（新課標）高考數學一輪復習 名校尖子生培優(yōu)大專題 空間向量的運算 新人教A版.doc

（新課標）高考數學一輪復習 名校尖子生培優(yōu)大專題 空間向量的運算 新人教a版【考綱解讀】1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示2.掌握空間向量的線性運算及其坐標表示3.掌握空間向量的數量積及其坐標表示，能運用向量的數量積判斷向量的共線與垂直【考點預測】高考對此部分內容考查的熱點與命題趨勢為:1.立體幾何是歷年來高考重點內容之一,在選擇題、填空題與解答題中均有可能出現，難度不大，主要考查空間中線線、線面、面面的位置關系的判定與證明，考查表面積與體積的求解，考查三視圖等知識，在考查立體幾何基礎知識的同時，又考查數形結合思想、轉化與化歸等數學思想，以及分析問題、解決問題的能力.2.高考將會繼續(xù)保持穩(wěn)定,堅持考查立體幾何的基礎知識，命題形式相對會較穩(wěn)定.【要點梳理】1空間向量的概念向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法：用有向線段表示，并且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量。說明：由相等向量的概念可知，一個向量在空間平移到任何位置，仍與原來的向量相等，用同向且等長的有向線段表示；平面向量僅限于研究同一平面內的平移，而空間向量研究的是空間的平移。2向量運算和運算率加法交換率：加法結合率：數乘分配率：說明：引導學生利用右圖驗證加法交換率，然后推廣到首尾相接的若干向量之和；向量加法的平行四邊形法則在空間仍成立。3平行向量(共線向量)：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。平行于記作。注意：當我們說、共線時，對應的有向線段所在直線可能是同一直線，也可能是平行直線；當我們說、平行時，也具有同樣的意義。共線向量定理：對空間任意兩個向量（）、，的充要條件是存在實數使注：上述定理包含兩個方面：性質定理：若（0），則有，其中是唯一確定的實數。判斷定理：若存在唯一實數，使（0），則有（若用此結論判斷、所在直線平行，還需（或）上有一點不在（或）上）。對于確定的和，表示空間與平行或共線，長度為|，當0時與同向，當0時與反向的所有向量。若直線l，p為l上任一點，o為空間任一點，下面根據上述定理來推導的表達式。推論：如果l為經過已知點a且平行于已知非零向量的直線，那么對任一點o，點p在直線l上的充要條件是存在實數t，滿足等式其中向量叫做直線l的方向向量。在l上取，則式可化為當時，點p是線段ab的中點，則或叫做空間直線的向量參數表示式，是線段ab的中點公式。注意：表示式()、()既是表示式,的基礎，也是常用的直線參數方程的表示形式；推論的用途：解決三點共線問題。結合三角形法則記憶方程。4向量與平面平行：如果表示向量的有向線段所在直線與平面平行或在平面內，我們就說向量平行于平面，記作。注意：向量與直線a的聯系與區(qū)別。共面向量：我們把平行于同一平面的向量叫做共面向量。共面向量定理如果兩個向量、不共線，則向量與向量、共面的充要條件是存在實數對x、y，使注：與共線向量定理一樣，此定理包含性質和判定兩個方面。推論：空間一點p位于平面mab內的充要條件是存在有序實數對x、y，使或對空間任一定點o，有在平面mab內，點p對應的實數對（x, y）是唯一的。式叫做平面mab的向量表示式。又代入，整理得由于對于空間任意一點p，只要滿足等式、之一（它們只是形式不同的同一等式），點p就在平面mab內；對于平面mab內的任意一點p，都滿足等式、，所以等式、都是由不共線的兩個向量、（或不共線三點m、a、b）確定的空間平面的向量參數方程，也是m、a、b、p四點共面的充要條件。5空間向量基本定理：如果三個向量、不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序實數組x,y,z,使說明：由上述定理知，如果三個向量、不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是，這個集合可看作由向量、生成的，所以我們把，叫做空間的一個基底，都叫做基向量；空間任意三個不共面向量都可以作為空間向量的一個基底；一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關聯的不同的概念；由于可視為與任意非零向量共線。與任意兩個非零向量共面，所以，三個向量不共面就隱含著它們都不是。推論：設o、a、b、c是不共面的四點，則對空間任一點p，都存在唯一的有序實數組，使6數量積（1）夾角：已知兩個非零向量、，在空間任取一點o，作，則角aob叫做向量與的夾角，記作說明：規(guī)定0,因而=；如果=，則稱與互相垂直，記作；在表示兩個向量的夾角時，要使有向線段的起點重合，注意圖（3）、（4）中的兩個向量的夾角不同，圖（3）中aob=，圖（4）中aob=,從而有=.（2）向量的模：表示向量的有向線段的長度叫做向量的長度或模。（3）向量的數量積：叫做向量、的數量積，記作。即=，向量:（4）性質與運算率。=0=【例題精析】考點一空間向量的概念及性質例1.有以下命題：如果向量與任何向量不能構成空間向量的一組基底，那么的關系是不共線；為空間四點，且向量不構成空間的一個基底，那么點一定共面；已知向量是空間的一個基底，則向量，也是空間的一個基底。其中正確的命題是（）【名師點睛】本小題主要考查通過給出命題的形式考察了空間向量能成為一組基的條件，為此我們要掌握好空間不共面與不共線的區(qū)別與聯系.【變式訓練】1.下列命題正確的是（）若與共線，與共線，則與共線；向量共面就是它們所在的直線共面；零向量沒有確定的方向；若，則存在唯一的實數使得；考點二空間向量的基本運算例2.如圖：在平行六面體中，為與的交點。若，則下列向量中與相等的向量是（）【答案】a【解析】顯然?！久麕燑c睛】本小題主要考查基本的向量相等，與向量的加法，類比平面向量表達平面位置關系過程，掌握好空間向量的用途，用向量的方法處理立體幾何問題，使復雜的線面空間關系代數化.【變式訓練】2.已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若|=6，則x+y的值是（）a.3或1b.3或1c.3d.1【答案】a【解析】由題知或?！疽族e專區(qū)】問題：綜合應用例.已知空間三點a（2，0，2），b（1，1，2），c（3，0，4）。設=，=，（1）求和的夾角；（2）若向量k+與k2互相垂直，求k的值.【名師點睛】本小題主要考查向量夾角公式以及垂直條件的應用，套用公式即可得到所要求的結果.【課時作業(yè)】1.已知兩個非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它們平行的充要條件是（）a.：|=：|b.a1b1=a2b2=a3b3c.a1b1+a2b2+a3b3=0d.存在非零實數k，使=k【答案】d【解析】由共線向量定線易知選d。2.設r，向量，且，則（a）（b）（c）（d）10【答案】【解析】.3已知：且不共面.若,求的值.【考題回放】1.若向量=（2,3），=（4,7），則