（計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)論文）關(guān)于多元分次插值唯一可解問題的研究.pdf

學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明 !flffii i f f lii i llffi iir f fff l f l l ii l i ir l ! r lr i l l y 18 9 0 0 9 5 本人承諾：所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下所取得的研究成果。論文中除特別加以標(biāo)注 和致謝的地方外，不包含他人和其他機(jī)構(gòu)已經(jīng)撰寫或發(fā)表過的研究成果，其他同志的研究成果對(duì)本 人的啟示和所提供的幫助，均已在論文中做了明確的聲明并表示謝意。 學(xué)位論文作者簽名： 至鍪 學(xué)位論文版權(quán)的使用授權(quán)書 本學(xué)位論文作者完全了解遼寧師范大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，及學(xué)校有 權(quán)保留并向國(guó)家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交復(fù)印件或磁盤，允許論文被查閱和借閱。本文授權(quán) 遼寧師范大學(xué)，可以將學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫并進(jìn)行檢索，可以采 用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存、匯編學(xué)位論文，并且本人電子文檔的內(nèi)容和紙質(zhì) 論文的內(nèi)容相一致。 保密的學(xué)位論文在解密后使用本授權(quán)書。 學(xué)位論文作者簽名：至堡 指導(dǎo)教師簽名：侄塑之 指導(dǎo)教師簽名：4 塹盥一一 簽名日期： 渺z 年多月侈日 遼寧師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 摘要 插值問題一直是計(jì)算數(shù)學(xué)方向的一個(gè)重點(diǎn)數(shù)學(xué)內(nèi)容，也是許多科研生產(chǎn)當(dāng)中的基礎(chǔ) 問題，由于在多元函數(shù)列表，曲面外形設(shè)計(jì)和有限元法等很多實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域中會(huì)運(yùn)用到 它，因此，對(duì)插值問題的深入研究就變得十分必要經(jīng)過許多數(shù)學(xué)前輩們的努力，花費(fèi)了 大量的時(shí)間和心血研究，一元插值的理論和方法基本已經(jīng)填補(bǔ)了空白。之后，大家便把 目光對(duì)準(zhǔn)了多元插值問題，多元多項(xiàng)式插值問題便逐步成為新的研究熱點(diǎn)，因?yàn)槎嘣?值更適用于實(shí)際應(yīng)用，這是多元插值的研究目的關(guān)于多元插值相關(guān)的插值結(jié)點(diǎn)組的唯 一可解性問題也被提了出來。然而，要想從一元多項(xiàng)式插值的理論直接類比到多元情 形實(shí)在是困難，從一元到多元，不只是量變，有很多理論適用于一元卻不適用于二元， 因此，研究起來相當(dāng)?shù)牟蝗菀?。?jīng)過探查和研究，在對(duì)多元多項(xiàng)式插值的相關(guān)問題研究 過程中，大家都是先來討論插值結(jié)點(diǎn)集合的分析上，換言之，怎么才能找到使多項(xiàng)式空 間中能夠存在，并且是唯一存在插值多項(xiàng)式，可以令這些結(jié)點(diǎn)集合插值于任意一個(gè)你所 給定的被插函數(shù)，我也就從這個(gè)話題入手開始我的論文。 本文共分四部分，第一部分是全文的引言，說明了全文的寫作重點(diǎn)和寫作目的；第 二部分說明了什么是多元多項(xiàng)式以及研究方法；第三部分解釋了高維插值的定義和相關(guān) 的一些算子：最后一部分，也是我自己的研究結(jié)果，給出了多元分次插值適定結(jié)點(diǎn)組的 定義，得到了構(gòu)造多元分次插值適定結(jié)點(diǎn)組的方法等等相關(guān)問題。 總的來說，就是從代數(shù)幾何方向入手，從一元擴(kuò)到多元，從一維增3 口n - - 維，借以研 究多元分次插值適定結(jié)點(diǎn)組唯一性，來奠基多元插值的理論 關(guān)鍵詞：多元插值；分次插值；適定結(jié)點(diǎn)組；插值唯一可解點(diǎn)組 ， 關(guān)于多元分次插值唯可解問題的研究 r e s e a r c ho nt h eo n l ys o l u t i o no fm u l t i v a r i a t ei n t e r p o l a t i o np r o b l e m s a b s t r a c t i n t e r p o l a t i o np r o b l e mh a sa l w a y sb e e nap r i o r i t yd i r e c t i o no fc o m p u t a t i o n a l m a t h e m a t i c sm a t h e m a t i c a lc o n t e n t , w h i c hi st h e b a s i s f o rm a n yr e s e a r c ha n d p r o d u c t i o np r o b l e m s ，d u et ot h ed i v e r s el i s to ff u n c t i o n s ，s u r f a c es h a p ed e s i g n a n df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，a n dm a n yo t h e ra r e a so f p r a c t i c ew i l lb ea p p l i e dt oi t , t h e r e f o r e ，i n t e r p o l a t i o nd e p t hs t u d yo ft h ep r o b l e mb e c o m e sv e r yn e c e s s a r y t h r o u g ht h ee f f o r t so fm a n ym a t h e m a t i c a lp r e d e c e s s o r s ，s p e n tal o to ft i m ea n d e f f o r to fad o l l a ro fb a s i ct h e o r ya n dm e t h o do f i n t e r p o l a t i o nh a st of i l lt h eg a p l a t e r ，w ep u te y e i n gt h em u l t i v a r i a t ei n t e r p o l a t i o np r o b l e m , m u l t i p l ep o l y n o m i a l i n t e r p o l a t i o np r o b l e mh a sg r a d u a l l yb e c o m ean e wh o t s p o t ，b e c a u s em u l t i v a r i a t e i n t e r p o l a t i o n i sm o r es u i t a b l ef o rp r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s ，t h i ss t u d y i sa m u l t i - p u r p o s ei n t e r p o l a t i o n a s s o c i a t e do nm u l t i v a r i a t e i n t e r p o l a t i o n i n t e r p o l a t i o nn o d e sf o r t h es o l v a b i l i t yo ft h e s o l eh a v eb e e np u tf o r w a r d h o w e v e r ，t oo n ed o l l a rf r o mt h et h e o r yo fp o l y n o m i a li n t e r p o l a t i o ni sad i r e c t a n a l o g yt ot h em u l t i v a r i a t ec a s ei sd i f f i c u l t ，f r o mo n et oap l u r a l i s t i c ，n o to n l y q u a n t i t a t i v e ，t h e r ea r em a n yt h e o r i e sf o rad o l l a rd o e sn o ta p p l yt ob i n a r y ，a n d t h e r e f o r et h e s t u d yi s n o tp r e t t y e a s y t h r o u g he x p l o r a t i o na n dr e s e a r c h , m u l t i v a r i a t ep o l y n o m i a li n t e r p o l a t i o ni nt h ec o u r s eo ft h es t u d yr e l a t e di s s u e s ，w e a r et h ef i r s tt od i s c u s st h ea n a l y s i so fi n t e r p o l a t i o nn o d e so nt h es e t ，i no t h e r w o r d s ，h o wt o f i n d t h ep o l y n o m i a l s p a c ec a ne x i s t ，a n di s t h eo n l ya n i n t e r p o l a t i o np o l y n o m i a le x i s t s ，y o uc a l lm a k eac o l l e c t i o no ft h e s en o d e sa r e i n t e r p o l a t e di na n yo n eo fy o uh a sb e e ng i v e ni n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n ，1w i l ls t a r t f r o mt h eb e g i n n i n go fm yt h e s i st o p i c t h i sa r t i c l ei sd i v i d e di n t of o u rp a r t s ，t h ef i r s tp a r ti st h ei n t r o d u c t i o n , d e s c r i b e st h ef o c u so fw r i t i n gt e x ta n dw r i t i n gp u r p o s e s ；s e c o n dp a r td e s c r i b e s w h a ti sm u l t i v a r i a t ep o l y n o m i a l s ，a n dr e s e a r c hm e t h o d s ；t h i r dp a r te x p l a i n st h e d e f i n i t i o no fh i g h d i m e n s i o n a li n t e r p o l a t i o na n dr e l a t e ds o m eo ft h eo p e r a t o r ；t h e l a s tp a r ti sm yo w nf i n d i n g s ，m u l t i p l es u b - v i e w sa r eg i v e np r o p e ri n t e r p o l a t i o n s e to fn o d e sd e f i n e db yt h em u l t i p l eg r a d e ds t r u c t u r es u i t a b l es e to fn o d e sf o r i n t e r p o l a t i o nm e t h o d sa n ds oo nr e l a t e di s s u e s i ng e n e r a l ，t h a ti s ，s t a r t i n gf r o mt h ed i r e c t i o no fa l g e b r a i cg e o m e t r y ，f r o m o n ed o l l a rt ot h e y u a ne x p a n s i o n , i n c r e a s e d f r o mo n e d i m e n s i o n a l t w o d i m e n s i o n a l ，m u l t i p l ep o i n t so fv i e w si no r d e rt oa p p l yi n t e r p o l a t i o nu n i q u e s e to fn o d e st ot h et h e o r e t i c a lf o u n d a t i o ni n t e r p o l a t i o n 遼寧師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 k e yw o r d s ：m u l t i v a r i a t ei n t e r p o l a t i o n ；g r a d e di n t e r p o l a t i o n ；s u i t a b l es e to f n o d e s ；p r o p e r l yp o s e d s e t so f n o d e sf o ri n t e r p o l a t i o n 關(guān)于多元分次插值唯一可解問題的研究 目錄 摘要一 a b s t r a c t i v 弓l言l j 】三：；c 3 1 多元多項(xiàng)式插值。3 1 1 多元多項(xiàng)式插值定義。3 1 2 插值方法5 2 高維插值理論及其算子8 2 1 笛卡爾積和網(wǎng)格8 2 2 布爾和9 2 3 張量積。9 2 4 移動(dòng)最t j 、- - 乘法1 1 2 5 多重二次插值1 3 3 關(guān)于多元分次插值唯一可解性問題的研究。1 4 3 1 從高維角度利用代數(shù)幾何方法研究唯一可解性1 4 3 2 主要定理及證明1 5 3 3 定理的例子1 6 總 結(jié)1 7 參考文獻(xiàn)18 致 謝2 0 、 關(guān)于多元分次插值唯一可解問題的研究 引言 插值問題是計(jì)算數(shù)中的基礎(chǔ)內(nèi)容和常識(shí)，從上大學(xué)接觸到計(jì)算數(shù)學(xué)起，我們就學(xué)習(xí) 了插值問題的理論和實(shí)際應(yīng)用，通過幾年的學(xué)習(xí)，我們了解到一元插值問題已經(jīng)研究的 很透徹，各位數(shù)學(xué)家們就開始將重心轉(zhuǎn)向多元插值例如著名的計(jì)算數(shù)學(xué)家，我們的數(shù)學(xué) 前輩梁學(xué)章教授，他認(rèn)為多元高次插值可以在很多領(lǐng)域中得到更廣泛的應(yīng)用，比如多元 函數(shù)列表、有限元法，以及計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)方向等因此，對(duì)于插值問題的深入探 究就顯得很有必要，由其是代數(shù)幾何理論的研究發(fā)展有了顯著的提高，而這些理論又恰 恰是研究多元插值的重要工具，于是從一維到二維，從一次到二次，各位前輩們開始了新 的探究之路梁教授和呂春梅經(jīng)過不懈的努力，已經(jīng)有了不少的成果，有的甚至具有里程 碑意義，我們就從他們的研究成果出發(fā)，來引出本文的實(shí)際意義，并在此加入一些我個(gè)人 的小看法，希望能為高維高次插值問題的研究出一分力 但是前面已經(jīng)提到過，從一次到二次不只是將原來的理論拿過來就用，有很多已經(jīng) 不適合了，因?yàn)閺囊痪S到二維，產(chǎn)生了很多變化尋找多元函數(shù)的光滑插值問題是困難的， 而這個(gè)問題無論是過去還是現(xiàn)在都受到了廣泛的關(guān)注多元問題常常會(huì)出現(xiàn)一些在一元 問題中所沒有的異常特征當(dāng)僅有兩個(gè)變量時(shí)這些特征就已經(jīng)很明顯了因此，只討論二 元問題( 兩個(gè)獨(dú)立變量) 幾乎不失一般性，至少在最初階段是這樣，所以要研究插值結(jié)點(diǎn) 組的唯一性 本章為引言，在這里我們先給出多元多項(xiàng)式插值問題的一般提法，并簡(jiǎn)單的介紹一 下現(xiàn)有的多元多項(xiàng)式插值方法 為了方便討論，我們規(guī)定一些常用的符號(hào)：s 維歐式空間p 上的代數(shù)多項(xiàng)式所構(gòu)成 的空間記為礦，刀蘭。為所有次數(shù)七的s 元代數(shù)多項(xiàng)式所構(gòu)成的空間我們用來表示次 數(shù) k 的s 元代數(shù)多項(xiàng)式所構(gòu)成的集合對(duì)所有q 礦，我們記q ( d ) 表示相應(yīng)的常系數(shù) 微分算子 設(shè)c 3 中的有界閉區(qū)域?yàn)閐 ，d 中設(shè)k 個(gè)互異點(diǎn)是x ，x 。，則露( x ) ，丑( x ) 就是 定義在其上的k 個(gè)線性無關(guān)的s 元實(shí)值代數(shù)多項(xiàng)式設(shè)廠( 朋是定義在d 上的s 元連續(xù)函 數(shù)，則對(duì) 五) 篙，都存在一個(gè)多項(xiàng)式空間q ，那么何謂多元多項(xiàng)式插值問題? 其實(shí) 也就是要找出一個(gè)線性組合式p ( x ) = c l 寫( x ) + g p d x ) + + q p , ( x ) ( 1 ) 使得q ( d ) ( p - f ) ( x ，) = 0 ，v q q ，f = 1 ，七 ( 2 ) 通過上式所求出來的p ( x ) 就叫做函數(shù)f ( x ) 的插值多項(xiàng)式，其中f ( x ) 就被稱為被插 函數(shù)，二者之間的誤差y ( x ) 毫廠( x ) 一p ( x ) 就被稱為插值余項(xiàng) 遼寧師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 其中，我們將條件( 2 ) 所用到的點(diǎn)組 = x ， 髫定義為函數(shù)的插值結(jié)點(diǎn)組，而把 眉( x ) ，p a x ) ，p a x ) 所組成的空間稱為插值空間，記為大寫的字母p 如果對(duì)于任給的連 續(xù)函數(shù)廠( x ) ，上述插值問題的解總是唯一存在，那這就是我們所要討論的插值唯一可解 問題，并且就把剛才定義的結(jié)點(diǎn)組o 稱為空間p 的唯一可解點(diǎn)組 若對(duì)vx ，0 ，相應(yīng)的q ： 是個(gè)常數(shù)空間，我們就說插值問題為l a g r a n g e 插值問題， 這時(shí)上面的條件( 2 ) 變?yōu)閜 ( x ，) = f ( x ，) ，f = 1 ，k ( 3 ) 對(duì)于任何一種插值方法，在實(shí)際實(shí)施過程中，具有像一元多項(xiàng)式插值的牛頓過程那 的算子是有好處的，所以在多元多項(xiàng)式插值問題的提法上以及插值算子上已經(jīng)有了答案 之后，下面要研究的就是如何解決插值的唯一可解性問題，回顧一元多項(xiàng)式的情況，可以 用于任意一個(gè)結(jié)點(diǎn)集合上的插值彳艮自然的，我們對(duì)二元多項(xiàng)式期望也可以用于任意個(gè)結(jié) 點(diǎn)集合上的插值，然而這個(gè)期望不會(huì)實(shí)現(xiàn)，那么顯然，此時(shí)我們最最感興趣的就是如何確 認(rèn)什么樣的點(diǎn)集最適合做多項(xiàng)式空間的適定結(jié)點(diǎn)組 另外就是，我們要從代數(shù)幾何的方向入手，用新的方法來轉(zhuǎn)化插值的唯一可解性問 一2 題，從而改變思維方式，使人們可以應(yīng)用代數(shù)幾何的方法求出刀n 的一系列插值唯一可解 點(diǎn)組 2 關(guān)于多元分次插值唯一可解問題的研究 1 多元多項(xiàng)式插值 正文 1 1 多元多項(xiàng)式插值定義 對(duì)于給定的一個(gè)賦范線性空間y ，和】，的一個(gè)有限線性子空間v ，以及有界泛函的 一個(gè)有限集r = 乞 ，和一個(gè)實(shí)數(shù)集合 q ，去尋找礦中的一個(gè)元素p v ，可以使得 p = q ， q = 1 ，所 ( 1 1 ) 如果對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)集 q ) 關(guān)。，方程( 2 1 ) 總有解，則稱該插值問題是正則 的若無解，則稱該插值問題是奇異的顯然，當(dāng)d i m v = m 時(shí)，插值問題才是正則的 其中q = 廠， q = 1 ，m ( 1 2 ) 又設(shè)= 刪咒 c 知，則在l r 上是一個(gè)對(duì)偶空間礦上的m 維子空間 插值問題的對(duì)偶問題就是： 設(shè)定小廠y ，找到一個(gè)p v ，使得對(duì)任給的f ，都滿足f p = f f 在插值問題的對(duì)偶問題中，最恰當(dāng)?shù)睦泳褪莌 e r m i t e 插值，為了方便敘述，我們作 了以下這些記號(hào) 豸乏z = ( 而，劫) ，z 口d ，歹= ( 五，辦) ，j 名， z 7 = x a j x d 兒1 l = 五+ + 厶 p 妒= 吩z ，i 孵，z 口d ，乃口，代表全次數(shù)，l 的d 個(gè)變?cè)獙?shí)多項(xiàng)式空間，也 就是插值空間礦我們?nèi)〔逯捣汉癁槠珜?dǎo)數(shù)，對(duì)于給定的加個(gè)互不相同的點(diǎn)的集合 ) 纂，和非負(fù)整數(shù)墨，k ，有下式成立 ，a = d 4 廠( ) ，o - 1 口l ， 1 g 所， ( d 42 商為微分算子) d i m p = ( d ：療) ，在毛處，被插值偏導(dǎo)數(shù)的個(gè)數(shù)利用公式( d 三一) 計(jì)算，必須得有下 式成立( d ：冗 = 喜( d ：吒) 3 遼寧師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 一般來說，插值唯一可解性問題分成三類，第一類，對(duì)任何一個(gè)給定的結(jié)點(diǎn)組，插值 問題都是唯一可解的；第二類，對(duì)任何一個(gè)給定的結(jié)點(diǎn)集，插值問題都是唯一可解的； 第三類，對(duì)于任意給定的結(jié)點(diǎn)集，插值問題不確定解 插值適定性問題的研究，同時(shí)也關(guān)系到插值格式的構(gòu)造問題，我們繼續(xù)討論先看下 面的定義： 定義2 1 4 ：設(shè)p ( x ，y ) 是一個(gè)二元非零n 次多項(xiàng)式，則把平面x o y 上所有滿足方程 p ( x ，y ) = 0 的點(diǎn)所構(gòu)成的集合，稱為與p ，y ) 相應(yīng)的，z 次代數(shù)曲線，簡(jiǎn)稱為n 次代數(shù)曲線 p ( x ，y ) 若n 次多項(xiàng)式p ( x ，) ，) 可以分解成兩個(gè)次數(shù)1 的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的乘積，就說多項(xiàng)式 p ( x ，y ) 是可約的，不然則稱其為n 次不可約多項(xiàng)式，即n 次不可約代數(shù)曲線 代數(shù)曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，有以下關(guān)系： 設(shè)兩條代數(shù)曲線只( x ，y ) 與g ( x ，y ) ( 次數(shù)分別為m 次和n 次) ，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)多于 m n ，則一定存在一個(gè)非零多項(xiàng)式q ( x ，y ) ，其次數(shù)m i n m ，刀) ，使得 互( z ，) ，) = q ( x ，y ) 足( x ，y ) 昱( 工，y ) = q ( x ，y ) 恐( x ，y ) 其中墨( x ，y ) ，恐( x ，y ) 為次數(shù)分別小于聊和n 的二元實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式 根據(jù)唯一可解點(diǎn)組的定義可知，當(dāng)乜溜i = k 是p 的唯一可解點(diǎn)組時(shí)等價(jià)于有下式 a = 墨( g 。)昱( g 。) 最( 吼) 毋( g ：) ( 吼) 足( g ：) 墨( 吼) 曼( 吼) 最( 吼) 0 恒成立 而這個(gè)，正是運(yùn)用代數(shù)幾何方法研究的唯一可解點(diǎn)組的大前提有了這個(gè)前提，我 們才能進(jìn)一步做深入研究 再給出拜的唯一可解點(diǎn)組定義：若 吼疙：是露的唯一可解點(diǎn)組，而且它的每個(gè)點(diǎn)都 不在某條，( f - 1 ，2 ) 次不可約代數(shù)曲線q ( x ，) ，) = o 上，則在該曲線上任取的( 玎+ 3 ) z 一1 個(gè)互 異點(diǎn)，與 吼疙：一起一定構(gòu)成九的一個(gè)唯一可解點(diǎn)組 由于平面內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn)，都可做成是瑤的唯一可解點(diǎn)組，因此，就從這個(gè)點(diǎn)出發(fā)，逐 漸增加點(diǎn)，便可以構(gòu)造出p 。的唯一可解點(diǎn)組 那么，什么是插值空間p 。的唯一可解點(diǎn)組呢? 4 關(guān)于多元分次插值唯一可解問題的研究 給出定義：設(shè)乜 等是平面上關(guān)于插值空間p 的唯一可解點(diǎn)組若其上的每一個(gè)點(diǎn) 都不在直線x - - a 上，我們就稱在該直線上任取的刀+ 1 個(gè)互異點(diǎn)與 吼) 箬一定便能構(gòu)成 p 。山的唯一可解點(diǎn)組 至此，關(guān)于唯一可解點(diǎn)組的討論告一段落，下一節(jié)說說插值都有哪些方法 1 2 插值方法 1 、l a g r a n g e 法 這是多項(xiàng)式插值最簡(jiǎn)單的一種方法：設(shè) q 叁。是多項(xiàng)式空間p 的一個(gè)適定結(jié)點(diǎn)組 只要求得三，o ，y ) p ，j = 1 ，2 ，k 使得它滿足 三，( q f ) = 4 ，i ，j = l ，2 ，k 則對(duì)f ( x ，y ) c ( r 2 ) ，都可求得它的插值多項(xiàng)式為： k p ( x ，y ) = f ( q j 嶼( x ，y ) y = l 這種方法就是l a g r a n g e 插值法，其中三，o ，y ) 就被稱為是l a g r a n g e 基本多項(xiàng)式 2 、插商法 除了最簡(jiǎn)單的方法，還有一種叫做插商插值法關(guān)于一元n e w t o n 插商插值公式我們 已經(jīng)很熟悉了，現(xiàn)在把它推廣到二元的情形： 設(shè)廠( x ，y ) c ( r 2 ) e = ( 薯，y j ) lo j - - n t ，o f 研) ，其中x i 兩兩互異，y ，也是兩兩互 異并且有n o 啊1 1 2 為了方便說明，我們有以下符號(hào)規(guī)定： 厶= f ( x o ，毛，x ，；y o ，y i ，咒) a j 乙= ( x x o ) ( x 一五) ( x 一。1 ) 藝= ( y y o ) ( y 一m ) ( 少一咒一。) a 五= k = 1 那顯然，根據(jù)上面的公式可以得出廠( x ，y ) = x , f ( x o9 , * 0 9 ；y ) + 以+ ，f ( x o ，；y ) ， w o 乘i f ( x o ，；y ) = 藝厶+ + 1 f ( x o ，；y ，y o ，) 成立， ，= o 遼寧師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 從而可以得到廠( x ，y ) - 五毛厶+ 吒( 五y ) ， ( 1 3 ) 在這里，p ( x ，y ) = 置咒厶為宣上的插值多項(xiàng)式 ( 1 4 ) 它的插值余項(xiàng)就是 r l o ，y ) = 以+ 。f ( x , x 。，靠；y ) + 五+ ，f ( x o ，扎；少，y o ，y ) ( 1 5 ) 此時(shí)與插值多項(xiàng)式空間p = 氣置藝 所對(duì)應(yīng)，根據(jù)一元n e w t o n 插商插值公式， 我們便可以很輕松地證出p ( x ，y ) 滿足等式： p ( 鼉，y j ) = 廠( ，y s ) ，0 歹珥，0 i m 又因?yàn)榈腿缈c) ：掣， 我們又計(jì)算出余項(xiàng)( 1 3 ) 的一個(gè)估計(jì)式，即 他加麗x 叫”+ 1 ：f 1 0 k ；力+ 姜廣州1 ) ( 鋤) ( 1 6 ) 在這里，因?yàn)閚 ，的取值不同，我們得分成兩種情況討論： ( 1 ) 當(dāng)= m - v ，v = o 1 ，所時(shí)，f ( x ，y ) - - 置藝厶+ r 2 ( 1 7 ) ( 2 ) 當(dāng)= ，l 時(shí)，f ( x ，少) = 五藝厶+ r 3 ( 1 8 ) 這就是插商插值方法 3 迭加法 首先，我們要在o x y 平面上做任意n + 1 條不同的直線 l a x ，y ) = x c o s + y s i n o j 一肛，i = o ，1 ，n 然后再在各條直線上分別取萬一i + 1 個(gè)不同的點(diǎn)( ，硝) ，( 墨n ，硝o ) ，( 啦，y ( o 圳x 要 求這些點(diǎn)均不在直線乇，一。上，根據(jù)前面的知識(shí)，這寺仰+ 1 ) ( ，z + 2 ) 個(gè)點(diǎn)便可以構(gòu)成直 線型結(jié)點(diǎn)組互。 那么何為迭加法呢? 給出定義： 6 關(guān)于多元分次插值唯一可解問題的研究 我們?cè)O(shè)廠( 而y ) c ( r 2 ) 是被插函數(shù)，先令l ( x ，夕) = 廠( x ，力， t = x s i n o , 一y c o s 諺，i = 0 1 ，n ：巧d = 矽s i l o , 一哆c o s o ，j = o ，1 ，棚一i 。 又有見( x ，y ) = c o ( t o ) + c 1 ( ) l a x ，y ) + c 2 ( t ) l o ( x ，y ) i i ( x ，力 月i - i + + c n ( t ) t a x ，y ) l l ( x ，y ) 。厶一lx ，) ，) = q ( f 0 兀0 ( x ，y ) ( 1 9 ) 現(xiàn)在可以利用直線乇，厶上的插值條件來確定出上式的c o ( f o ) ，c 1 ( t o ) ) ，巳( f “) ， 確定公式為： 厶( x ，y ) = f ( x ，y ) p 丟n - i 刪柳編i ，卸v ，坼， 肭= 學(xué) q ( f ) ：n n - i ( f t ( j i ) ， i = 0 ，1 ，2 ，n 然后再根據(jù)厶一c o 寸石專c l 專_ z qj n ( x ，y ) 的順序，一個(gè)一個(gè)迭加起來 計(jì)算，顯然有p a x ，y ) e p 。成立 7 遼寧師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 2 高維插值理論及其算子 2 1 笛卡爾積和網(wǎng)格 剛才所描述的插值問題有時(shí)可以用一元插值值的張量積來求解我們首先來處理這 種情況，結(jié)點(diǎn)集記為n ，它是笛卡爾積 n = 扛，工：，吒 鈔。，y ：，y 。) 因此，n 是所有數(shù)對(duì)( _ ，y ，) 的集合，其中薯選自第一個(gè)集合，咒選自第二個(gè)集合換 士由 口， 一， n = ( x j ，y f ) ：1 f p ，l j q ) ( 2 ) 可以看出對(duì)這種情況，( 2 ) 式的記號(hào)要比( 1 ) 式的記號(hào)更方便些結(jié)點(diǎn)的這種陣列通 常稱為笛卡爾網(wǎng)格為方便起見，我們給x 點(diǎn)從左往右編號(hào)，給y 點(diǎn)從下往上編號(hào)，當(dāng)然這 并不是必要的 假設(shè)我們有一個(gè)結(jié)點(diǎn)而，z ：，x 口的線性插值格式它將是一個(gè)一元過程我們要把 它作下列形式的一個(gè)線性算子p ( 聊( x ) = 廠( t ) “，( x ) 其中函數(shù)u ，( 功具有基性質(zhì) “，( _ ) 2 ( 1 f p ) 例如，在常規(guī)的多項(xiàng)式插值中，函數(shù)吩是由一個(gè)熟悉的公式給出的： 姒加罌p 再x - - x j 卻) 注意到算子p 可被平凡地推廣使其作用在兩個(gè)或者更多變量的函數(shù)上，因此，如果， 是( x ，y ) 的一個(gè)函數(shù)，我們可以寫出 ( 勁( 功= 藝廠( 五) “，( x ) 并立即可以看出是在下列垂直線上插值廠的一個(gè)二元函數(shù) 8 關(guān)于多元分次插值唯一可解問題的研究 2 2 布爾和 可利用p - - 和q 構(gòu)造兩個(gè)有用的二元插值算子：它們是積尸q 和下面定義的布爾和 p o o ， p o q = p + q p q 根據(jù)聊q 的定義，很容易推導(dǎo)出這些算子的詳細(xì)公式，例如 ( 砌( x ，y ) = ( 酊) ( x ，y ) = 藝( 酊) ( ，y ) u i ( 曲 f = i = 廠( t ，y ，) v ，( y ) u i ( x ) i = 1 i = 1 因?yàn)関 ， 。) “，( 薯) = 萬肚磊，我們不難看出p q 廠是在所有結(jié)點(diǎn)( 五，咒) 上插值f 的函數(shù) 對(duì)算子艘也使用張量積的符號(hào)p q a 以同樣的方式可導(dǎo)出p o q 的公式是 【( 尸oq ) 廠】( x ，夕) = ( p f ) ( x ，y ) + ( q ，) ( x ，y ) 一( p q f ) ( x ，y ) = 藝廠( 一，y ) u i ( x ) + 廠( x ，y ，) _ ( y ) l - - i 盧l 一廠( 鼉，y ：) u i o ) o ) i = 1 = l 2 3 張量積 我們用二維子空間進(jìn)行插值，這個(gè)子空間特有的記號(hào)是，它是兩個(gè)線性空間的張量 積，可由所有如下形式的函數(shù)組成： ( x ，y ) h 口，( 工) 包 ) i - - i 其中a ，1 7 。及包1 i ：( 和式可以有任意多項(xiàng)數(shù)) 不難證明式中的函數(shù)構(gòu)成這個(gè)空 間的一組基。 要強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn)是剛才概述的理論可應(yīng)用于一般的函數(shù)u i 和1 ，而并不僅僅只應(yīng)用于 多項(xiàng)式它們所需要的只是基性質(zhì) 在多項(xiàng)式插值的張量積方法中，一般情況將涉及空間h p qp n g 一中的二元多項(xiàng)式， 其中p 和q 是式中所標(biāo)出的點(diǎn)的個(gè)數(shù)該空間的一組基由下列函數(shù)給出 9 遼寧師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 ( x ，y ) hx y ( 0 f p 一1 ，0 ，g 1 ) 因而空間中一般元的形式是 p - io - 1 ( x ，y ) h 勺工y 7 i = oj = o 項(xiàng)工7 y 的次數(shù)定義為i + j 從而，空間h 川0 1 7 一中將含有一個(gè)次數(shù)為p + q - 2 的基 元素，即x p - 1 y p l 但是它不包含所有p + q 一2 次的項(xiàng)，例如，不會(huì)出現(xiàn)x p y q - 2 項(xiàng)一個(gè)( x ，y ) 的多項(xiàng)式的次數(shù)定義為多項(xiàng)式中各項(xiàng)次數(shù)的最大值所有次數(shù)至多是k 次的二元多項(xiàng)式 空間記為n ，俾2 ) ，n ，( r 2 ) 中典型元素是如下形式的函數(shù) kk - i ( 工，y ) h c 驢x y ，= c 5 x y ， 定理1 ( 二元多項(xiàng)式的基函數(shù)定理) ，似2 ) 的一組基是函數(shù)集合 ( x ，y ) 卜爭(zhēng)x y j( 0 f + j k ) 證明：顯然這集合生成n ，僻2 ) ，只需要證明它的線性無關(guān)性即可因此，假設(shè)式中函 數(shù)是0 ，如果y 取定一個(gè)固定值，例如y = y 。，那么等式 kk - 1 ( 勺y o ) x = o i - - o j - - o 顯示出函數(shù)x h x 之間明顯的線性關(guān)系因?yàn)檫@組函數(shù)線性無關(guān)，所以我們得到 ( 0 i 七) 在上面等式中，y o 可以取任意一點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)組 yhy ( 0 j k ) 的線性無關(guān)性，我們推斷出對(duì)所有f 和，有勺= 0 推論1 ( 二元多項(xiàng)式推論) i - i , ( r 2 ) 的維數(shù)是三( 七+ 1 ) ( 七+ 2 ) 證明：定理1 中給出的n ，僻2 ) 的基元素可排列如下圖所示， 顯然，基元素的個(gè)數(shù)是 1 + 2 + 3 + + ( 七+ 1 ) = 圭( 后+ 1 ) ( 七十2 ) 1 0 0 = f o y 擴(kuò) c “腳 關(guān)于多元分次插值唯一可解問題的研究 x 七 x t l x 七一2 x o x o y x o y 七 回顧一元多項(xiàng)式的情況，n ，可以用于r 中任意n + 1 個(gè)結(jié)點(diǎn)集合上的插值很自然地， 我們對(duì)二元多項(xiàng)式期望n ，( 尺2 ) 也可以用于任意甩= 妻( 七+ 1 ) ( 七+ 2 ) 個(gè)結(jié)點(diǎn)集合上的插值 然后，這個(gè)期望不會(huì)實(shí)現(xiàn)，一個(gè)簡(jiǎn)單的例子將說明這一點(diǎn)假設(shè)k ：l ，這樣n ：3 ，俾2 ) 中 的基元素具有形式 c o + c l x + c 2 y 假如我們要求解三個(gè)結(jié)點(diǎn)( t ，y ，) 上的插值問題，那么我們就要求解一個(gè)線性方程組， 它的系數(shù)行列式是 1 1 x ly 1i l - x 2y ：l 1 1 而乃l 這個(gè)行列式表示頂點(diǎn)是給定結(jié)點(diǎn)的三角形面積的兩倍，所以當(dāng)這些結(jié)點(diǎn)共線時(shí)，行 列式是為0 的，因此這種情況的插值問題( 一般而言) 是不能解的 2 4 移動(dòng)最小二乘法 另一個(gè)光滑并且插值多元函數(shù)的通用方法稱為移動(dòng)最t j 、- - 乘法首先，我們?cè)谝话?情況下闡明這種方法，然后給出一些特例 我們從一個(gè)集合x 開始，它是所涉及函數(shù)的定義域例如，x 可以是r ，r 2 或者它們 的子集其次，給定一組結(jié)點(diǎn) x 1x ：，x 。) 某個(gè)函數(shù)廠在這些點(diǎn)上采樣這樣，對(duì) 1 i n 函數(shù)值f ( x i ) 己知為了進(jìn)行逼近，我們選取一組函數(shù)u 。，n 2 c 。，它們是定義在 x 上的實(shí)值函數(shù)相對(duì)于1 1 ，數(shù)m 通常非常小 遼寧師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 在熟知的最小二乘法中，給出了一組非負(fù)權(quán)嵋0 ，我們?cè)噲D找到系數(shù)c ，c 2 ，c 。， 極小化表達(dá)式 nm 2 【廠( _ ) 一c ，“，( x ，) 】w f i = l ，= l 這是殘差的平方和如果我們記 - f ( x ，) g ( t ) 嵋= 基。為關(guān)于多項(xiàng)式 空間礙2 的一個(gè)插值適定結(jié)點(diǎn)組 我們用曩2 來表示所有次數(shù)不超過，l 的二元多項(xiàng)式空間，用磁碧表示所有關(guān)于x 次數(shù) 不超過m ，關(guān)于y 次數(shù)不超過以的二元多項(xiàng)式空間 引理3 1 ( 貝祖定理) 若m 次代數(shù)曲線a ，y ) 和砣次代數(shù)曲線p 2 ( x ，y ) 交點(diǎn)個(gè)數(shù)多于 m n ，則一定有次數(shù)既不超過m 也不超過n 的非零多項(xiàng)式g 似少) 存在，使得 p l ( x ，y ) = q ( x ，y ) ，i ( x ，) ，) ；p 2 ( x ，y ) = q ( x ，y ) r 2 ( x ，y ) ， 式中，i ( x ，y ) ，吃( x ，y ) 分別為次數(shù)小于m 和n 的二元實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式 引理3 2 若彳= q ： ，k 司是耳2 的一個(gè)插值適定結(jié)點(diǎn)組，并且么沒有任何點(diǎn)位于一個(gè)k 次不可約代數(shù)曲線q ( x ，y ) = 0 上，則在曲線q ( x ，力= o 上任取0 + 3 ) k - 1 個(gè)點(diǎn)與 a = q ) 島一起必定構(gòu)成關(guān)于礎(chǔ)的一個(gè)插值適定結(jié)點(diǎn)組 引理3 3 ( c h u n g 和y a 0 定理) 給定k 和也取咒：f 塵蘭1 ，并且給定r d 中n 個(gè)結(jié)點(diǎn) i f , z l ，z 2 ，z n 若存在r d 中的超平面，其中1 f 刀和1 _ ，七，使得 k z ，u 五0 今_ ，f ( 1 f ，玎) v = - i 則可用。( r d ) 中的多項(xiàng)式插值這個(gè)結(jié)點(diǎn)集上的任意數(shù)據(jù) 定理3 1r 2 中k 個(gè)相異點(diǎn)a = q ) ：。能夠做成卑2 中的一個(gè)刀次插值適定結(jié)點(diǎn)組的 充要條件是a = q ) ：不落在礙2 中任何一條代數(shù)曲線上 該定理中，當(dāng)取k = l 時(shí)，稱之為構(gòu)造z 2 中插值適定結(jié)點(diǎn)組添加直線法；當(dāng)取k = 2 時(shí)，稱之為構(gòu)造曩2 ) 中插值適定結(jié)點(diǎn)組添加圓錐曲線法。 1 4 關(guān)于多元分次插值唯一可解問題的研究 定義3 2 設(shè)彳= q 烏是r 2 中的j i 個(gè)相異點(diǎn)，對(duì)于一個(gè)任意給定的實(shí)數(shù)組 彳，筆。， 尋找一個(gè)多項(xiàng)式p ( x ，y ) 磁竺，使之滿足如下插值條件 p ( q ) = z i = 1 ，2 ，k ( 3 2 ) 如果對(duì)于每一個(gè)任意給定的實(shí)數(shù)組 z ；k a ，方程組( 1 ) 總存在唯一的一組解，則稱 該插值問題是適定插值問題，并稱相應(yīng)的插值結(jié)點(diǎn)組么= q ) 毛為關(guān)于多項(xiàng)式空間曩2 的 一個(gè)插值適定結(jié)點(diǎn)組 由定理3 1 知在r 2 中關(guān)于分次多項(xiàng)式空間最2 進(jìn)行插值時(shí)，插值結(jié)點(diǎn)組一定不能位 于同一個(gè)代數(shù)上，否則將會(huì)導(dǎo)致插值問題的不適定，但實(shí)際問題中，常常要考慮分次插 值結(jié)點(diǎn)組位于同一代數(shù)曲線上的情況由此，本文給出如下沿代數(shù)曲線分次插值的定義。 定義3 2 設(shè)m ，z ，t 均為自然數(shù)，取代數(shù)曲線為y = ，定義 厶。o ) = m + f ( 珂+ 2 ) + 1 ( 3 3 ) 設(shè)召= q ) 等o 為曲線y = 上的農(nóng)。( f ) 個(gè)相異點(diǎn)，對(duì)于任給的實(shí)數(shù)組