第2章 動(dòng)力學(xué)基本定律補(bǔ)充習(xí)題.pdf

1 第 2 章 動(dòng)力學(xué)基本定律補(bǔ)充題 1 一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)以不變速率v沿 T2 2 10 圖中正三角形ABC 的水平光滑軌道運(yùn)動(dòng) 質(zhì)點(diǎn)越過A角時(shí) 軌道作用于質(zhì)點(diǎn)的沖量的大 小為vm3 2 一質(zhì)點(diǎn)受力ixF 2 3 SI 作用 沿x軸正方向運(yùn)動(dòng) 在從x 0到x 2m 的過程中 力F作功為8 J 3 一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在幾個(gè)力同時(shí)作用下的位移為 kjir 654 SI 其中一個(gè)恒力為 kjiF 953 SI 這個(gè)力在該位移過程中所作的功為67 J 4 一 質(zhì) 點(diǎn) 在 如 圖 所 示 的 坐 標(biāo) 平 面 內(nèi) 作 圓 周 運(yùn) 動(dòng) 有 一 力 0 jyixFF 作用在質(zhì)點(diǎn)上 在該質(zhì)點(diǎn)從坐標(biāo)原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 2 0 R位置過程中 力F 對(duì)它所作的功為 2 0 2RF 5 質(zhì)量為m 0 5kg 的質(zhì)點(diǎn)在xOy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng) 其運(yùn)動(dòng)方程為x 5t y 0 5t2 SI 從t 2s 到t 4s 這段時(shí)間內(nèi) 外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作的功為3J 6 一長(zhǎng)為l 質(zhì)量為m的勻質(zhì)鏈條 放在光滑的桌面上 若其長(zhǎng)度的 1 5 懸掛于桌邊下 將其慢慢拉回桌面 需做功mgl 50 1 7 一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在指向圓心的平方反比力 2 rkF 的作用下 作半徑為r的圓周 運(yùn)動(dòng) 此質(zhì)點(diǎn)的速度 v mr k 若取距圓心無窮遠(yuǎn)處為勢(shì)能零點(diǎn) 它的機(jī) 械能 E r k 2 T2 2 10 圖 A BC X Y R O T2 2 14 圖 2 8 兩小球的質(zhì)量均為m 小球 1 從離地面高為h處由靜止下落 小球 2 在小球 1 的正下方地面上以初速 0 v 同時(shí)豎直上拋 設(shè)空氣 阻力與小球的速率成正比 比例系數(shù)為k 常量 試求兩小球相遇 的時(shí)間 地點(diǎn)以及相遇時(shí)兩小球的速度 解 兩小球均受重力和阻力的作用 小球 1 向下運(yùn)動(dòng) 速度為負(fù) 阻力 kv沿 y向 所受合力為 kv mg 小球 2 向上運(yùn)動(dòng) 速度為正 阻力 重力均沿 y向 合力亦為 kv mg 故兩小球的動(dòng)力學(xué)方程具有如下相同的形式 mgk t y m v 2 2 d d 1 由動(dòng)力學(xué)方程 1 有g(shù) m k t v v d d 分離變量 t g m k d d v v 2 對(duì)小球 1 其初始條件為t 0 時(shí) v10 0 y10 h 積分 2 式 t t g m k 00 d d 1 v v v 得 e1 1 t m k k mg v 3 對(duì)小球 2 其初始條件為t 0 時(shí) v20 v0 y20 0 積分 2 式 t t g m k0 d d 2 0 v v v v 得 k mg k mg t m k 02 e vv 4 對(duì)小球 1 由 3 式有 e1 d d 1 t m k k mg t y 利用初始條件積分得 t k mg k gm hy t m k e1 2 2 1 5 對(duì)小球 2 由 4 式利用初始條件積分得 t k mg k mg k m y t m k e1 02 v 6 1 兩小球相遇時(shí) y1 y2 由 5 6 式可得相遇時(shí)間 T2 3 2 圖 1 0 v y h 2 O A2 3 2 圖 1 0 v y h 2 O 3 1ln 0 vm kh k m t 7 2 將 7 代入 5 或 6 式得相遇地點(diǎn)為 1ln 1 0 2 2 0 vvm kh k gm h k mg y 8 3 將 7 式分別代入 3 和 4 中可得相遇速度 00 1 1 1 vv v gh m kh k mg 9 m khgh k mg m kh k mg 1 0 0 0 02 v v v vv 10 9 已知一水桶以勻角速度 繞自身軸z轉(zhuǎn)動(dòng) 水相對(duì)圓筒靜止 求水 面的形狀 z r關(guān)系 解 以水表面任一小體積隔離體m作為研究對(duì)象 m受力為重力 mg及水對(duì)水面m的作用力N 水面 穩(wěn)定時(shí)無切向力 見 A2 3 6 圖 m作勻速圓周運(yùn)動(dòng) ra 2 Z方向0cos mgN 1 r方向rmN 2 sin 2 由 1 2 式有 r z g r d d tan 2 積分有rr g z z z r d d 0 0 2 得 0 2 2 2 zr g z 水面是旋轉(zhuǎn)拋物面 10 如 T2 3 9 圖所示 砂子從h 0 8m 高處下落到以 3 m s 1的速率水平向右運(yùn)動(dòng)的傳送帶 上 取重力加速度g 10 m s 2 求傳送帶給予沙子的作用力 T2 3 7 圖 h T2 3 9 圖 水 r O m mg N 0 z z r z 面 A2 3 7 圖 4 解 設(shè)單位時(shí)間內(nèi)落到傳送帶上砂子的質(zhì)量為p 以tttd 時(shí)間內(nèi)落下的砂子 dm 為研究對(duì)象 視為質(zhì)點(diǎn)tpmdd 根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理 在 dm落到傳送帶上到與傳送帶一起運(yùn)動(dòng)的過程中 0 ddddvv mmtFI 式中 1 0 1 sm48 01022 sm3 ghvv 0 vv pF 由 A2 3 9 矢量圖可見 F 與水平方向夾角為 53 3 4 tgtg 01 v v 11 礦砂從傳送帶A落到另一傳送帶B 如 T2 3 10 圖 其速度的大小 1 1 sm4 v 速度 方向與豎直方向成 30 角 而傳送帶B與水平線成 15 角 其速度的大小 1 2 sm2 v 如果傳送帶的運(yùn)送量恒定 設(shè)為 1 hkg2000 m q 求礦砂作用在傳送帶B上的力的大小 和方向 解 設(shè)在極短時(shí)間 t內(nèi)落在傳送帶B上礦砂的質(zhì)量為m 即tqm m 如 A2 3 10 矢量圖所示 礦砂動(dòng)量的增量 12 vvv mmm 設(shè)傳送帶對(duì)礦砂平均作用力為F 由動(dòng)量定理 tF 12 vvv mmm 75cos2 21 2 2 2 1 12 vvvv vv m q t m F N21 2 75cos24224 3600 2000 22 方向由正弦定理確定 sin75sin 2 vv mm 29 由牛頓第三定律 礦砂作用在傳送帶B上作用力與F 大小相等 方向相反 即大小為 2 21N 方向偏離豎直方向 1 指向前下方 A2 3 9 圖 0 dv m h md v md tFIdd A2 3 10 圖 2 v m 1 v m v m 15 30 T2 3 10 圖 30 1 v 2 v 15 B A 5 12 高為h的光滑桌面上 放一質(zhì)量為M的木塊 質(zhì)量為 m的子彈以速率v0沿圖示方向 圖中 角已知 射入木塊并 與木塊一起運(yùn)動(dòng) 求 1 木塊落地時(shí)的速率 2 木塊給子彈的沖量的大小 解 1 m和M完全非彈性碰撞 水平方向無外力 系統(tǒng)水平動(dòng)量守恒 vv cos 0 Mmm 1 m和M一起由桌邊滑下至落地 無外力 只受重力 保守內(nèi)力 作用 系統(tǒng)機(jī)械能守恒 以地面為重力勢(shì)能零點(diǎn) 22 2 1 2 1 VMmghMmMm v2 由1 2式得m和M落地的速率 gh Mm m ghV2 cos 2 202 v v 2 對(duì)m用質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理 M對(duì)m的沖量的兩個(gè)分量為 Mm mM mmIx cos cos 0 0 v vv sin sin 0 00 vvmmIy M對(duì)m的沖量的大小為 2 0 2022 sin cos v v m Mm M III yx 13 一人從 10m 深的井中提水 起始時(shí)桶中裝有 10kg 的水 桶的質(zhì)量為 1kg 由于水 桶漏水 每升高 1m 要漏去 0 2kg 的水 求水桶勻速地從井中提到井口 人所作的功 解 如圖所示 以井中水面為坐標(biāo)原點(diǎn) 以豎直向上為y正方向 因?yàn)閯蛩偬崴?所以人的拉力大小等于水桶和水的重量 它隨升高的位置面變化而變化 在高為y處 拉 力為 kgymgF 式中 kg11 110 m 1 mkg2 0 k 人作功為 T2 3 14 圖 m 0 v h M A2 3 14 圖 O m y x vm 0 vm I O h y A2 3 15 圖 6 J 980 d 8 92 08 911 d d 10 0 0 yy ykgymgyFA h 14 有一水平運(yùn)動(dòng)的皮帶將砂子從一處運(yùn)到另一處 砂子經(jīng)一垂直的靜止漏斗落到皮帶上 皮帶以恒定的速率v水平地運(yùn)動(dòng) 忽略機(jī)件各部位的摩擦及皮帶另一端的其它影響 試問 1 若每秒有質(zhì)量為 t M M d d 的砂子落到皮帶上 要維持皮帶以恒定速率v運(yùn)動(dòng) 需要多大的功率 2 若 11 sm5 1 skg20 vM 水平牽引力多大 所需功率多大 解 1 設(shè)t時(shí)刻落到皮帶上的砂子質(zhì)量為M 速率為v t dt時(shí)刻 皮帶上砂子的質(zhì)量為MMd 速率也是v 根據(jù)動(dòng)量定理 砂子在 dt時(shí)間受到的沖量 vvv MMMMMtFd0ddd 所以得M t M F vv d d 由牛頓第三定律 砂子對(duì)皮帶的作用力大小也是F 為維持皮帶作勻速運(yùn)動(dòng) 動(dòng) 力源對(duì)皮帶的牽引力大小也等于F 且與F 同向 因而 動(dòng)力源提供的功率為 t M MFp d d 22 vvv 2 將題中數(shù)據(jù)代入 1 中結(jié)果得水平牽引力大小為 N30205 1 d d t M MFvv 所需功率 W45205 1 22 MPv 15 兩物塊分別固結(jié)在一輕質(zhì)彈簧兩端 放置在光滑水平面上 先將兩物塊水平拉開 使 彈簧伸長(zhǎng)l 然后無初速釋放 已知 兩物塊質(zhì)量分別為m1 m2和彈簧的的勁度系數(shù)為 k 求釋放后兩物塊的最大相對(duì)速度 解 選地面參考系 考查 m1 m2 彈簧 系統(tǒng) 無水平外力 系統(tǒng)動(dòng)量守恒 設(shè)兩物塊相對(duì)速度最大時(shí) 兩物塊的速度分別為v1 v2 則在 x向有0 2211 vvmm1 無非保守內(nèi)力 系統(tǒng)機(jī)械能守恒 最大相對(duì)速度對(duì)應(yīng)其初勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為動(dòng)能 有 T2 3 20 圖 1 m 2 m x l k 7 2 22 2 11 2 2 1 2 1 2 1 vvmmkl 2 聯(lián)立1 2式可得 211 2 2 1 mmm klm v 2 1 2 212 m kl m mm v 兩物塊的最大相對(duì)速度的大小為 21 2 21 1 2 21 21 mm klmm m mm vvv 16 水平面上有一質(zhì)量為M 傾角為 的楔塊 一質(zhì)量為m的小滑塊從高為h處由靜止 下滑 求m滑到底面的過程中 m對(duì)M作的功W及M后退的距離S 忽略所有摩擦 解 如 A2 3 21 a 圖所示 設(shè)m相對(duì)于M的速度為v m相對(duì)于地的速度為v 對(duì)mM作的功為 2 2 1 MVW 1 在m下滑 同時(shí)M后退的過程中 以 m M 為系 統(tǒng) 系統(tǒng)在x向不受外力 動(dòng)量守恒 0 x mMVv 2 對(duì) m M 地球 系統(tǒng) m與M之間的一對(duì)正壓力 作功之和為零 只有保守力作功 系統(tǒng)機(jī)械能守恒 mghMVm yx 222 2 1 2 1 vv 3 由相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系V vv得 tan x y Vv v 4 聯(lián)立 1 4 式解得 sin 1 cos 2 2 m M m M Mgh W 設(shè)下滑時(shí)間為T 由 2 式 TT x tmtVM 00 0ddv A2 3 21 a 圖 x V h m M y V x v y v v v x V S h m M T2 3 21 圖 8 0 m mSMS 5 位移關(guān)系 tan m SS h 6 由 5 6 式解得 tan 1 m M h S 17 地球可看作半徑R 6400km 的球體 一顆人造地球衛(wèi)星在地面 上空h 800 km 的圓形軌道上以v1 7 5 km s 1的速度繞地球運(yùn)行 今在衛(wèi)星外側(cè)點(diǎn)燃一個(gè)小火箭 給衛(wèi)星附加一個(gè)指向地心的分速度 v2 0 2 km s 1 問此后衛(wèi)星的橢圓軌道的近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面各多 少公里 解 火箭點(diǎn)燃處即為衛(wèi)星由圓軌道轉(zhuǎn)為橢圓軌道的轉(zhuǎn)軌點(diǎn) 設(shè)此處衛(wèi)星對(duì)地心的位矢為r 衛(wèi)星的速度應(yīng)為 21 vvv 對(duì)衛(wèi)星 在轉(zhuǎn)軌點(diǎn)所受的力 反沖力和地球引力 和在其他位置所受的力 地球引力 均指向地心 對(duì)地心外力矩為零 所以衛(wèi)星在運(yùn)動(dòng)過程中角動(dòng)量守恒 對(duì)衛(wèi)星和地球系統(tǒng) 只有萬有引力作功 滿足機(jī)械能守恒 設(shè)衛(wèi)星在近 遠(yuǎn) 地點(diǎn)時(shí) 位矢為r 速度為v 對(duì)衛(wèi)星 由角動(dòng)量守恒得 vv mrrm 1 1 對(duì) 衛(wèi)星 地球 系統(tǒng) 由機(jī)械能守恒定律 有 r GMm m r GMm m 22 2 2 1 2 1 2 1 vvv 2 衛(wèi)星作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)