（概率論與數(shù)理統(tǒng)計專業(yè)論文）倒向隨機微分方程高精度數(shù)值方法.pdf

一 原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明 所呈交的學(xué)位論文 是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下 獨 立進行研究所取得的成果 除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外 本論文不 包含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的科研成果 對本文的研 究作出重要貢獻的個人和集體 均已在文中以明確方式標(biāo)明 本聲明 的法律責(zé)任由本人承擔(dān) 論文作者簽名 勉日 期 矽膨i 尸 關(guān)于學(xué)位論文使用授權(quán)的聲明 本人完全了解山東大學(xué)有關(guān)保留 使用學(xué)位論文的規(guī)定 同意學(xué) 校保留或向國家有關(guān)部門或機構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版 允許論 文被查閱和借閱 本人授權(quán)山東大學(xué)可以將本學(xué)位論文的全部或部分 內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進行檢索 可以采用影印 縮印或其他復(fù)制手段 保存論文和匯編本學(xué)位論文 保密論文在解密后應(yīng)遵守此規(guī)定 論文作者簽名 二塞復(fù)墨導(dǎo)師簽名 霆止日 期 絲 絲 一 一 2 一 川7 一 m 5 一 舢0 一 9 一 舢7 一 1 i 一 y c o n t e n t s 1 b a c k g r o u n d 1 1b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 1 2n o n l i n e a rf e y n m a n k a cf o r m u l a 2as i m p l er e v i e wo fn u m e r i c a lm e t h o d s 2 1f o u rs t e ps c h e m e 2 2d e l a r u ea n dm e n o z z i sm e t h o d 2 3b i n o m i a lr a n d o mw a l km e t h o d 2 3 1s c h e m e1 2 3 2s c h e m e2 2 4 q u a n t i z a t i o nm e t h o d 2 5 l e a s t s q u a r e sr e g r e s s i o nm e t h o d 2 60 一s c h e m e f o rs o l v i n gb s d e s 3m u l t i s t e ps c h e m ef o rs o l v i n gb s d e s 3 1p r e l i m i n a r i e s 3 2r e f e f e n c ee q u a t i o n sf o rt h em u l t i s t e ps c h e m e 3 2 1 t h ec a s eo fm d 1 3 2 2t h eg e n e r a lc a s e 3 3as t a b l em u l t i s t e pd i s c r e t i z a t i o ns c h e m e 3 3 1 t h es e m i d i s c r e t es c h e m e 3 3 2t h ef u l l yd i s c r e t es c h e m e 3 4e r r o re s t i m a t e so ft h em u l t i s t e ps e m i d i s c r e t es c h e m e 4a ne f f i c i e n ts c h e m eb yu s i n gg a u s s h e r m i t ep r o c e s s 4 1s o m ep r o p e r t i e so ft h et i m e s p a c ed o m a i n 4 2g a u s s h e r m i t ep r o c e s s 1 s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e r st h e s i s 4 3a ne f f i c i e n ts c h e m ef o rs o l v i n gb s d e s 4 4e r r o re s t i m a t e so ft h ee 伍c i e n ts c h e m e 4 5 p a r a l l e l i z a t i o n 4 1 4 3 4 9 5n u m e r i c a le x p e r i m e n t s 51 5 1t h ee f f e c t i v e n e s so ft h em u l t i s t e ps c h e m e 5 2 5 1 1 e x a m p l e1 ab s d ew i t hf t y b e i n gi n d e p e n d e n to fz t 5 2 5 1 2 e x a m p l e2 ab s d ew i t hn o n l i n e a rf t y f z t 5 4 5 1 3e x a m p l e3 ab s d ew i t ht w oi n d e p e n d e n tb r o w n i a nm o t i o n s 5 5 5 1 4e x a m p l e4 ab s d ew i t ht w oe q u a t i o n s 5 6 5 1 5e x a m p l e5 t h eb s d ed e r i v e df r o mb l a c k s c h o l e se q u a t i o n 5 8 5 2t h ee f f e c t i v e n e s sa n de f f i c i e n c yo ft h es c h e m eb yu s i n gg a u s s h e r m i t e p r o c e s s 5 2 1g a u s s h e r m i t ep r o c e s sv s 5 2 2g a u s s h e r m i t ep r o c e s sv s 5 3 p a r a l l e l i z a t i o np e r f o r m a n c e g a u s s h e r m i t eq u a d r a t u r er u l e m u l t i n o m i a lt r e e s 6 1 6 1 6 5 6 8 lllllllllililllliliiiiiiilllillllllillllilllillilllllii t s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e r st h e s i s a nh i g ha c c u r a t en u m e r i c a lm e t h o df o rs o l v i n g b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s g u a n n a n s c h o o lo fm a t h e m a t i c s s h a n d o n g z h a n g u n i v e r s i t yj i n a n2 5 0 1 0 0 c h i n a a b s t r a c t i nt h i st h e s i s w ec o n s i d e rt h en u m e r i c a ls o l u t i o no ft h ef o l l o w i n gb a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n b s d e 1 一曲 y t f t y t z t d t z t d w t t 0 t f w h e r e2 i saf i x e dp o s i t i v en u m b e r w ti st h es t a n d a r dd d i m e n s i o n a lb r o w n i a nm o t i o n d e f i n e do ns o m ec o m p l e t e f i l t e r e dp r o b a b i l i t ys p a c e q 廠 p 五 o 丁 f t y t 魂 i s a l la d a p t e ds t o c h a s t i cp r o c e s sw i t hr e s p e c tt o 五 0st t f o re a c hr e a lp a i r y z a n d 蕁i sa n 乃 m e a s u r a b l er a n d o mv a r i a b l e t h el i n e a rf o r mo fb s d e sw a s f i r s ti n t r o d u c e di n 3 6 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h m s w e r ep r o p o s e dt on u m e r i c a l l ys o l v ef b s d e s s e e 1 1 1 9 2 0 2 1 2 3 2 4 3 3 f o rd e t a i l s w h e nt h ec o r r e s p o n d i n gp a r a b o l i cp d ei sq u a s i l i n e a r d e l a r u ea n dm e n o z z ip r o p o s e d l s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e r st h e s i s i n 9 1as p e c i a lt i m e s p a c ef o r w a r d b a c k w a r dd i s c r e t i z a t i o ns c h e m eb a s e d o nt h et h e o r y o ff u l l yc o u p l e df b s d e s a n dl a t e ri n 1 0 t h e yi m p r o v e dt h ep r o p o s e ds c h e m et h r o u g h a ni n t e r p o l a t i o np r o c e d u r e t h eo t h e ra p p r o a c hi sd e v e l o p e dd i r e c t l yb a s e do nt h et a r g e tb s d e 3 4 5 7 8 9 1 4 2 2 2 9 3 2 3 4 3 5 i n 7 c h e v a n c es u g g e s t e da ne f f e c t i v et i m e s p a c ed i s c r e t i z a t i o n s c h e m ew h e nt h ef u n c t i o n d o e sn o td e p e n do nt h ev a r i a b l ez t b a l l yp r o p o s e di n 3 an u m e r i c a ld i s c r e t i z a t i o nw h e nfd e p e n d so nt h ev a r i a b l e sy ta n d 魂 w h e r ei np a r t i c u l a rt h et i m ed i s c r e t i z a t i o ni sp e r f o r m e do nar a n d o mn e tt oo v e r c o m et h ed i f f i c u l t i e s o fd i s c r e t i z i n gt h es t o c h a s t i ci n t e g r a l i n 4 b e n d e ra n dd e n ki n t r o d u c e daf o r w a r d s c h e m ef o rs o l v i n gb s d e s i n 2 9 p e n gp r o p o s e da ni t e r a t i v el i n e a ra p p r o x i m a t i o n a l g o r i t h mw h i c hc o n v e r g e su n d e rr e a s o n a b l ea s s u m p t i o n s s o m er a n d o mw a l km e t h o d s f o rs o l v i n gb s d e sw e r es u g g e s t e db ym 6 m i n p e n ga n dx ui n 2 2 a n dc o n v e r g e n c e so f t h o s em e t h o d sw e r ea l s op r o v e nt h e r e c v i t a n i ca n dz h a n gp r o p o s e ds o m em o n t e c a r l o m e t h o d sf o rs o l v i n gf b s d e si n 8 7a n dt h e nu n d e rc e r t a i nw e a k e rr e g u l a r i t ya s s u m p t i o n s z h a n gd e v e l o p e dam o d i f i e dn u m e r i c a ls c h e m ea n ds t u d i e di t sc o n v e r g e n c er a t e i n 3 2 i n 1 4 g o b e te t a 1 g e n e r a l i z e dz h a n g sr e s u l t a n do b t a i n e de r r o re s t i m a t e s o ft h es c h e m em e a s u r e di nt h es t r o n g 2 一s e n s e p 1 b o u c h a r da n dt o u z ia l s op r e s e n t e da ni m p l i c i ts c h e m ei n 5 b a s e do nz h a n g sw o r k z h a oe t a 1 p r o p o s e da n n u m e r i c a lm e t h o dc a l l e do s c h e m ew i t hh i g ha c c u r a c yf o rs o l v i n gb s d e si n 3 4 a n d s t u d i e di t se r r o re s t i m a t e si nf 3 5 n o t et h a tm o s to ft h en u m e r i c a lm e t h o d sr e v i e w e da b o v ef o rs o l v i n gb s d e sa r e n o to fh i g ha c c u r a c yd u et ot h el o wa c c u r a c yo ft h ea p p r o x i m a t i o no ft h es t a n d a r d b r o w n i a nm o t i o n a l t h o u g ht h em o n t e c a r l om e t h o dc o u l dl e a dt oag o o da c c u r a c y b a s e do ns u f f i c i e n ts c a l eo fs a m p l i n gp o i n t s t h ec o m p u t a t i o n a lc o s ti sn o ta c c e p t a b l e b e c a u s et h ed e s i r e da c c u r a c y1 qnd e p e n d so nt h en u m b e ro fs a m p l i n gp o i n t sn t h e o s c h e m ei n 3 4 w h i c hi st h em o s ta c c u r a t es c h e m es of a r i sj u s tao n e s t e pm e t h o d i nt h i st h e s i s w es t u d yt h en u m e r i c a lm e t h o d sf o rs o l v i n gb s d e si nt h ef o l l o w i n g a s p e c t s p r o p o s i n ga s t a b l em u l t i s t e pm e t h o df o rs o l v i n gb s d e s t h i sm e t h o d i sc o n s t r u c t e do nt i m e s p a c eg r i d s t h ei n t e g r a n d s w h i c ha r ec o n d i t i o n a lm a t h e m a t i c a le x p e c t a t i o n sd e r i v e df r o mt h eo r i g i n a le q u a t i o n a r ea p p r o x i m a t e db yu s i n g t h el a g r a n g ei n t e r p o l a t i n gp o l y n o m i a l sw i t hv a l u e so ft h ei n t e g r a n d sa tm u l t i t i m e l e v e l s i np a r t i c u l a r t h e ya r et h e nn u m e r i c a l l ye v a l u a t e du s i n gt h eg a u s s h e r m i t e q u a d r a t u r er u l e sa n dp o l y n o m i a li n t e r p o l a t i o n so nt h es p a t i a lg r i d t h e o r e t i c a l l y i i 一 一一 s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e r st h e s i s i nt h es e n s eo fm u l t i s t e pm e t h o d as c h e m eo f a r b i t r a r yo r d e rc a nb eo b t a i n e do n c e t h ec o n d i t i o n sa r e p r o v i d e d p r o v i n gt h ec o n v e r g e n c eo ft h es e m i d i s c r e t es c h e m e w h e nt h eg e n e r a t o r fi si n d e p e n d e n to fz t w et h e o r e t i c a l l yp r o v et h a tt h ec o n v e r g e n c eo ft h es e m i d i s c r e t es c h e m ec a nb eo fh i g ho r d e rd e p e n d i n go nt h en u m b e ro ft i m el e v e l su s e d p r o p o s i n ga ne f f i c i e n ts c h e m eb a s e do nt h em u l t i s t e ps c h e m e a l t h o u g h t h e m u l t i s t e ps c h e m ei so fh i g ha c c u r a c y i tl e a d st oe x p e n s i v ec o m p u t a t i o nw h e n u s i n gl a r g en u m b e ro ft i m es t e p s t h er e a s o ni st h a tw ea p p l yg a u s s h e r m i t e q u a d r a t u r er u l et oa p p r o x i m a t et h ec o n d i t i o n a lm a t h e m a t i c a le x p e c t a t i o n sw i t h o u tc o n s i d e r i n gt h ep r o p e r t i e so ft h es t a n d a r db r o w n i a nm o t i o n i no t h e rw o r c l s w ed o n tc o n s i d e rh o wt oc o n s t r u c tad i s c r e t es t o c h a s t i cp r o c e s si no u rs c h e m et o a p p r o x i m a t et h eb e h a v i o ro ft h es t a n d a r db r o w n i a nm o t i o n t h e r e f o r e w ep r o p o s ea ne f f i c i e n ts c h e m eb yc o n s t r u c t i n gan e wr a n d o mw a l k c a l l e dg a u s s h e r m i t e p r o c e s s b a s e do ng a u s s h e r m i t eq u a d r a t u r er u l e b yt h ee f f i c i e n ts c h e m e t h e c o m p u t a t i o ne x p e n s ew i l lb er e d u c e ds i g n i f i c a n t l y a tt h es a m et i m e t h ea c c u r a c y o ft h en u m e r i c a ls o l u t i o ni sn o ta f f e c t e da ta 1 p r o v i n gt h ee f f i c i e n ts c h e m er e a c h e s t h es a n l ea c c u r a c ya st h em u l t i s t e p s c h e m e b yt r a c k i n gt h ep r o p a g a t i o no ft h ee r r o r si nt h ee f f i c i e n ts c h e m e w ec a n p r o v et h a ti ft h et i m e s p a c ed o m a i ni sr e d u c e db yas u i t a b l ep r o p o r t i o n t h ee f f i c i e n t s c h e m eh a s t h ei d e n t i c a la c c u r a c yt ot h em u l t i s t e ps c h e m ew h i l et h e c o m p u t a t i o n a l e x p e n s ei sr e d u c e ds i g n i f i c a n t l y p a r a l l e l i z a t i o no fb o t hs c h e m e s i no r d e rt o i m p r o v et h ee f f i c i e n c yo ft h e c o m p u t a t i o n w ec o m b i n et h ep a r a l l e lt e c h n i q u e sw i t ho u rm u l t i s t e pm e t h o di n t h ei m p l e m e n t a t i o n h e r ew ed i v i d et h ew h o l ej o bo ne 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s i s c h a p t e r2 ab r i e fr e v i e wo fp r e s e n tm e t h o d sf o rs o l v i n gb s d e s c h a p t e r3 p r o p o s i n gt h em u l t i s t e pm e t h o da n do b t a i n i n gt h ee r r o re s t i m a t i o no f t h es e m i d i s c r e t es c h e m e c h a p t e r4 p r o p o s i n ga ne f f i c i e n ts c h e m ef o rs o l v i n gb s d e sa n do b t a i nt h ee r r o r e s t i m a t i o n c h a p t e r5 n u m e r i c a le x p e r i m e n t sa n dt h ei n v e s t i g a t i o ni n t op a r a l l e l i z a t i o no f b o t hs c h e m e s k e y w o r d s b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m u l t i s t e ps c h e m e e r r o r e s t i m a t e s g a u s s h e r m i t ep r o c e s s p a r a l l e lc o m p u t i n g i v j s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e r st h e s i s 倒向隨機微分方程高精度數(shù)值方法 張冠男 山東大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 濟南2 5 0 1 0 0 摘要 本文中我們研究如下形式的倒向隨機微分方程 b s d e i 一妣 f t y t z t d t z t d w t t 0 t 心 t 秒丁 其中丁為給定正整數(shù) m 為定義在概率空間 q 廠 p 五 o r 上的出維標(biāo)準(zhǔn)布朗運 動 f t y t 乙 是一個五一適應(yīng)過程 o t 丁 f 是一個 乃 可測的隨機變量 1 9 7 3 年 b i s m u tf 3 6 1 研究了線性形式的倒向隨機微分方程 1 9 9 0 年 p a r d o u x 和p e n g 2 5 給出 了b s d e 的一般形式 并證明了當(dāng)生成函數(shù)滿足l i p s c h i t z 條件時倒向隨機微分方程 2 解 的存在唯一性定理 此后 倒向隨機微分方程及其解的形式得到了廣泛的研究 在 2 7 中 p e n g 證明了正倒向隨機微分方程 f b s d e 與偏微分方程之問的直接聯(lián)系 隨后給出了 隨機最優(yōu)控制中的一般最大值原理 2 6 1 9 9 7 年 n e 1k a r o u i p e n g 和q u e n e z 在 1 5 中 通過b s d e 獲得了推廣的b l a c k s c h o l e s 公式 使得b s d e 理論逐漸應(yīng)用于會融理論中 進而使得b s d e 理論具有了更大的活力 經(jīng)過十幾年的發(fā)展 b s d e 理論在隨機控制 偏微分方程 金融數(shù)學(xué) 控制論及經(jīng)濟學(xué)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用 b s d e 在各個領(lǐng)域的應(yīng)用需要回答的首要問題就是 當(dāng)給定終端條件和生成函數(shù)時 如何求解相應(yīng)的b s d e 但是 我們很難求得一般意義下的b s d e 的解析解 目前只有 當(dāng)生成函數(shù)為幾類特殊的函數(shù)時爿 可以得到其解析解 對于大多數(shù)情況 我們只能借助 于數(shù)值方法來求解b s d e 求解b s d e 的數(shù)值方法總共可以分成兩大類 第一類是基于 倒向隨機微分方程和偏微分方程之間的關(guān)系而提出的數(shù)值方法 其中比較有代表性的 是m a p r o t t e r y o n g 在f 1 8 1 中提出的數(shù)值求解f b s d e 的四步法 d e l a r u e 和m e n o z z i 9 l 提出的求解全耦合的f b s d e 的幣倒向隨機算法 第二類方法直接從b s d e 本身的特點出發(fā)構(gòu)造數(shù)值格式f 3 4 5 7 8 9 1 4 2 2 2 9 3 2 3 4 3 5 1 當(dāng)b s d e 生成元 不含變量五時 c h e v a n c e 7 提出了基于時空全離散的 求解b s d e 的數(shù)值方法 當(dāng)b s d e 生成元 廠依賴于變量z t 時 b a l l y 3 3 提出了基于特殊 時間網(wǎng)格的數(shù)值方法 避免了對隨機積分離散時產(chǎn)生的困難 b e n d e r 和d e n k 提出了求 解b s d e 的正向格式 p e n g 在 2 9 中提出了求解b s d e 的線性迭代方法 另外 m 6 m i n p e n g 和x uf 2 2 提出了用隨機游走模型求解b s d e 的數(shù)值方法并且給出了收斂性證明 c v i t a n i c 和z h a n g s l 給出了應(yīng)用m o n t e c a r l o 方法求解f b s d e 的數(shù)值格式 并且在一定 的條件下對該格式進行了修正且給出了收斂性分析 3 2 在 1 4 中 g o b e t 等推廣t z h a n g 的 s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e r st h e s i s 方法 并給出了強z e p 1 意義下的誤差估計 b o u c h a r d 和t o u z i 5 1 基于z h a n g 的工 作提出了求解b s d e 的隱格式 z h a o 在f 3 4 中提出了求解b s d e 的p 一格式 并且在f 3 5 1 中 給出了誤差分析 我們注意到 現(xiàn)有的絕大部分求解b s d e 的數(shù)值方法依賴于對標(biāo)準(zhǔn)布朗運動的近 似 但是我們無法對標(biāo)準(zhǔn)布朗運動進行高精度的逼近 因此現(xiàn)有的方法都無法實現(xiàn) 對b s d e 的高精度求解 雖然應(yīng)用m o n t e c a r l o 方法可以得到較高的精度 但是m o n t e c a r l o 方法的精度1 依賴于隨機試驗的次數(shù) 這使得高精度求解的計算量變得無法 接受 目前 p 一格式可以得到較高的精度 但是口一格式僅僅是一步格式 本文中我們從以下幾個方面研究了求解b s d e 的數(shù)值方法 提出了求解b s d e 的多步數(shù)值方法 此方法以及全離散的時空網(wǎng)格 在時i 日j 坐標(biāo) 軸上 我們用基于多個時i 日j 步的l a g r a n g e 插值多項式來逼近被積函數(shù) 即條件數(shù) 學(xué)期望 在空間坐標(biāo)軸上 我們用g a u s s h e r m i t e 積分公式和多項式插值方法來近 似b s d e 的解 理論上 只要滿足一定的穩(wěn)定性條件 多步法可以達(dá)到任意的精度 多步法半離散格式的誤差分析 我們證明了當(dāng)b s d e 的生成元 不含變量魂時 多步 法的半離散格式收斂性并且證明了半離散格式的收斂階依賴于求解某一時間層時 用到的時間步數(shù) 多步法的高效率格式 雖然求解b s d e 的多步法可以達(dá)到很高的精度 但是高精度 的要求也使數(shù)值求解的計算量變得難以接受 其原因是 當(dāng)應(yīng)用g a u s s h e r m i t e 積 分公式近似條件數(shù)學(xué)期望時并沒有考慮到標(biāo)準(zhǔn)布朗運動的性質(zhì) 換言之 在構(gòu)造 數(shù)值格式的同時 我們應(yīng)當(dāng)考慮如何更好的模擬標(biāo)準(zhǔn)布朗運動 因此 我們構(gòu)造了 一類新的離散隨機過程 稱為g a u s s h e r m i t e 過程 并基于此對多步法進行了改進 提出了求解b s d e 的高效多步方法 這種方法在使得計算量大大縮減的同時能夠與 多步法保持完全相同的精度 高效多步方法的誤差分析 通過倒向追蹤高效多步法的誤差傳播過程 我們得到 了如下結(jié)論 如果我們依據(jù)某些條件對時空網(wǎng)格進行適當(dāng)比例的縮小 高效多步法 與多步法具有完全相同的數(shù)值精度 同時計算量得到了大規(guī)模的縮小 多步法的并行計算 為了進一步提高計算效率 我們研究了多步格式的并行化 在 某一時間層求解時 我們將整體的工作量平均分配給若干個進程同時計算 全部完 成之后再由控制進程將所有的解收集起來 得到本時間層上的所有數(shù)值解 因為多 步法和高效多步法均可局部化 所以并行計算可以大大提高求解效率 論文全文共分五章 具體組織如下 s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e r st h e s i s 第一章 倒向隨機微分方程背景知識 第二章 b s d e 數(shù)值方法綜述 第三章 求解b s d e 的多步方法及其誤差分析 第四章 求解b s d e 的高效多步方法 誤差分析及并行算法研究 第五章 數(shù)值試驗 關(guān)鍵詞 倒向隨機微分方程 多步法 誤差分析 g a u s s h e r m i t e 過程 并行算法 s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e r st h e s i s r b t o q 廠 p a r 五 2 0 l 2 莎 l o t l a i i d n o t a t i o n s t h es e to fa l lr e a ln u m b e r t h es t a n d a r db r o w n i a nm o t i o n p r o b a b i l i t ys p a c e t h es e to fa l ln u l ls e to fq n a t u r a lf i l t r a t i o no fb r o w n i a nm o t i o n 仃 b s 0 s