高中數(shù)學(xué) 第3章 三角恒等變換 3.1.2 兩角和與差的正弦課堂導(dǎo)學(xué) 蘇教版必修4.doc

高中數(shù)學(xué) 第3章 三角恒等變換 3.1.2 兩角和與差的正弦課堂導(dǎo)學(xué) 蘇教版必修4三點(diǎn)剖析1.兩角和與差的正弦公式應(yīng)用初步【例1】求值.（1）sin;(2)sincos-sinsin.解：（1）sin=sin(-)=sincos-cossin=-=.(2)原式=sincos-cos(-)sin=sincos-cossin=sin(-)=sin=.溫馨提示 解決給角求值這類(lèi)問(wèn)題，一般是將所求角表示成兩個(gè)特殊角的和或差，就可以利用兩角和或差的正余弦公式求值.在運(yùn)用兩角和或差的正余弦公式前注意結(jié)合誘導(dǎo)公式先化簡(jiǎn).2.兩角和與差的正弦公式的綜合應(yīng)用【例2】已知，cos（-）=，sin（+）=，求sin2的值.思路分析：如果發(fā)現(xiàn)2=（-）+（+）的關(guān)系，便可迅速獲得該題的解答；否則，若采用將cos（-）和sin（+）展開(kāi)的做法，解答過(guò)程不僅要用不少三角函數(shù)公式，而且大大增加了運(yùn)算量.解：由，得-（0，），+（，）.sin（-）=.cos（+）=.故sin2=sin（-）+（+）=sin（-）cos（+）+cos（-）sin（+）=（）+（）=-.溫馨提示（1）已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解這類(lèi)問(wèn)題應(yīng)認(rèn)真分析已知式中角與未知式中角的關(guān)系，再?zèng)Q定如何利用已知條件，避免盲目地處理相關(guān)角的三角函數(shù)式，以免造成解題時(shí)不必要的麻煩.（2）要注意觀察和分析問(wèn)題中角與角之間的內(nèi)在聯(lián)系，盡量整體的運(yùn)用條件中給出的有關(guān)角的三角函數(shù)值.（3）許多問(wèn)題都給出了角的范圍，解題時(shí)一定要重視角的范圍對(duì)三角函數(shù)值的制約關(guān)系，從而恰當(dāng)、準(zhǔn)確地求出三角函數(shù)值.3.變形或逆用兩角和與差的正弦公式【例3】化簡(jiǎn)下列各三角函數(shù)式.（1）sin-cos;(2)sin(x+60)+2sin(x-60)-3cos(120-x).思路分析：采取配系數(shù)的方法，構(gòu)造和、差角的正弦公式，再利用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn).解析：（1）sin-cos=2(sin-cos)=2(sincos-cossin)=2sin(-).(2)解法1：原式=sinxcos60+cosxsin60+2sinxcos60-2cosxsin60-cos120cosx-sin120 sinx=（cos60+2cos60-sin120）sinx+(sin60-2sin60-cos120)cosx=(+2-)sinx+(-2+)cosx=0;解法2：原式=sin(x+60)+cos(x+60)+2sin(x-60)=2sin(x+60)+ cos(x+60)+2sin(x-60)=2cos60sin(x+60)+sin60cos(x+60)+2sin(x-60)=2sin60+(x+60)+2sin(x-60)=2sin(x+120)+2sin(x-60)=-2sin(x-60)+2sin(x-60)=0.溫馨提示（2）中解法1是順用兩角和差的正弦、余弦公式計(jì)算.解法2的關(guān)鍵在于構(gòu)造能逆用兩角和差的正弦公式的式子.觀察到（x+）和（-x）互補(bǔ)是順利解決問(wèn)題的前提條件，這種技巧在三角函數(shù)解題中經(jīng)常用到.而這往往又是容易忽略的地方.各個(gè)擊破類(lèi)題演練1求下列各式的值.（1）sin75；（2）sin15；（3）sin13cos17+cos13sin17.解：（1）sin75=sin（45+30）=sin45cos30+cos45sin30=-=；（2）sin15=sin（45-30）=sin45cos30-cos45sin30=-=；（3）原式=sin（13+17）=sin30=.變式提升1已知cos=，（0，），求sin（-）.思路分析：先求出sin的值，再代入公式運(yùn)算.解：cos=，（0，），sin=.sin（-）=sincos-cossin=.類(lèi)題演練2已知cos=，sin（-）=，且、（0，），求sin的值.解：cos=，（0，），sin=.又，（0，），-（-，）sin（-）=，cos（-）=.sin=sin-（-）=sincos（-）-cossin（-）=（）=.變式提升2已知cos（+）=，cos2=-，、均為鈍角，求sin（-）.思路分析：將已知條件整體使用，并且發(fā)現(xiàn)-=2-（+），因此要求sin（-）的值，關(guān)鍵是求出sin（+）及sin2.解：、（90，180），+，2（180，360）.cos（+）=0，cos2=-0，+，2（180，270）.sin（+）=.sin2=.sin（-）=sin2-（+）=sin2cos（+）-cos2sin（+）=（-）（）-（-）（）=.類(lèi)題演練3求值：2sin50+sin10(1+tan10).解析：原式=（2sin50+sin10）sin80=(2sin50+2sin10)cos10=2sin50cos10+sin10cos（60-10）=sin（50+10）=sin60=.變式提升3（1）若sin（+）=,sin(-)=,則=_.思路分析：欲求=,從而轉(zhuǎn)化為由條件求出sincos、cossin.解析：由得解得，sincos=,cossin=.則有=5=.（2） 已知a，b，c是abc的三個(gè)內(nèi)角，且lgsina-lgsinb-lgsinc=lg2.試判斷此三角形的形狀.解析：由lgsina-lgsinb-lgcosc=lg2可得，lgsina=lg2+lgsinb+lgcosc=lg2sinbcosc，即sina=2sinbcosc.a=-(b+c),