第四章 漩渦理論與勢(shì)流理論.doc

Chapter 4Vortex Theory and Potential Theory第四章 漩渦理論與勢(shì)流理論流體由于具有易變形的特性，因此流體的流動(dòng)要比剛體的運(yùn)動(dòng)復(fù)雜得多。在流體運(yùn)動(dòng)中，有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)是流體運(yùn)動(dòng)的兩種類型。由流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析可知，有旋流動(dòng)是指流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度w0的流動(dòng)，無(wú)旋流動(dòng)是指w=0 的流動(dòng)。實(shí)際上，粘性流體的流動(dòng)大多數(shù)是有旋流動(dòng)。流體的無(wú)旋流動(dòng)雖然在工程上出現(xiàn)得較少，但無(wú)旋流動(dòng)比有旋流動(dòng)在數(shù)學(xué)處理上簡(jiǎn)單得多，因此，在流體力學(xué)中無(wú)旋流動(dòng)的研究具有重大的意義。對(duì)工程中的某些問(wèn)題，在特定條件下對(duì)粘性較小的流體運(yùn)動(dòng)進(jìn)行無(wú)旋處理，用勢(shì)流理論去研究其運(yùn)動(dòng)規(guī)律，特別是繞流物體的流動(dòng)規(guī)律，對(duì)工程實(shí)踐具有指導(dǎo)意義和應(yīng)用價(jià)值。 本章首先對(duì)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析，同時(shí)得出無(wú)旋運(yùn)動(dòng)和有旋運(yùn)動(dòng)的概念。然后討論理想流體運(yùn)動(dòng)的基本方程和求解。在此基礎(chǔ)上本章側(cè)重討論旋渦基本理論和平面勢(shì)流基本理論。4.1 流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析 在流體流動(dòng)時(shí)，流體微團(tuán)除了可以像剛體那樣平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)之外，還伴有變形運(yùn)動(dòng)，如圖4-1所示。由于有變形運(yùn)動(dòng)，流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)也不像剛體轉(zhuǎn)動(dòng)那樣簡(jiǎn)單。如果從流體微團(tuán)中引出若干條直線，它們的旋轉(zhuǎn)角速度可以各不相等，所以流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度是指過(guò)同一點(diǎn)，若干條直線旋轉(zhuǎn)角速度的平均值。由于流體所具有的易流動(dòng)性，流體微團(tuán)即使是在一個(gè)很小的力的作用下，只要時(shí)間足夠長(zhǎng)，就可以發(fā)生足夠大的變形。因此，在對(duì)流體微團(tuán)進(jìn)行變形 Fig. 4-1 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)分析時(shí)，不是看其變形量的大小，而是看其變形速度的大小。作為分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的基本量，引入線變形速度e，剪變形角速度g和平均旋轉(zhuǎn)角速度w。4.1.1 線變形速度如圖4-2所示，首先考慮最簡(jiǎn)單的一維流動(dòng)情況。在t時(shí)刻，在x軸上取一微小線段AB=Dx，A點(diǎn)的速度為vx，按泰勒級(jí)數(shù)展開，B點(diǎn)的速度可表示為，經(jīng)過(guò)D t時(shí)間之后，AB線段運(yùn)動(dòng)到新的位置AB。AB線段經(jīng)過(guò)D t時(shí)間之后，其長(zhǎng)度的改變量為 Fig. 4-2 Linear Deformation Velocity單位長(zhǎng)度在單位時(shí)間內(nèi)長(zhǎng)度的改變量為 (4.1)把ex叫做線段AB的線變形速度。ex是正值時(shí)為拉伸，負(fù)值時(shí)為壓縮。將上述推廣到三維空間的情況。三維空間的流體微團(tuán)，不僅具有x方向上的線變形速度，還有y方向和z方向上的線變形速度。在三維空間中，流體微團(tuán)的速度是空間坐標(biāo)的函數(shù)，即所以，流體微團(tuán)在x、y、z方向上的線變形速度分量分別為 (4.2)下標(biāo)x、y、z表示變形發(fā)生的方向。所以流體微團(tuán)的線變形速度是單位長(zhǎng)度在單位時(shí)間內(nèi)長(zhǎng)度的改變量。 Fig. 4-3 Fluid Element Deformation 若在流場(chǎng)中取一平行六面體的流體微團(tuán)，如圖4-3所示，圖(a)為初始狀態(tài)。作為一種特殊情況，當(dāng)時(shí)，流體微團(tuán)變形之后仍為平行六面體，當(dāng)時(shí)，為膨脹變形，變形如圖(b)所示，當(dāng)時(shí)，為壓縮變形。當(dāng)時(shí)，變形情況如圖(c)所示。對(duì)于不可壓縮流體，由于在變形過(guò)程中，體積不發(fā)生改變，所以有展開上式，并略去高階無(wú)窮小量，得 即 (4.3a)或 (4.3b)這就是不可壓縮流體的連續(xù)性方程，與方程(3.29)一致。4.1.2 剪變形角速度 首先仍以最簡(jiǎn)單的平面問(wèn)題為例。如圖4-4所示，圖中OACB為初始狀態(tài)的流體微團(tuán)。經(jīng)過(guò)Dt時(shí)間之后，流體微團(tuán)變形如圖4-4（b）中虛線所示，OB邊轉(zhuǎn)過(guò)的角度為a，OA邊轉(zhuǎn)過(guò)的角度為b。 Fig.4-4 在Dt時(shí)間內(nèi)，流體微團(tuán)中直角AOB的改變量的一半為 單位時(shí)間內(nèi)改變量的一半為 對(duì)于三維空間，類似有 (4.4)上式就是流體微團(tuán)的剪變形角速度。剪變形角速度是流體微團(tuán)中某一直角的減小速度的一半。下標(biāo)x、y、z表示剪切變形發(fā)生面的法線方向。4.1.3 平均旋轉(zhuǎn)角速度由于流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中發(fā)生變形，在流體微團(tuán)中某一點(diǎn)引出的若干條直線所轉(zhuǎn)過(guò)的角度各不相等。流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)，是指過(guò)同一點(diǎn)，若干條直線旋轉(zhuǎn)的平均值，等于過(guò)該點(diǎn)的直角角平分線轉(zhuǎn)過(guò)的角度。在圖4-4中，當(dāng)a=b時(shí)，角平分線沒有發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，這是一種純剪切運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。作為一般情況，如圖4-5所示，矩形OACB是初始位置。經(jīng)過(guò)Dt 時(shí)間之后，流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)到OACB，根據(jù)幾何關(guān)系，在Dt時(shí)間內(nèi)，角平分線轉(zhuǎn)過(guò)的角度 Fig. 4-5單位時(shí)間內(nèi)角平分線轉(zhuǎn)過(guò)的角度為將這一結(jié)果推廣到三維空間，則有 (4.5)上式就是流體微團(tuán)的平均旋轉(zhuǎn)角速度三個(gè)分量表達(dá)式?？蓪⒎匠?4.5)用矢量式表示為 (4.6)流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，可同時(shí)發(fā)生線變形運(yùn)動(dòng)，剪切變形運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。而線變形速度、剪變形角速度、平均旋轉(zhuǎn)角速度分別是度量這三種運(yùn)動(dòng)的特征量。Example 4.1 It is known that the velocity distribution of a planar flow field is .Analyze the deformation and rotation happen during the motion of fluid element.例41 已知平面流場(chǎng)的速度分布為 試分析流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所發(fā)生的變形與旋轉(zhuǎn)。Solution: Linear deformation velocity 解：線變形速度 Angular velocity of shearing deformation 剪變形角速度 Average angular rotating velocity 平均旋轉(zhuǎn)角速度 4.2 理想流體的有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)4.2.1 有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)的定義流體的流動(dòng)是有旋還是無(wú)旋，是由流體微團(tuán)本身是否旋轉(zhuǎn)來(lái)決定的。流體在流動(dòng)中，如果流場(chǎng)中有若干處流體微團(tuán)具有繞通過(guò)其自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則稱為有旋流動(dòng)。如果在整個(gè)流場(chǎng)中各處的流體微團(tuán)均不繞自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則稱為無(wú)旋流動(dòng)。這里需要說(shuō)明的是，判斷流體流動(dòng)是有旋流動(dòng)還是無(wú)旋流動(dòng)，僅僅由流體微團(tuán)本身是否繞自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)來(lái)決定，而與流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)軌跡無(wú)關(guān)。在圖4-6(a)中，雖然流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)軌跡是直線，但微團(tuán)繞自身軸線旋轉(zhuǎn)，故它是有旋流動(dòng)；在圖4-6(b)中，雖然流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)軌跡是圓形，但由于微團(tuán)本身不旋轉(zhuǎn)，故它是無(wú)旋流動(dòng)。 Fig. 4-6 Rotational and Irrotational Flow速度場(chǎng)是一個(gè)矢量場(chǎng)，根據(jù)矢量場(chǎng)的旋度的概念，速度矢量的旋度為將上式與平均旋轉(zhuǎn)角速度相比較，得 (4.7)所以，平均旋轉(zhuǎn)角速度不僅是分析流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的特征量，也是判斷流體流動(dòng)是有旋流動(dòng)還是無(wú)旋流動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)。判斷流體微團(tuán)無(wú)旋流動(dòng)的條件是：流體中每一個(gè)流體微團(tuán)都滿足 即對(duì)于無(wú)旋流動(dòng) w=0 or或 rotv=0 對(duì)于有旋流動(dòng) w0 or或 rotv04.2.2 旋渦的基本概念在第三章我們給出了描述速度場(chǎng)的流線、流管、流量等基本概念。速度場(chǎng)和旋渦場(chǎng)都是體現(xiàn)流動(dòng)特征的矢量場(chǎng)，因此，描述速度場(chǎng)和旋渦場(chǎng)的基本概念之間，具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。例如 速度場(chǎng)（v） 旋渦場(chǎng)（w）速度 平均旋轉(zhuǎn)角速度流線 渦線流管 渦管這樣，就很容易理解旋渦的一些基本概念了。1. 渦線 某一瞬時(shí)的渦線是這樣的一條曲線，在該曲線上各點(diǎn)的平均旋轉(zhuǎn)角速度矢量與該曲線相切，如圖4-7所示。與流線一樣，在定常流場(chǎng)中，渦線的形狀保持不變，在非定常流場(chǎng)中，渦線的形狀是變化的。 Fig. 4-7 Vortex Line類似流線方程，渦線的方程可寫為2. 渦管在旋渦場(chǎng)中通過(guò)任一不是渦線的封閉曲線的每一點(diǎn)作渦線，這些渦線所形成的管狀表面稱為渦管，如圖4-8所示。3. 渦束截面積無(wú)限小而強(qiáng)度(渦通量)為有限值的渦管。 Fig. 4-8 Vortex Bunch4.2.3 速度環(huán)量 為了進(jìn)一步了解流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，引入流體力學(xué)中重要的基本概念之一速度環(huán)量。 在流場(chǎng)中任取封閉曲線K，如圖4-9所示。速度沿該封閉曲線的線積分稱為 速度沿封閉曲線K的環(huán)量，簡(jiǎn)稱速度環(huán)量，用G表示，即 (4.8)式中 在封閉曲線上的速度矢量； a速度與該點(diǎn)上切線之間的夾角。速度環(huán)量是個(gè)標(biāo)量，但具有正負(fù)號(hào)。速度環(huán)量的正負(fù)不僅與速度方向有關(guān)，而且與積分時(shí)所取的繞行方向有關(guān)。通常規(guī)定逆時(shí)針方向?yàn)镵的正方向，即封閉曲線所包圍的面積總在前進(jìn)方向的左側(cè)，如圖4-7所示。當(dāng)沿順時(shí)針方向繞行時(shí)，式(4.8)應(yīng)加一負(fù)號(hào)。實(shí)際上，速度環(huán)量所表征的是流體質(zhì)點(diǎn)沿封閉曲線K運(yùn)動(dòng)的總的趨勢(shì)的大小，或者說(shuō)所反映的是流體的有旋性。 Fig.4-9 Velocity Circulation 由于和，則代入式（4.8），得 (4.9)4.2.4旋渦強(qiáng)度沿封閉曲線的速度環(huán)量與有 旋流動(dòng)之間有一個(gè)重要的關(guān)系，現(xiàn)僅以平面流動(dòng)為例找出這個(gè)關(guān)系。如圖 4-10所示，在平面Oxy上取一微元矩形封閉曲線，其面積 A=dxdy，流體在A點(diǎn)的速度分量為vx和vy，則B、C和D點(diǎn)的速度分量分別如下：、 、 Fig. 4-10于是，沿封閉曲線反時(shí)針方向ABCDA的速度環(huán)量將點(diǎn)的速度值代入上式，略去高于一階的無(wú)窮小各項(xiàng)，根據(jù)方程(4.5)的第三式，得 (4.10)然后將式(4.10)對(duì)面積積分，得 (4.11)上式即為所謂的反映速度環(huán)量與旋轉(zhuǎn)角速度之間關(guān)系的斯托克斯定理，其表明：沿封閉曲線的速度環(huán)量等于該封閉周線內(nèi)所有的旋轉(zhuǎn)角速度的面積積分的二倍，稱之為旋渦強(qiáng)度I，即或 (4.12)式中wnw在微元面積dA 的外法線n上的分量。 由式(4.8)可導(dǎo)出另一個(gè)表示有旋流動(dòng)的量，稱為渦量，以表示之。它定義為單位面積上的速度環(huán)量，是一個(gè)矢量。它在z軸方向的分量為 對(duì)于流體的三維流動(dòng)，同樣可求得x和y軸方向渦量的分量。于是得 (4.13)即 (4.14)這意味著，在有旋流動(dòng)中，流體流動(dòng)速度的旋度稱為渦量。由此可見，在流體流動(dòng)中，如果渦量的三個(gè)分量中有一個(gè)不等于零，即為有旋流動(dòng)。如果在一個(gè)流動(dòng)區(qū)域內(nèi)各處的渦量分量都等于零，也就是沿任何封閉曲線的速度環(huán)量都等于零，則在這個(gè)區(qū)域內(nèi)的流動(dòng)一定是無(wú)旋流動(dòng)。 在此舉兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明速度環(huán)量和旋渦強(qiáng)度的物理意義，以及有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)的區(qū)別。Example 4.2As shown in Fig. 4-11, a flow rotates counterclockwise like a rigid body at angular velocity w. Find velocity circulation along a closed curve in the flow field, and demonstratethe flow is rotational flow. 例4.2 一個(gè)以角速度w按反時(shí)針方向作像剛體一樣的旋轉(zhuǎn)的流動(dòng)，如圖4-11所示。試求在這個(gè)流場(chǎng)中沿封閉曲線的速度環(huán)量，并證明它是有旋流動(dòng) . Fig. 4-11 Example 4.2 Solution:Randomly take two circles of radius r1and r2 in flow field, their velocities are and respectively, velocity circulation along the circumference ABCDA of the sector area highlighted by inclined lines is解：在流場(chǎng)中對(duì)應(yīng)于任意兩個(gè)半徑r1和r2的圓周，其速度各為 和，沿圖中畫斜線扇形部分的周界ABCDA的速度環(huán)量It is obvious that flow in the region is rotational. Since the sector area is可見，在這個(gè)區(qū)域內(nèi)是有旋流動(dòng)。又由于扇形面積 Thus 于是 The above equation is just a demonstration of Stocks theorem, and the conclusion may be popularized to any region in the circle.上式正是斯托克斯定理的一個(gè)例證，以上結(jié)論可推廣適用于圓內(nèi)任意區(qū)域內(nèi)。Example 4.3 A planar flow rotates concentrically about point O, the magnitude of peripheral velocity at each point is in inverse proportion to radius, that is , where C is constant, as shown in Fig. 4-12. Find the velocity circulation of a closed curve in the flow field, and analyze the flowing status.例4.3 一流體繞O點(diǎn)作同心圓的平面流動(dòng)，流場(chǎng)中各點(diǎn)的圓周速度的大小與該點(diǎn)半徑成反比，即，其中C為常數(shù)，如圖4-12所示。試求在流場(chǎng)中沿封閉曲線的速度環(huán)量，并分析它的流動(dòng)情況。Solution:The velocity circulation along the boundary of the sector area is解：沿扇形面積周界的速度環(huán)量 Fig. 4-12 Example 4.3It can be seen that flow in this region is irrotational. This conclusion may be popularized to any area that does not include the circle center O, such as ABCDA. If the area includes point O( r=0), since its velocity is infinite, it should be disposed as an exception. Now we calculate the velocity circulation along a closed circumference of radius r可見，在這區(qū)域內(nèi)是無(wú)旋流動(dòng)。這結(jié)論可推廣適用于任何不包圍圓心O的區(qū)域內(nèi)，例如ABCDA。若包有圓心( r=0)，該處速度等于無(wú)限大，應(yīng)作例外來(lái)處理?，F(xiàn)在求沿半徑r的圓周封閉曲線的速度環(huán)量 The above expression demonstrates that the velocity circulation along any circumferential curve in flow field will not be zero, and equals a constant, therefore the flow is rotational. But the velocity circulation along any circumference that does not include point O must equal zero, circle center is an isolated vortexpoint, and is called singular point. 上式說(shuō)明，繞任何一個(gè)圓周的流場(chǎng)中，速度環(huán)量都不等于零，并保持一個(gè)常數(shù)，所以是有旋流動(dòng)。但凡是繞不包括圓心在內(nèi)的任何圓周的速度環(huán)量必等于零，故在圓心O點(diǎn)處必有旋渦存在，圓心是一個(gè)孤立渦點(diǎn)，稱為奇點(diǎn)。4.3 無(wú)旋流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)如前所述，在流場(chǎng)中流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度w在任意時(shí)刻處處為零，即滿足的流動(dòng)為無(wú)旋流動(dòng)，無(wú)旋流動(dòng)也稱為有勢(shì)流動(dòng)。4.3.1 速度勢(shì)函數(shù)引入由數(shù)學(xué)分析可知，是成為某一標(biāo)量函數(shù) 全微分的充分必要條件。則函數(shù)j稱為速度勢(shì)函數(shù)。因此，也可以說(shuō)，存在速度勢(shì)函數(shù)j的流動(dòng)為有勢(shì)流動(dòng)。根據(jù)全微分理論，勢(shì)函數(shù)j的全微分可寫成于是有 (4.15)按矢量分析 (4.16)對(duì)于圓柱坐標(biāo)系，則有 (4.17)從而 從以上分析可知，不論是可壓縮流體還是不可壓縮流體，也不論是定常流動(dòng)還是非定常流動(dòng)，只要滿足無(wú)旋流動(dòng)條件，必然存在速度勢(shì)函數(shù)j。4.3.2 速度勢(shì)函數(shù)的性質(zhì)1. 不可壓縮流體的有勢(shì)流動(dòng)中，勢(shì)函數(shù)j滿足拉普拉斯方程，是調(diào)和函數(shù)。 將式(4.15)代入到不可壓縮流體的連續(xù)性方程(3.29)中，則有 (4.18)式中為拉普拉斯算子，式(4.18)稱為拉普拉斯方程，所以在不可壓流體的有勢(shì)流動(dòng)中，速度勢(shì)必定滿足拉普拉斯方程，而凡是滿足拉普拉斯方程的函數(shù)，在數(shù)學(xué)分析中稱為調(diào)和函數(shù)，所以速度勢(shì)函數(shù)是一個(gè)調(diào)和函數(shù)。從上可見，在不可壓流體的有勢(shì)流動(dòng)中，拉普拉斯方程實(shí)質(zhì)是連續(xù)方程的一種特殊形式，這樣把求解無(wú)旋流動(dòng)的問(wèn)題，就變?yōu)榍蠼鉂M足一定邊界條件下的拉普拉斯方程的問(wèn)題。2. 任意曲線上的速度環(huán)量等于曲線兩端點(diǎn)上速度勢(shì)函數(shù)j值之差，而與曲線的形狀無(wú)關(guān)。根據(jù)速度環(huán)量的定義，沿任意曲線AB的線積分這樣，將求環(huán)量問(wèn)題，變?yōu)榍笏俣葎?shì)函數(shù)值之差的問(wèn)題。對(duì)于任意封閉曲線，若A點(diǎn)和B點(diǎn)重合，速度勢(shì)函數(shù)是單值且連續(xù)的，則流場(chǎng)中沿任一條封閉曲線的速度環(huán)量等于零，即。3. 等勢(shì)面與流線垂直將流場(chǎng)中速度勢(shì)相等的點(diǎn)連接起來(lái)，形成一個(gè)三維曲面，稱為等勢(shì)面。在平面流動(dòng)中，稱為等勢(shì)線。在等勢(shì)面上 j（x，y，z）= C或 因?yàn)?代入上式，得即 (4.19)因?yàn)閐l是等勢(shì)面上的有向線段，所以上式說(shuō)明等勢(shì)面與流線垂直。4. 速度勢(shì)在任何方向上的偏導(dǎo)數(shù)，等于速度在該方向上的投影。根據(jù)數(shù)學(xué)上方向?qū)?shù)的概念，速度勢(shì)j在任意方向l上的方向?qū)?shù)為所以 4.4 平面流動(dòng)的流函數(shù)4.4.1 流函數(shù)的引入對(duì)于流體的平面流動(dòng)，其流線的微分方程為，將其改寫成下列形式 (4.20)在不可壓縮流體的平面流動(dòng)中，速度場(chǎng)必須滿足不可壓縮流體的連續(xù)性方程，即 或 (4.21) 由數(shù)學(xué)分析可知，式（4.21）是成為某函數(shù)全微分的充分必要條件，以表示該函數(shù)，則有 (4.22)函數(shù)y稱為流場(chǎng)的流函數(shù)。由式(4.22)可得 (4.23) 由式(4.22)，令dy=0 ，即y=常數(shù)，可得流線微分方程式(4.20)。由此可見, y(x,y)=常數(shù)的曲線即為流線，若給定一組常數(shù)值，就可得到流線簇?；蛘哒f(shuō)，只要給定流場(chǎng)中某一固定點(diǎn)的坐標(biāo)（x0,y0）代入流函數(shù)y，便可得到一條過(guò)該點(diǎn)的確定的流線。因此，借助流函數(shù)可以形象地描述不可壓縮平面流場(chǎng)。 對(duì)于極坐標(biāo)系，方程（4.22）與（4.23）可寫成 (4.24) (4.25) 在已知速度分布的情況下，流函數(shù)的求法與速度勢(shì)一樣，可由曲線積分得出。 至此可看到，在不可壓縮平面流動(dòng)中，只要求出了流函數(shù)y(x,y) ，由式(4.23)或式(4.24)就可求出速度分布。反之，只要流動(dòng)滿足不可壓縮流體的連續(xù)性方程，不論流場(chǎng)是否有旋，流動(dòng)是否定常，流體是理想流體還是黏性流體，必然存在流函數(shù)y。 這里需說(shuō)明，等流函數(shù)線與流線等同，僅在平面流動(dòng)時(shí)成立。對(duì)于三維流動(dòng)，不存在流函數(shù)，但流線還是存在的。 4.4.2 流函數(shù)的性質(zhì)1. 對(duì)于不可壓縮流體的平面流動(dòng)，流函數(shù)y永遠(yuǎn)滿足連續(xù)性方程。將式(4.23)代入式(4.21)，得 即流函數(shù)永遠(yuǎn)滿足連續(xù)性方程。2. For planar potential flow of incompressible fluid, stream function y satisfies Laplaces equation, and is a harmonic function.對(duì)于不可壓縮流體的平面勢(shì)流，流函數(shù)y滿足拉普拉斯方程，流函數(shù)也是調(diào)和函數(shù)。對(duì)于平面無(wú)旋流動(dòng)，因?yàn)椋瑒t 將式(4.23)代入上式，得 It is clear that the stream function of incompressible irrotational planar flow also satisfies Laplaces equation, and is a harmonic function.可見，不可壓縮流體平面無(wú)旋流動(dòng)的流函數(shù)也滿足拉普拉斯方程，也是一個(gè)調(diào)和函數(shù)。 Fig.4-13 Stream Function因此，在平面不可壓縮流體的有勢(shì)流場(chǎng)中的求解問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)滿足邊界條件的拉普拉斯方程。 3. 平面流動(dòng)中，通過(guò)兩條流線間任一曲線單位厚度的體積流量等于兩條流線的流函數(shù)之差。這就是流函數(shù)y的物理意義。 如圖4-13所示，在兩流線間任取一曲線AB，則通過(guò)曲線AB單位厚度的體積流量為 (4.26)由式(4.26)可知，平面流動(dòng)中兩條流線間單位寬度通過(guò)的流量等于這兩條流線上的流函數(shù)之差。4.4.3 j和y的關(guān)系1. 滿足柯西-黎曼條件 如果是不可壓縮流體的平面無(wú)旋流動(dòng)，必然同時(shí)存在著速度勢(shì)和流函數(shù)，比較式(4.15)和式(4.23)，可得到速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)之間存在的如下關(guān)系 (4.27) (4.28) 這是一對(duì)非常重要的關(guān)系式，在高等數(shù)學(xué)中稱作柯西-黎曼條件。因此，j和y互為共軛調(diào)和函數(shù)，這就有可能使我們利用復(fù)變函數(shù)這樣有力的工具求解此類問(wèn)題。 當(dāng)勢(shì)函數(shù)j和流函數(shù)y二者知其一時(shí)，另一個(gè)則可利用式(4.27)的關(guān)系求出，而至多相差一任意常數(shù)。1. 流線與等勢(shì)線正交 Fig. 4-14 Flow Net式(4.27)是等勢(shì)線簇j (x,y)=常數(shù)和流線簇y(x,y)=常數(shù)互相正交的條件，若在同一流場(chǎng)中繪出相應(yīng)的一系列流線和等勢(shì)線，則它們必然構(gòu)成正交網(wǎng)格，稱為流網(wǎng)，如圖4-14所示。 Example 4.4Velocity distribution of an incompressible planar flow is . Find :(1) whether there exist stream function and velocity potential in the planar flow; (2) the expressions of j and y if they do exist; (3) if the absolute pressure at point A(1m, 1m) in the flow field is 1.4105Pa, density of the fluid is 1.2kg/m3, what is the absolute pressure at point B(2m, 5m)?例4.4 有一不可壓流體平面流動(dòng)的速度分布為。(1) 該平面流動(dòng)是否存在流函數(shù)和速度勢(shì)函數(shù)；(2)若存在，試求出其表達(dá)式；(3)若在流場(chǎng)中A（1m，1m）處的絕對(duì)壓強(qiáng)為1.4105Pa，流體的密度1.2kg/m3，則B（2m，5m）處的絕對(duì)壓強(qiáng)是多少？Solution: (1) From continuity equation of incompressible planar flow解 由不可壓流體平面流動(dòng)的連續(xù)性方程The flow meets continuity equation, thus there exist stream function. 該流動(dòng)滿足連續(xù)性方程，故存在流函數(shù)。 For planar flow, , and because 對(duì)于平面流動(dòng) ，又因?yàn)?So the flow is irrotational, there exist velocity potential function. 該流動(dòng)無(wú)旋，存在速度勢(shì)函數(shù)。(2) According to the total differential of stream function, we obtain 由流函數(shù)的全微分得：By integration, we have 積分，得 According to the total differential of velocity potential , we obtain由速度勢(shì)函數(shù)的全微分得：By integration, we have積分，得 Example 4.5Assume velocity distribution of a planar flow is Find: (1) whether it satisfies continuity equation; (2) velocity potential j; (3) stream function y.例4.5 設(shè)平面流動(dòng)的速度分布為 求：（1）是否滿足連續(xù)方程；（2）速度勢(shì)j；（3）流函數(shù)y。Solution:(1) Since 由于 The flow satisfies continuity equation. 流動(dòng)滿足連續(xù)方程。(2) For planar flow, wx=wy=0. Since 對(duì)于平面流動(dòng)，wx=wy=0。又So the flow is irrotational, there exist velocity potentialj:所以流動(dòng)是無(wú)旋流動(dòng)，存在速度勢(shì)j：Take integral path as shown in Fig.4-15, the x in the second term on the right-hand side of the above equation is constant, thus取積分路徑如圖4-15所示，上式右端第二項(xiàng)中x Fig. 4-15為常數(shù)，所以(3) Since continuity equation is satisfied, there must exist stream function y. Because the integration is independent of integral path, we may take the same integral path shown in Fig. 4-15.因?yàn)闈M足連續(xù)性方程，故存在流函數(shù)y。由于積分與路徑無(wú)關(guān)，可以取圖4-15相同的積分路徑。Example 4.6Stream function of incompressible planar flow is y=5xy, (1) Prove the flow is a potential flow, then find velocity potential function; (2) Find velocity at point (1, 1); (3) If pressure at point (1, 1) is 105Pa, the density of the fluid is r=1000kg/m3. Find the pressure at the stagnation point in flow field.例4.6 不可壓縮平面流場(chǎng)的流函數(shù)為y=5xy，（1）證明流動(dòng)有勢(shì)，并求速度勢(shì)函數(shù)；（2）求（1，1）點(diǎn)的速度（單位為m/s）；（3）如果點(diǎn)（1，1）的壓強(qiáng)為105Pa，r=1000kg/m3。試求流場(chǎng)中的駐點(diǎn)壓強(qiáng)。Solution: (1) Since 解： 因?yàn)锳nd because the flow is two-dimensional flow, wx=0, wy=0, , therefore the flow is potential flow, there exist velocity potential function.又因?yàn)槭瞧矫媪鲃?dòng)，wx=wy=0，故流動(dòng)為有勢(shì)流動(dòng)，存在速度勢(shì)函數(shù)。（2） velocity components at point (1, 1) are vx=5(m/s) and vy=-5(m/s)（1，1）點(diǎn)的速度分量為vx=5(m/s)，vy=-5(m/s) （3）Suppose pressure at the stagnation point is p0, from Bernoullis equation for incompressible fluid, we obtain 設(shè)駐點(diǎn)的壓強(qiáng)為p0，由不可壓縮流體的伯努利方程，得4.5 基本平面勢(shì)流及其疊加4.5.1 直均流所謂直均流，就是流體質(zhì)點(diǎn)以相同的速度相互平行地作等速直線運(yùn)動(dòng)。如圖4-16所示，取流體運(yùn)動(dòng)方向?yàn)閛x軸，其速度分布為vx=v0，vy=0.因?yàn)樗允菬o(wú)旋運(yùn)動(dòng)，存在速度勢(shì)j=v0x (4.29)當(dāng)j=常數(shù)時(shí)，x=常數(shù)，所以等勢(shì)線是xC的一族與y軸平行的直線，如圖4-16中的虛線所示。將速度分布函數(shù)代入人連續(xù)性方程，因?yàn)闈M足 存在流函數(shù)y y=v0y (4.30) Fig. 4-16 Parallel Flow當(dāng)y=常數(shù)時(shí)，y=常數(shù)，所以流線是平行x軸的直線族，如圖4-16中箭頭線所示。4.5.2 源和匯 如果在無(wú)限平面上流體不斷從一點(diǎn)沿徑向直線均勻地向各方流出，則這種流動(dòng)稱為點(diǎn)源，這個(gè)點(diǎn)稱為源點(diǎn)，如圖4-17(a)所示；相反，若流體不斷沿徑向直線均勻地從各方流入一點(diǎn)，則這種流動(dòng)稱為點(diǎn)匯，這個(gè)點(diǎn)稱為匯點(diǎn)，如圖4-12(b)所示。顯然，這兩種流動(dòng)的流線都是從原點(diǎn) O發(fā)出的放射線，即從源點(diǎn)流出和向匯點(diǎn)流入都只有徑向速度vr 。現(xiàn)將極坐標(biāo)的原點(diǎn)作為源點(diǎn)或匯點(diǎn)，得極坐標(biāo)系中的速度分布 (4.31)可以證明該流場(chǎng)滿足速度勢(shì)和流函數(shù)的存在條件，速度勢(shì)為 (4.32) Fig. 4-17 (a) Source (b) Sink或者 (4.33)當(dāng)j=常數(shù)時(shí)，r=常數(shù)，所以等勢(shì)線是rC的一族同心圓。C為任意常數(shù)。流函數(shù)為 (4.34)當(dāng)y=常數(shù)時(shí)，q=常數(shù)，所以流函數(shù)的等值線是q=常數(shù)的射線族，如圖4-17所示。列出流場(chǎng)中任一點(diǎn)與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)間的伯努利方程，得式中p為無(wú)窮遠(yuǎn)處（速度為零）的壓強(qiáng)，則任意一點(diǎn)的壓強(qiáng)可表示為 (4.35)由上式可知，壓強(qiáng)隨距離r減小而減小，在處壓強(qiáng)變?yōu)榱恪?Fig. 4-18 Pressure Distribution of a Sink圖4-18 為匯的壓強(qiáng)分布圖。4.5.3 點(diǎn)渦 設(shè)有一旋渦強(qiáng)度為I的無(wú)限長(zhǎng)直線渦束，該渦束以等角速度w繞自身軸旋轉(zhuǎn)，并帶動(dòng)渦束周圍的流體繞其環(huán)流。由于直線渦束為無(wú)限長(zhǎng)，所以可以認(rèn)為與渦束垂直的所有平面上的流動(dòng)情況都一樣。也就是說(shuō)，這種繞無(wú)限長(zhǎng)直線渦束的流動(dòng)可以作為平面流動(dòng)來(lái)處理。由渦束所誘導(dǎo)出的環(huán)流的流線是許多同心圓，如圖4-14所示。根據(jù)斯托克斯定理可知，沿任一同心圓周流線的速度環(huán)量等于渦束的旋渦強(qiáng)度，即 Fig. 4-19 于是 (4.36)因此渦束外的速度與半徑成反比。若渦束的半徑 ，則成為一條渦線，這樣的流動(dòng)稱為點(diǎn)渦，又稱為純環(huán)流。但當(dāng)時(shí)，所以渦點(diǎn)是一個(gè)奇點(diǎn)?，F(xiàn)在求點(diǎn)渦的速度勢(shì)和流函數(shù)。由于由 積分后得速度勢(shì) (4.37)又由于 由積分后得流函數(shù) (4.38)當(dāng)時(shí)，環(huán)流為反時(shí)針方向，如圖4-14所示；當(dāng)時(shí)，環(huán)流為順時(shí)針方向。由式(4.37)和式(4.38)可知，點(diǎn)渦的等勢(shì)線簇是經(jīng)過(guò)渦點(diǎn)的放射線，而流線簇是同心圓。而且除渦點(diǎn)外，整個(gè)平面上都是有勢(shì)流動(dòng)。 設(shè)渦束的半徑為r0，渦束邊緣上的速度為，壓強(qiáng)為p0；時(shí)的速度顯然為零，而壓強(qiáng)為p。代入伯努里方程（3.41），得渦束外區(qū)域內(nèi)的壓強(qiáng)分布為 (4.39)由上式可知，在渦束外區(qū)域內(nèi)的壓強(qiáng)隨著半徑的減小而降低，渦束外緣上的壓強(qiáng)為或 (4.40) 所以渦束外區(qū)域內(nèi)從渦束邊緣到無(wú)窮遠(yuǎn)處的壓強(qiáng)降是一個(gè)常數(shù)。又由式(4.39)可知，在處，壓強(qiáng)，顯然這是不可能的。所以在渦束內(nèi)確實(shí)存在如同剛體一樣以等角速度旋轉(zhuǎn)的旋渦區(qū)域，稱為渦核區(qū)。由式(4.40)可得渦核的半徑。由于渦核內(nèi)是有旋流動(dòng)，故流體的壓強(qiáng)可以根據(jù)歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程求得。平面定常流動(dòng)的歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程為將渦核內(nèi)任一點(diǎn)的速度vx=-wy和vy= wx代入上兩式，得 以dx和dy分別乘以上兩式，然后相加，得或積分得在r=r0處，p=p0、vq=v0，代入上式，得最后得渦核區(qū)域內(nèi)的壓強(qiáng)分布為 (4.41)或 (4.42)于是渦核中心的壓強(qiáng) 所以 可見，渦核內(nèi)、外的壓強(qiáng)降相等，都等于用渦核邊緣速度計(jì)算的動(dòng)壓頭。渦核內(nèi)、外的速度分布和壓強(qiáng)分布如圖4-20所示。 Fig. 4-20 4.6 基本平面勢(shì)流的疊加既然在上述章節(jié)所給出的基本流函數(shù)與勢(shì)函數(shù)可以用來(lái)表征某些簡(jiǎn)單的流動(dòng)，那么也可以將這些基本流動(dòng)進(jìn)行疊加，從而得到更復(fù)雜的流態(tài)。由方程(4.15)與(4.23)可知，速度是流函數(shù)或勢(shì)函數(shù)的線性函數(shù)。另外，拉普拉斯方程也是線性函數(shù)。根據(jù)拉普拉斯方程的線性關(guān)系可知，如果已知兩個(gè)解，則該兩個(gè)解的任何線性組合也構(gòu)成一個(gè)解。這意味著通過(guò)疊加、即將簡(jiǎn)單的解相加，可以構(gòu)造出方程更復(fù)雜的解。換句話說(shuō)，如果存在兩個(gè)無(wú)旋不可壓的速度場(chǎng)，則速度的矢量合也是無(wú)旋不可壓流動(dòng)方程的有效解。設(shè)有勢(shì)函數(shù)j1、 j2、 j3等等，這些函數(shù)的疊加便構(gòu)成一個(gè)新的勢(shì)函數(shù)j=j1+j2+j3+ (4.43)從而 因此 (4.44)流函數(shù)也存在類似的關(guān)系。由于所有勢(shì)函數(shù)滿足拉普拉斯方程，則 (4