和v ，v i _ l v ，( 這里點(diǎn)的下標(biāo)均模r ) 。 設(shè)p 是g 中一條( x ，y ) 路( 以x ，y 為端點(diǎn)的路) ，如果g 中不存在( x ，y ) 一路尸， 使y ( p ) c 礦( p ) 且i p l ，均有 p ( 一，x ：，x ， ) ) i p - 2 時(shí)，則稱g 為k 、, p - 受限圖。其中。k 1 , 3 - 受限圖也稱無 爪圖。 k i , p - - 受限圖有下述性質(zhì)： 定理1 1 1 7 3 k 。, p - 受限圖必是k 。受限圖。 可見，k i , p - - 受限圖是無爪圖的推廣。 如果圖g 滿足： ( 1 ) g 的每一個(gè)頂點(diǎn)都在長(zhǎng)度為3 的圈上； ( 2 ) 對(duì)g 中任意一個(gè)圈c ，只要l c l l g l ，就存在g 的圈c ，使 y ( c ) cv ( c ) 且1 c 卜1 c h ， 則稱g 是完全圈可擴(kuò)的，同時(shí)稱c 為c 的擴(kuò)圈。 顯然圖g 是完全圈可擴(kuò)的是比圖g 是哈密頓圖更強(qiáng)的結(jié)果，所以研究完全圈 可擴(kuò)問題就研究了圖論的難點(diǎn)之一哈密頓問題。這使得該研究具有重大意義。 在完全圈可擴(kuò)方面，已經(jīng)有了不少的證明結(jié)果。 h e n d r y ( 后來h m b a r t s u m i a ne ta 1 獨(dú)立地) 證明了： 定理1 2 ”?！?頂點(diǎn)數(shù)不小于3 的連通、局部連通無爪圖是完全圈可擴(kuò)的。 r 蝣 e k 將定理1 2 推廣到幾乎無爪圖得到： 定理1 3 “”頂點(diǎn)數(shù)不小于3 的連通、局部連通的幾乎無爪圖g 中，如果不含 與k 。同構(gòu)的導(dǎo)出子圖，則g 是完全圈可擴(kuò)的。 山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 l o 所謂幾乎無爪圖是指滿足如下條件的圖：其所有導(dǎo)出3 一爪的爪心構(gòu)成的集合 是獨(dú)立集，而且v v v ( g ) ，3 t c ( v ) ，2 ，使v u n ( v ) 有“r 或者“n ( t ) 。 除此以外，文獻(xiàn) 1 6 和文獻(xiàn) 1 7 又分別證明了下面的結(jié)果： 定理1 4 ”“頂點(diǎn)數(shù)3 的連通、幾乎局部連通的擬無爪圖是完全圈可擴(kuò)的。 一個(gè)圖g 被稱為擬無爪圖，如果滿足爪心集d ( g ) 是獨(dú)立集，并v v d ( g ) ， g i n ( v ) 是強(qiáng)2 一控制的。 定理1 5 ” 頂點(diǎn)數(shù)3 的連通、局部連通的k ：v k2 一f r e e 的k 。一受限圖 是完全圈可擴(kuò)的。 些查塹亟奎堂堡主蘭焦笙莖! ! 一 1 2k ，。一受限圖的完全圈可擴(kuò)性 下面的定理是本章證明的主要結(jié)果 定理，6 艿3 的連通，局部連通k 。一受限圖是完全強(qiáng)可擴(kuò)的 以下是定理的證明。 設(shè)圖g 滿足定理的條件，由j 3 及g 的局部連通性可知，g 的每個(gè)頂點(diǎn)必在 長(zhǎng)為3 的圈上。設(shè)c 是g 的一個(gè)圈，且i c l i g la 令 r = v ( g ) 一v ( c ) ，t = n c ( 只) 。e ( r ，丁) = x y e ( g ) ：x r ，y t 以下總假定g 中不存在c 的擴(kuò)圈。 論斷1 設(shè)v v ( g ) ， ( a ) 如果x ，y ，2 ( v ) ，并且x ，y ，z 互不相鄰，則對(duì)v u n ( v ) 一 z ，y ，z ，有 “至少與x ，y ，z 中兩點(diǎn) g 鄰； ( b ) 對(duì)v x ，y ( v ) ，若p 是( ( v ) ) 中一條極短( x ，y ) 一路，則i p i 5 。 證明：( a ) f l u ( v ) 一 x ，y ，z ) ，考慮( v ，x ，y ，z ，“) ，因?yàn)間 是k 一受限圖，所以 i e ( ( x ，y ，z ，“) ) 【2 ，又因?yàn)閦 ，y ，z 互不相鄰，所以“至少與x ，y ，z 中兩點(diǎn)相鄰。 ( b ) 若l p 【6 ，設(shè)p = 工，x2 z ( x l = x ，x i = y ，k 6 ) ，由于p 是極短的所 以x l ，五，xs 互不相鄰。由( a ) ，y 與x i ，x3 之一相鄰。若y x l e ( g ) ，取p = x 1 y ； 若y x ，e ( g ) ，耿p = x ，x ：x ，y ，則p 滿足v ( e7 ) c y ( p ) 且i p l ?？紤]( b ，x ；，x ；，x 2 礦 ，由論斷2 ， 上2 廣ge ( g ) ，又x 2 x ；，x 2 x ；，x i x ；，曠x ；硅e ( g ) ，否則c 有如下擴(kuò)圈 當(dāng)島y ( y d ) 時(shí) 山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 x y c x ；x ；c x 3 y + c x i x 2 x( x 2 x ；e ( g ) ) ， x y x 3c y + y c x ；x ；c x ；x 2 x ( x 2 x ；e ( g ) ) ) c x ；x ；c x ；z ；c y + 工1 _ 2 x( x i _ 】：；ee ( g ) ) x y c x ；x i c x ；y + c x 3 x 2 x( y + x ；e ( g ) ) 。 當(dāng)x 3 礦( x j 3 c y 一3 ) 時(shí) x y x 3 ( 一y + c x ；x ；c x ；x 2 x( x 2 x i e ( g ) ) ， x y x 3 ( ： ；x j c y + y c x ；x 2 x( 工2 x ；ee ( g ) ) ， 工y c x 3x 3c x zx ；c y + x 3 x 2 x ( x ；萬；ee ( g ) ) ， x y c x ；y + c k i z ( x 3 x 2 x( y + x ；( g ) ) 。 所以i e ( x i ，x ；，x ：，y + ) ) l = 1 ，此與g 是足1 , 4 - - 受限圖矛盾。 情況2 x 3 y 一e ( g 1 時(shí) 出論斷2 ( a ) b 匹 x ；，x ；) ，所以瑪v ( y + 2 c x ；2 ) u y ( x ；2 c y 2 ) 。 2 1 x 3 y ( x ；2 c y 2 ) 若x ；x ；e ( g ) ，考慮( x ，x ；，x ；，x ：，y + ) ， 可得奶x i ，疊x ；，x ；x ；，y + x ；萑e ( g ) ， 否則c 有如下擴(kuò)舀： x y c x 3 y + c x ；x ；c x ；x 2 x( x 2 x ；ee ( g ) ) ， x y c x ；x j c x 3 y c x ；x 2 z( x 2 x ；e ( g ) ) ， x y c x ；x ；c x ；x ；( 一x 3 x 2 x ( x ；x ；e ( g ) ) ， x y c x ；y + c 茸；x ；3 x 2 羔 ( y + x ；e ( g ) ) 。 又由論斷2 ( b ) ，x 2 y + e e ( g ) ，此矛盾表明，x i x jg e ( g ) 由于p 極短，所以屯y + ，艇，仨e ( g ) ?？紤]( x ：，x ；，x ；，屯，x ) ，結(jié)合論斷2 即得 x 3 x j ，x 3 x ；e ( g ) 。 因?yàn)閦 2 _ y “，考慮( 勺，z ；，z ；，x i ，y + ) ，有 x i x ；，y + x ；，y + z ；，x j z ；，x ；x ；鞋e ( g ) 否則，c 有如下擴(kuò)圈： x y c x ；x 3 y q ；x ；c x 2 x ( x i i e ( g ) ) ， 山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 砂c b x ；c x ；y + c x 2 z x y c x ；y + q i z 3c x 2 x x y c x 3 y + & j x ；c x 2 x x y c x ；x ；c ybc x 2 石 此與g 是足。一受限圖矛盾a 2 2 v ( y “q j 2 ) ( _ y + 巧e ( g ) ) ( y + x ；e ( g ) ) ， ( x ；x ；e ( g ) ) ， ( x ；x ；e ( g ) ) j 如果x ；y 一，類似于2 1 的證明可得矛盾。所以必有x ：y 一 ( 1 ) 此時(shí)又有y x ；，y x ；芷e ( g ) ( 2 ) ( 否則易得c 的擴(kuò)圈) 。 考慮( 屯，x ；，x ；，z 2 ，y 一) ，有x ；x ；e ( g ) ，( 否則x y y 一瑪y + q ；x ；q 2 x 是c 的擴(kuò) 圈) ，結(jié)合( 2 ) 可知，x 2 x i ，x 2 x ；之一存在于g 。若x 2 x i e ( g ) ，考慮( x 2 ，x i ，x ；，x ；, x ， 有嬲；，x x ；，x i x ；，x x ；芒e ( g ) ( 論斷2 ( a ) ) ，由( 2 ) ，x 2 + x 3 + = y - x ；仨e ( g ) ，此 與g 是k l ? 1 - - 受限圖矛盾。所以必有x ：x ；e ( g ) 。 如果x ；x ；，考慮( x ：，x j ，x ； x ；) 由論斷2 ( a ) ， xx ；，xx ；，x 2 - - x 2 + ，xx ；e ( g ) ，又由( 2 ) ，x ；z ；= y x ；e ( g ) ，與g 是k l 。一 受限圖矛盾。所以必有x i = x ； ( 3 ) 如果x ；y + ，考慮( ，z ；，x ；，y 一，y + ) 出上述證明可知， y - y + ，x ；y 一，x ；y 一，x ；z ；e ( g ) ，又_ y + x ；e ( g ) ( 否則可得c 的擴(kuò)圈 x y y x 3 c y + x ；x2 x ) ，此與g 是k 1 , 4 - 受限圖矛盾。所以必有x i = y + ( 4 ) 出( t ) ，( 3 ) ，( 4 ) 可知，c = 3 y + x 3 x ；x 2 x ；y 。 因?yàn)閘 n ( y + ) l 占3 ，并且y + 局部連通，所以u(píng) ( y + ) 一 ) j ，z ： 中必有一點(diǎn)a 與 弘z ，之一相鄰。由論斷2 ( a ) ，a y ( c ) 。易見a = z ；。同理，n ( y 。) 一 z 2 ，y 中必 有一點(diǎn)b 與x 2 , y 之一相鄰，且6 y ( c ) ，易見b = b ，于是得c 的擴(kuò)圈 x y y x 3 y + x ；x 2 x 。此矛盾說明4 。 ( c ) 若舊= 5 設(shè)p 2 _ x 2 _ x 。x ，( 一= x ，磚= y + ) ，因?yàn)閜 是極短路，所以x 1x ：， 互不相鄰。 若屯y 一由論斷1 ，_ y 一必與z i ，h ，z 5 中兩點(diǎn)相鄰，但y - x 、崔e ( g ) ( 由論斷2 ) ， 山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 6 _ _ _ _ _ 。_ 。_ 。_ _ _ _ _ _ - _ _ _ - 。_ 。j 。- - _ - 。- _ _ 。1 一 由此可知y 一毛居( g ) 。t - , 是p 。= 一z ：毛y 一是( ( y ) ) 中一條極短( y 一) 一路，并且滿 足( y ( 尸) 一 x ) ) c 2 y ( c ) 及i p l _ 4 。此與( b ) 矛盾。所以秘= y 一 ( 5 ) 若x 2 _ y ，考慮( x ：，x j ，z ；，e 屯) ，由p 的極短性及論斷2 ，有 脒i ，臟；，工；x ；，硝，焉x 2 一硅e ( g ) ，此與g 是k i , 4 - 受限圖矛盾。所以必有 x 2 = y 一2 ( 6 ) 若x 4 y “，考慮( x 4 ，x i ，x j ，y + ，屯) ，有南y + 硅e ( g ) ( 論斷2 ) ，又 b x i ，黽x j ，x i x ：，_ y + x i 茌e ( g ) ，否則c 有如下擴(kuò)圈： x y c x i x 3 x 4 c x 2 xx 3 x jee ( g ) ， x y c x 4 x 3 x ：c x l 工x 3 x ：e ( g ) ， x y x 3 x 4 y + ( x ：x j c x 2 x x 4 - - x 4 + e ( g ) x y x 3 x 4 c y + x ：2 x y + x ：e ( g ) ， 此矛盾表明h = y “ ( 7 ) 綜合( 5 ) ，( 6 ) ，( 7 ) 可知p = 掣4 _ y y 。y + a 將c 上的點(diǎn)重新編號(hào)，令c ；v 。v ：- - o r v 。，其中v ，= y + 。下面用歸納法證明： c 的頂點(diǎn)滿足：v 2 k + l v 2 ，v 2 k + 2 v 2 川e ( g ) ，= 0 , 1 ，2 ， ( 8 ) k = 0 時(shí)，因?yàn)閘 n ( v 。) i 3 且v ，局部連通，所以必存在d ( h ) v , - ，v i ) ，使 與v i ，v 之一相鄰。由論斷2 ( a ) 可知d y ( c ) 。注意至p 極短，可得d 乍 x ：，z 3 。 如果咖i = 咖e ( g ) ，考慮( y ，y - , y + ，x ，d ) ，由論斷2 ( a ) 、( d ) ，有 x y ，x y + ，y - y + ，y - d 諾e ( g ) ，故必有x d e ( g ) ?？紤]( d ，d 一，d + ，x ，y + ) ，有 州一，x d + ，d d + ，x y + ，y + d + 隹e ( g ) 。( 論斷2 ( a ) ) 。此矛盾說明必有咖j e ( g ) 。 顯然矗v 3 ( 否則坳廠v 2 h d c x l 工是c 的擴(kuò)圈) ，考慮v 2 ，h ，b ，y 一，d 可得 v 3 d 豆( g ) 。若d v 4 ，考慮( d ，d - , d + ，v l ，v 3 ) 有v l d 一，v l d + ，d d + ，v 1 v ) ，v 3 d + 芒e ( g ) ， 否則c 有如下擴(kuò)圈： 圳一”2 c d 一”l d c x 2 x 刁y 一”2 c d v ，d + c x 2 x 訓(xùn)一”2 ”1 函】c d d + c x 2 x 習(xí)一v 2 v l v 3 c x 一 ( v l d 一e ( g ) ) ( v l d + e ( g ) ) ( d d + e ( g ) ) ( v l v 3 e ( g ) ) 山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 7 x y y v 2 v l d c v 3 d + c x 2 x( v 3 d + e ( g ) ) 此矛盾說明d = v 。 綜合上述可知，( 8 ) 當(dāng)k = 0 時(shí)成立。 假設(shè)( 8 ) 對(duì)k 時(shí)成立。 考慮v ：。，因?yàn)閘 n ( v ：。) 1 3 ，且v ：。局部連通，所以必存在 b n ( v 2 m ) - v i k + 3v 矗+ 3 ) ，使b 與v 2 一嫻，v ?！爸幌噜?。由論斷2 可知b y ( c ) a 設(shè) 6 = v ，貝u 1 i 2 k + 1 或2 七+ 5 i ，。 情況1l f s 2 k + 1 1 1 當(dāng)扛2 m 為偶數(shù)時(shí)，考慮( v 2 m ，v 2 一m ，v 毛，v ：。，v ：。) ，有 v 乙v 二，v i 卅v 2 。一3 ，v 主卅v 2 。一3 ，v 二v 2 t + 3 隹e ( g ) 否則可得c 的如下擴(kuò)圈： x y y v 2 v i v 4 v 3 v 6 y 5 v 2 m v 二v 二2 x( v 2 m2 + m e ( g ) ) x y y v 2 v i v 4 v 3 v 6 v 5 v 2 m _ 2 1 ：2 m - 3 v ；m c x 2 x ( v ；m v 2 。一 e ( g ) ) x y y v 2 v l v 4 v 3 v 6 v 5 v 2 m - 2 v 2 m 一3 v 厶c v ；v ；三c x 2 z( v 厶v 2 一3 e ( g ) ) x y y v z v l v 4 v 3 v 6 v 5 v 2 m - 2 v 2 m 一3 v 2 m v 2 ”v 二v 三v 二v ：v ：v 2 k v 矗v 2 k + 2 如v 2 女“c x 2 z ( v 2 k + 3 v 2 一，e ( g ) ) 所以必有v 2 k + 3 v 毛，v 2 k + 3 v 2 e ( g ) 。于是c 有擴(kuò)圈： x y y v 2 ”h ”3 v 6 v 5 v 2 m _ 2 t f l 2 m - 3 v 2 + v 2 m v ；m v 2 + m 2+ 2 m v 2 “m v 2 “m v 2 k + 2 v 2 + l v 2 + 4 2 x 得矛盾。 l ，2 當(dāng)i = 2 m + 1 為奇數(shù)時(shí) 注意到b = v ，與v 矗。v 矗+ ，之一相鄰，可得c 的擴(kuò)圈： 印一v 2 q v 3 v 6 k v 2 m v 二v 三( 、v 2 k + 2 v 2 葉l v 2 + 3 c 1 2 z( b y 2 - k + 3 e ( g ) ) x y y v 2 q v 4 v 3 v 6 v s y 2 。v - i ：+ 。2 v 2 m v 2 卅1 v 2 c x 2 x( 6 v 矗+ 3 e ( g ) ) 得矛盾。 情況22 七+ 5 i r 此時(shí)有f 2 七十5 ，否則c 有擴(kuò)圈聊4 v 2 v | v 4 v ，v 。v ，v ：m v ：。v 2 v ：m v ：+ ，c x ：j 2 1 b v h + 3 e ( g ) 生壅墮整盔堂堡主蘭壁蘭莖 蘭一 考慮( v 2 m ，v 2 ，v 2 ，b ，v 2 ) 有v 2 v 2 ，v 2 k - 1 v 2 ，v 2 k - i v 2 諾e ( g ) ，否則c 有 如下擴(kuò)圈： 叼一v 2 u u v 3 v 6 v 5 v 2 女v 2 女一l v ! “2 v 2 ，t v 2 + 3 c x 2 x ( v 2 k + l 叱k + 3 e ( g ) ) x y y v 2 v i v 4 v 3 v 6 v 5 v 2 k v 2 川v 2 川c x 2 x ( v 2 k - i v 2 k + 1 e ( g ) ) x y y v 2 v i v 4 v 3 v 6 v 5 v 2 k - 2 v 2 k 一，v 2 女c v 2 k + 2 v 2 i l v 2 女“c x 2 x ( v 2 k - 1 v 2 女+ 3 e ( g ) ) 由此可知，b y 2 ，b v 2 之一存在于g 。 若b y 2 e ( g ) ，考慮( 6 ，b - , b + ，v 2 ，v 2 ) ，有b - b + ，b - v 2 ，6 + v m l ，b - v 2 k 十3 ， 6 + v ：。芒e ( g ) ，否則c 有如下擴(kuò)圈； x y y v 2 v l v 4 v 3 v 2 k v 2 一l v 2 + 2 v 2 k + 1 b v 2 k + 3