數(shù)值積分的牛頓——科茨求積.doc

數(shù)值積分的牛頓科茨求積摘要：在實(shí)際生活中我們常遇到數(shù)值積分的求積問(wèn)題，雖然我們也學(xué)過(guò)求數(shù)值積分的一些方法，但是由于用插值多項(xiàng)式近似表達(dá)函數(shù)f(x)時(shí)存在截?cái)嗾`差，即有插值余項(xiàng)，因此插值型求積公式也有相應(yīng)的余項(xiàng)。存在求函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的定積分以及在給定點(diǎn)上的值的數(shù)值方法，為了克服求的原函數(shù)可能遇到的困難和便于計(jì)算，我們利用牛頓科茨來(lái)計(jì)算。 其中還推導(dǎo)它的兩種特殊形式梯形求積公式和辛普森求積公式，并對(duì)這三種求積公式（梯形公式、辛普森公式和柯茨公式）進(jìn)行了分析和比較。現(xiàn)在要對(duì)數(shù)值積分進(jìn)行求積需要運(yùn)用matlab對(duì)梯形求積公式、辛普森求積公式和牛頓柯茨公式進(jìn)行編程實(shí)現(xiàn)，程序簡(jiǎn)潔、直觀、求解速度快并且方法實(shí)用性強(qiáng)。關(guān)鍵字：插值積分、梯形求積公式、辛普森求積公式、牛頓科茨公式1、 梯形求積公式梯形求積公式即使當(dāng)n=1時(shí)，過(guò)a,b兩點(diǎn)，做直線(xiàn)： 用代替，得用梯形面積近似替代曲面梯形的面積，所以（1）式叫做梯形求積公式。2、 辛普森求積公式辛普森求積公式即是當(dāng)n=2時(shí)，把區(qū)間2等分即是過(guò)a、b和 三點(diǎn)，做拋物線(xiàn)： 用代替，則可求得 式（2）就叫做辛普森（Simpson）公式。從幾何意義上來(lái)看，因?yàn)樾疗丈绞怯脪佄锞€(xiàn)圍成的曲邊梯形來(lái)近似代替所圍成的曲邊梯形面積，所以辛普森公式也叫做拋物線(xiàn)求積公式。3、 牛頓-科次（Newton-Cotes）公式牛頓-科次（Newton-Cotes）公式即把區(qū)間a,bn等分，其分點(diǎn)為，過(guò)這n+1節(jié)點(diǎn)，可以構(gòu)造一個(gè)n次差值多項(xiàng)式： 其中，用代替被積函數(shù)則有 公式（3）叫做牛頓-科次（Newton-Cotes）公式，使用牛頓-科次（Newton-Cotes）公式的關(guān)鍵是計(jì)算系數(shù)，用變量替換，于是 這時(shí)是依賴(lài)于函數(shù)和區(qū)間a,b的常數(shù)，可以事先計(jì)算出來(lái)，叫做牛頓-科茨系數(shù)。利用式（3）和式（5）得到牛頓-科次系數(shù)后，便可以寫(xiě)出相應(yīng)的牛頓-科次公式。當(dāng)n=1時(shí)，牛頓-科次公式為 即之前討論過(guò)的梯形求積公式，當(dāng)n=2時(shí)，牛頓-科次公式為 即辛普森公式。所以我們可以看出梯形求積公式和辛普森求積公式是牛頓-科次公式的特例。當(dāng)n=4時(shí)，牛頓-科次公式為 其中xi=a+k*h(k=0,1,2,3,4)、，式（8）也稱(chēng)為科次公式。例1 試分別用梯形求積公式、辛普森求積公式和科次求積公式計(jì)算定積分。并用Mat lab編寫(xiě)程序，求解積分要求給出實(shí)驗(yàn)結(jié)果。解：由梯形求積公式可得 由辛普森求積公式得到 利用科次求積公式，由n=4可得到x0=0，x1=0.2500，x2=0.5000，x3=0.7500，x4=1.0000則 原積分的準(zhǔn)確值為3.1421，可見(jiàn)三個(gè)求積公式得到的數(shù)值解與準(zhǔn)確值之間的誤差是逐漸減少的。 用Mat lab編寫(xiě)程序如下：disp(已知 y=4/(1+x.2), )disp( 用辛甫生公式、梯形公式和柯次公式分別求積分值PI=int(y,x,0,1)%辛甫生公式 f(x)在a,b上的積分為：(b-a)/6*( f(a)+f(b)+4*f( (a+b)/2) );%梯形公式 f(x)在a,b上的積分為：(b-a)/2*( f(a)+f(b) );%柯次公式 f(x) 在a,b上的積分為：(b-a)/90*7*f(x0)+32*f(x1)+12*f(x2)+32*f(x3)+ 7*f(x4) fprintf(n方法一： 辛甫生公式計(jì)算n)b=1;a=0;x0=0;x1=0.2500;x2=0.5000;x3=0.7500;x4=1.0000;PI=(b-a)/6*( f(a)+f(b)+4*f( (a+b)/2) )fprintf(n方法二： 梯形公式計(jì)算n)PI=(b-a)/2*( f(a)+f(b) )fprintf(n方法三： 柯次公式計(jì)算n)PI=(b-a)/90*7*f(x0)+32*f(x1)+12*f(x2)+32*f(x3)+ 7*f(x4) 對(duì)應(yīng)程序：（保存為文件名f.m文件）function y=f(x)y=4/(1+x.2);實(shí)驗(yàn)結(jié)果：方法一： 辛普森公式計(jì)算PI = 31333方法二： 梯形公式計(jì)算PI = 3方法三： 柯次公式計(jì)算PI = 3.1421三種求積公式的精度和誤差分析：由例1可以看出，梯形求積公式、辛普森求積公式、科次求積公式的誤差是遞減的，也就是說(shuō)，這三種基本求積公式的代數(shù)精度是逐漸提高的。代數(shù)精度是衡量數(shù)值積分公式近似程度的另一種方法，定義如下：定義1 對(duì)于一個(gè)一般的求積公式： 其中是不依賴(lài)于函數(shù)的常數(shù)，若求積公式（9）中的為任意一個(gè)次數(shù)不高于m次的多項(xiàng)式時(shí)，等號(hào)成立。而為m+1次多項(xiàng)式時(shí)，公式（9）不能精確成立，則說(shuō)求積公式（9）具有m次代數(shù)精度（或代數(shù)精度）。（1）梯形求積公式具有1次代數(shù)精度，誤差分析如下： （2）辛普森求積公式具有3次代數(shù)精確度，誤差分析如下：（3）柯茨求積公式 其中，若是n次插值多項(xiàng)式，則，因此，所以牛頓-柯茨求積公式的代數(shù)精確度至少是n。特別是當(dāng)n=4時(shí)，柯茨求積公式（9）具有5次代數(shù)精確度。定理 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，牛頓-柯茨公式的代數(shù)精確度可達(dá)到n+1。從以上定理可知，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，精度可達(dá)到n+1；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，精度可達(dá)到n。所以從這個(gè)定理可以看出，當(dāng)n=2時(shí)，辛普森公式的代數(shù)精確度有三次。假設(shè)（為等分點(diǎn)）的舍入誤差為，則牛頓=柯茨公式的誤差為當(dāng)時(shí)，有，從而有此時(shí)的值足夠精確，所以對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響不大，因此牛頓-柯茨公式（4）是數(shù)值穩(wěn)定的。當(dāng)時(shí)，的值有正有負(fù)，則隨n的增大而增大，這樣就會(huì)引起計(jì)算結(jié)果的誤差增大，所以牛頓-柯茨公式（4）是不穩(wěn)定的。因此，在實(shí)際計(jì)算中很少采用的牛頓-柯茨公式。4、分析結(jié)論數(shù)值積分是利用函數(shù)在一些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值推算導(dǎo)數(shù)或積分近視值的方法，在實(shí)際應(yīng)用中非常需要。對(duì)于數(shù)值積分，各個(gè)公式使用的效果如何，不但與公式本身有關(guān)，而且還與被積積函數(shù)的性態(tài)及對(duì)計(jì)算結(jié)果精度的要求有關(guān)。單從計(jì)算結(jié)果就可以得出這樣的結(jié)論：梯形公式?jīng)]有辛甫生公式的精度高；它的相對(duì)誤差大一些。而相三種求積公式來(lái)說(shuō)牛頓-柯茨公式的精度是最高；它的相對(duì)誤差要小一些。我們可以看出低階牛頓-柯茨公式計(jì)算簡(jiǎn)單、使用方便、計(jì)算結(jié)果的精度較高，相對(duì)誤差?。挥忠?yàn)樘菪吻蠓e公式和辛普森求積公式是牛頓-科次公式的特例；所以低階牛頓-柯茨公式被人們廣泛的利用。而高階牛頓-柯茨公式不但計(jì)算復(fù)雜，而且穩(wěn)定性又差，因此很少被人使用。那么在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)于不同的工程函數(shù)問(wèn)題我們應(yīng)該慎重選擇不同的求積公式，那樣能夠使你的計(jì)算簡(jiǎn)單、使用方便、結(jié)果準(zhǔn)確。在這里我極力的像大家推薦低階牛頓-柯茨公式。因?yàn)樗倪m用性比較強(qiáng)，精度高，誤差小，結(jié)果準(zhǔn)確；并且利于計(jì)算機(jī)編程。參考文獻(xiàn)（1）數(shù)值軟件的研究和開(kāi)發(fā)，施吉林，胡德焜等編著，復(fù)旦大學(xué)出版社，1992（2）數(shù)值方法引論，第二版，徐萃薇，孫繩武編著，高等教育出版社，2002（3）數(shù)值分析及其應(yīng)用，齊志昌，長(zhǎng)沙：國(guó)防科技大學(xué)出版社，1987（4) 數(shù)值計(jì)算方法，薛蓮編著，北京：電子工業(yè)出版社，2