（浙江版）2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題8.3 空間點、線、面的位置關(guān)系（講）.docVIP

第03節(jié) 空間點、線、面的位置關(guān)系【考綱解讀】考 點考綱內(nèi)容5年統(tǒng)計分析預(yù)測空間點、線、面的位置關(guān)系了解平面的含義，理解空間點、直線、平面位置關(guān)系的定義，掌握公理、判定定理和性質(zhì)定理；了解兩點間距離、點到平面的距離的含義。理解兩條異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的概念。2013浙江文20；理10; 2014浙江文6；理20;2015浙江文4,7；理8,13; 2016浙江文2,14；理2;2017浙江9,19.1.以幾何體為載體，考查點線面的位置關(guān)系，以及異面直線所成角、線面角等，與平行關(guān)系、垂直關(guān)系等相結(jié)合考查的情況.2.判斷線線、線面、面面的位置關(guān)系.3.備考重點： (1) 掌握相關(guān)定義、公理、定理；(2)掌握平行關(guān)系、垂直關(guān)系的常見轉(zhuǎn)換方法.（3）掌握各種角的計算方法.【知識清單】1.平面的基本性質(zhì)(1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi))(2)公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面(即可以確定一個平面)(3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面對點練習(xí)：下列命題：三個點確定一個平面；一條直線和一點確定一個平面；兩條相交直線確定一個平面；兩條平行線確定一個平面；若四點不共面，則必有三點不共線其中正確命題是_【答案】2. 空間兩直線的位置關(guān)系直線與直線的位置關(guān)系的分類直線與平面的位置關(guān)系有平行、相交、在平面內(nèi)三種情況平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補對點練習(xí)：【2016高考浙江理數(shù)】已知互相垂直的平面交于直線l.若直線m，n滿足 則（ ）aml bmn cnl dmn【答案】c【解析】由題意知，故選c 3.異面直線所成的角異面直線所成的角定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點o作直線aa，bb，把a與b所成的銳角或直角叫作異面直線a，b所成的角(或夾角)范圍：.異面直線的判定方法：判定定理：平面外一點a與平面內(nèi)一點b的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線；反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面對點練習(xí)：【2017課標(biāo)ii，理10】已知直三棱柱中，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）a b c d【答案】c4.直線與平面所成角1直線和平面所成角的求法：如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為e，平面的法向量為n，直線l與平面所成的角為，兩向量e與n的夾角為，則有sin |cos |.對點練習(xí)：【2017浙江，19】（本題滿分15分）如圖，已知四棱錐pabcd，pad是以ad為斜邊的等腰直角三角形，cdad，pc=ad=2dc=2cb，e為pd的中點（）證明：平面pab；（）求直線ce與平面pbc所成角的正弦值【答案】（）見解析；（）【解析】試題解析： mh是mq在平面pbc上的射影，所以qmh是直線ce與平面pbc所成的角設(shè)cd=1在pcd中，由pc=2，cd=1，pd=得ce=，在pbn中，由pn=bn=1，pb=得qh=，在rtmqh中，qh=，mq=，所以sinqmh=， 所以直線ce與平面pbc所成角的正弦值是5.二面角1求二面角的大小(1)如圖1，ab、cd是二面角l的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小，(2)如圖2、3，分別是二面角l的兩個半平面，的法向量，則二面角的大小(或)對點練習(xí)：【2017浙江，9】如圖，已知正四面體dabc（所有棱長均相等的三棱錐），p，q，r分別為ab，bc，ca上的點，ap=pb，分別記二面角dprq，dpqr，dqrp的平面角為，則abcdcd，s是直角梯形abdc所在平面外一點，畫出平面sbd和平面sac的交線【答案】見解析.【領(lǐng)悟技法】公理1是判斷一條直線是否在某個平面的依據(jù)；公理2及其推論是判斷或證明點、線共面的依據(jù)；公理3是證明三線共點或三點共線的依據(jù)要能夠熟練用文字語言、符號語言、圖形語言來表示公理畫幾何體的截面，關(guān)鍵是畫截面與幾何體各面的交線，此交線只需兩個公共點即可確定，作圖時充分利用幾何體本身提供的面面平行等條件，可以更快地確定交線的位置證明四點共面的基本思路：一是直接證明，即利用公理或推論來直接證明；二是先由其中不共線的三點確定一個平面，再證第四個點也在這個平面內(nèi)即可要證明點共線或線共點的問題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明點在直線上，也就是利用公理3，即證點在兩個平面的交線上或者選擇其中兩點確定一直線,然后證明另一點也在直線上.【觸類旁通】【變式1】如果平面外有兩點、，它們到平面的距離都是，則直線和平面的位置關(guān)系一定是（ ）a. 平行 b. 相交 c. 平行或相交 d. 【答案】c【變式2】如圖，空間四邊形abcd中，e，f分別是ab，ad的中點，g，h分別在bc，cd上，且bggcdhhc12.（）求證：e，f，g，h四點共面；（）設(shè)eg與fh交于點p，求證：p，a，c三點共線【答案】見解析.【解析】 （）e，f分別為ab，ad的中點，efbd.在bcd中，ghbd，efgh.e，f，g，h四點共面（）egfhp，peg，eg平面abc，p平面abc.同理p平面adc.p為平面abc與平面adc的公共點又平面abc平面adcac，pac，p，a，c三點共線 【變式3】如圖，在四面體abcd中 ，e，g分別為bc，ab的中點，f在cd上，h在ad上，且有dffcdhha23.求證：ef，gh，bd交于一點【答案】見解析.設(shè)gh和ef交于一點o.因為o在平面abd內(nèi)，又在平面bcd內(nèi)，所以o在這兩個平面的交線上因為這兩個平面的交線是bd，且交線只有這一條，所以點o在直線bd上這就證明了gh和ef的交點也在bd上，所以ef，gh，bd交于一點綜合點評：(1)要證明“線共面”或“點共面”可先由部分直線或點確定一個平面，再證其余直線或點也在這個平面內(nèi)(即“納入法”).(2)要證明“點共線”可將線看作兩個平面的交線，只要證明這些點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)公理3可知這些點在交線上或選擇某兩點確定一條直線，然后證明其他點都在這條直線上.考點二 空間兩直線的位置關(guān)系【2-1】【2018屆浙江省嘉興市第一中學(xué)高三9月測試】設(shè)m,n是兩條不同的直線，時一個平面，則下列說法正確的是（ ）a. 若m/,n/,則m/n b. 若m/,n/,則mnc. 若m,n,則m/n d. 若m,n,則mn【答案】c【2-2】【2017屆浙江省zdb聯(lián)盟高三一?！恳阎矫婧凸裁娴膬蓷l不同的直線，下列命題是真命題的是（ ）a. 若與所成的角相等，則b. 若， ，則c. 若， ，則d. 若， ，則【答案】d【解析】本題考查空間直線與直線的位置關(guān)系如圖甲示，直線與平面均成角，但與不平行，故錯；如圖乙示， ，直線，且，但與不平行，故錯；如圖丙示， ，且但，故錯；如圖丁示， ，由知；又，則；又共面，則故正確答案為.【2-3】如圖是正四面體的平面展開圖，g，h，m，n分別為de，be，ef，ec的中點，在這個正四面體中，gh與ef平行；bd與mn為異面直線；gh與mn成60角；de與mn垂直以上四個命題中，正確命題的序號是_【答案】【2-4】如圖，三棱柱中，側(cè)棱底面，底面三角形是正三角形，是中點，則下列敘述正確的是（）a與是異面直線 b平面c d平面【答案】c【領(lǐng)悟技法】空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定，對于異面直線，可采用直接法或反證法；對于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、平行公理及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；對于垂直關(guān)系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來解決.【觸類旁通】【變式1】【2017屆浙江省麗水市高三下學(xué)期測試】設(shè)是兩條不同的直線， 是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（ ）a. 若， ，且，則b. 若， ， ，則c. 若， ， ，則d. 若， ， ，則【答案】c【解析】a,若m，n，且，則m、n平行、相交、或異面，不正確；b,m,n,m,n共面時,mn，不正確；c，m，n，mn，利用平面與平面垂直的判定定理，可得，正確；d，mn，m，n，則、平行或相交，不正確。本題選擇c選項.【變式2】如圖是正方體的平面展開圖，則在這個正方體中：bm與ed平行；cn與be是異面直線；cn與bm成60角；dm與bn是異面直線以上四個結(jié)論中，正確的序號是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【變式3】【廣東卷】若直線l1和l2是異面直線，l1在平面內(nèi)，l2在平面內(nèi)，l是平面與平面的交線，則下列命題正確的是()a.l與l1，l2都不相交b.l與l1，l2都相交c.l至多與l1，l2中的一條相交d.l至少與l1，l2中的一條相交【答案】d【變式4】如圖，在正方體abcda1b1c1d1中，m、n分別為棱c1d1、c1c的中點，有以下四個結(jié)論：直線am與cc1是相交直線；直線am與bn是平行直線；直線bn與mb1是異面直線；直線am與dd1是異面直線其中正確的結(jié)論為_(注：把你認為正確的結(jié)論的序號都填上)【答案】【解析】a，m，c1三點共面，且在平面ad1c1b中，但c平面ad1c1b，因此直線am與cc1是異面直線，同理am與bn也是異面直線，am與dd1也是異面直線，錯，正確；m，b，b1三點共面，且在平面mbb1中，但n平面mbb1，因此直線bn與mb1是異面直線，正確綜合點評：判定空間兩條直線是異面直線的方法：(1)判定定理：平面外一點a與平面內(nèi)一點b的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點b的直線是異面直線.(2)反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面.考點3 異面直線所成的角【3-1】【2017屆“超級全能生”浙江省高三3月聯(lián)考】矩形abcd中，ab=3，bc=1，將abc與adc沿ac所在的直線進行隨意翻折，在翻折過程中直線ad與直線bc成的角范圍（包含初始狀態(tài)）為（ ）a. 0,6 b. 0,3c. 0,2 d. 0,23【答案】c【3-2】【大綱全國卷】已知正四面體abcd中，e是ab的中點，則異面直線ce與bd所成角的余弦值為()a. b. c. d.【答案】b【解析】如圖所示，取ad的中點f，連ef，cf，則efbd，異面直線ce與bd所成的角即為ce與ef所成的角cef. 由題知，abc，adc為正三角形，設(shè)ab2，則cecf，efbd1.在cef中，由余弦定理，得coscef，故選b.【3-3】異面直線所成的角，直線，則異面直線直線與所成的角的范圍為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】作b的平行線b，交a于o點，【領(lǐng)悟技法】求異面直線所成的角常采用“平移線段法”，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補形平移計算異面直線所成的角通常放在三角形中進行平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題化歸為共面問題來解決，具體步驟如下：平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；計算：求該角的值，常利用解三角形；取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為兩條異面直線所成的角求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍【觸類旁通】【變式1】【2016高考新課標(biāo)1卷】平面過正方體abcd-a1b1c1d1的頂點a,/平面cb1d1,平面abcd=m,平面ab b1a1=n,則m、n所成角的正弦值為(a) (b) (c) (d)【答案】a【變式2】【2017屆浙江溫州中學(xué)高三11月模擬】如圖四邊形，.現(xiàn)將沿折起，當(dāng)二面角處于過程中，直線與所成角的余弦值取值范圍是（ ）a b c d【答案】d.【解析】試題分析：如圖所示，取中點，連結(jié)，即為二面角的平面角，而，設(shè)異面直線，所成的角為，故選d.【變式3】【2017課標(biāo)3，理16】a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形abc的直角邊ac所在直線與a，b都垂直，斜邊ab以直線ac為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：當(dāng)直線ab與a成60角時，ab與b成30角；當(dāng)直線ab與a成60角時，ab與b成60角；直線ab與a所成角的最小值為45；直線ab與a所成角的最小值為60.其中正確的是_.（填寫所有正確結(jié)論的編號）【答案】【解析】【變式4】如圖，在四棱錐pabcd中，底面abcd是矩形，pa底面abcd，e是pc的中點已知ab2，ad2，pa2.求： （）三角形pcd的面積；（）異面直線bc與ae所成的角的大小【答案】（1）2；（2）.【解析】（）因為pa底面abcd，所以pacd.又adcd，paada，所以cd平面pad，從而cdpd.因為pd2，cd2，所以三角形pcd的面積為222. 綜合點評：求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補形平移.考點4 直線與平面所成角【4-1】【2017屆浙江省湖州、衢州、麗水三市高三4月聯(lián)考】已知矩形， ，沿直線將折成，使點在平面上的射影在內(nèi)（不含邊界）設(shè)二面角的大小為，直線， 與平面所成的角分別為則（ )a. b. c. d. 【答案】d【解析】如圖，作于e， 是在平面內(nèi)的射影，連接，易知，在矩形中，作于e，延長交于，由點必落在上，由知，從而，即，故選d【4-2】【2017 屆浙江省杭州高級中學(xué)高三2月模擬】如圖，正四面體的頂點在平面內(nèi)，且直線與平面所成角為，頂點在平面上的射影為點，當(dāng)頂點與點的距離最大時，直線與平面所成角的正弦值為_.【答案】設(shè)正四面體的邊長為1,則，bco=15,bcp=30,ocn=45，n到平面的距離.過d作dm平面,垂足為m,則，直線cd與平面所成角的正弦值為.【4-3】【2016年浙江卷】如圖，在三棱臺abcdef中，平面bcfe平面abc，acb=90，be=ef=fc=1，bc=2，ac=3.（）求證：bf平面acfd；（）求直線bd與平面acfd所成角的余弦值.【答案】（1）證明詳見解析；（2）.試題解析：（）延長相交于一點，如圖所示.因為平面平面，且，所以平面，因此，.又因為，所以為等邊三角形，且為的中點，則所以平面.（）因為平面，所以是直線與平面所成的角.在中，得.所以，直線與平面所成的角的余弦值為.【領(lǐng)悟技法】1.利用幾何法：原則上先利用圖形“找線面角”或者遵循“一做-二證-三計算”. 2.利用向量法求線面角的方法(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角(鈍角時取其補角)，取其余角就是斜線和平面所成的角.【觸類旁通】【變式一】【2017屆浙江省高三上學(xué)期高考模擬】如圖，已知四棱柱的底面是菱形，側(cè)棱底面，是的中點，.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值.【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】試題分析：（1）連接交于點，連接，可證明四邊形是平行四邊形，從而，再由線面平行的判定即可求解；（2）作出平面的垂線，即可作出線面角，求出相關(guān)線段的長度即可求解.平面平面，過點作平面和平面交線的垂線，垂足為，得平面，連接，則是直線平面所成的角，設(shè)，是菱形且，則，在中，由，得，在中，由，得，.【變式二】【2017屆浙江省溫州市高三二模】在四棱錐p-abcd中，paad，pa=1，pc=pd，底面abcd是梯形，abcd，abbc，ab=bc=1，cd=2.（1）求證：paab；（2）求直線ad與平面pcd所成角的大小.【答案】（1）詳見解析；（2）30.（2）過點a作atpm于t，由cd平面pampat平面pam得cdat.又pmcd=m及pm，cd平面pcd于是at平面pcd，所以adt就是直線ad與平面pcd所成角.由at平面pcdptd平面pcd得attd，由paadpaab得pa平面abcd，得cdam，在rtpam中計算得：at=22，在rtdam中計算得ad=am2+md2=2.所以sinadt=atad=222=12，所以直線ad與平面pcd所成角的大小是30.考點5 二面角【5-1】【2016高考山東理數(shù)】在如圖所示的圓臺中，ac是下底面圓o的直徑，ef是上底面圓o的直徑，fb是圓臺的一條母線.（i）已知g,h分別為ec，fb的中點，求證：gh平面abc；（ii）已知ef=fb=ac=，ab=bc.求二面角的余弦值.【答案】（）見解析；（）試題解析：（i）證明：設(shè)的中點為,連接,在,因為是的中點，所以又所以在中，因為是的中點，所以，又,所以平面平面，因為平面，所以平面.（ii）解法一：連接,則平面，又且是圓的直徑，所以以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意得，過點作于點，所以可得故.設(shè)是平面的一個法向量. 由可得可得平面的一個法向量因為平面的一個法向量所以.所以二面角的余弦值為.解法二：連接，過點作于點，則有,又平面，所以fm平面abc,可得過點作于點，連接，可得,從而為二面角的平面角.又,是圓的直徑，所以從而，可得所以二面角的余弦值為.【5-2】【2017屆浙江省嘉興一中、杭州高級中學(xué)、寧波效實中學(xué)等五校高三下學(xué)期聯(lián)考】如圖，在矩形中， ， 是的中點，將三角形沿翻折到圖的位置，使得平面平面.()在線段上確定點，使得平面，并證明；()求與所在平面構(gòu)成的銳二面角的正切值. 【答案】（1）點是線段中點時， 平面，證明見解析；（2）.試題解析：()點是線段中點時， 平面.證明：記， 的延長線交于點，因為，所以點是的中點， 所以.而在平面內(nèi)， 在平面外，所以平面. ()在矩形中， ， ，因為平面 平面，且交線是，所以 平面.在平面內(nèi)作 ，連接，則 .所以就是與所在平面構(gòu)成的銳二面角的平面角.因為, ，所以.【領(lǐng)悟技法】1.利用幾何法：原則上先利用圖形“找平面角”或者遵循“一做-二證-三計算”. 2.（1）求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角(2)用平面的法向量求二面角時，二面角的大小與兩平面法向量的夾角有相等和互補兩種情況【觸類旁通】【變式一】【2017屆浙江省嘉興市第一中學(xué)高三適應(yīng)性考試】如圖，在三棱錐中， 底面， ， ， ， 分別是， 的中點， 在上，且（1）求證： 平面；（2）在線段上上是否存在點，使二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由【答案】（1）見解析; （2）見解析.試題解析：（1）由， ，是的中點，得因為底面，所以 在中， ，所以因此，又因為，所以，則，即 因為底面，所以，又，所以底面，則又，所以平面 （2）方法一：假設(shè)滿足條件的點存在，并設(shè)過點作交于點，又由， ，得平面作交于點，連結(jié)，則于是為二面角的平面角，即，由此可得 由，得，于是有， 在中， ，即，解得于是滿足條件的點存在，且 （2）方法二：假設(shè)滿足條件的點存在，并設(shè)以為坐標(biāo)原點，分別以， ， 為， ， 軸建立空間直線坐標(biāo)系 ，則， ， ，由得所以， ， 設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得， ，即設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得， ，即由二面角的大小為，得，化簡得，又，求得 于是滿足條件的點存在，且【變式二】【浙江省杭州市蕭山區(qū)第一中學(xué)】如圖，正方形adef與梯形abcd所在的平面互相垂直，adcd，abcd，ab=ad=2，cd=4，m為ce的中點.（1）求證：bm平面adef；（2）求證：平面bde平面bec；（3）求平面bec與平面adef所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明過程詳見解析；（2）證明過程詳見解析；（3）66.abcd，再利用已知的邊長，可證出bcbd，則利用線面垂直的判定得bc平面bde，再利用面面垂直的判定得平面bce平面bde；第三問，可以利用傳統(tǒng)幾何法證明二面角的平面角，也可以利用向量法建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面bec和平面adef的法向量，利用夾角公式計算即可.（1）證明：取de中點n，連結(jié)mn,an在edc中，m,n分別為ec,ed的中點，所以mncd，且mn=12cd由已知abcd，ab=12cd，所以mnab，且mn=ab所以四邊形abmn為平行四邊形，所以bman又因為an平面adef，且bm平面adef，所以bm平面adef 4分（2）證明：在正方形adef中，edad又因為平面adef 平面abcd，且平面adef平面abcd=ad，所以ed平面abcd所以edbc 6分在直角梯形abcd中，ab=ad=2，cd=4，可得bc=22在bcd中，bd=bc=22,cd=4，所以bcbd 7分所以bc平面bde 8分又因為bc平面bce，所以平面bde平面bec 9分（3）（方法一）延長和交于在平面內(nèi)過作akeg于k,連結(jié)由平面adef 平面abcd，abcd，adcd，平面adef平面abcd=，得，于是又，eg平面abk，所以，于是bka就是平面bec與平面adef所成銳二面角的平面角. 12分由rtakgrtedg,akde=agge,ed=ag=2,ge=25，得.又，于是有.在中，.所以平面bec與平面adef所成銳二面角的余弦值為66 14分（方法二）由（2）知ed平面abcd，且adcd 以d為原點，da,dc,de所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系易得b(2,2,0),c(0,4,0),e(0,0,2).平面adef的一個法向量為m=(0,1,0).設(shè)n=(x,y,z)為平面bec的一個法向量，因為bc=(-2,2,0),，ce=(0,-4,2)所以-2x+2y=0-4y+2z=0，令x=1，得y=1,z=2所以n=(1,1,2)為平面bec的一個法向量 分設(shè)平面bec與平面adef所成銳二面角為則cos=|mn|m|n|=111+1+4=66所以平面bec與平面adef所成銳二面角的余弦值為66 14分【易錯試題常警惕】易錯典例：在正方體abcda1b1c1d1中，e，f分別是棱a1b1，a1d1的中點，則a1b與ef所成角的大小為_易錯點：兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個三角形的內(nèi)角時，容易忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補角.分析：如圖，連接b1d1，d1c，b1c.由題意知ef是a1b1d1的中位線，所以efb1d1.又a1bd1c，所以a1b與ef所成的角等于b1d1與d1c所成的角因為d1b1c為正三角形，所以b1d1c.故a1b與ef所成角的大小為.溫馨提醒：1.正確理解異面直線“不同在任何一個平面內(nèi)”的含義，不要理解成“不在同一個平面內(nèi)”. 2. 不共線的三點確定一個平面，一定不能丟掉“不共線