（生物醫(yī)學工程專業(yè)論文）錐束ct重建關(guān)鍵問題研究.pdf

摘要 論文題目： 研究生姓名： 導(dǎo)師姓名： 學校名稱： 錐束c t 重建關(guān)鍵問題研究 姜小明 鮑旭東教授 東南大學 摘要 三維錐束c t 是當前c t 技術(shù)中研究熱點。與傳統(tǒng)二維c t 相比，其射線利用率高，掃描 時間短，范圍靈活，重建圖像分辨率高，這對于醫(yī)學診斷和工業(yè)檢測有著重要的意義。 錐束c t 重建算法大致分為解析法和迭代法兩大類。解析法又分為近似重建和精確重建 算法，其中近似算法計算簡單，在錐角較小的情況下，能夠取得較好的重建效果。精確重建 算法數(shù)學上嚴格完善，但計算復(fù)雜性高，且要求數(shù)據(jù)完備性。迭代重建算法基于迭代運算， 計算耗時，但是在某些特殊場合，例如投影數(shù)據(jù)不全或錐角很大，迭代重建算法具有明顯的 優(yōu)勢。本文結(jié)合實際應(yīng)用中幾個特定問題模擬仿真，主要內(nèi)容包含以下幾個方面： 為了滿足實際應(yīng)用操作要求，需對重建算法進行加速。本文基于n v i d a 公司計算統(tǒng)一 架構(gòu)( c u d a ) 平臺，結(jié)合其多線程和紋理映射特性對f d k 算法中濾波和反投影步驟進行加 速。模擬和實際投影數(shù)據(jù)重建表明，該加速策略重建c t 圖像質(zhì)量可靠，圖像重建速度提高 明顯，滿足實際應(yīng)用要求。 針對f d k 算法大錐角情況下誤差較大的特性，本文在實現(xiàn)精確重建算法基礎(chǔ)之上，對 k a t s e v i e h 算法進行變形，結(jié)合r a m p 濾波器和h i l b e r t 濾波器固有關(guān)系，得出混合濾波新型算 法。數(shù)值計算結(jié)果表明新算法計算穩(wěn)定，保持了k a t s e v i e h 算法良好特性。 由于掃描軌跡幾何、劑量或機械裝置限制等原因，稀疏投影是c t 重建常見問題。本文 結(jié)合壓縮傳感理論基本原理和a r t 算法，對二維扇束少量投影重建圖像問題作了初步探索。 重建結(jié)果表明，重建圖像計算指標和主觀視覺效果均優(yōu)于a r t 算法，但也存在收斂速度慢， 計算時間較長等缺點。 關(guān)鍵詞：錐束重建，f d k 算法，g p u ，k a t s v i e h 算法，混合濾波，壓縮傳感 第1 頁 a b s t r a c t t i t l e ： s t u d yo ns e v e r a lk e yp r o b l e m sf o rc o n e - b e a mc tr e c o n s t r u c t i o n a u t h o r ：j i a n gx i a o m i n g s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rb a 0x u d o n g s c h o o l ： s o u t h e a s tu i l i v e r s i t y 3 dc o n e - b e a mc tc u r r e n t l yi sh i g h l i g h ti nt h ea r e ao fc tr e s e a r c h i tt a k e sa d v a n t a g eo f h i g h e re f f i c i e n c yo fx r a y , f a s t e rs c a n n i n gs p e e d , m o r ef l e x i b l es c a n n i n gs c o p ea n dh i g h e ri m a g e r e s o l u t i o nc o m p a r e dw i t ht r a d i t i o n a l2 dc t ，w h i c hi ss i g n i f i c a n tf o rm e d i c a ld i a g n o s i sa n d i n d u s t r i a ld e t e c t i o n g e n e r a l l y , r e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m sa r ed i v i d e di n t oa n a l y t i c a la n di t e r a t i v et y p e s a m o n gt h e f o r m e rk i n d ，a p p r o x i m a t ea l g o r i t h m sa r ea tl o w e rc o s to fc o m p u t a t i o na n dc o u l da c h i e v eg o o d p e r f o r m a n c ew i t ht h ep r e m i s eo fs m a l lc o n ea n g l ew h i l ee x a c tr e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m sa r ew i t h h i g h e rc o m p u t a t i o n a lb u r d e na n dr e q u i r ec o m p l e t ep r o j e c t i o n s ，a l t h o u g ht h ef o r m u l ai sp r e c i s ef r o m t h ea s p e c to f m a t h e m a t i c s t h r e em a i nq u e s t i o n sh a v eb e e nr e s e a r c h e di nt h i st h e s i s i no r d e rt os a t i s f yt h er e q u i r e m e n to fr e a l t i m ea p p l i c a t i o n ，i ti sn e c e s s a r yt oa c c e l e r a t et h e r e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m s s t r a t e g i e sa r ea p p l i e do nt h ef i l t e r i n ga n db a c k - p r o j e c t i o np r o c e d u r eo f f d k a l g o r i t h mb a s e do nm u l t i - t h r e a da n dt e x t u r eo p e r a t i o nc h a r a c t e r i s t i c so fc u d a ( c o m p u t e u n i f i e dd e v i c ea r c h i t e c t u r e ) p l a t f o r m r e s e a r c hr e s u l t sb ys i m u l a t i o na n dr e a lx - r a yp r o j e c t i o n d a t as h o wt h a tt h es p e e di sg r e a t l yi m p r o v e da n di d e n t i c a li m a g eq u a l i t yi sm a i n t a i n e d i nt h ep r o c e s so fr e s e a r c hi nt h ea c c u r a c yo ff d ka l g o r i t h mw i t hh e l i c a lt r a j e c t o r ya n db i g c o n ea n g l e ，t h ek a t s e v i c h se x a c tr e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h mi si m p l e m e n t e da n dap r a c t i c a lh y b r i d f i l t e r i n ga l g o r i t h mi sp r o p o s e du s i n gt h ei n h e r e n tr e l a t i o n s h i pb e t w e e nr a m pf i l t e r i n ga n dh i l b e r t f i l t e r i n g s i m u l a t i o ne x p e r i m e n ti l l u s t r a t e st h a tw i t hn u m e r i c a ls t a b i l i t y , t h en e wm e t h o dm a i n t a i n s s u p e r i o r i t yo f k a t s e v i c h sa l g o r i t h m i nv a r i o u sf o r m so ft o m o g r a p h y , o n eo ft h em a i np r o b l e m sf o ri m a g er e c o n s t r u c t i o ni sh o wt o e s t i m a t et h ei m a g ew h e nt h ep r o j e c t i o nd a t ai sn o ts u f f i c i e n tf o rf i l t e r i n gb a c k - p r o j e c t i o n r e c o n s t r u c t i o nd u et oc o n s t r a i n t so fi m a g i n gh a r d w a r e ，s c a n n i n gg e o m e t r y , o rr a d i a t i o ne x p o s u r e i n i t i a lr e s u l t sw i t hf a nb e a mr e c o n s t r u c t i o nd e m o n s t r a t et l l a tt h en e wa l g o r i t h mc o m b i n i n g c o m p r e s s e ds e n s i n gt h e o r ya n da r tp e r f o r m sw e l la n di sw i t ht h ed e f i c i e n c yo fl o wc o n v e r g e n c e s p e e da n dh i g hc o m p u t a t i o n a lb u r d e n k e yw o r d s ：c o n e - b e a mr e c o n s t r u c t i o n ，f d ka l g o r i t h m , g p u ，k a t s v i c ha l g o r i t h m , h y b i r df i l t e r i n g ， c o m p r e s s e ds e n s i n g 第n 頁 目錄 摘要 目錄 目錄 第一章緒論 i 。 1 1 課題背景及研究意義1 1 2 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀1 1 2 1 解析算法l 1 2 2 迭代算法。2 1 3 論文研究章節(jié)安排3 第二章c t 成像原理與重建算法基礎(chǔ) 4 2 1c t 成像物理基礎(chǔ)4 2 1 1x 射線與物質(zhì)的相互作用4 2 1 2b e e r 定律。4 2 2c t 重建解析算法基礎(chǔ)6 2 2 1r a d o n 變換6 2 2 2 中心切片定理。7 2 2 3 卷積反投影算法。8 2 3c t 重建迭代算法基礎(chǔ)9 2 3 1 迭代算法基本原理一9 2 3 2 代數(shù)重建技術(shù)1 0 2 4 圖像質(zhì)量評估方法1 2 2 5 本章小結(jié)1 3 第三章基于c u d a 加速的f d k 算法快速實現(xiàn) 1 4 3 1 通用錐束掃描近似重建算法1 4 3 1 1 幾何描述1 4 3 1 2 通用掃描近似重建算法1 5 3 2g p u 通用計算1 7 3 2 1g p u 硬件特點1 7 3 2 2c u d a 簡介18 3 2 2 1c 1 m a 編程模型。18 3 2 2 2c u d a 存儲器模型1 9 3 3f d k 算法加速。2 0 3 3 1 濾波加速2 0 3 3 2 反投影加速叩2 3 3 3 3 重建結(jié)果分析2 5 3 4 本章小結(jié)2 9 第四章螺旋錐束c t 精確重建 4 1 精確重建算法3 0 4 1 1 算法簡介3 0 4 1 2 重建結(jié)果3 3 第m 頁 4 2 基于混合濾波重建算法改進3 5 4 2 1 算法設(shè)計3 5 4 2 1 濾波器設(shè)計一3 6 4 2 3 實驗結(jié)果3 7 4 3 不含旋轉(zhuǎn)角度微分的螺旋錐束c t 重建3 9 4 4 本章小結(jié)4 0 第五章基于壓縮傳感理論c t 重建 4 1 5 1 壓縮傳感理論簡介4 1 5 2 壓縮傳感在c t 重建中應(yīng)用4 2 5 2 1 基本原理4 2 5 2 2 算法流程j 4 3 5 3 實驗結(jié)果4 4 5 4 本章小結(jié)4 7 第六章總結(jié)和展望 6 1 研究工作總結(jié)4 8 6 2 展望4 8 致謝 攻讀碩士學位期間發(fā)表的論文 參考文獻 第頁 5 0 5 1 5 2 第一章緒論 1 1 課題背景及研究意義 第一章緒論 計算機斷層成像( c o m p u t e r i z e dt o m o g r a p h y ，簡稱c t ) 利用x 射線圍繞物體進行投影 掃描，基于特定算法重建物體，以二維斷層圖像或三維立體圖像的形式，準確、直觀地展示 物體內(nèi)部組織的結(jié)構(gòu)。x 射線斷層成像涉及到物理學、數(shù)學、計算科學以及機械學等諸多學 科領(lǐng)域知識。作為無創(chuàng)傷檢查的影像設(shè)備，c t 在航空工業(yè)、診斷醫(yī)學、生物學等領(lǐng)域中得到 廣泛應(yīng)用。它最突出的特點是可獲得斷層( 或體積) 信息，由科學可視化方法再現(xiàn)解剖信息。 傳統(tǒng)的二維切片成像采用一維線投影，獲得斷層圖像重構(gòu)3 d 物體，其缺點在于x 射線 利用率低、掃描時間較長等。與二維扇束c t 和單層或多層螺旋c t 相比，錐束c t 擁有以下 優(yōu)點：成像迅速，十幾到幾十秒鐘內(nèi)可以完成掃描數(shù)據(jù)采集；射線利用效率高，一次掃描就 能對物體進行三維重建；掃描范圍靈活，既可以掃描特定診斷區(qū)域，也可以掃描全部區(qū)域； 重建圖像精度高，可以保證在各個方向獲得同樣的分辨率【l 】，這對醫(yī)學診斷和工業(yè)檢測有著 重要的意義【l 】。然而，相比傳統(tǒng)二維c t ，錐束c t 也存在一些問題，如重建算法復(fù)雜度高、 計算量大。隨著技術(shù)發(fā)展，探測器數(shù)量增多，掃描速度加快，導(dǎo)致重建數(shù)據(jù)量增大，必須不 斷提高圖像重建的速度才能滿足實際工程需要【2 】。實際應(yīng)用中長物體問題中物體尺寸遠遠大 于探測器，獲得數(shù)據(jù)是截斷的投影數(shù)據(jù)，如何處理這些截斷數(shù)據(jù)而不致引入偽影也是需要研 究的問題。 因此，研究和探索合適的錐束c t 重建算法，解決現(xiàn)實應(yīng)用中實際問題可以開拓新的應(yīng) 用領(lǐng)域。本課題目的在于對錐形束c t 圖像重建中遇到的關(guān)鍵問題進行分析和研究，嘗試尋 找解決問題的方法。 1 2 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀 錐束c t 在醫(yī)學影像和工業(yè)檢測中得到越來越廣泛應(yīng)用，相應(yīng)錐束重建算法也得到迅速 發(fā)展。錐束重建算法包括解析算法和迭代算法，下面就分別對其發(fā)展及現(xiàn)狀進行闡述。 1 2 1 解析算法 解析算法又可以分為精確重建算法和近似重建算法。1 9 6 1 年k i r i l l o v 就提出了錐束重建 開創(chuàng)性的想法。三維錐束的二維投影積分與三維r a d o n 變換不對等【3 1 ，其精確重構(gòu)算法不能 從二維重構(gòu)算法體系中推廣得到【3 】。1 9 8 2 年，1 u y 嗍提出精確重構(gòu)錐形束投影軌道的充要條 件。1 9 9 1 年g r a n g e a t l 5 】推導(dǎo)出錐形束投影與三維r a d o n 變換的關(guān)系，建立起錐形束精確重構(gòu) 堅實的數(shù)學理論基礎(chǔ)。， 雖然數(shù)學上推導(dǎo)的積分求逆公式嚴格完善，但由于其在數(shù)值積分中的不連續(xù)性，奇異點 會引入嚴重的噪聲，導(dǎo)致數(shù)值計算失敗。因此隨后的研究工作大多在于探求完善的系統(tǒng)實現(xiàn) 第1 頁 壅塑薟蘭堡主絲莖 方案，d e f r i s e m 和c l a c k r 1 6 】提出移不變的濾波反投影算法。2 0 0 2 年，k a t s e v i c h 7 提出了螺 旋軌道錐束精確重建算法，該算法在錐束重建理論方面取得里程碑式突破。k a t s e v i c h 在數(shù)學 理論上解決了長期以來困擾人們的螺旋c t 長物體精確重建問題，并首次構(gòu)造具有移不變特 性的濾波反投影重建算法，為精確重建理論應(yīng)用于實際提供了可能。2 0 0 3 年，k a t s e v i c h 又進 一步利用三維r a d o n 逆變換和g r a n g e a t 中間函數(shù)關(guān)系，提出了通用軌道下的重建公式【8 】。隨 后，n o o 9 】等和y u 1 0 】等研究基于螺旋軌道k a t s e v i c h 重建算法實現(xiàn)細節(jié)，使k a t s e v i c h 重建理 論從抽象的數(shù)學表達進入到實用階段研究。2 0 0 4 年，z o u 和p a n 1 l 】【1 2 】年提出反投影濾波( b p f ) 超短掃描精確重建算法，該算法可以對特定截斷投影數(shù)據(jù)進行感興趣區(qū)域重建。與以往濾波 反投影重建方法不同，b p f 算法首先對修正的數(shù)據(jù)進行反投影，然后對反投影數(shù)據(jù)進行平移 不變?yōu)V波。2 0 0 7 年，k a t s e v i c h 1 3 】對兩類掃描軌線情況下精確重建算法作出了重要推進：第一 類是光滑曲線并有正的曲率與撓率；第二類為“圓加曲線”。國內(nèi)上海交通大學莊天戈【1 4 】等 對由錐形束x 線投影重建體積數(shù)據(jù)直接體積成像方法進行了理論研究，提出了基于r a d o n 變 換的體積成像幾何結(jié)構(gòu)的完全性條件，構(gòu)造了基于中間函數(shù)的體積重建算法。 近似算法主要以f d k 算法及其改進算法為代表，其廣泛應(yīng)用于工業(yè)和醫(yī)用錐束c t 系統(tǒng)。 1 9 8 4 年f e l d k a m p 、d a v i s 和k r e s s ”】提出基于圓軌道錐束重建算法，這就是就是著名的f d k 算法。它可以看作是二維扇束重建算法的推廣，該算法奠定了近似錐束重建算法理論基礎(chǔ)。 由于此算法采用一維濾波，計算量較小，已經(jīng)得到了實際的應(yīng)用。但是，該算法存在內(nèi)在缺 陷：只有當錐角較小時才能夠取得較好的近似效果，并且只適用于圓形掃描軌跡，要求被重 建物體必須限制在球形視野區(qū)域內(nèi)。1 9 9 9 年，t u r b e l l 1 6 】將錐形數(shù)據(jù)重排為傾斜平行數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化 為二維重建問題，提出p f d k 算法，重建圖像質(zhì)量與f d k 算法相當。2 0 0 0 年g r a s s 等人 對p f d k 算法又進行了改進，提出了基于柱面檢測器的t - f d k 算法。該算法改善了f d k 算 法存在的低對比度衰減偽像。2 0 0 1 年，g r a s s 等人又進一步提出h t - f d k 算法，由于更充分 地利用檢測器上的投影數(shù)據(jù)，該算法獲得比t - f d k 更好的重建效果，大大增加了可重建物體 的體積。2 0 0 1 年，王蔚林【1 7 】等人又提出了基于平面監(jiān)測器的t f d k 算法，確保了在錐角較大 情況下，也能重建出較高質(zhì)量的圖像。 1 2 2 迭代算法 實際中得到的投影數(shù)據(jù)總會包含各種各樣的噪聲，有時甚至由于某些原因不能采到完備 的投影數(shù)據(jù)，這時解析算法重建就不能得到滿意的效果，因此實際中人們又引入了基于最優(yōu) 法則( 最小二乘方準則，最大均勻性及平滑準則，貝葉斯準則，最大熵準則) 迭代算法b s 來 解決困難，典型算法如a r t ，s i r t 等。 在二維圖像重建領(lǐng)域，迭代算法研究已經(jīng)相當成熟。針對二維平行束以及扇束這兩種掃 描方式，a r t ( a l g e b r a i cr e c o n s t r u c t i o nt e c h n i q u e ) 算法及改進算法廣泛應(yīng)用。較顯著成果是 在迭代重建過程中對投影的選取次序的改進，重建算法在速度上提高很多。m u e l l e r 提出的以 距離投影矩陣來確定投影次序，被證明對低對比度的物體重建效果甚佳。a r t 算法的顯著進 展是利用聯(lián)合系統(tǒng)的有序子集o s ( o r d e r e ds u b s e t ) 1 9 博法或塊迭代b i 2 0 ( b l o c ki t e r a t i v e ) 形式， 第2 頁 其重建速度明顯提高。 由于錐束c t 中使用面陣探測器，探測單元間距較小而投影數(shù)據(jù)易受到串擾、散射等物 理要素干擾存在大量噪聲。由于計算能力的不斷增強，統(tǒng)計迭代重建已成為c t 的研究熱點， 其重點是研究噪聲消除、偽影抑制以及雙能與能敏成像。統(tǒng)計迭代重建算法進展迅速，圖像 質(zhì)量得到大幅度提升。迭代算法模型很多，如最大似然為準則m l e m 算法，最大后驗概率 m a p 2 1 】算法，最小二乘法l s ( l e a s ts q u a r e ) 2 2 】的迭代法及其改進算法，基于最小二乘l s ( l e a s t s q u a r e ) 和加權(quán)最小二乘w l s ( w e i g h t e dl e a s ts q u a r e ) 的e m 重建算法，以及帶罰函數(shù)的最j 、- - 乘p l s ( p e n a l i z e dl e a s ts q u a r e ) 的e m 重建算法。 1 3 論文研究章節(jié)安排 本文結(jié)合錐束c t 重建重建過程中一關(guān)鍵問題模擬和仿真，由以下六部分組成： 第一章，緒論。對本課題的研究背景和意義、研究現(xiàn)狀做了綜述，最后闡述了本文的內(nèi) 容安排。 第二章，c t 重建基本原理。闡述二維c t 成像物理及解析和迭代算法基礎(chǔ)，為后續(xù)算法 研究以及模擬提供理論基礎(chǔ)。 第三章，基于c u d a 加速的f d k 算法快速實現(xiàn)。介紹了c u d a 的硬件特點和程序執(zhí)行 模型，結(jié)合f d k 算法特點對濾波和反投影部分進行加速，并給出實驗結(jié)果和分析。 第四章，螺旋錐束c t 精確重建。介紹了k a t s v i c h e 精確重建算法實現(xiàn)步驟并給出重建模 擬仿真結(jié)果。對k a t s e v i c h 算法進行變形，得出基于h i l b e r t 濾波和r a m p 濾波組合的新型算 法，給出推導(dǎo)和濾波器設(shè)計過程、模擬重建重建結(jié)果并闡述算法優(yōu)點。 第五章，壓縮傳感理論在c t 重建中應(yīng)用。介紹了壓縮傳感理論，闡述了其應(yīng)用于c t 重建的基礎(chǔ)。實驗結(jié)果說明基于壓縮傳感理的a r t 算法對稀疏投影重建問題行之有效。 第六章，總結(jié)與展望。對本論文的研究內(nèi)容進行總結(jié)，并對尚需進一步解決的問題及今 后有待努力的方向給予展望。 第3 頁 東南大學碩士論文 第二章c t 成像原理與重建算法基礎(chǔ) c t 利用高能x 射線束對物體進行掃描，根據(jù)投影數(shù)據(jù)，運用特定的重建算法，以二維 或三維圖像的方式呈現(xiàn)物體內(nèi)部的密度分布。c t 圖像的獲得基于兩大基本條件：特定的物理 過程和圖像重建算法。本章結(jié)合c t 成像的過程，介紹了c t 成像的物理基礎(chǔ)、解析算法和迭 代算法數(shù)學基本原理。 2 1c t 成像物理基礎(chǔ) 2 1 1x 射線與物質(zhì)的相互作用 高速帶電粒子撞擊靶物質(zhì)產(chǎn)生x 射線。就本質(zhì)而言，x 射線屬于電磁輻射譜的一部分， 與可見光、紅外線、紫外線完全相同，具有光的一切特性，具有波粒子二象性。但是，x 射 線與物質(zhì)相互作用時，則突出表現(xiàn)它的粒子特性，很少能觀察到反射、干涉和衍射等波動性 特征。x 射線具有以下幾方面的特性：穿透作用，熒光作用，電離作用，熱作用以及化學和 生物效應(yīng)。 c t 成像過程主要利用其穿透作用特性f 2 3 1 。x 射線波長極短，其光子具有很大的能量。當 x 射線照射到物體上時，除了光電效應(yīng)、康普頓及瑞利散射所引起的損耗之外，大部分的光 子經(jīng)物質(zhì)間隙通過，因此x 射線具有很強穿透性。x 射線波長越短，光子能量越大，x 射線 穿透性也就越強。x 射線穿透性還與被照射物質(zhì)等效原子序數(shù)和密度等信息有關(guān)，對于原子 序數(shù)較低的組成的物體，如空氣、紙張、木材、水、肌肉組織等，x 射線貫穿能力較強，而 對于原子系數(shù)較高的元素組成的物體，如鉛、鋁、銅、骨組織等，貫穿能力較弱。x 射線穿 透作用是c t 成像的一個重要基礎(chǔ)。 因為物質(zhì)對x 射線光子的吸收作用和光子散射作用的存在，x 射線通過物質(zhì)時會發(fā)生不同 程度的衰減，如圖2 1 所示。 散射光子 2 1 2b e e r 定律 黼光子 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ i 卜 _ _ _ - - - - _ _ 物質(zhì) ，一，一| 廣散射光子 ，探測器 _ - 卜 、瀑線 圖2 1 單能平行x 射線光子束穿越物質(zhì)衰減示意圖 第4 頁 蔓三童盟墮堡墮壟量重壟墨鎏墨型 當一束射線穿過物質(zhì)并與物質(zhì)相互作用后，射線強度將受到射線路徑上物質(zhì)的吸收或散 射而衰減，衰減規(guī)律由b e e r 定律確定。定義一個入射粒子和單位面積一個靶粒子的相互作用 概率，用符號盯表示。如果一個入射粒子與物質(zhì)的相互作用有多種獨立的相互作用的方式， 則相互作用總截面等于各截面之和： n 仃2 二巳( 2 1 ) ， 考慮一單能平行x 射線水平入射到一均勻物質(zhì)中，如圖2 2 所示，設(shè)靶物質(zhì)單位體積的 靶粒子數(shù)目為刀，密度為p ，在厚度x = 0 處，與x 射線入射方向垂直的單位面積光子數(shù)為o ； 厚度為x 處，單位面積上的光子數(shù)為n ；穿過長度為出薄層時有d n 個光子發(fā)生相互作用。 假設(shè)發(fā)生康普頓效應(yīng)、電子對效應(yīng)、瑞利散射等造成的散射光子不能到照射到探測器，因而， 到達探測器總的光子數(shù)目變化就是一捌?？傻玫饺缦挛⒎址匠蹋?一d n = o n n 出 ( 2 2 ) 根據(jù)初始條件x = 0 時，n = n o ，可求解上述方程得 = n o 礦一= n o e 一雕 ( 2 3 ) 其中表示x 射線光子與每厚度物質(zhì)發(fā)生相互昨用的概率，又稱為線性衰減率。它也表示x 射線光子束通過靶物質(zhì)光子數(shù)減少的百分數(shù)。線性衰減系數(shù)是光子束能量和靶材料的函數(shù)， 與入射光子束數(shù)量無關(guān)，其值越小，則x 線射線的穿透能力越強。 0 x - _ x 10 圖2 - 2 b e e r 定律基礎(chǔ)模型 圖2 - 3x 射線通過非均勻介質(zhì) 第5 頁 n 丕塑丕蘭堡主堡莖 若物體是分段均勻的，如圖2 3 各段的線性衰減系數(shù)分別為h ，鸕，鸕，相應(yīng)的長度為 而，x 2 ，x 3 ，則下式成立： h + u 2 x 2 + 鸕弓+ = i n ( o n ) ( 2 4 ) 根據(jù)公式，則當掃描對象為任意非均勻的物體時，總體衰減系數(shù)特性可通過將物體分割成小 單元來計算。當單元尺寸足夠小時，每個單元可以看作一個均勻物體，對于每個單元，公式 2 4 能有效地描述入射和出射x 射線強度。數(shù)學上，它可以表示如下： p = 一l n ( o 柳= , u d x ( 2 5 ) 公式2 5 中的p 是投影測量值。在實際的工業(yè)c t 中，“常取穿過空氣的射線強度計數(shù)值， 取穿過物體后射線的強度計數(shù)值，由此計算出射線的投影測量值p 。這說明入射x 射線強度 與出射x 射線強度之比經(jīng)對數(shù)運算后，表示沿x 射線路徑上衰減系數(shù)的線積分。c t 重建問 題可以表述如下：給定一個物體被測量的線積分，如何估計或計算它的衰減系數(shù)，從而了 解物體內(nèi)部的密度分布。 2 2c t 重建解析算法基礎(chǔ) 解析法c t 重建的思想可以追溯待1 9 1 7 年奧地利數(shù)學家r a d o n 的貢獻。他通過數(shù)學推演 證明可以用二維圖像的各個方向的一維投影數(shù)據(jù)來重建二維圖像，這是解析法的理論基礎(chǔ)。 2 2 1r a d o n 變換 設(shè)r 2 為平面區(qū)域，空間內(nèi)任意一點( x ，) ，) 可以由極坐標( ，印表示剛。已知某函數(shù) f ( x ，力= 廠( ，d 沿直線z 的線積分為 p = e 廠( 訓(xùn)) 如= e 氘o ) d z ：亡夕( 廚，+ t g - 號) d z 則： 知咖專鹱南和 ， 式2 6 為r a d o n 變換，對應(yīng)射線投影的過程。式2 7 則稱為r a d o n 反變換，表示根據(jù)投影 數(shù)據(jù)p 重建原圖像的過程。其中，函數(shù)f ( x ，y ) 表示二維密度分布函數(shù)或重建圖像。設(shè)任意直 線z ，z 的方程為，= x c o s 矽+ y s i n 矽，是直線z 與y 軸正向的夾角( 即旋轉(zhuǎn)角) ，為直線z 到 原點的距離。r a d o n 變換的公式可進一步用億力表示 p ( ，咖= e ( 毛y ) d z = ee 廠o ，y ) 萬o c 。s + y s i n 一o a k a y ( 2 8 ) 第二章c t 成像原理與重建算法基礎(chǔ) 其中萬( x ) 為采樣函數(shù)，f ( x ，y ) 或夕( ，- ，秒) 表示圖像中像素點( x ，y ) ( 或( r ，d ) 的灰度值。 2 2 2 中心切片定理 圖2 - 4 二維r a d o n 變換示意圖 如果說r a d o n 變換是c t 重建的數(shù)學基礎(chǔ)，那么中心切片定理( 投影定理) 是圖像重建 算法的基礎(chǔ)。其內(nèi)容為： 某圖像f ( x ，y ) 在視角矽時投影以也) 的一維傅里葉變換等于廠o ，y ) 的二維傅里葉變換 f ( q ，哆) = f ( p ，) 的一個切片。切片與q 軸的夾角成矽角，且通過坐標原點，即： 互【島( ) 】= f ( p ，矽) i 稠定( 2 9 ) 式中e 口表示一維傅里葉變換，如圖2 5 所示。 n ( 而) 圖2 5 中心切片定理示意圖 根據(jù)中心切片定理，圖像重建問題可由以下流程計算： ( 1 ) 采集不同視角下投影( 理論上是3 6 0 0 范圍內(nèi)的連續(xù)無窮多個投影) 。 第7 頁 丕塑盔堂堡主絲莖 ( 2 ) 對各個角度下投影做一維傅里葉變換，即圖像二維傅里葉變換經(jīng)過原點的各切片。 ( 3 ) 將上述切片匯集成圖像的二維傅里葉變換。 ( 4 ) 由二維傅里葉逆變換求解重建圖像。 具體重建圖像時，根據(jù)中間過程數(shù)學處理不同，又可分為第一類濾波反投影算法卷積反 投影算法和第二類濾波反投影算法r a i d o r l 反變換算法。目前實際應(yīng)用中，r a d o n 反變換算法 由于奇異點誤差等問題，在商業(yè)c t 中未得到應(yīng)用。 2 2 3 卷積反投影算法 卷積反投影算法又稱為濾波反投影法。它是目前二維c t 重建最常用的算法。待重建圖 像f ( x ，力= 廠( ，0 ) 的二維傅里葉變換f ( q ，呸) = f ( p ，彩可由中心切片定理獲得。待重建圖像 重建公式為： 夕( ，d = 脅，i p l p c o ，矽) p 記緲州一_ 和 ( 2 1 0 ) 觀察該式的第二個積分，此式可以寫為空域變量為薯的傅里葉反變換： 、j | p l p ( 戶，矽) p 挖田卯一_ d p = i p f 2 獬k _ 叫刪矽p 14 。、 (211)h( = x r ) p ( ，扔i 耳：，州州) r 7 = g ( r c o s ( o - 彩，彩 而辦( ) = 互q 【i 戶i 】，n ( ，力= 巧“【以夕，) 】，式2 1 0 的物理含義正是投影p ( ，彩經(jīng)過傳遞函 數(shù)為ipl = f 。叻( t ) 】的濾波器濾波后得到修正后的投影g ( r c o s ( o 一矽) ，力在滿足= r c o s ( 0 一矽) 時值。 夕( ，d = f g ( r c o s ( 口一咖，矽) d 驢 o ( 2 1 2 ) 它的物理含義是：經(jīng)過特定點( ，d 所有濾波后投影數(shù)據(jù)在矽= 0 萬范圍內(nèi)累加( 即反投影過 程) ，得出( r ，d 點的像素值。 對于這類算法，濾波函數(shù)( 或核函數(shù)) 的選取是最重要的。理想濾波函數(shù)日( 力爿p i 是一 個頻帶無限濾波器，根據(jù)佩利維納準則這一濾波器是無法實現(xiàn)的。但結(jié)合具體成像過程：( i ) 投影數(shù)據(jù)的高頻分量幅度很?。? 2 ) 投影數(shù)據(jù)是離散采集的；( 3 ) 投影數(shù)據(jù)存在噪聲。在物 體尺寸有限和物體空間密度變化平穩(wěn)的前提假設(shè)下，可以認為信號高頻分量幅度很小。同時 檢測器在接收x 射線有平均作用，相當于低通濾波，另外x 線源尺寸有限，也附加了低通濾 1 波效應(yīng)。因此，只要采樣間隔足夠小，可將投影數(shù)據(jù)的頻帶限定在規(guī)定區(qū)間內(nèi)，即l 夕i b = 亡， 厶j s 為采樣間隔。應(yīng)用上述原則對濾波函數(shù)進行加窗之后，作離散化處理即可。常見的濾波核函 第8 頁 蔓三童豎墮堡墮墨蘭重壅簦鎏薹堡! ! 數(shù)，如r - l 濾波函數(shù)，s l 濾波函數(shù)等。 另外以上的投影過程均為平行投影，實際應(yīng)用中很難找到平行x 射線源，多使用點源， 根據(jù)探測器陣列分布的情況，卷積反投影算法衍生出等角扇束重建算法和等距扇束重建算法， 其幾何描述如如圖2 6 所示。 (a)(b) 圖2 - 6 扇形束示意圖 ( a ) 等角扇形束探測器；( b ) 等距扇形束探測器 2 3c t 重建迭代算法基礎(chǔ) 濾波反投影( f b p ) 算法并不適合所有重建場合。它有以下特點：( 1 ) 方程為連續(xù)形式， 實現(xiàn)后圖像予以離散化；( 2 ) 投影數(shù)據(jù)必須完全，分布必須均勻；( 3 ) 積分路徑為直線。實 際應(yīng)用時，有時由于機械精度原因無法測量到完全投影；有時投影不是均勻分布在1 8 0 0 或3 6 0 。 范圍，上述情況下淵卷積反投影方法無法獲得較好的結(jié)果，圖像重建迭代算法應(yīng)運而生。 2 3 1 迭代算法基本原理 迭代重建算法與解析法的最大區(qū)別就在于前者一開始就把連續(xù)的圖像f ( r ，d 離散化為 f ( r ，功。整個圖像區(qū)域性劃分為l = m n 有限個像素。每個像素內(nèi)部f ( r ，d 為常值。以簡 單3 * 3 圖為例，所得投影值為像素 ， ，的線性組合。由圖2 7 平行束投影可見： a 2m t 而+ w 1 2 x 2 + + w 1 9 x 9 = 嵋i 毛 9 2 w 2 l 而+ w 2 2 而+ + 而= 1 4 2 l 而+ 屹而+ 屹毛 ( 2 1 3 ) 風2w s l x l + w 8 2 毛+ + w s 9 x 92w 8 2 x 2 + w 8 3 毛+ 岷民 用一個l 維圖像矢量x 來表示該物體。x 射線對物體進行掃描，根據(jù)射線的衰減值測量 得到投影數(shù)據(jù)得到測量矩陣p 。x 和p 這兩個矢量被一個投影矩陣w 聯(lián)系起來： p = 1 l 其中 第9 頁 ( 2 1 4 ) 東南大學碩士論文 p = 【a ，p 2 ，風r x = k ，而，而r w = i m 2 m 9 w 2 l 屹w 2 9 i 2 ( 2 1 5 a ) ( 2 1 5 b ) ( 2 1 5 c ) 其中投影矩陣可以由系統(tǒng)幾何、焦斑形狀、探測器響應(yīng)以及c t 系統(tǒng)其他物理參數(shù)確定。 c t 圖像重建問題轉(zhuǎn)化為線性方程組求解過程。但是存在以下三個問題：( 1 ) 一般像素數(shù)目及 射線數(shù)目都極大，直接求w - 1 較為困難，雖然w 為稀疏矩陣，但是計算量還是很大；( 2 ) 很 多情況下投影個數(shù)遠小于像素數(shù)，線性方程組有無數(shù)組解；( 3 ) 實際情況下測量誤差不可避 免。應(yīng)對方程作如下修改： p = w x + e ( 2 1 6 ) 這里誤差矢量可以被解釋為測量偏差和附加噪聲，如探測器電子學的噪聲等。重建問題 轉(zhuǎn)化為根據(jù)一系列投影矢量p 來估計x 。根據(jù)數(shù)值計算和最優(yōu)化原理，估計的過程可由迭代 實現(xiàn)，包含如下步驟：( 1 ) 圖像離散化并賦初值；( 2 ) 選擇迭代方式；( 3 ) 選取最優(yōu)準則。 迭代方式主要分為三類：代數(shù)重建( 舢玎) 、聯(lián)合迭代重建( s i r t ) 、統(tǒng)計迭代( e m ) 。本文 中使用選用a r t ，基本原理見2 3 2 。步驟三選擇方式可有多種，目前常用的準則有：最小二 乘準則、最大均勻性及平滑準則、最大熵準則和貝葉斯準則等。 2 3 2 代數(shù)重建技術(shù) p s 圖2 7 投影3 * 3 圖示例 a r t ( a l g e b r a i c r e c o n s t r u c t i o nt e c h n i q u e s ) 算法最初是由k a c z m a r z 于1 9 3 7 年在求解相 容線性方程組時提出。h o u n s f i e l d 的第一臺c t 用的就是a r t 算法。 為了從式( 2 1 4 ) 解出圖像矢量x ，先假設(shè)一初始圖像x ( 們，然后根據(jù)x ( o ) 求一次近似圖像 x ( n ，再由x ( 1 ) 求二次近似圖像，如此下去，直到滿足預(yù)設(shè)條件。在根據(jù)x ( 七) 求x ( “) 時需加一 校正值a x ( ，而a x ( ) 只考慮一條射線( 如第t 條) 投影的影響，所修正的像素也局限于第條 第1 0 頁 星三雯鯉璧堡墮里量重壟蔓墊董曼! ! 射線所經(jīng)過的像素，下一次則考慮第+ 。條射線。這樣每次校正依次考慮一條射線和校正該射 線經(jīng)過的像素。具體計算步驟如下： ( 1 ) 圖像矢量賦初值而= f 町o = o ，l ，三) ； ( 2 ) 根據(jù)第七次迭代結(jié)果x 似) 估計投影p o ) ( 3 ) 根據(jù)校正公式得到x ( “n ，第5 章使用加型校正公式： x ( t + i ) = x w x 鞏； 寄w t 靴； ( 2 1 7 ) 其中w 吐為投影矩陣行向量，七表示迭代次數(shù)。表示第條射線，其值= k ( m o d i ) + 1 ，i 為射線總數(shù)。 ( 4 ) 根據(jù)判定法則判定重建圖像是否滿足收斂條件，如不滿足繼續(xù)步驟( 2 ) 。 以兩個變量的為例，灰度值和而滿足方程組： 玉二? 2 2 = p i ( 2 1 8 ) 【w 2 l x , + w 2 2 而= p 2 方程組求解相當于兩條直線求交點。先給定一個初始估計值x ( ，將其投影到第一個方程所表 示的直線厶上，接著將結(jié)果點x ( 1 ) 投影到第二個方程所表示的直線厶上，然后再投影到第一 條直線上，如此反復(fù)進行下去，直到相鄰兩個垂足距離小于規(guī)定誤差，則認為解收斂至兩直 線的交點，方程組有唯一解。迭代過程如圖2 8 所示： j f x ( o l d 17 | 一 厶厶 圖2 8 二維情況下a r t 收斂幾何示意圖 第l l 頁 東南大學碩士論文 2 4 圖像質(zhì)量評估方法 1 主觀評價 圖像質(zhì)量的主觀評價是由人的視覺觀察直接對圖像的優(yōu)劣做出評價。c t 圖像重建的目的 是顯示出被測物體的斷層圖像或是三維圖像供人們觀察，因此主觀