第五章 圓(二).doc

第五章 圓（二）五、圓內(nèi)接四邊形1、名稱：外接圓，圓內(nèi)接四邊形。2、性質(zhì)：對(duì)角互補(bǔ)。外角等于內(nèi)對(duì)角。共圓的四個(gè)點(diǎn)所連成同側(cè)共底的兩個(gè)三角形的頂角相等。3、四點(diǎn)共圓的判定：證四點(diǎn)共圓是建立在四邊形的基礎(chǔ)上，是平面幾何中化未知為已知的過(guò)程。從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個(gè)圓上，若能證明這一點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓。一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，四頂點(diǎn)共圓。一外角等于內(nèi)對(duì)角的四邊形，四頂點(diǎn)共圓。把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等(同弧所對(duì)的圓周角相等），從而即可肯定這四點(diǎn)共圓 （若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個(gè)點(diǎn)共圓，且斜邊上兩點(diǎn)連線為該圓直徑。）把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點(diǎn)共圓（相交弦定理的逆定理）；或把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連結(jié)并延長(zhǎng)相交的兩線段，若能證明自交點(diǎn)至一線段兩個(gè)端點(diǎn)所成的兩線段之積等于自交點(diǎn)至另一線段兩端點(diǎn)所成的兩線段之積，即可肯定這四點(diǎn)也共圓（割線定理的逆定理）證被證共圓的點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等，從而確定它們共圓既連成的四邊形三邊中垂線有交點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓。同斜邊的兩個(gè)Rt三角形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓，其斜邊為圓的直徑。例1 求證：銳角三角形三邊上中點(diǎn)和一邊上高的垂足四點(diǎn)共圓。已知：如圖 在ABC中，D、E、F分別是BC、CA、AB的中點(diǎn)。APBC于P求證：D、P、E、F四點(diǎn)共圓。證明：D、E、F分別是BC、CA、AB的中點(diǎn) DCEF是平行四邊形 EFD=C又APBC EP=EC EPC=C EPC=EFD D、P、E、F四點(diǎn)共圓。例2 已知在ABC中，ADBC于D，DEAC于E，DFAB于F。求證：F、B、C、E四點(diǎn)共圓證明：DFAB,DEACAFDE共圓ADF=AEF又ADBCADF+BDF=90 又B+BDF=90ADF=B AEFBF、B、C、E四點(diǎn)共圓作業(yè)：求證：鈍角三角形各邊中點(diǎn)和夾鈍角的一邊上的高的垂足四點(diǎn)共圓。對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)四點(diǎn)共圓。M、N是ABC的AB、AC上的中點(diǎn)，MQAB交AC于Q，NPAC交AB于P，求證：P、B、C、Q四點(diǎn)共圓。六、直線和圓的位置關(guān)系1、位置關(guān)系相離 沒(méi)有交點(diǎn) dr 相切 一個(gè)交點(diǎn) d=r相交 兩個(gè)交點(diǎn)dr2、切線判定：有一個(gè)交點(diǎn)d=r過(guò)半徑外端且垂直于半徑的直線是切線。性質(zhì)：過(guò)圓心垂直于半徑的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)。過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)向圓引切線，這兩條切線長(zhǎng)相等。推論：從圓外一點(diǎn)向圓引兩條切線，這點(diǎn)和圓心的連線平分這兩條切線所成的角。推論：從圓外一點(diǎn)向圓引兩條切線，這點(diǎn)和圓心的連線垂直平分連接兩切點(diǎn)的弦。從圓外一點(diǎn)向圓引切線的方法：以圓外一點(diǎn)P到圓心O的距離為直徑作圖。(略)在已知線段上作含有已知弓形角的?。裕?、圓冪定理：和圓有關(guān)的成比例線段定理。相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等，即PAPB=PCPD。 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng),即PT2=PAPB。 割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A、B；C、D，則有 PAPB=PCPD。 統(tǒng)一歸納：過(guò)任意不在圓上的一點(diǎn)P引兩條直線L1、L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D（可重合），則有PAPB=PCPD?？偨Y(jié)：過(guò)任意不在圓上的一點(diǎn)P引一條直線與圓交于AB兩點(diǎn)，PAPB為定值。以直徑為底邊的圓內(nèi)接三角形中的射影定理（略）。七、圓和圓的位置關(guān)系1、位置關(guān)系：相離 沒(méi)有交點(diǎn)dR+r外切 一個(gè)交點(diǎn)d=R+r相交 兩個(gè)交點(diǎn)dR+r內(nèi)切 一個(gè)交點(diǎn)d=R-r內(nèi)含 沒(méi)有交點(diǎn)dR-r定理：兩圓相交，連心線垂直平分共弦。定理：兩圓相切，連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)。定理：兩圓相切，連心線垂直于過(guò)切點(diǎn)的公切線。2、公切線：定理：兩內(nèi)公切線的長(zhǎng)相等。定理：兩外公切線的長(zhǎng)相等。定理：連心線經(jīng)過(guò)兩公切線的交點(diǎn)。定理：連心線平分兩公切線所成的角。注意：兩圓相交時(shí)，公共弦是一重要的輔助線。兩圓相切時(shí)，過(guò)切點(diǎn)的公切線是一重要的輔助線。 作業(yè)：如圖，已知EP切O1于P，PAC交O2于C，PBD交O2于D，求證：CDEP提示：作公共弦AB八、正多邊形1、定義：各邊相等、各角也相等的多邊形。2、將圓n等分，則 依次連接各分點(diǎn)所成的圖形是圓內(nèi)接正多邊形。過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線得圓外切正多邊形。任何正多邊形都有一個(gè)內(nèi)切圓和一個(gè)外接圓。這兩個(gè)圓是同心圓，這個(gè)圓心叫正多邊形的中心。外接圓的半徑叫正多邊形的半徑，用Rn表示，內(nèi)切圓的半徑叫正多邊形的邊心距，用rn表示。正多邊形每一條邊所對(duì)的圓心角叫正多邊形的中心角，用n表示。3、有關(guān)計(jì)算：若正多邊形的邊數(shù)、邊長(zhǎng)、半徑、邊心距、中心角、周長(zhǎng)、面積分別用n、a、R、r、L、S表示。則= a=Rsin R2=r2+()2 r=Rcos L=na S=ar正n邊形的內(nèi)角和=（n2)180 正n邊形的一個(gè)內(nèi)角=(n-2)180n. 正n邊形外角和等于n180(n2)180=360 所以正n邊形的一個(gè)外角為：360n. 所以正n邊形的一個(gè)內(nèi)角也可以用這個(gè)公式：180-360n. 4、正多邊形的對(duì)角線和對(duì)稱軸對(duì)角線：在一個(gè)正多邊形中，一個(gè)點(diǎn)可以與除了與他相鄰的所有點(diǎn)連線，那么這個(gè)正多邊形就可以從一個(gè)頂點(diǎn)引(n-3)條對(duì)角線，也就成了(n-2)個(gè)三角形。三角形內(nèi)角和=180度，所以把邊數(shù)減2乘上180度，就是這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和。 對(duì)角線數(shù)量的計(jì)算公式：n(n-3)2。對(duì)稱軸：奇數(shù)邊：連接一個(gè)頂點(diǎn)和頂點(diǎn)所對(duì)的邊的中點(diǎn)，即為對(duì)稱軸；偶數(shù)邊：連接相對(duì)的兩個(gè)邊的中點(diǎn)，或者連接相對(duì)稱的兩個(gè)頂點(diǎn)，都是對(duì)稱軸。正n邊形邊數(shù)為對(duì)稱軸的條數(shù)為n。5、圓的等分：3、6、12；4、8、16；5、10、20在正多邊形中，只有三種能用來(lái)鋪滿一個(gè)平面而中間沒(méi)有空隙，這就是正三角形、正方形、正六邊形。因?yàn)檎切蔚拿恳粋€(gè)角等于60度，六個(gè)正三角形拼在一起時(shí)，在公共頂點(diǎn)上的六個(gè)角之和等于360度；正方形的每個(gè)角等于90度，所以四個(gè)正方形拼在一起時(shí)，在公共頂點(diǎn)上四個(gè)角的和也剛好等于360度；正六邊形的每個(gè)角等于120度，三個(gè)正六邊形拼在一起時(shí)，在公共頂點(diǎn)上的三個(gè)角之和也等于360度，如果用別的正多邊形，就不能達(dá)到這個(gè)要求。例如正五邊形的每只角等于108度，把三個(gè)正五邊形拼在一起，在公共頂點(diǎn)上三個(gè)角之和是108度*3=324度，小于360度有空隙。而空隙處又放不下第四個(gè)正五邊形，因?yàn)?08度*4=432度，大于360度。6、黃金分割（中外比）的尺規(guī)作圖。以AB為一條直角邊作RtABC使另一條直角邊BC=AB，以C為圓心，CB為半徑畫(huà)弧交CA于D，以A為圓心，AD為半徑畫(huà)弧交AB于P。P就是AB的黃金分割點(diǎn)。將圓的半徑黃金分割，長(zhǎng)段就是正十邊形的邊長(zhǎng)。7、圓周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、圓面積、扇形面積、弓形面積、圓環(huán)面積C=2r=d l=n S圓=r2S扇=nr2/360 S弓= nr2/360-S S環(huán)=S大圓-S小圓8、點(diǎn)的軌跡：點(diǎn)按照一定條件運(yùn)動(dòng)，所遺留下的痕跡。軌跡的條件：連貫、位置、大小、形狀。軌跡命題的結(jié)構(gòu)：前提-是-結(jié)論。圓：到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為圓心、定長(zhǎng)為半徑的圓。角平分