（物理電子學專業(yè)論文）脊波變換在圖像處理中的應用研究.pdf

摘要 摘要 本文以脊波變換為研究對象，論述了脊波變換在圖像處理中的應用。分別論 述了小波變換和脊波變換基本理論，基于脊波變換的圖像去噪以及圖像融合。首 先，在分析小波變換理論的基礎上，結合小波變換的優(yōu)缺點，為了克服小波變換 在圖像處理中的不足，介紹了脊波變換的基本理論。其次，針對圖像去噪中常用 閾值方法的缺點和不足，提出了一種基于脊波變換的改進的圖像去噪算法，該算 法采用指數型閾值函數，利用s u r e s 塒1 1 l 【自適應閾值。最后，將脊波變換的思想 應用于圖像融合，采用區(qū)域方差的融合規(guī)則，得到了一種基于有限脊波變換的圖 像融合算法。實驗結果表明，基于脊波變換的圖像去噪和融合方法具有比小波變 換更好的效果。 關鍵詞：脊波變換小波變換圖像去噪圖像融合 a b s 仃a c t h a b s t r a c t 1 1 1 i sp 印e rd e a l sw i m 鼬d g e l c tt r a n s f b 肌i ni m a g e r yp r o c e s s i n w 1 1 i c hi v o l v e s mb 勰i ct h e o r yo fw a v e l e tt r 姐s f o ma n d 礎d g e l e tt r 柚s f o 鋤，f h l i t em d g e l e t t r a n s f o mi ni m a g ed e l l o i s i n g 肌d 妯i l n a g e 向s i f i r s t l y d 印e i l d i n go n 觚a l y s i s w a v e l e t 仃a n s f b mt l l c 0 b i i l d i l l gm e r i t s 姐dd 鋤甜t so fw a v e l e tt r a n s f o n n ，蠡d r o v e r c o m i i l gt h ed e 丘c i e n c yo fw a v e l c t 仃a n s 向ma ti m a g ep m c e s s i n 呂w ei i 血o d u c e b 邪i ct l l e o r yo fm d g e l e t 仃a n s f o 姍s c c o n d l y ，ai n l p r o v 鋤饑to fi m a g ed e n o i s i l l g a l g o f i t l l mb 嬲e d 砘電e l e t 仃趾s f o n ni sp r e s e n t e dt oo v e f c o m et h ed i s a d v 柚t a g e 鋤d d e f i c i c n c yo fm ec o m m o nt l l f e s h o l dm e 也o da ti m a g ed 即【o i s i n g t h ea c p o i l e n t i a l t 1 1 r e s l l o l d 缸l c t i 鋤d 吐圮a d 印石v es i 玳s b r ! i n k 1 i s h o l dv a l u ea a p p h c dj n t o 廿1 i sa p l p r o a c h 刪r d l 弘砒起e l c t 虹a i l s f o mi s 印p l i e di ni i i l a g ef i l s i ，a d o p t e dm ef i l s i o nn 1 1 eo f r e 舀o n a lv a r i a n c e ，眥i i i l a g ef i l s i o na 1 9 0 r i t h l nb 鷦e d f i n i t cm d g e l e t 仃a l l s f o 肋h 鶴 a p p e 缸e d t l l ef e s u l t so fe ) 【p 酬婦e m 砌i c a t ei m a g ed e i l o i s i n g 鋤df i l s i o na l g o r i t h n l b 髂e do ni u d g e l e tg a i l lb c n e re 仃b c t st l l a nw a v e l e t 觚f o m l k e yw o r d s ：i u d g e l e t1 t a n s f o r m w a v e l e t1 y a n s f o r m i m a g ed e n o i s i gi m a g e f u s i o n 獨創(chuàng)性( 或創(chuàng)新性) 聲明 本人聲明所呈交的論文是我個人在導師指導下進行的研究工作及取得的研 究成果。盡我所知，除了文中特別標注和致謝中所羅列的內容以外，論文中不包 含其他人已經發(fā)表或撰寫過的研究成果；也不包含為獲得西安電子科技大學或其 他教育機構的學位或證書而使用過的材料。與我一同工作的同志對本研究所做的 任何貢獻均已在論文中做了明確的說明并表示了謝意。 申請學位論文與資料若有不實之處，本人承擔一切相關責任。 本人簽名：魚1 竺型本人簽名：爹i 彳 j 關于論文使用授權的說明 本人完全了解西安電子科技大學有關保留和使用學位論文的規(guī)定，即：研究 生在校攻讀學位期間論文工作的知識產權單位屬西安電子科技大學。本人保證畢 業(yè)離校后，發(fā)表論文或使用論文成果時署名單位仍然為西安電子科技大學。學校 有權保留送交論文的復印件，允許查閱和借閱論文：學?？梢怨颊撐牡娜炕?部分內容，可以允許采用影印、縮印或其他復制手段保存論文。 本人簽名：多1 縫剁 導師簽名：j 毳路導師簽名：以呔! 乏5 日期 籃：! ! i _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。- _ 。j _ ：_ _ _ _ _ - _ - 。_ _ _ _ _ _ _ _ 。- 。_ 一 日期0 8 3 g 第一章緒論 第一章緒論 本章首先介紹了脊波變換的研究背景以及國內外發(fā)展狀況，提出本文的研究 對象、范圍和研究方向，并在此基礎上介紹了本文開展的工作 1 1 研究背景和研究意義 尋求客觀事物的“稀疏”表示方法，一直是計算機視覺、數學，數據壓縮等 領域的專家學者致力于的研究目標。 1 9 8 4 年法國地球物理學家j m o r l e t 提出小波變換的概念后，小波分析因其超 越于傅立葉分析的眾多優(yōu)點，不僅以驚人的速度完成了理論構建，而且迅速從數 學、信號處理領域的應用擴展到物理、天文、生物、化學等各個學科。在圖像處 理領域，小波變換更被廣泛的應用于圖像壓縮、去噪、增強、特征提取、數學水 印等幾乎所有的分支。1 9 9 9 年，新的靜止圖像壓縮標準j p e g - 2 0 0 0 的確立更是小 波分析發(fā)展史上的一座里程碑。 推動小波分析發(fā)展的先驅者們h l 鰣dda _ u b e c l l i e s 、s t 印h 鋤em a l l a t 、舢b e n c o h e l l 、d a v i dd o n o h o 、m a r t i l lv e n e r l i 等對發(fā)展新的高維函數的最優(yōu)表示方法做 出了不懈的努力，他們提出了多尺度幾何分析( m g a ：m u l t i s c a l eg e o m e m c a n a l v s i s ) 的概念。即對于二維圖像信號，最優(yōu)表示這種信號的多尺度幾何分析方 法應該具有以下特征： 1 ) 多分辨特征：能夠對圖像從粗分辨率到細分辨率進行連續(xù)逼近，即“帶通” 性： 2 ) 局域性：在空域和頻域，這種表示方法的“基”應該是“局部”的； 3 ) 方向性：其“基”應該具有多“方向”性。支撐基應具有長條形結構，達 到用最少的系數來逼近奇異曲線，基的長條形結構實際上是方向性的一種體現， 稱這種基具有各向異性。 事實上，具有線或面奇異的函數在高維空間中非常普遍，例如，自然物體光 滑邊界使得自然圖像的不連續(xù)性往往體現為光滑曲線上的奇異性，而并不僅僅是 點奇異。實現函數的稀疏表示是信號處理、計算機視覺等眾多領域中一個非常核 心的問題。 對于含“點奇異”的一維信號，小波能達到“最優(yōu)”的非線性逼近階。而在 處理二維或者更高維含“線奇異”的信號時，雖然由一維小波張成的高維小波基 在逼近性能上要優(yōu)于三角基，卻也不能達到理想的最優(yōu)逼近階。這是由于一維小 脊波變換在圖像處理中的應用研究 波張成的二維可分離小波基只具有有限方向，即水平、垂直和對角造成的，即多 方向的缺乏是其不能“最優(yōu)”表示具有線或者面奇異的高維函數的重要原因。 小波分析的不足，使人們開始從不同角度出發(fā)，試圖尋找比小波更好的“稀 疏”表示工具，脊波理論便是其中最有代表性、影響最深遠的一種理論“。 1 2 國內外發(fā)展狀況 1 9 9 8 年e m m a n u e lj c a l l d e s 在其博士論文 3 及文獻 4 給出了脊波變換的基本 理論，該理論巧妙地將二維函數中的“直線奇異”轉化為“點奇異”，再用小波 進行處理，能獲得對含“直線奇異”的二維或高維函數最優(yōu)的非線性逼近階。在 這之后的同一年，d o n o h o 就給出了一種正交脊波的構造方法。該正交脊波延續(xù)了 脊波變換將“直線奇異”轉化為“點奇異”進行處理的思想，并且構成一組r 僅：) 上的標準正交基。1 9 9 9 年，在文獻 5 中，e m m a n u e ljc 鋤d e s 又提出了單尺度脊 波變換和c u r v e l c t 變換，它們都是由脊波變換發(fā)展而來，分別利用了函數局部化和 頻帶剖分的思想，將脊波理論發(fā)展到了一個更高的階段，這兩種變換都能“近似 最優(yōu)”的表示直線和曲線奇異。到了2 0 0 3 年，侯彪、劉芳和焦李成給出了脊波變 換的數字實現方法”1 ；2 0 0 5 年，由譚山等人又提出了脊波框架的理論。與正交脊波 不同的是，脊波框架的構造條件更加寬松，不需要受小波基性質的約束，幾乎各 種小波基都能被用來構造此框架，而且脊波框架將正交脊波納入其構架而又具更 廣外延。冗余性的存在，在某些實際工程應用中使得框架往往比正交基具有更好 的性能，這也是脊波框架的優(yōu)勢之一。 本文主要介紹的是e m m 鋤l e ljc a n d e s 的脊波。它是以穩(wěn)定的和固定的方式用一 系列脊函數的疊加來表示相當廣泛的函數類。同時，它也具有基于離散變換的“近 于正交”的脊波函數的框架。在這些新的廣泛的函數類上，利用各種特殊的高維 空間的不均勻性來模擬現實的信號。它應用現代調和分析的概念和方法，并使用 在小波分析和群展開理論中發(fā)展的技術，可用來處理神經網絡的構造問題。同時 脊波具有具體的和穩(wěn)定的使用脊函數的疊加來表示一個多變量函數廠& ) 的形式， 而且對于相應的脊波空間中的函數，我們可以使用脊波字典中的有限個元素的疊 加來逼近函數廠( x ) ，并使得這種逼近相對于f o u r i e r 變換、小波變換和神經網絡來 說能夠獲得較好的定量的逼近速率。脊波將神經網絡、統計學和調和分析等多門 學科的知識綜合起來并克服了這些學科涉及到的多變量函數逼近問題所遇到的難 題。 第一章緒論 1 3 1 研究內容 1 3 本文的研究內容 分析了小波變換和脊波變換的基本原理。小波變換的優(yōu)勢主要體現在對一 維分段光滑或有界變差函數進行分析和處理上，針對在圖像處理中的應用 和小波變換的不足，m i l l hn d o 和m a n i nv c i n e r h 提出了一種適合分析一 維或更高維奇異性的有限脊波變換( f i i l i t e 鼬d g e l e tt r a l l s f 0 1 m ，f i u t ) 。 分析了閾值法小波去噪的基本方法，以此為基礎將小波閾值法應用于脊波 域。分析了常用閡值函數的優(yōu)缺點，給出一種指數型閾值函數法。分析了 常用的全局閾值確定的缺點，采用了s u r e s t l 血出自適應方法確定閾值，進 而實現圖像去噪。 分析了脊波變換應用于圖像融合的優(yōu)越性，將有限脊波變換的思想應用于 圖像融合，并采用了區(qū)域方差的融合規(guī)則。將該方法應用于多聚焦和紅外 與可見光的圖像融合，與傳統的融合算法相比較取得了較好的融合效果。 1 3 2 章節(jié)安排 本文共分五章，其主要結構安排和內容如下： 第一章緒論。主要概述了脊波變換的研究背景、意義以及國內外發(fā)展情況， 并在此基礎上介紹了本文開展的工作。 第二章小波變換和脊波變換。主要介紹了連續(xù)小波變換和離散小波變換的定 義、小波變換的性質、小波變換的多分辨分析；介紹了r i d g e l e t 變換的基本原理 與概念。對于具有直線狀特征的模型，r i d g e l e t 方法比w a v e l e t 方法具有更高的比 較精度和更好的還原效果。 第三章基于脊波變換的圖像去噪。本章基于脊波變換設計了一種圖像去噪算 法，采用一種改進的閾值函數指數型閾值函數，并且采用自適應s u r e 閾值的 方法。和小波變換相比，脊波變換能夠有效地處理高維直線或超平面奇異性的問 題。提出的算法適用于處理以直線特征為主的圖像，試驗證明了算法的有效性。 第四章基于脊波變換的圖像融合。本章先介紹圖像融合中的基本框架和基本 融合方法以及圖像融合質量性能評估，使用有限脊波變換進行圖像融合能夠充分 利用該變換的強大的信號表示能力，能更好地提取原始圖像的特征，為融合圖像 提供更多的信息。通過對多聚焦圖像融合，可見光和紅外圖像融合的仿真實驗結 果表明，基于有限脊波變換的圖像融合取得了比小波變換更好的視覺效果。 4 脊波變換在圖像處理中的應用研究 第五章結論。對本文完成的工作進行總結和概括，并指出今后工作的重點和 內容。 1 3 3 本文的特點 將小波閾值法去噪思想應用于脊波域；鑒于常用閾值函數的優(yōu)缺點，提出 了指數型閾值函數法；鑒于小波域常用的全局閡值有很嚴重的“過扼殺” 小波系數的傾向，本文采用s u r e s 城i l l 【自適應方法確定閾值。 將有限脊波變換應用于圖像融合，并采用局部方差的融合規(guī)則，取得了很 好的融合效果。 第二章小波變換與脊波變換基本理論 5 第二章小波變換與脊波變換基本理論 小波變換的優(yōu)勢主要體現在對一維分段光滑或有界變差函數進行分析和處理 上，針對在圖像處理中的應用和小波變換的不足，m i n h n d o 和m a n i n v e n c r l i 提 出了一種適合分析一維或更高維奇異性的有限脊波變換( f i n i t em d g e l e tt m n s f o 珊， 腳t ) 。本章中主要介紹小波變換和脊波變換的基本理論 2 1 小波變換 經典的傅立葉變換不能同時進行時域和頻域的分析。因為信號經過傅立葉變換 后，時域的信息不存在，時間特性消失，只能進行頻域信息的分析。為了克服經 典傅立葉的缺陷，后來引入了小波分析。 小波變換克服了傅立葉變換的缺陷，具有時一頻二維分辨的特點，并且它具有 時域和頻域“變焦距”的特性，因此十分有利于對信號的精細分析。 第一個正交小波基是a h a a r 于1 9 1 0 年構造的”1 ，a h a a r 提出了構造正交小波基 的伸縮和平移思想。然而h a a r 小波是不連續(xù)的，不具有連續(xù)可導性，這限制了它 的應用。1 9 8 1 年，s 仃o m b e r g 對h a a r 小波基進行了改進，證明了小波函數的存在性。 1 9 8 1 年，法國地質物理學家m o r l e t 在分析地質資料時創(chuàng)造性地提出了小波分析這 一概念( w a v e l e ta 1 1 a l y s i s ) ，但m o r l e t 最初提出的僅僅是形狀不變的小波。1 9 8 8 年法 國年輕女數學家d a u b e c h i e s 提出了具有緊支集的光滑正交小波基d a u b e c m e s 基， 這樣，小波分析的系統理論初步得到了建立。與此同時，信號分析專家m a l l a t 等人 在前人大量工作的基礎上提出了多尺度分析的概念和基于多尺度分析的小波基的 構造方法，將小波正交基的構造納入到統一的框架之中，使小波分析成為一種實 用的信號分析工具。將多尺度分析思想引入小波分析，提出了多分辨分析的概念， 統一了在此之前的所有具體小波基的構造方法，并提出了相應的分解與重構快速 算法( 稱為m a l l a t 算法) ”1 ，有效的應用于圖像的分析與重構。 2 1 1 連續(xù)小波變換 設妒( f ) r 似) ( r 似) 表示平方可積的實數空間，即能量有限的信號空問) ，其 傅立葉變換為礦如) 。當妒) 滿足容許性條件( a d m i s s i b l ec o n d i t i o n ) ： q = 腎 。 億t ， 6 脊波變換在圖像處理中的應用研究 時，我們稱( f ) 為一個基本的小波或母小波( m o m e rw a v e l e t ) 。將母小波函數妒( ，) 經 過伸縮和平移后，就可以得到一個小波序列為： 圳2 南攻等) 咖酗。 仁z ， 其中a 為伸縮因子，b 為平移因子。 對于任意的，o ) r 伍) 的連續(xù)小波變換( c o n t i i l u ew a v e l e tt r a l l s f o 肋) 簡寫為 ( c w t ) 為： 哆g ，6 ) - - 阿；i 廠( f ) d 學p ( 2 3 ) 其重構公式( 逆變換) 為： 州= 專扣) i ，( 警卜如 要使( 2 3 ) 積分變換有意義，要求l 妒( f ) 1 2 出 o 。此性質表明，當信號廠( f ) 做某一倍數伸縮時，其小波變換 將在口，6 兩軸上做同一比例的伸縮，但是不發(fā)生失真變形。這是使小波變換稱為“數 學顯微鏡”的重要依據。 第二章小波變換與脊波變換基本理論 7 另外還有自相似性和冗余性，小波變換的冗余性也是自相似性的直接反映。 主要表現為： 由連續(xù)小波變換復原原始信號的重構公式不是唯一的，即信號廠( f ) 的小波變 換與小波重構不存在一一對應關系，而傅立葉變換與傅立葉反變換是一一對應的。 小波變換的核心函數即小波函數兒。( r ) 存在許多可能的選擇( 比如它們可能 是非正交小波，正交小波，雙正交小波等) 。 連續(xù)小波變換的系數具有很大的冗余量。在連續(xù)變換的尺度口和時間尺度6 下 的小波基函數虬。( r ) 具有很大的相關性，因此信號的小波變換系數盯( 4 ，6 ) 的信息 量是冗余的。大多數情況下人們希望在不丟失原始信號的情況下，盡量減少小波 變換系數的冗余度，從而提高壓縮率，因此引入了離散小波變換。 2 1 2 離散小波變換 我們在實際應用中應用的最多的是離散小波變換，而不是連續(xù)小波變換，這主 要是離散小波變換更容易在計算機上實現。離散小波變換對應與傅立葉級數，正 如連續(xù)小波變換對于與傅立葉變換。所謂的“離散”即尺度和位移的離散，而對 待分析信號和分析小波中的時間變量t 并沒有被離散化。 在連續(xù)小波中，考慮函數： 。( f ) =咖( ( 2 6 ) 這里，6 r ，n r + ，且口o ，是容許的，為方便起見，在離散化中，總限制 口只取正值，這樣容許性條件就變?yōu)椋?巳= r 昏黜 ( 2 ，) 通常，把連續(xù)小波變換中尺度參數口和平移參數6 的離散化公式分別取作 d = 口。，6 = 勛。，這里，z 擴展步長4 。l 是固定值，為方便起見，總假定 口o 1 。因此對應的離散小波函數y 小( f ) 即可寫作： 町y ( 半卜么g 。一紙) 則離散化小波變換系數可表示為： q ，。= e ，( ，p 小( ，脅= ( 2 9 ) 其重構公式為 8 脊波變換在圖像處理中的應用研究 飩) = c q ，。緲肚( f ) c 是一個與信號無關的常數。 2 1 3 二進小波變換 ( 2 1 0 ) 為了使小波變換具有可變換的時間和頻率分辨率，適應待分析信號的非平穩(wěn) 性，我們很自然地需要改變口和6 的大小，以使小波變換具有“變焦距”的功能。 換言之，在實際中采用的是動態(tài)的采樣網格。最常用的是二進制的動態(tài)采樣網格， 即口。= 2 ，6 0 = 1 ，每個網格點對應的尺度為2 7 ，而平移為2 _ i 。由此得到的小波： 卅：2 一妒( 2 一，f 一七) j ，_ j z ( 2 1 1 ) 稱為二進小波。 二進小波對信號的分析具有變焦距的作用。假定有一放大倍數2 ，它對應為 觀測到信號的某部分內容。如果想進一步觀看信號更小的細節(jié)，就需要增加放大 倍數即減小_ ，值；反之，若想了解信號更粗的內容，則可以減小放大倍數，即加大 ，值。因此在這個意義上，小波變換被稱為數學顯微鏡。 二進小波不同于連續(xù)小波的離散形式，它只是對尺度參數進行了離散化，而對 時間域上的平移參量保持連續(xù)變化，因此二進小波不破壞信號在時間域上的平移 不變量，這也正是它同正交小波基相比所具有的獨特優(yōu)點。 2 1 4 多分辨率分析 多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o na 眥l y s i s ) 又稱多尺度分析，是建立在函數空間概 念上的理論。它是m a l l a t 在8 0 年代提出的，可用于正交小波分解和重構，也稱為金 字塔算法。多分辨分析的基本思路是將原始信號分成不同分辨率的幾個信號，然 后選擇合適的分辨率或者在各級分辨率上處理該信號。我們可以把尺度理解為照 相機的鏡頭，當尺度由大變小時，就相當于將照相機鏡頭由遠及近的接近目標。 在大尺度空間里，相當于從遠處觀察目標，只能看到大致的概貌；在小尺度空間 里，相當于從近處觀察目標，可觀測到目標的細節(jié)部分。因此，隨著尺度由大到 小的變換，在各尺度上可以由粗糙到精細地觀察目標。這就是多尺度( 多分辨) 的 思想。多分辨分析從空間概念上形象地說明了小波的多分辨特性，將此之前的所 有正交小波基的構造方法統一起來，給出了正交小波的構造方法以及正交小波的 快速算法，即m a l l a t 算法。m a l l a t 算法在小波分析中的地位相當于快速傅立葉變換 在經典傅立葉分析中的地位。關于多分辨分析的理解，我們還可以用一個三層分 第二章小波變換與脊波變換基本理論9 解加以說明，其小波分解樹如圖2 1 所示。 圖2 1 三層多分辨分析的結構圖 從圖可以明顯看出，多分辨分析中是對低頻部分進一步分解，而高頻部分則不予 考慮。分解式為：= s 3 + d l + d 2 + d 3 。 2 1 5 圖像的小波變換 圖像是二維信號，因此首先應該將小波分解從一維推廣到二維。對于二維正交 小波，我們常用的是正方形二維正交小波基。 小波變換用于圖像分析的基本思想是把圖像進行多分辨分解，將圖像分解成不 同空間、不同頻率的子圖像。圖像經過小波變換后被分割成四個頻帶：水平、垂直、 對角線和低頻，低頻部分還可以進一步分解。對于一幅圖像來說小波變換構成了 對它的多尺度時頻分解。圖2 2 給出了圖像的三個尺度的分解。 1 0脊波變換在圖像處理中的應用研究 兒3吼3 m 2 工h 3h h3 m l l h 2h h t l h t h h l 圖2 2 一幅圖像的三層多分辨率分析小波分解 左上角( 上上2 ) 是最低頻段濾波后的低尺度逼近，同級分辨率下，m 3 塊包含了水 平方向高通、垂直方向低通濾波器后所保留的低頻信息。同樣的上日3 塊保留的是 水平方向低通、垂直方向高通濾波后的細節(jié)信息，點艘3 塊包含的是水平和垂直方 向都通過高通濾波后的細節(jié)信息。相同的處理過程在中分辨率層和高分辨率層重 復進行。圖像經過小波變換后生成的小波圖像的數據總量與原圖像的數據總量相 等，生成的小波圖像具有與原圖像不同的特性，表現在圖像的能量主要集中于中 低頻部分，水平、垂直和對角部分的能量則較少；水平、垂直和對角部分表征了 原圖像在水平、垂直和對角部分的邊緣信息，具有明顯的方向特性。低頻部分可 以稱作逼近圖像，水平、垂直和對角部分可稱作細節(jié)圖像。 2 2 脊波變換 脊波變換的基本理論框架是由e j c 孤d e s 在其博士學位論文中建立，并與 d l d o n o h o 等在其后續(xù)的一系列工作中逐步拓展和完善的【”塒。在引入脊波的定 義之前，我們先看一個與脊波思息相關的概念r a d o n 變換。然后再引入脊波 變換的概念。 2 2 1r a n d o n 變換 r a d o n 變換n 5 3 最初是由數學家r a d o n 在1 9 1 7 年提出的，但是當時它只是具有 數學意義，表現在影像學上即為后來的投影變換( 投影算子) 。后來隨著x r a y 的研究深入，r a d o n 變換在實際應用中終于變現出了它的重要意義，這就是x 射 第二章小波變換與脊波變換基本理論 l l 線斷層成像技術( c t ：c o m p u t e rt o m o 鯽h y ) 的實現。 實際上，當人們在處理二維或三維投影數據時，真正有效的重要算法都是以 r a d o n 變換或r a d o n 逆變換作為數學基礎。4 。醫(yī)此，對這種變換算法和快速算法 的研究在醫(yī)學影像中有著特殊意義。 對于二維信號，r a d o n 變換就是信號沿某一方向的投影： ， 、如少 溺，鄉(xiāng)7 g 一 述遴毪y 、 ， ( a ) i 硼變換投影 圖2 3r a d o i l 變換 ， 夕 、 ，7 ? 必 坐標旋轉 b g ，伊) = p g ，y 切 ( 2 1 2 ) 其中的直線，的方程為： x c o s 妒+ ) ，s i n 伊= p( 2 1 3 ) 代入( 2 1 2 ) 式得： g p ，礦) = 少g ，y p g c 。s 伊一) ，s i i l 緲一p ) c “砂 ( 2 1 4 ) 月 定義圖像廠g ，_ y ) 在所有妒方向的積分投影g ，妒) 的集合為廠g ，y ) 的r a d o n 變 換，表示為髟，廠g ，j ，) 。r a d o n 變換的另一種表達為 9 0 ，緲) = 少p c 。s 妒一s s i n 伊，p s i n 伊+ j c o s p 協 ( 2 1 5 ) 可以看成是廠g ，y ) 在新坐標系仁，y ) 中的表達式 g c o s 妒一y s i n 妒，x s i n 伊+ y c o s 妒) 的簡單積分。 脊波變換在圖像處理中的應用研究 由r a d o n 變換得到二維信號的重建，即從g ( 島妒) 到逆r a d o n 變換。逆r a d 蚰 變換的公式為： ，船，妒比 廠g ，y ) 2 贏r 昧面毒靜緲 ( 2 - t 6 ) 具體推導這里不做論述。 需要說明的是，重建公式已經解決了近9 0 年。但是應用到實際中，對于理想 化問題的數學求解還存在一些實際的困難： ( 1 ) r a d o n 公式是利用了圖像的所有線積分來決定這幅圖像的。在實際應用中， 我們僅有有限組測量值，即使令這些值準確的是沿許多直線的投影，但它們的有 限數目對唯一的甚至是精確的確定那幅圖像是不夠的，根據有限個數據，我們是 可以容易的產生物體的圖像，但這些圖像的重建是很不準確的。 ( 2 ) 表達式中我們皆是用的連續(xù)函數的表達式，實際中由于用計算機求解我們 不得不將其作離散化處理，這就要牽扯到插值問題等等，這些估計值的不精確性 也對r a d o n 有著很敏感的影響。 ( 3 ) r a d o n 給出了一個數學公式，我們需要一個有效的算法去計算它，而得到 這種算法并不容易。所以，人們不得不以大量工作，來尋找計算機上能夠快速實 現的算法，以產生可以接受的重建圖像。而且這個問題現在人們還在不斷完善中。 2 2 2 連續(xù)脊波變換 數 定義2 1 ：設光滑函數：r 寸r ，滿足條件p o 協= o 及容許條件 瞥一 仁切 其中妒皓) 為妒o ) 的f o u r i e r 變換 對于參數集y ，定義r 2 斗r 函數，并稱，為滿足容許條件所生成的脊波函 爐口一；y ( 掣 仁 其中口為尺度因子，6 為位移因予，“為方向因子。 令“= ( c o s 口，s i n 口l z = “，t ) ，則脊波函數的形式可以表示為 第二章小波變換與脊波變換基本理論1 3 尸 妒( 型學 其中口 o ，6 ，玉，而r ，口【o ，7 r 】 定義2 2 ：定義變換： 時乃( 口，6 ，口) = 以 。g k 為廠g ) 函數在彤上的連續(xù)脊波變換啪n 6 巾”。對于廠g ) r 陋2 ) ， r a d 伽變換為： q p ，f ) = 少g p k c o s 口+ 而s i n 口一r 陋 若記廠g ) 在胄2 上的連續(xù)小波變換為： ( 2 1 9 ) 在胄2 上的連續(xù) ( 2 2 1 ) g ，6 ) = 阮。g 沙g 協 p 其中。g ) = 口一j 妒f 蘭二旦1 ，y g ) 是一維小波函數。因此脊波變換可以表示為： 口。， r f 弓0 ，6 ，口) = j 以，。g 地p ，協 ( 2 2 2 ) 一 由以上定義也可以看出脊波與小波可以用r a d o n 變換聯系起來，簡言之就是 脊波變換就是在r a d o n 變換域中的小波變換?？梢钥闯觯共ê托〔ㄔ诒举|上是 一樣的，但是脊波引入了表示方向的參數日。因此，原來小波可表示一個點的特 征，此時對于脊波變成了一條沿方向目的直線。在脊波函數的橫截面上是一條小 波曲線。在r 2 中，脊波沿脊線五c o s 占+ 而s i n 口= f 是常數，垂直脊線方向是小波。 綜上，脊波變換的主要思想就是用r a d o n 變換將不同方向的線奇異映射為點 奇異，然后用一維小波變換來刻畫點的奇異性，從而能有效地表示二維信號中的 線或曲線奇異性特征。 定義2 3 設函數滿足夕z 伍2 ) ，若礦滿足容許條件，則有： ，g ) = 勺肥護耽 。g ) 墮筍 ( 2 2 3 ) 為脊波變換的重構公式，其中勺= ( 2 萬) - 2 巧1 。 2 2 3 離散脊波變換 針對二維離散數據擴阮，如) ) ，2 如，如= o ，1 ，2 以) ，分別對三個參數口，6 ，口離散 脊波變換在圖像處理中的應用研究 化： 則 e f = 2 萬2 一f ，巳= 2 ，i = 2 疵2 一 j 瓴，島) = 毛2 c o s 已，+ 如2 7 s i n e 。， 墨，如b ，2 ，一1 j ，_ ，- ，f = o ，2 川一1 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 從而 ，瓴，屯) = 2 必( 2 ，也，瓴，島) 一6 j 。) ) ( 2 2 6 ) 令離散脊波變換系數為： 口卅，f = ( 舶力 ( 2 2 7 ) 則有離散重構公式： 廠如，島) = 吩 ，嘸 。瓴，島) ( 2 2 8 ) ，i ，f 并且滿足r 模意義下的等式： l i 州2 = i q 。1 2 ( 2 2 9 ) t 1 對于小波變換的特性，當口= 2 時，小波將頻域的劃分可以參看圖2 4 。同樣的對 于脊波變換，其頻域也將被劃分為2 7 段( _ ，為分解尺度) ，且其支撐區(qū)間是沿方向 且留：n ；蚓s “j 。 圖2 4 脊波變換的頻域劃分 隨著尺度的增加，脊波對頻域的劃分就越細，這就跟小波的多分辨一樣可以在不 同尺度上做相應的時一頻分析。 第二章小波變換與脊波變換基本理論 1 5 2 2 4 脊波變換的實現 r 硝o n 變換的實現： r a d o n 變換滔1 在科學計算和工程問題中的應用非常普遍，傳統r a d o n 交換重 構圖像得到的是一個近似的逼近圖像，其重構圖像的質量很大程度上受r a d o n 投 影個數的影響，因而會產生圖像r a d o n 分解的數據冗余性，也即較好的重構圖像 需要更多的投影。過去幾十年內對r a d o n 變換已有了相當充分的認識。一種較方 便的方法是在d f t 的基礎上實現r a d o n 變換。基于此理論的具體的實現過程為： ( 1 ) 2 d h 叩：首先對的離散點列廠g ，y ) 作二維快速f o i l r i e r 變換，將其變 換到頻域。 ( 2 ) 徑向劃分：以頻域的中心為原點，對得到的包含個點的頻域點列作徑 向劃分，把矩形陣列變換到徑向陣列。然后估計各個徑向直線方向上個數據點 的值( 若恰為與原網絡的交點則取為原值，反之則根據不同方法來對待定點處進 行插值等等) 。保證每個徑線方向都有個節(jié)點值。這一步是整個r a d o n 變換中 最難也是最重要的。 ( 3 ) d 。圈盯：對于每個徑向對這個節(jié)點列再作一維逆f f t ，從而得到對應于 圖像域的2 個點列。對這些點列作均勻化插值和重組就得到一次r a d o n 變換 的結果。 圖2 5 近似徑向變換網格 正交有限脊波變換的實現： 脊波變換的實質，前面已經講述過，其中小波變換我們都已經很熟悉，因此 實現的主要任務是r a d o n 變換。實際上，其具體實現過程已經在上面表述了，因 此脊波的實現過程就可以用如下的流程來表示： 脊波變換在圖像處理中的應用研究 i m d 船 f 別r z f r a td o r d i n 七 f r i td o m 口訊 七 1 d d r 圖2 6 脊波變換的實現過程 通過以上的砌d o n 變換，再對r a d o n 變換后的矩陣作一維小波變換( 即對極 坐標的每條徑向的數據作一維變換) ，最終會得到脊波變換。這里的小波可以有多 種選擇，對于去噪、復原和奇異性檢測以及圖像融合等問題來說，最好采用冗余 小波變換，這種冗余對于變換的效果改善非常有利。 f r a t 是冗余非正交變換，在實際應用中，最好能夠是非冗余正交變換，這樣 才是完美而且更實用的變換。文獻 2 8 中已證明，通過對f r 的投影片一維離 散小波變換，能去除冗余且獲得一個正交變換。 2 2 5 曲波變換 曲波變換由c a n d e s 和d o n o h o 在1 9 9 9 年提出，其實質上是由脊波理論衍生得 到的。單尺度脊波變換的基本尺度口是固定不變的，而曲波變換則不然，其在所 有可能的尺度玎o 上進行分解。c u r y e l e t 是由一種特殊的濾波器和多尺度脊波變 換( m u 城s c a l e 硒d g e l e tt r a n s f o n n ) 組合而成，它是一種多分辨、帶通、多方向的 函數分析方法符合審理學研究所提出的“最優(yōu)”圖像表示方法應該有的三種特征。 這也是曲波變換“”之所以具有很好的非線性逼近能力的一個根本原因。 第二章小波變換與脊波變換基本理論 1 7 圖2 8c u n ，c l e t 的實現過程 2 3 小結 本章第一部分主要介紹了連續(xù)小波變換和離散小波變換的定義、小波變換的性 質、小波變換的多分辨分析。 第二部分主要是介紹了鼬d g e l e t 變換的基本原理與概念。對于具有直線狀特 征的模型，鼬d g e l e t 方法比w a v e l e t 方法具有更高的比較精度和更好的還原效果， 然而對于曲線狀特征的圖像，m d g e l c t 變換則顯得力不從心，由此可以采用類似 積分運算的思想一一以直代曲，由若干條較短直線來近似代替整條曲線，分別對 每條小直線進行斑d g e l e t 變換，由此在此思想上，產生了c u r v e l e t 變換。”。 脊波變換在圖像處理中的應用研究 本章理論主要為論文以后幾個章節(jié)做鋪墊，后續(xù)部分基于脊波變換的圖像去噪 問題和圖像融合進行研究和探討。 第三章基于脊波變換的圖像去噪 1 9 第三章基于脊波變換的圖像去噪 小波闊值法的主要思想是：先對圖像進行小波變換，得到圖像的小波系數， 再根據一定的規(guī)則找到一個合適的閾值，最后用閾值法來修改小波系數，從而迭 到消除噪聲的目的本章把小波閾值法去噪的思想應用在脊波域，提出了一種指 數型函數閾值法的自適應閾值去噪方法，取得了很好的去噪效果 3 1 1 小波圖像去噪機理 3 1 小波去噪綜述 從數學角度上看，小波去噪問題的本質是一個函數逼近問題，即如何在由小波 母函數伸縮和平移版本所擴展成的函數空間中，根據提出的衡量準則，尋找對原 始信號的最佳逼近。以完成原始信號和噪聲信號的區(qū)分。因此，小波去噪方法就 是尋找從實際空間到小波函數空間的最佳映像，以便得到原始信號的最佳恢復。 從信號處理的角度看，小波去噪是一個信號濾波的問題，而且盡管在很大程度 上小波去噪可以看成是類似于低通濾波。但是由于在去噪后，還能成功地保留圖 像特征，即圖像系數不僅是低頻通過，高頻系數經收縮后也保留，并和低頻信息 一起用于重構。所以在這一點上又優(yōu)于傳統的低通濾波器。由此可見小波去噪實 際上是特征提取和低通濾波的綜合。其流程如圖3 1 所示。 圖3 1 小波去嗓框圖 圖像去噪問題一般采用模型： s ( f ) = ( f ) + r e ( f ) ，( i _ o ，1 ，i l 一1 ) ， 其中，廠( f ) 是原始無噪聲圖像，s ( f ) 是觀測的含噪圖像，p ( f ) 是噪聲：r 是噪 聲方差，去噪目的就是從含噪圖中恢復原始圖像的同時保持圖的特征，優(yōu)化均方 差，即在一組正交基口= & 。 ，( o s ，l ) 下通過分解： s ( f ) = ( f ) + 吒( f ) 脊波變換在圖像處理中的應用研究 得至0 = + 由于小波函數在時頻域都具有較好的局域性，其變尺度特性使小波變換對確定 信號具有一種“集中”的能力，且能較好地表示信號的局部結構特征。所以小波 變換去噪主要是利用信號和噪聲的l i p s c l l i l z 指數在局部結構特征下所表現的奇異 性對小波系數進行處理。 3 1 2 小波去噪方法 1 基于模極大值的圖像去噪法 1 9 9 2 年，m a l l a t 提出用奇異點一模極大值法檢測信號的奇異點，根據有用信號 和噪聲的小波變換在奇異點的模極大值的不同特性，采用多分辯理論，由粗到精 地跟蹤各尺度_ ，下的小波變換極大值來消除噪聲。其去噪算法是： 步驟1 ：對含噪圖像進行小波變換。 步驟2 ：提取小波分解中第一層的低頻圖像，跟蹤該尺度下的小波變換極值點。 步驟3 ：令_ ，= l ，對第一層低頻圖像進行小波變換，提取第二層低頻圖像信號且 以步驟2 中的小波變換極值點為參考，清除幅值減小的極值點，保留幅值增加的極 值點。 步驟4 ：令j = 2 ，3 ，重復步驟3 。 步驟5 ：重構圖像，得到去噪后的圖像。 模極大值法主要適于圖像中混有白噪聲且圖像中含有較多奇異點的情況，去噪 后的圖像沒有多余振蕩，能獲得較高的信噪比，保持較高的時間分辨率。另外模 極大值法要利用復雜的交替投影法來進行重構小波系數，因而計算速度非常慢且 有時不穩(wěn)定。1 。 2 小波收縮法 a 閾值收縮法 閨值收縮法1 去噪的算法為： 步驟1 ：選擇合適的小波基并確定小波分解的層次n 對含噪圖像進行小波變換， 得到小波分解系數。 步驟2 ：在小波變換域設定閾值對小波系數進行處理，獲得新的小波系數。 步驟3 ：通過小波逆變換，重構圖像，得到去噪圖像。 闕值法去噪的應用具體有以下幾個方面： 通用閡值去噪法 這是應用最廣泛的一種小波去噪方法， r = 盯2 l o g 【m ) 第三章基于脊波變換的圖像去噪 2 l 其中r 是噪聲標準方差；m 為圖像尺寸，實際應用時根據圖像的特點選取 硬、軟閡值等處理法進行降噪。 自適應閾值去噪法 閩值過大或過小都不能達到在去噪的同時保留圖像細節(jié)和邊緣信息。通過對 閾值函數進行修改，m a a n e i lj 觚s c l l 等提出能提高去噪效率的不同閾值選取法，諸 如水平相關閾值去噪法，m 撕。嘲等提出基于貝葉斯估計的小波收縮閾值的圖像降 噪方法，m a r i o 和胡海平等通過最小b a y e s 風險的方法對圖像小波變換后的小波系 數進行估計，尚曉清等“”提出基于子帶的自適應閾值，h u 觚g x 等1 利用統計學中 的畢達哥斯定理選取小波閾值進行圖像去噪，g r a c ec h a i l g s 和d e t l e v m a r p e 等自適 應小波閩值圖像去噪法，同時給出相應閾值優(yōu)化的公式，通過選取最佳的閾值來 達到理想的效果。 小波包閾值去噪法 小波包分析能為信號提供一種更精細的分析方法，它將頻帶進行多層次劃分， 對多分辨率沒有細分的高頻部分進一步分解，并能根據被分析信號的特征，自適 應地選擇相應頻帶，提高時頻分辨率。基于小波包變換的閾值法去除圖像斑點噪 聲效果很好且保持了邊緣特征信息。在貝葉斯結構中自動估計閾值采用復小波包 來去噪，其實驗表明，它比小波包變換具有計算速度快等特點。 平移不變小波去噪法 它在閾值法的基礎上加以改進，其方法是：對含噪圖像進行n 次循環(huán)平移，對平 移后的圖像進行閾值法去噪處理，再對去噪的結果進行平均。它不僅能有效的抑 制閾值去噪法產生的偽g j b b s 現象，而且能減小原始信號和估計信號之間的均方誤 差( m s e ) 和提高信噪比( s n r ) 。缺點是計算復雜度太高。t i e l l 等人則進一步利用平 移不變多小波變換進行去噪，c o h e n 等人將小波包和平移不變法結合起來，避免了