（基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)論文）一個算子的全純性及其在萬有teichmüller空間中的應(yīng)用.pdf

一個算子的全純性及其在萬有t e i c h r n f i l l e r 空間中的應(yīng)用 摘要 摘要 在本文中 我們主要討論了兩類全純函數(shù)空間之間的一個算子的全純性及其在萬 有t e i c h m i i l l e r 空間中的應(yīng)用 關(guān)鍵詞 全純函數(shù) 全純算子 萬有t e i c h m i i l l e r 空間 作者 王敏 指導(dǎo)老師 沈玉良教授 一個算子的全純性及其在萬有t e i c h m i i l l e r 空間中的應(yīng)用 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i sp a p e rd e a l sm a i n l yw i t ht h eh o l o m o r p h yo fa no p e r a t o rb e t w e e nt w oh o l o m o r p h i cf u n c t i o ns p a c e sa n di t sa p p l i c a t i o nt ou n i v e r s a lt e i c h m i i l l e rs p a c e k e y w o r d s h o l o m o r p h i cf u n c t i o n h o l o m o r p h i co p e r a t o r u n i v e r s a lt e i c h m i i l l e rs p a c e i i w r i t t e nb yw a n gm i n s u p e r v i s e db yp r o f s h e ny u l i a n g 蘇州大學(xué)學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明及使用授權(quán)聲明 學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明 所提交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下 獨(dú)立進(jìn)行研究工作所 取得的成果 除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外 本論文不含其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或 撰寫過的研究成果 也不含為獲得蘇州大學(xué)或其它教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位證書而使用過的材 料 對本文的研究作出重要貢獻(xiàn)的個人和集體 均已在文中以明確方式標(biāo)明 本人承 擔(dān)本聲明的法律責(zé)任 研究生簽名 王么日期 a 盟左 壘絲 學(xué)位論文使用授權(quán)聲明 蘇州大學(xué) 中國科學(xué)技術(shù)信息研究所 國家圖書館 清華大學(xué)論文合作部 中國 社科院文獻(xiàn)信息情報中心有權(quán)保留本人所送交學(xué)位論文的復(fù)印件和電子文檔 可以采 用影印 縮印或其他復(fù)制手段保存論文 本人電子文檔的內(nèi)容和紙質(zhì)論文的內(nèi)容相一 致 除在保密期內(nèi)的保密論文外 允許論文被查閱和借閱 可以公布 包括刊登 論 文的全部或部分內(nèi)容 論文的公布 包括刊登 授權(quán)蘇州大學(xué)學(xué)位辦辦理 研究生簽名 王絲日期 a 避 壘絲 導(dǎo)師簽名 一個算子的全純性及其在萬有t e i c h m i l l e r 空間中的應(yīng)用引言 引言 現(xiàn)代t e i c h m f i l l e r 空間的研究起始于二十世紀(jì)三十年代t e i c h m i i l l e r 對極值擬共形 映射的研究 并給出p d e m a n n 曲面模問題的一個完整解答 從二十世紀(jì)五十年代起 在a h l f o r s 和b e r s 的影響下 t e i c h m f i l l e r 空間被廣泛的進(jìn)行了研究 很快成為單復(fù)變 函數(shù)論中 個十分活躍的分支 t e i c h m 6 1 1 e r 空間的研究不僅影響到經(jīng)典函數(shù)論中其它 許多問題的研究 如k l e i n 群和單值化問題 而且與其它數(shù)學(xué)分支有著密切的聯(lián)系 包括t h u r s t o n 在三維流形的幾何和拓?fù)渲械难芯?見 t h s u l l i v a n 與m c m u u e n 在復(fù) 動力系統(tǒng)中的研究 見 m s s u l s u 2 t r o m b a 與w o l f 見 f r x f t 2 q 在微分幾 何中的研究等 t e i c h m f i l l e r 理論在理論物理的超弦理論中同樣有著重要的應(yīng)用 a h l f o r s 和b e t s 最初對t e i c h m f i l l e r 的工作進(jìn)行了重新的詮釋 并證明了經(jīng)典的t e i c h m f i u e r 空間是一個復(fù)流形 隨后b e r s 將經(jīng)典的t e i c h m i l l e r 空間推廣到一般的r i e m s j l n 曲面上 萬有t e i c h m i i l l e r 空間作為最大的t e i c h m f i l l e r 空間 它包含了所有r i e m a n n 曲面的t e i e h m i i l l e r 空間 有限維t e i c h m i i l l e r 空間具有很多很好的性質(zhì) 但無限維 t e i c h m i i l l e r 空間在許多方面具有與有限維t e i c h m f i l l e r 空間完全不同的性質(zhì) 見 e l 為了更好地研究復(fù)雜的無限維t e i c h m f i l l e r 空間 特別是萬有t e i c h m i i l l e r 空間 一個 有效的方法是研究它們的子空間 b e c k e r p o m m e r e n k e b p 和g a r d i n e r s u l l i v a n g s 先后研究了由對稱函數(shù)所組成的小t e i c h m f i l l e r 空間 a s t a l l 扣z i n s m e i s t e r a z j 則研究 了b m o t e i c h m f i l l e r 空間 近年來 萬有t e i c h m i i l l e r 空間上w e i l p e t t e r s o n 度量的存在 空間得到了深入的研究 見f c u t t 作為該空間的推廣 郭輝 g u j 引進(jìn)并研究了 萬有t e i c h m f i u e r 空間的另一類子空間 可積t e i c h m i i l l e r 空間 在本文中 我們將對可積t e i c h m i i u e r 空間進(jìn)行進(jìn)一步的研究 我們首先討論了兩 類全純函數(shù)空間之間 個算子的全純性 該結(jié)果有其獨(dú)立的意義 然后利用該算子的 一些性質(zhì)來研究可積t e i c h m i i l l e r 空間 一個算子的全純性及其在萬有t e i c h m f i l l e r 空間中的應(yīng)用 一一個算子的全純性 第一節(jié)一個算子的全純性 本節(jié)我們主要討論兩個全純函數(shù)空間之i 司的一個算子的全純性 我們始終假設(shè) d 是擴(kuò)充復(fù)平面侖上的一個單連通區(qū)域 共形等價于單位圓盤a z 1 記 p d w l d w i 是d 上的p o i n c a r e 度量 即 p g f 剮帥 i 南 其中 是 到d 的任一共形映射 我們將討論如下一些函數(shù)空間 定義1 對于l p o o 定義 b p d 妒i 灘 上全純 i i 訓(xùn) d 上m z p 孝計2 z 出曲 o o z x i y 另外 記 玩 d 妒i 灘d 上全純 m l 氏 d s u pk o z l p d 2 石 o d b o d 妒i 妒 b d 妒 z p 孑 z 一o z o d 定義2 對于1 p o o 定義 a v d l j p l 灘 上全純川洲二p d 一 五m 圳p 諺 2 z d z d y o o z z 匆 另外 記 a d 妒i 灘d 上全純 m i d s u pi 妒 z i 歷1 名 o o z d a o d 妒l 妒 a o o d 妒 名 廟1 一o z o d 固定z o d 記 a 妒i 難 上全純 i i 妒i i a i 妒 z o l 上i z l d x d y 一個算子的全純性及其在萬有t e i c h m f i l l e r 空間中的應(yīng)用一 個算子的全純性 在本節(jié)中 我們將證明如下結(jié)果 當(dāng)p 0 0 時 定理已由t e o t e 證明 定理1 對于1 p c o t 妒 一 妒2 錦 d 一易 d 是一個全純映射 為了以下討論方便 我們首先需要知道上述各類空間與區(qū)域d 之間的關(guān)系 為 此 假設(shè)d 1 和d 2 是侖上共形等價于單位圓盤 的單連通區(qū)域 即存在共形映射 d 1 d o 于是f 誘導(dǎo)了映射r 7 妒 名 9 0 f z f 他 2 我們來說明丁是島 d 2 到 昂 d 1 1 p o o b o o d 2 到b o o d b o d 2 到b o d 的等距同構(gòu) 事實(shí)上 對于d 2 上的任意全純函數(shù)妒 注意到p d z l 怡 i p d z 名 d l 我 們有 l 懈 憾n 2 p 2 z 厶 i 蚶 州2 i p p d l 2 p 2 z d x d y 廠上 i 妒 砌h 八圳2 p 肋 2 p 2 硼i z i 2 p 2 出由 l 妒 名 i p p 2 p 2 z i 7 z 1 2 出匆 上 i 妒 叫 i p 五y 2 t t 砒咖 這說明下是島 d 2 到b p d 1 1 p o o 的等距同構(gòu) 另外 由于 1 7 妒 名 i p 磊 z l 妒 z 名 2i p 責(zé) z i 妒 z i l p 爰 z 因而丁是b d 2 到b o o d 1 b o d 2 到b o d a 的等距同構(gòu) 類似地 共形映射 d i d 2 也誘導(dǎo)了如 d 2 到a v d 1 1 p o a d 2 到a o d 1 a o d 2 到a o d 1 的等距同構(gòu)7 7 r 妒 z 妒 z 7 z 現(xiàn)在我們開始證明定理1 我們需要若干引理 引理1 z h 假設(shè)妒在d 上全純 1 p o 則妒 a v d 當(dāng)且僅當(dāng) 昂 d 引理2 對l p 口 o o 有島 d b q d b o d 瓦 d 證明利用同構(gòu)丁 只需證明d a 的情形 設(shè)n z r 表示以z 為圓心 r 為半徑的 個算子的全純性及其在萬有t e i c h m i i l l e r 空間中的應(yīng)用 一一個算子的全純性 開圓盤 取妒 昂 當(dāng)z a 時 i v c p 1 一i e l 2 2 p 2 磁妣 時 有 當(dāng)i z l 1 一時 從而 即妒 s o a 六 刪 1 2 i 刪p 1 邛1 2 2 p 2 避咖 k 1 枷 2 i 刪p 1 一i c l 2 妒2 武咖 鑫 i 卜m 2 p 么 n o 例瑚 i 刪p 1 一i e l 2 獷2 武咖訓(xùn) 妒 名 1 一l z i 2 2 0 4 一個算子的全純性及其在萬有t e i c h m f i l l e r 空間中的應(yīng)用 一 一一個算子的全純性 由妒 b 知存在m 0 使得對w 有l(wèi) 妒 口 p 1 一k 1 2 2 口呻 m 于是 i 妒 c l q 1 一胛 2 伸 砌 j0 妒 鐘 1 一i 1 2 印 i 妒 l q p 1 一i e l 2 2 帥 必咖 jj m f 妒 i p 1 一i c l 2 2 p 一2 d 亭d 7 故妒 b q 這樣 我們證明了島 sb q b o a b 因而引理2 成立 利用同構(gòu) r 1 說明 i i v l l b c d 期岫d 2 引理3 對1 p g o o 有4 d a 口 d 互a o d a d 證明當(dāng)1 p g o o 時 同樣利用同構(gòu)7 j 只需考慮d a 取妒 島 z 當(dāng)l p 2 時 1 妒 e p 1 一i c l 2 p d 善d 7 e 紉 jj l e c i p i 一肝 坤必咖 j n z 1 一 2 o 一糾v 2 1 2 丌i 妒 z r e i l p 1 一i 彳 r 9 1 2 p 2 r 咖硼 墜蘆 卿 1 斗d 肛2 7 r m 護(hù) 1 劃ii 黝i 酬p 怒錛 百9 p 2 丌 悼 i 1 一1 名1 2 p 5 個算子的全純性及其在萬有t e i c h m i l l e r 空間中的應(yīng)用 一一個算子的全純性 當(dāng)p 2 時 i 妒 c i p 1 i 1 2 尸 2 d d r jj i 妒 r 1 一i 2 f 2 d f d 1 j j n z 1 一i z l 2 1 1 2 1 2 廠2 丌l 妒 z 8 i p 1 一i z r r e s e 9 1 2 p 一2 r d r d o l 妒 z 9 i p 1 一 e 1 9 i p 一 生掣 p 2 o o 1 1 2 1 2 2 7 r i 刪晰 與擎蜊ir 是鏘 丟 忡 l 1 一m p 綜合上述兩種情形 對1 p 時 有 當(dāng)i z l 一1 一時 從而 即l p a o 么 州m 2 i 眺 m i e l 2 p 2 必咖 k 1 枷 2 l p 1 一i e l 2 r 2 醒卻 妒 丌 i 卜i 1 2 e i z li p 7 r 1 妒 名 i 1 一 i p 五 o 吲 1 2 i 妒 馴p 1 一 2 p 2 咖一 妒 名 1 一i z l 2 一0 6 一個算子的全純性及其在萬有t e i c h m f i l l e r 空間中的應(yīng)用一一個算子的全純性 由妒 a o o 知存在m 0 使得對v e a 有i 妒 1 9 呻 1 一 2 g 一 m 于是 小 0 1 即一i 1 2 口 2 蚴 上m 馴p 1 一 2 p 2 i l p 釧曠p 1 一i 1 2 p p 必咖 m 么i 妒 0 1 p 1 一 2 p 2 武咖 o o 因此妒 a 口 這樣 當(dāng)1 p g 時 如 a q a o a sa o o 從而引理3 成 立 利用同構(gòu) 3 說明 4 o 妒o d 弓寫主露i i 妒i i a d 4 最后 當(dāng)p 1 時 因?yàn)槎?a i d 當(dāng)且僅當(dāng) b i d 由引理2 知 b 口 d 利用引理1 有妒 a 口 d 故a x d a 口p 推論1 設(shè)1 p 1 利用閉圖像定理 只需證明妒一 如 d 一島 d 是閉算子 為此 設(shè) 妒n ca p d 使得0 一洲如 d 0 i i 妒乞一訓(xùn)昂 d 0 我們要證明妒 事 實(shí)上 4 說明i l 一訓(xùn)a d 一0 從而 內(nèi)閉一致收斂于妒 同樣 2 說明 0 以一妒1 1 0 0 9 0 從而 以 內(nèi)閉一致收斂于妒 由w e i e r s t r a s s 定理知 內(nèi)閉一 致收斂于 故妒 弓i 理4 設(shè)1 p o o 妒 a p d 貝0 妒2 b d 證明當(dāng)p 1 時 因?yàn)槎?a i d 所以 b i d 從而妒 b 2 d 因此妒 a 2 d 于是 廠厶f l o z 1 2 d z 厶i 妒2 z d x d y o o 所以礦 b i d 當(dāng)1 p o o 時 因?yàn)槿?d 至a 2 p d 所以妒 a 2 p d 由于妒 a 2 p d 當(dāng)且 僅當(dāng)妒2 島 d 因此礦 b p d 推論2 設(shè)1 p o j 占 0 使得當(dāng)惻i a d 石時 惻 d 厶i 妒 z 1 2 如如 j r 厶 p 2 z j 如匆 i 擴(kuò)0 b d 故妒一妒2 a i d 一 b i d 在零點(diǎn)連續(xù) 當(dāng)1 p o o 時 因?yàn)槎室欢?a p d a 2 p d 連續(xù) 且妒 a 2 p d 當(dāng)且僅當(dāng) 妒2 島 d 所以妒 礦 如 d 一b p d 在零點(diǎn)連續(xù) 引理5 設(shè)1 p o o 妒 妒 4 d 則拋 島 d 證明當(dāng)p 1 時 因?yàn)槎?妒 a i d 所以妒 妒 a 2 d 即 上m 名汗如匆 o o 二m 圳2 如咖 因此 丘j 妒 z 妒 z i 如匆 厶l 妒 列2 如咖 丟 上f 妒 圳2 如咖 i 1 o o 所以妒妒 b i d 當(dāng)1 p o o 時 因?yàn)槎?4 d 所以妒 a d 于是 上俐刪p 礦2 z d x d y 1 1 妒1 1 州 上 i p 礦2 z d x d y 慨 5 因此妒妒 島 d 推論3 設(shè)1 p o o 妒 如 d 則妒一妒妒 4 d 島 d 是一個有界線性算 子 證明顯然妒 妒妒是線性的 故只需證明它是有界的 當(dāng)p 1 時 設(shè) 妒n ca l d 使得0 一洲 d 一0 怖妒n 一圳b d 一0 2 說明f i 妒9 竹一咖l i b d 一0 從而 妒妒n 內(nèi)閉一致收斂于咖 類似推論2 的證明 由 一個算子的全純性及其在萬有t e i c h m f i l l e r 空間中的應(yīng)用 一 一個算子的全純性 0 妒n 一 o l h l d 0 知 妒n 內(nèi)閉一致收斂于妒 所以 妒 內(nèi)閉一致收斂于妒妒 故 砂 妒壚 因此妒 妒妒 a 1 d b l d 是閉算子 由閉圖像定理知 妒 妒妒 a i d b 1 d 是有界的 當(dāng)1 p o o 時 利用 5 知妒一妒妒 如 d 一島 d 是有界的 定理1 的證明當(dāng)1 p 1 u o o 為擴(kuò)充復(fù)平面e 上單位圓a z h 1 的外部 記 三o o p 臟 上可測 l o o o o m 是b a n a c h 空間工o o 中的單位開球 對 于任意p m 丘表示復(fù)平面上保持0 1 不動的擬共形映射 它在 上以p 為b e l t r a m i 系數(shù) 在 上共形 m 中的兩個元素p 與 等價是指厶與厶在單位圓周上取值相 同 p 的等價類記作 計萬有t e i c h m i i l l e r 空間t 就定義為m 中全體元素p 的等價類 m 的集合 我們用圣來標(biāo)記m 到t 的自然投影 那么西 p 就是p 的等價類 設(shè) 是區(qū)域d 內(nèi)的局部單葉亞純函數(shù) 我們把 馳 錙 互1 鉻 2 稱為 的s c h w a r z 導(dǎo)數(shù) 對任意p m 記s p i 則s 是m b o 的一個 映射 稱之為b e r s 投影 b e r s 證明了s 是一個全純浸入 并且誘導(dǎo)了t s m 的 一個同胚皿 稱之為b e r s 嵌入 見 n a 作為復(fù)b a n a c h 空間l 內(nèi)的 個開子集 m 是 個復(fù)流形 利用b e r s 嵌入 t 上存在唯一的復(fù)流形結(jié)構(gòu)使得自然投影圣 m t 是全純浸入 而霍是一個雙全 純同構(gòu) 我們知道 s 在零點(diǎn)處的微分是 d o s 一要 上器蚴p 釅 正如引言中所提到的 b e c k e r p o m m e r e n k e b p 和g a r d i n e r s u l l i v a n g s 先后研 究了由對稱函數(shù)所組成的小t e i c h m i i l l e r 空間 a s t a l a z i n s m e i s t e r a z 則研究了b m o t e i c h m i i l l e r 空間 郭輝 g u 在推廣崔貴珍 c u 關(guān)于w e f l p e t t e r s o n 度量的工作時引 進(jìn)并研究了萬有t e i c h m i i l l e r 空間的另一類子空間 可積t e i c h m i i l l e r 空間 我們將 對可積t e i c h m f i l l e r 空間進(jìn)行進(jìn)一步的研究 一個算子的全純性及其在萬有t e i c h m i i l l e r 空間中的應(yīng)用 可積t e i c h m f i l l e r 空間 首先我們給出如下定理 定理2 設(shè)p l 0 0 i 1 f 是復(fù)平面上的擬共形映射 它在 上以p 為 b e l t r a m i 系數(shù) 在 上共形 當(dāng)l p o o 時 下列說法等價 口 告 如 b s l 島 c c 存在z m 使得 么 采管型每 o o 在上述定理的敘述中 為了以下討論方便 我們在單位圓 上考慮 在證明定理 2 之前 我們先做一些說明 崔貴珍 c u l 首先就p 2 的情形證明了定理2 之后 郭輝 g u 在2 p o o 時 證明了 b 與 c 的等價性 事實(shí)上 當(dāng)1 p 2 時 證明完全成立 郭輝還證明了1 p 時 a 與 b 的等價性 在證明過程中 郭輝用到了如下的引理6 但他的證明過程存在漏洞 下面我們將給出引理6 的完整證 明 并將 a 與 b 的等價i 生推廣到p 1 的情形 引理6 設(shè)1 p o o 0 r 0 1 假設(shè)妒在 上全純 則對v a r o o r 1 i 妒 z l p 1 一i z l 2 p 2 d x d y jj n o 口 c 蒜 k 黼舯 r w 嚴(yán)2 蚍 其中c 是與口無關(guān)的常數(shù) n 0 口 表示以0 為圓心 盯為半徑的開圓盤 證明因?yàn)槎?石 一妒 o 岳 e 必 所以對v r 0 r 1 v 口 一7 r 0 7 r 有 i 妒p e 鉗 一妒 o i p l 妒 p 桕 l d a p j 0 利用 s h 得到 霄 i 妒 7 e 陽 一妒 o 嚴(yán)d 秒 一 r r tr 育 r p p 一1 l 妒7 p e i p 硼d p j r 皇j 一 i z r 一曲p 1 上 妒 p e 詒 l p 瑚咖 r 丌 一個算子的全純性及其在萬有t e i c h m f i l l e r 空間中的應(yīng)用 二 可積t e i c h m i i l l e r 空間 由f u b i n i 定理和分部積分得 k 口 川一唰p 1 一m i 卿蛐 i l i o r e i 9 一妒 o p 硼 1 一r 2 p 一2 r d r 0 一 r r p p 1 i 妒7 e i p d e d p 1 一r 2 p 2 r d r j 0j oj 一 z 仃z 仃 嚴(yán)l 1 陽北 i p d o d r d p l 膽講 p d 口 r p p 一1 1 一r 2 p a r d r d p j 0j 一萬 d z 盯 仁壩御刪 1 4 哪r 2 讎鈉州d p z 盯 仁 硼p 訓(xùn)一百1 等莩邶 t p 2 川咖 2 瓦熹可z 上 j i p p e 鉬 i p 礎(chǔ) 1 一礦 蘆 一 1 a 2 f 一1 1 一p 2 p 一1 劫 瓦三可z 上 i 臚珀 j p 棚 1 一p 2 助噸d p s 石 j o 上 瞅臚泊 j p 1 一p 2 神d e d p 咖一1t oc 訊 若麗厶上丌咖瀘 j p 1 一p 2 2 p 2 p d o d p q 石而2 p 1 二 吣 o l r i z 隊1 一 2 p 2 如咖 6 其中q 硒bf o r o 厶j p e 坩 j p 1 一礦 2 p 一2 d o d p 與口無關(guān) 厶 俐砸邛1 2 p 2 蛐 2 厶 o 口 一妒 o 妒 o m m i 坤如咖 2 p 二 吣 j 妒 z 一妒 0 j p 1 一蚓2 p 2 出匆 2 p 二 咖 j 妒 0 j p 1 一 2 尸q 如咖 汐仍十而2 p i k 黼 p 1 川2 嚴(yán)2 蛐 雩竿 c 若而 n o o v v o r o 批 m 1 名j 2 2 p 以如匆 定理2 的證明如上提及的 只需證明 a 與 b 的等價性 我們分兩種情況討論 1 p 1 的情形 1 2 一個算子的全純性及其在萬有t e i c h m i i l l e r 空間中的應(yīng)用 二 可積t e i c h m i i l l e r 空間 若筍 a l 由引理1 和引理4 知曲 b 1 反之 若研 b l 即 shj 毋 z l d x d y o o 則 厶i s ic z i 2 1 一i z l 2 2 d x d y o o 故當(dāng)l z i 1 一時 i 曲 z l o i z l 2 2 0 從而當(dāng)i z l 1 一時 i 錙i i i z l 2 0 即j r 0 r 1 使得當(dāng)r 7 j zj 1 時 l 錙i 1 一i z l 2 1 因?yàn)?j l 曲 z 1 2 c ic 錙 i 去i 錙1 2 2 lc 鉻 n 24 i 壚f z 4 鉻 懈 2 i 丟俐一半 三lc 錙 2 丟i 錙1 4 所以對r 7 川 1 有 設(shè) 則 對0 r 禮 2 2 他 2 n n 所以 n 2 r n 2 未 2 可2 n 2 2 n 揣 而2 r l 2 麗1 即 以譬一而2 i r 7 i 赤 從而 l l c 錙 2 坩燦抄丟 么 l 錙1 2 蛐一扣2 于是對r 7 殺 上 i 錙卜一去以 lc 錙 1 2 1 制燦匆 去1 o l 鉻j 2 蛐吲l r 故 么r l 錙 2 蛐 慨 令r 1 則 么i 錙 2 蛐 慨 1 4 一個算子的全純性及其在萬有t e i c h m i i l l e r 空間中的應(yīng)用 二 可積t e i c h m f i l l e r 空間 所以 f a f z y id x d y 么俐呦 互1 上i 錙 2 如匆 慨 即 a 1 2 1 p 0 0 的情形 若筍 如 由引理1 和引理4 知s l b p a 反之 若母 耳 即 廠厶i s a z i p 1 一 2 2 p 一2 出匆 o o 故當(dāng)i z i 1 一時 曲 z 1 一h 2 2 0 從而 當(dāng) 1 一時 錙 1 1 名1 2 一o 選取 珊 l 使得i 錙i 1 一i z l 2 罕 r o 1 對v a r o 盯 1 由引理6 知 k j 錙l 1 i 石n 坤蛐舛鑫 他小慚 lc 鉻 j p 塒嚴(yán)2 蛐 假設(shè) 2 呻 k f 錙卜川2 p 蜘一 他小晰 f c 錙 j p 制嚴(yán)2 蛐 k 黼 s 卅三 錙 2 f p 1 坩 2 2 蛐 2 p 二 咿 0 i r f 曲 p 1 一川2 紉 2 出由 擴(kuò)1 k 黼川j 錙卜w 嚴(yán)2 蛐 壚 厶叭 0 r i s 圳p 1 邛1 2 妒2 蛐 纊1 譬 k 黼川f 錙卜 2 p 2 蝴0 0 則當(dāng)o r 1 一時 么l 鉻i p 1 2 廣2 蛐 慨 k 黼川j 錙 p 卜 2 廣2 蛐 慨 1 5 一個算子的全純性及其在萬有t e i c h m i l l e r 空間中的應(yīng)用 二 可積t e i c h m i i l l e r 空間 不等式 1 0 兩邊同除以 k m 州i 鉻 p 1 制廣2 蛐 令口一1 一 有2 p p 1 2 p 一1 等 即p 一1 孚 矛盾 故 么l 錙j p 1 h 2 廣2 蛐 慨 即等 如 最后 我們證明如下定理 定理3 可以看作是宗彈2 在無窮小形式 f 對府的結(jié)集 定理3 設(shè)p l 0 0 1 p o o 則d d s p 島 的充要條件是存在y 使得 d o s v d o s p 且 ll 芒1 添蛐 慨 厶 一j 石1 2 2 吲 證明先證充分性 假設(shè)存在 使得d o s v 而s p 且 l 忘禱如如 帆 下面分兩種情況討論 1 1 p o 注意到 l i 7 1 么器酬吲名1 2 1 獷2 蛐 要 p i 么 么辮酬p i z l 2 1 妒2 蛐 罷 pi 么 五百 痹舅譬l 矸萬必咖 p 2 一 印 2 如卻 1 i 1 爭 么 五辮刪 么而1 酬鉑印 1 卿蛐 1 1 上南蚴 矗南 z 6a 1 6 個算子的全純性及其在萬有t e i c h m i i l l e r 空間中的應(yīng)用 二 可積t e i c h m f i l l e r 空間 上述不等式變?yōu)?類似地 么 i 一曇 么辮酬p 印叫妒2 蚴 s 州么 么辮刪 矗高 p l i 印 1 妒2 蛐 ll 芒精 ll p 譬d z d y d 氅 ll r 鍔如趣孔w e x 1 2 所以 f i 一要 么器蛐1 石1 2 叫妒2 蛐 礦 上孝辮蚋 慨 2 v l f j i 一專n 搗蛐恤卸 專 p1 器蘸吶曲 l 攔精l 寸 譬d x d y d d r l 6 上考辮蚋 慨 轢苗以上網(wǎng)柙情彤 我1 lj 得到d 0 5 川 d o s v 下面證明必要性 假設(shè)d o s 肛 島 令y z 一 而s p 1 一l z l 2 2 尹1 z a 顯然d o s v 而s 肛 且 l 芒添蛐 芻t 么業(yè)等1 蒜監(jiān)蛐 一 j 一 z z 汐t 厶 一卯 2 爿 萬1 么 l a o s p 列p 川2 1 印 2 如咖 o o 1 7 二竺子的全純性及其在萬有t e i c h m f i l l e r 空間中的應(yīng)用參考文獻(xiàn) 一 參考文獻(xiàn) a z la s t a l a k z i n 鋤e i s t e r m t e i c h m f i l l e rs p a c e sa n db m o a m a t h a n n 2 8 9 1 9 9 1 6 1 3 6 2 5 bp b e c k e r j p o m m e n e r k e c h 譏e rd i eq u a s i k o n f o r m ef o r t s e t z u n gs c h l i c h t e rf u n k t i o n e n m a t h z 1 6 1 1 9 7 8 6 9 8 0 c u c u ig u i z h e n t e i c h m i i l l e rs p a c e sa n dd i 域s 1 m 6 b s 1 s c i e n c ei nc h i n a s e r i e sa 2 0 0 0 2 6 8 2 7 9 e l le a r l e c j l iz h o n g i s o m e t r i c a l l ye m b e d d e dp o l y d i s k si ni n f i n i t ed i m e n s i o n a lt e i c h m f i l l e rs p a c e s j g e o m a n a l 9 1 9 9 9 5 1 7 1 f t l f i s c h e r a f a n dt m m b a a j o nt h ew e i l p e t e r s s o nm e t r i co n t e 她m f i l l e rs p a c e t r a n a m e r m a t h s o c 2 8 4 1 9 8 4 3 1 9 3 3 5 f t 2 f i s c h e r a f a n dt r o m b a a j ai l e wp r o o ft h a tt e i c h m i i l l e rs p a c ei sac e l l t r a n a m e r m a t h s o c z 0 3 1 9 8 7 2 5 7 2 6 2 g a lg a r d i n e r f p t e i c h m i i l h rt h e o r ya n dq u a d r a t i ed i f f e r e n t i a l s w i l e y i n t e r s c i e n c e n e w y o r k 1 9 8 7 f g s g a r d i n e r f p s u l l i v a n d p s y m m e t r i cs t r u c t u r e so nac l o s e dc u r v e a m e r j m a t h 1 1 4 1 9 9 2 6 8 3 g u g u oh u i i n t e g r a b l et e i c h m i i l l e rs p a c e s s c i e n c ei nc h i n a s e r i e sa 2 0 0 0 4 2 5 8 l e ll e h t o o u n i v a l e n tf u n c t i o n sa n dt e i c h m f i l l e rs p a c e s s p r i n g e r v e r l a g b e r l i na n dn e w y o r k 1 9 8 7 f l i l iz h o n g q u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n si nt h et h e o r yo fp d e m a n n s u r f a c e i nc h i n e s e b e i j i n g s c i e n c ep r e s s 1 9 9 8 m s m c m u l l e n c t a n ds u l l i v a n d q u a s i c o n f o r m a lh o m e o m o r p h i s m sa n dd y n 鋤j 鋁 t h et e c h m i i l l e rs p a c eo fa h o l o m o r p h i cd y n a m i c a ls y s t e m a d v m a t h 1 3 5 1 9 9 8 1 8 一個算子的全純性及其在萬有t e i c h m f i l l e r 空間中的應(yīng)用參考文獻(xiàn) 3 5 1 3 9 8 n a n a g s t h ec o m p l e xa n a l y t i ct h e o r yo ft e i c h m f i l l e rs p a c e s w i l e y i n t e r s c i e n c e 1 9 8 8 s h s h e nx i e c h a n g c o m p l e xa p p r o x i m a t i o nt h e o r y i nc